初中数学竞赛复习资料

比赛专题讲座08－几何变换【比赛知识点拨】一、平移变换1．定义设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点 X 变到 X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。

记为X X’，图形 F F‘ 。

2．主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变成直线，三角形变成三角形，圆变成圆。

两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。

二、轴对称变换1．定义设 l 是一条给定的直线， S 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X’，使得 X 与 X‘对于直线 l 对称，则 S叫做以 l 为对称轴的轴对称变换。

记为 X X’，图形 F F‘ 。

2．主要性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或许平行，或许交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴均分。

三、旋转变换1．定义设α是一个定角， O是一个定点， R 是平面上的一个变换，它把点 O 仍变到 O（不动点），而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X’，使得 OX‘=OX，且∠XOX’=α，则 R 叫做绕中心 O，旋转角为α的旋转变换。

记为X X‘，图形F F’ 。

此中α <0 时，表示∠ XOX‘的始边 OX到终边 OX’的旋转方向为顺时针方向；α>0 时，为逆时针方向。

2．主要性质在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。

四、位似变换1．定义设O是一个定点，H 是平面上的一个变换，它把平面图形 F 上任一点X变到做以X‘，使得O为位似中心，=k·，则 H 叫 k为位似比的位似变换。

记为X X’，图形F F‘ 。

此中 k>0 时， X’在射线 OX上，此时的位似变换叫做外位似；k<0 时, X‘在射线OX 的反向延伸线上，此时的位似变换叫做内位似。

2．主要性质在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持次序，即共线点变成共线点，共点线变成共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即向来线变成与它平行的直线；任何两条直线的平行、订交地点关系保持不变；圆变成圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。

【比赛例题分析】【例 1】P 是平行四边形ABCD内一点，且∠ PAB=∠PCB。

求证：∠ PBA=∠PDA。

【分析】作变换△ ABP△DCP’，则△ ABP≌△ DCP‘，∠ 1=∠5，∠ 3=∠6。

由 PP’ AD BC，ADPP‘、 PP’CB都是平行四边形，知∠ 2=∠8，∠ 4=∠7。

由已知∠ 1=∠2，得∠ 5=∠8。

∴P、 D、P‘、 C 四点共圆。

故∠ 6=∠7，即∠ 3=∠4。

【例 2】“风平三角形”中， AA’=BB‘=CC’=2，∠ AOB‘=∠BOC’=60°。

求证：Ｓ△AOB‘+Ｓ△BOC’+Ｓ△COA‘<。

【分析】作变换△ A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR’‘，则R’、R‘’重合，记为 R。

P、 R、 Q共线， O、A、Q共线， O、B‘、 P 共线，△ OPQ为等边三角形。

∴Ｓ△AOB’+Ｓ△BOC‘+Ｓ△COA’<Ｓ△OPQ=【例 3】在两条对角线长度以及夹角必定的全部凸四边形中，试求周长最小的四边形。

【分析】取 AC、BD的中点 E、F，令 AC A‘C’，则 A‘BC’D是一个切合条件的平行四边形。

延伸AF、CC‘交于 G。

∵E是 AC的中点且 EF∥CC’， FC‘∥ EC，∴ F、C’分别为AG、CG的中点。

∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。

同理可得 AB+DC≥A’B+DC‘。

故当四边形为平行四边形时，周长最小。

【评注】当已知条件分别，特别是相等的条件分别，而又不简单找出证明门路，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分实行平移变换，经常十分凑效。

【例 4】 P 是⊙O的弦 AB 的中点，过 P 点引⊙O的两弦 CD、EF，连接 DE交 AB于 M，连接 CF交 AB于 N。

求证：MP=NP。

（蝴蝶定理）P 的直径，F F’F，明显‘∈⊙O。

又 P∈GH，∴PF’=PF。

【分析】设GH为过∵PF PF‘， PA PB，∴∠ FPN=∠F’PM，PF=PF‘。

又 FF’⊥ GH，AN⊥GH，∴ FF‘∥ AB。

∴∠ F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴ P、 M、 D、F‘四点共圆。

∴∠ PF’M=∠PDE=∠PFN。

∴△ PFN≌△ PF‘M， PN=PM。

【评注】一般结论为：已知半径为 R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条订交弦CD、 EF，连 CF、ED交 AB于 M、N，已知 OP=r， P 到 AB中点的距离为a，则。

（分析法证明：利用二次曲线系知识）【例 5】⊙O是给定锐角∠ ACB内一个定圆，试在⊙O 及射线 CA、CB上各求一点 P、Q、R，使得△ PQR的周长为最小。

【分析】在圆 O上任取一点 P0，令 P0P1，P0P2，连接 P1P2分别交 CA、CB于 Q1、 R1。

明显△P0Q1R1是在取定 P0的状况下周长最小的三角形。

设 P0P1交 CA于 E， P0P2交 CB于 F，则 P0Q1 +Q1R1 +R1P0= P 1P2=2EF。

∵E、 C、 F、 P0四点共圆， CP0是该圆直径，由正弦定理，EF=CP0sin ∠ECF。

∴当 CP0取最小值时， EF为最小，进而△P0 Q1R1的周长为最小，于是有作法：连接 OC，交圆周于 P，令 P P1，P P2，连接 P1P2分别交 CA、CB于 Q、R。

则 P、 Q、 R为所求。

【例 6】△ABC中，∠ A≥90°， AD⊥BC 于 D，△ PQR是它的任一内接三角形。

求证：PQ+QR+RP>2AD。

【分析】设 P P’， P P‘’。

则 RP=RP‘， PQ=P’‘ Q，AP=AP’=AP‘’。

∴PQ+QR+RP=‘’P Q+QR+RP‘。

又∠ A≥90°，∴∠ P’AP+∠P‘’ AP=2∠A≥180°， A 点在线段 P‘P’‘上或在凸四边形 P’RQP‘’的内部。

∴ P‘’ Q+QR+RP‘>AP’+AP‘’ =2AP>2AD。

∴PQ+QR+RP>2AD。

【评注】假如题设中有角均分线、垂线，或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形，能够将图形或其部分进行轴对称变换。

别的，也能够适入选择对称轴将一些线段的地点更改，以便于比较它们之间的大小。

【例 7】以△ ABC的边AB、AC为斜边分别向外作等腰直角三角形APB、AQC，M是 BC的中点。

求证：MP=MQ，MP⊥MQ。

【分析】延伸 BP到 E，使 PE=BP，延伸 CQ到 F，使 QF=CQ，则△ BAE、△ CAF都是等腰三角形。

明显： E B， C F，∴ EC=BF，EC⊥BF。

而 PM EC，MQ BF，∴ MP=MQ，MP⊥MQ。

【例 8】已知O是△ABC内一点，∠ AOB=∠BOC=∠COA=120°； P是△ ABC内任一点，求证：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。

（ O为费马点）【分析】将 C C‘，O O’， P P‘，连接 OO’、PP‘。

则△ B OO’、△ B PP‘都是正三角形。

∴OO’=OB，PP‘ =PB。

明显△ BO’C‘≌△ BOC，△ BP’C‘≌△ BPC。

因为∠ BO’C‘=∠BOC=120°=180° - ∠BO’O，∴ A、 O、O‘、 C’四点共线。

∴AP+PP‘+P’C‘≥ AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。

【例 9】⊙O与△ ABC的三边 BC、CA、 AB分别交于点 A1、A2、 B1、 B2、C1、 C2，过上述六点分别作所在边的垂线 a1、a2、 b1、b2、，设 a1、b2、c1三线订交于一点 D。

求证： a2、b1、c2三线也订交于一点。

【分析】∵a1、a2 对于圆心O成中心对称，∴a1a2。

同理， b1b ，c1c。

22∴a1、b2、c1 的公共点D在变换R（O，180°）下的像D’也是像a2、b1 、c2 的公共点，即 a2、 b1、c2三线也订交于一点。

【例 10】AD是△ ABC的外接圆 O的直径，过 D作⊙O的切线交 BC于 P，连接并延伸PO分别交 AB、AC于 M、 N。

求证： OM=ON。

【分析】设 O O‘， N N’，而 M B，∵M、 O、 N 三点共线，∴ B、O‘、 N’三点共线，且。

取 BC中点 G，连接 OG、O‘G、 DG、DB。

∵∠ OGP=∠ODP=90°，∴ P、 D、G、O四点共圆。

∴∠ ODG=∠OPG，而由MN∥BN’有∠ OPG=∠O‘BG，∴∠ ODG=∠O’BG，∴ O‘、 B、D、G四点共圆。

∴∠ O’GB=∠O‘DB。

而∠ O’DB=∠ACB，∴∠ O‘GB=∠ACB，O’G∥AC，而 G是 BC的中点，∴ O‘是 BN’的中点， O‘B= O’ N‘，∴OM=ON。

比赛讲座 07--面积问题和面积方法基础知识1．面积公式因为平面上的凸多边形都能够切割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不一样场合下选择最正确形式使用．设△ ABC ，a,b,c分别为角A, B, C的对边，h a为a的高， R 、r分别为△ ABC 外接圆、内切圆的半径，p 1( a b c) ．则△ ABC 的面积有以下公式：（1）S ABC 122 ah a；（2）S ABC （3）S ABC （4）S ABC （5）S ABC （6）S ABC （7）S ABC （8）S ABC（9）S ABC 1b csin A2p( p a)( p b)( p c)1r (a b c)pr2abc4R2R 2 sin Asin B sin Ca 2 sin B sin C2 sin( B C )1(b c a)r a212 (sin 2A sin 2B sin 2 )R C22．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相像三角形的面积的比等于相像比的平方；（ 6）共边比率定理：若△PAB 和△QAB的公共边 AB 所在直线与直线PQ 交于M，则S PAB :S QAB PM :QM ；（ 7）共角比率定理：在△ABC 和△ A B C 中，若A A 或 A A 180 ，则S SABCA B CAB AC．AB AC3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PA, PB, PC ，设APC， CPB，APB180，则 A, B,C 三点共线的充要条件是：sin sin sin() PB PA ．PC例题分析例 1．梯形ABCD的对角线AC, BD订交于O，且S AOB m ， S COD n ，求 S ABCD例 2．在凸五边形ABCDE 中，设S ABC S BCD S CDE S DEA S EAB 1，求此五边形的面积．例 3．G是△ABC内一点，连接AG , BG, CG并延伸与BC ,CA, AB分别交于D , E, F，△ AGF 、△ BGF 、△ BGD 的面积分别为40， 30， 35，求△ABC的面积．例 4．P,Q, R分别是△ABC的边AB, BC和 CA 上的点，且BP PQ QR RC 1 ，求△ ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC内一点引三边的平行线DE∥BC，FG∥CA，HI∥AB，点D, E, F , G , H , I 都在△ABC的边上， S1表示六边形DGHEFI 的面积，S2表示△ ABC 的面积．求证： S12S2．3例 6．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，过△ABD的心里与△ACD的心里的直线分别交边 AB 和 AC 于 K 和 L ，△ ABC 和△ AKL 的面积分别记为S和T ．求证：S 2T．例 7．锐角三角形ABC 中，角 A 均分线与三角形的外接圆交于一点A1，点 B1、 C1与此类似，直线 AA1与B 、 C 两角的外角均分线将于一点A0，点 B0、 C 0与此近似．求证：（1）三角形 A 0 B 0C 0 的面积是六边形 AC 1BA 1CB 1 的面积的二倍；（2）三角形 A 0 B 0C 0 的面积起码是三角形 ABC 的四倍．S PQR2．例 8．在△ ABC 中， P, Q, R 将其周长三均分，且 P,Q 在边 AB 上，求证： 9SABC例 9．在锐角△ ABC 的边 BC 边上有两点 E 、 F ，知足 BAE CAF ，作 FMAB ，FM AC （ M , N 是垂足），延伸 AE 交△ ABC 的外接圆于点D ，证明四边形 AMDN 与△ ABC 的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是办理相关面积问题的重要方法之一， 它的特色是利用间面积相等而进行相互变换证（解）题．例10．凸六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，且ABBCDC31 ，DEEFFA 1，求此六边形的面积．例 11．已知 ABC 的三边 a b c ，此刻 AC 上取 AB AB ，在 BA 延伸线上截取BCBC ，在 CB 上截取 CACA ，求证： S ABCSABC．例12． ABC 在 ABC 内，且 ABC ∽ A B C ，求征：S ABCSBCASCABSABC例 13．在ABC 的三边 BC , CA, AB 上分别取点 D, E, F ，使 BD 3DC,CE 3EA ，AF 3FB ，连 AD , BE ,CF 订交得三角形 PQR ，已知三角形 ABC 的面积为 13，求三角形 PQR 的面积．例 14． E 为圆内接四边形 ABCD 的 AB 边的中点，EFAD 于F ，EHBC 于H ，EG CD 于G ，求证： EF 均分 FH ．例 15．已知边长为 a,b,c, 的 ABC ，过其心里 I 任作向来线分别交AB,AC 于M,N 点，求证：MIa c ．INb例 16．正△ PQR 正△PQR ，ABa 1 ， BCb 1 ， CD a 2 ， DEb 2 ，EFa 3 ， FAb 3 ．求证： a 1 22a 3 2222 a 2 b 1 b 2 b3 ．例 17．在正ABC 内任取一点 O ，设 O 点对于三边 BC, CA, AB 的对称点分别为A,B,C ，则 AA , BB ,CC 订交于一点P ．例 18．已知 AC ,CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线，点 M , N 分别内分 ACCE ，且使 AMCN k ，假如 B, M , N 三点共线，试求 k 的值．ACCE例 19．设在凸四边形 ABCD 中，直线 CD 以 AB 为直径的圆相切， 求证：当且仅当 BC ∥ AD时，直线 AB 与以 CD 为直径的圆相切．训练题1 ． 设的 面 积 为 10 cm 2 ，D,E,F分 别 是AB,BC,CA边上的点，且A B CAD2cm, DB 3cm, 若 S ABE S DBEF，求ABE 的面积．2．过ABC 内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC 分红六部份，此中，三部份为三角形，其面积为 S 1 , S 2 , S 3 ，求三角形ABC 的面积．3．在ABC 的三边 AB, BC ,CA 上分别取不与端点重合的三点 M ,K,L ，求证： AML ，BKM , CLK 中起码有一个的面积不大于ABC 的面积的 1 ．44．锐角 ABC 的顶角 A 的均分线交 BC 边于 L ，又交三角形的外接圆于N ，过L 作 AB 和AC 边的垂线 LK 和 LM ,垂足是 K , M ，求证：四边形 AKNM 的面积等于ABC 的 面积．5．在等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上取一点 D ，使 DC1BC ，作BE AD 交AC 于E ，求证： AEEC ． 36．三条直线 l , m, n 相互平行， l, n 在 m 的双侧，且 l , m 间的距离为 2 ， m, n 间的距离为 1， 若正ABC 的三个极点分别在 l , m,n 上，求正 ABC 的边长．7 ．已知 P 1 P 2 P 3 及其内任一点 P ，直线 P i P 分别交对边于Q i （ i 1,2,3 ），证明：在P 1 P ,P 2 P ,P 3 P这三个值中，起码有一个不大于2，而且起码有一个不小于2．PQ 1 PQ 2 PQ 38．点 D 和 E 分别在ABC 的边 AB 和 BC 上，点 K 和 M 将线段 DE 分为三均分， 直线 BK和 BM 分别与边 AC 订交于点 T 和 P ，证明： TP1AC ．39．已知 P 是 ABC 内一点，延伸 AP, BP, CP 分别交对边于 A,B,C ，此中 AP x ，BP y, CP z, PA PB PCw ，且 xyz 23, w3 ，求 xyz 之值．10．过点 P 作四条射线与直线l ,l 分别交于 A, B, C , D 和 A , B ,C , D ，求证：AB CD A B C D ． AD BCA DB C11．四边形 ABCD 的两对对边的延伸线分别交 K, L ，过 K,L 作直线与对角线 AC, BD 的延伸线分别 G, F ，求证：LFLG ．KF KG12．G为ABC 的重心，过 G 作直线交AB, AC于E, F，求证： EG 2GF ．。