武大《 高等数学 》期末考试试题

2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名

一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ，试写出此微分方程及通解。

（8分）

二、 设幂级数∑∞=−0

)1(n n n x a

在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。（8分） 三、 求曲面323

=+xz y x 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。（10分）

四、 设)(,0x f x >为连续可微函数，且2)1(=f ，对0>x 的任一闭曲线L，有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ，求)(x f 。

（10分） 五、 设曲线L （起点为A ，终点为B ）在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤=

r ，其中θ=6π

对应起点A ，3

π

θ=对应终点B ，试计算∫+−L xdy ydx 。（10分） 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z −−=与平面0=z 围成，其中0>a ，Σ为Ω的

表面外侧，且假定Ω的体积V 已知，计算：

∫∫Σ=+−.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。（10分）

七、 函数),(y x z z =由0),(=z y

y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。

（12分） 八、 计算∫∫∫Ω

+,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。（12分）

九、 已知级数

∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =，试写出该级数，并求其和，且判断级数∑∞=1n n tgU

的敛散性。（12分）

十、 设)(x f 连续，证明∫∫∫−−=−A

A D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(，其中A 为正常数。D ：2||,2||A y A x ≤≤

。（8分）