变系数线性微分方程的算子解法
一个变系数微分方程的多种解法
作 者 简介 ： 顺 来 （９ ３ ， ， 东莘 县 人 ， 南 大 学理 学院 讲 师 ， 东 师 范 大 学计 算 机 系博 士 生 ， 究 方 向 ： 分 方程 邢 １７ －） 男 山 济 华 研 微
与 图像 处 理 。
６ ４
山 东广播 电视 大学 学报
自变 量 的变 量 变 换 化 为 常 系数 线 性 方 程 。 直 接 验 证 ＝ ｘ （ ） 方 程 （ ） 一 个 特 解 。 剩 下 来 只 ｅｐ 是 １的
本 文介 绍 具 有 代 表 性 的 一 类 方 程 的 求 法 ． 给 出 它 的 并
多种 解 法 。
设 一ｅ ＇ 程） 坛 ）（ 耋， ＝．方（ 为 ＝１ｐ ｄｌ １ ， ｒＪ 变 （ ｅ ｙ 贝 ＋ｘ）
此方 程 可 变 形 为 ＋三： ＿ 一 ｅｐ ｘ （） （） ４ 方 程 （） 一 阶非 齐 线 性 方 程 ， 用 常 数 变 易 公 式 ， ４是 利 得
摘
要 ： 过 先 变形 或 变换 ， 通 然后 利 用 比较 系数 法 、 常数 变 易 法 、 微 分 法 、 欧拉 方 程 的 方 法 、 全 求 已知一 个
解 求 通 解 的公 式等 给 出一 个 变 系数 微 分 方 程 的 多种 解 法 。
关键 词 ： 解 ； 解 ； 特 通 欧拉 方 程 ； 性微 分 方程 线 中 图分 类 号 ： ７ ． 文 献 标 识 码 ： ０１ ５１ Ａ 文章 编 号 ：ｏ ８ ３ ０ ２ １ ） １ ｏ ４ ｏ ｌ ｏ —３ ４ （ Ｏ ０ ０ 一ｏ ６ 一 ２
由 于 多项 式 的 各 阶导 数 仍为 多 项 式 和 ｅｐ ｘ 的 各 阶导 ｘ （）
或 ）＋ｘ） 边分 ｅ ） ｄ ＝１ ， 积，耋 ｘ ＋ （ （） 窆 ｅ 两 得 ｐ ｃ ｐ －
二阶变系数线性微分方程求解法探究
二阶变系数线性微分方程求解法探究
李雷民
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2015(000)017
【摘要】二阶线性齐次微分方程是微分理论的重要组成部分,在现代科技、工程等领域中都有广泛应用,这其中很多的应用情况都归属于二阶线性常微分方程的范畴中。
在微分理论中常系数微分方程可以利用线性常微分的理论求解,但变系数类型的求解则相对较难,至今都很难找到有效的求解方法。
本文以二阶边系数线性微分方程的求解意义作为出发点,对一般与特殊的二阶变系数线性微分方程的解法进行探讨,希望能为相关研究人员提供些许参考作用。
【总页数】1页(P99-99)
【作者】李雷民
【作者单位】河南化工职业学院,河南郑州450042
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易求解法
2.高阶变系数线性微分方程的一种求解法
3.关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究
4.某类—阶变系数线性齐次微分方程组的求解法
5.二阶变系数线性微分方程的解法探讨
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二阶变系数线性微分方程的解法研究
二阶变系数线性微分方程的解法研究作者：白慧来源：《知识文库》2018年第08期众所周知的是，对与二阶变系数线性微分方程其一般解析式：y"+p（x）y'+q（x）y=f（x）①基于其定义我们可以知道P（x）、G（x）、F（x）是连续的，那么方程的解是存在的。
但是其可积性也只能是三者处于特定的情况下才能存在。
这部分内容比较深奥，在大部分普通高校微积分的教材中虽然没有对其解法的完整体现，但是学生们在自行阅读的时候很可能会阅读到相关方面的文献的时候很可能会看到相关的问题。
因此针对这种情况我们应该积极的寻找其中的相通之处进而找为学生们的更好的理解这些问题的重要途径。
1可积条件首先在方程①，我们通常所使用的方式是采用变量对上述的方程进行替换，并且一般替换的对象是可降价的方程或者是常系数线性方程。
这种方式的制约性就是在选择使用怎样的方式来进行替换的时候必须要看P（x）和Q（x）之间存在怎样的关系来确定。
就是在进行计算的过程中需要受到很多方面的影响，变量的不确定性大大增加了在解方程过程那种的困难性。
接下来我们探讨方程①可积的重要条件：P（x）、G（x）、F（x）≠0以及常数b、c②经过变换我们不难看出当①中的p（x）和q（x）分解为②时，即方程：③经过双变化之后不难看出其常系数线性方程：④之后可以再次经过转化得出：⑤在对方程：⑥双变换完成之后：显然上述的公式是错误的。
上述方程①中是的p（x）和q（x），在进行分解的过程中一般都不会将其分解成②的形式，一般在针对某些简单的情况下，我们可以使用拼凑法的形式；而在比较麻烦的情况下，往往可以使用“分项比较法”的方式来完成实现结题的过程。
基于此，本人认为，对可积方程①的求解，首先是观察方程①是不是能够形式简单并且便于记忆的方程，若不是再进行考虑如②的分解方式，这样可以为自己的结题提供一种比较简单的并且简捷的思路，从而不至于在拼凑的项目中难以找到相应G（x）、F（x）以及b、c 的值。
微分方程的算子算法【精选】
(1) P(D)( f1( x) f2 ( x)) P(D) f1(x) P(D) f2 (x)
(2) [P1(D) p2 (D)] f ( x) P1(D) f ( x) p2 (D) f ( x)
(3) P(D) P1(D)P2 (D),则
P(D) f (x) P1(D)[P2 (D) f (x)] P2 (D)[P1(D) f (x)]
10
常系数线性微分方程的算子解法
1
9．算子 P ( D)的基本性质及运算法则
(1)
1 (
P(D)
f1( x)
f2 ( x))
1 P(D)
f1( x)
1 P(D)
f2 ( x)
(2) P(D) P1(D)P2 (D),则
1 f ( x) 1 [ 1 f ( x)] 1 [ 1 f ( x)]
, D2
d2 dx 2
,L
, Dn
DDn1
dn dx n
P(D) Dn p1Dn1
P(D) y 0
3
常系数线性微分方程的算子解法
2．解的结构
线性算子 P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2 定理1 方程（1）的通解为：y y(x) y *(x) ，其中y(x)
cos x
cos x P(2 )
(P(2 )
0)
12
常系数线性微分方程的算子解法
1
10．算子 P ( D) 的运算公式
(4)
1 [exv( x)] ex 1 v( x)
P(D)
P( D)
(5) 设fk ( x) b0 b1x L bk xk , P(0) pn 0,则
变系数线性微分方程的积分因子解法1
& 7 $ 7
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9 2 +8 2+8 " % +8 2 +8 2 ! ! ! 2 !
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由! " # 得其通解为 # ! C A B 2+8 M ’ C 2:M ’ C 2 ( B C H M 2+ D I B 2" ! H%8 9 ! 此例表明 & 对于任意二阶常系数线性微分方程 H # 我们均可求出其形式通解 ! ^+* I+* 2" H H%)! 9 ! 为求解方便 # 我们给出二阶线性微分方程 ! " 的积分因子方法解题步骤为 & ! ! "先由 ! " 求出 Y! # 建立方程 ! " # 并从中解出一特解 @! 如果可以解出 @" ’ I 9 9 2" 9 " ! "由 @ 得 J9! # # 进而由 ! " 解出 9 # ’ R 2" J!! 2" E 2" 2" 9 9! !! ! "在 ! " 两边同乘以 9 # 化为 ! " 后# 由! " 求出 ! " 的通解 ! M ! 2" 2" = # ! 9 9! !!
2 +8 2+8 " ! !9 !
一类变系数微分方程通解公式的求法
一类变系数微分方程通解公式的求法一类变系数微分方程通解公式的求法是一个重要的数学问题，它在应用数学和物理学中具有广泛的应用。
这类微分方程的特点是方程中的系数是随着自变量的变化而变化的。
为了解决这类微分方程，我们可以使用一种叫做常数变易法的方法。
常数变易法的基本思想是假设微分方程的解可以表示为一个未知函数乘以一个待定的常数，然后通过对常数的求导来消去未知函数，从而得到一个只含有常数的代数方程。
最后，通过求解这个代数方程来确定常数的值，从而得到微分方程的通解。
具体而言，假设我们要求解的微分方程为：[y'' + p(x)y' + q(x)y = 0]其中，(p(x))和(q(x))是给定的函数。
我们将解设为：[y(x) = u(x) cdot v(x)]其中，(u(x))是未知函数，(v(x))是待定的常数。
将这个解代入微分方程中，我们可以得到：[u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + p(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) = 0]我们再对上式两边关于(x)求导数，可以得到：[u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + p(x)u'(x)v(x) + p'(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) = 0]将上述两个式子相减，可以消去(u''(x)v(x))和(u'(x)v(x))两项，得到：[2u'(x)v'(x) + p'(x)u'(x)v(x) + p(x)u(x)v'(x) = 0] 将上式整理，可以得到：[u'(x)v'(x) = -frac{p'(x)}{2}u(x)v(x)]我们可以看出，上式左边只含有(u'(x))和(v'(x))，而右边只含有(u(x))和(v(x))。
算子法解微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。
1、首先介绍一种使用算子求解的方法：考察二阶常系数非齐次线性微分方程d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。
设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)依次解以下两个方程(D－λ2) x1＝b(t)(D－λ1) x＝x1就可求得方程的特解。
（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。
这时应有恒等式d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)比较上式两边的实部，我们得到d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。
给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得y1＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x（其中C为任意常数）.所以 (D－2)y＝﹣(x＋1) e2x＋Ce3x.得y＝C1e2x＋C2e3x－(x2＋2x) e2x／2.2、下面来说另一种更简便的方程，也就是“算子法”。
不过在使用算子法的时候，很多性质是必须了解的，在这里不作说明。
“算子法”是一个能直接求出常系数非齐次线性微分方程的特解的一个简单的方法，也就是得到我们需要求的y*。
关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究
{ %e
- % u( x) dx
[ %f ( x ) e
%u( x) dx
d x + C1 ] e
% v ( x) dx
dx + C 2 } ( 6)
dx + C1 ] dx + C2 }
y∀+ p ( x ) y#+ q( x ) y = f ( x )
( 7) ( 8)
特别地 1 当 f ( x ) & 0 时, 方程 ( 1 ) 就转化为二阶变系数齐次线性微分方程 , 而式 ( 6 ) 、 ( 7) 、 { C1 %e { C 1%e
它们是对应的二阶变系数齐次线性微分方程
2010 年 12 月
河北北方学院学报 ( 自然科 学版)
第6期
y∀+ p ( x ) y#+ q( x ) y = 0 的通解公式. 注意 : 以上的求解过程或方式就是二阶变系数线性微分方程的求解方法, 公式 ( 6) 、 ( 7) 、 ( 8 ) 均为 二阶变系数非齐次线性微分方程 y∀+ p ( x ) y#+ q( x ) y = f ( x ) 的通解公式 . 公式 ( 9 ) 、 ( 10) 、 ( 11) 均为二 阶变系数齐次线性微分方程 y∀+ p ( x ) y#+ q( x ) y = 0 的通解公式, 在具体应用时 , 依据问题应灵活使用. 特别地 2 形如
来稿日期 : 2010 10 15 作者简介 : 李高 ( 1965 ) , 男, 山西天镇人 , 大同大学煤炭工程学院副教授 . 通讯作者 : 常秀芳 ( 1965 ) , 女 , 山 西应县人 , 山西大 同 大学煤炭工程学院副教授 .
[ 3 4]
浅谈线性微分方程的若干解法
浅谈线性微分方程的若干解法
线性微分方程是微分方程中最基本的一类，一般形式为：
\frac{d^n}{dx^n}y+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}y+\cdots+a_1(x)\frac{dy}{d x}+a_0(x)y=g(x)
其中y(x)是未知函数，a_i(x)和g(x)是已知函数，n为正整数。
线性微分方程的解法主要有以下几种方法。
1. 齐次线性微分方程的通解
当g(x)=0时，方程称为齐次线性微分方程。
这种方程的解法非常简单，可以使用代数的方法求解。
我们假设y(x)的一个解为y_1(x)，则齐次线性微分方程的通解为：
y(x)=c_1y_1(x)
其中c_1为任意常数。
2. 叠加原理
线性微分方程满足叠加原理，即如果y_1(x)和y_2(x)分别是方程的两个解，则它们的线性组合c_1y_1(x)+c_2y_2(x)也是方程的解。
对于非齐次线性微分方程，可以将其拆分为齐次线性微分方程和特解两部分，分别求解，然后将两部分的解相加即可得到原方程的通解。
4. 微积分学中的方法
有些线性微分方程可以使用微积分学中的方法求解，例如常系数线性微分方程和二阶线性齐次微分方程等。
5. 变量分离法
对于一些特殊的线性微分方程，可以使用变量分离法求解。
例如
\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=0就可以使用变量分离法求解。
线性微分方程的解法是多种多样的，根据具体的方程形式和已知条件选择不同的解法进行求解。
以上只介绍了一些常见的解法，实际应用中可能还会用到其他更复杂的方法。
几类求解变系数微分方程的方法
，
可化为高阶常系数线性微分方程的充要条件是：
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推论 5：设方程（4）对应的齐次方程 （7）
有一特解 ，在变换 方程，进而求得其通解。
下可以将其降为二阶线性微分
例 4 将三阶变系数线性微分方程
化为二阶变系
数线性微分方程。
解：设方程所对应的齐次方程的特解为
，将其代入原方程，
可得关于 的方程
令
，如果方程（5）可化为常系数微分方程：
那么 常数，且
，即 。
2. 因变量代换
定理 2：方程（3）：经变换 微 分 方 程 的 充 要 条 件 为：
，其中 c 为使等式有意义的
化为常系数线性 。而
方程（3）经变换 型为
可化为常系数线性微分方程的类
推论 3：方程（4）可在变换 。
常系数线性微分方程的充要条件是：
1. 自变量代换 对二阶变系数线性微分方程 可以用变量代换的方法求解。
，（3）
定理 1：当
时，方程（3）可在变换
下化为常系数线性方程：
。
由定理 1 得如下推论：
推论 1：三阶变系数线性微分方程：
当满足
（4）
，
所以在自变量变换
下，原方程可化为常系数
微分方程
。5）
下化为：
，
例2 将
化为常系数微分方程。
解：依据推论 3，满足下面条件：
时，
令
，可将方程（4）化为常系数线性方程。
例 1 将三阶变系数线性方程
系数微分方程。 解：依据推论 1，满足如下条件：
化为常
故原方程在变换
下可化为常系数微分方程：
。
其中
为任意常数。这里我们可以令