高中数学《古典概型

高中数学《古典概型-考点分析》文字素材3 新人教b版必修3

古典概型是一种特殊的概率摸型．解答此类问题应注意以下几点： 1.理解古典概型的两个特征：（1)试验的所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．只有同时具备这两个特征时的概率模型才是古典概型;2.古典概型的概率计算公式p(a)=

a包含的基本事件个数总的基本事件个数

(m)(n)

; 3.对于公式中事件a包含的基本事件个数．及总的基

本事件个数n的计算方法：（1）问题比较简单的、个数比较少的可用列举法按规律全部列出；（2）当试验的结果比较多时，可以用排列组合解决m．n的值. 4.要善于把一些实际问题转化为古典概型．下面就古典概型的常考题型举例分析如下：考点一、对古典概型的概念辨析

古典概型是概率学中非常重要的概念，但有不少同学对概念理解不深刻，误把许多不

是古典概型的事件看作古典概型。其实古典概型必须具备下面两个条件：

（1）实验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。

当我们遇到一个事件时，可以用这两条法则来衡量它是否为古典概型。例1.下列概率模型中有几个是古典概型？

a.从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；

b.向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；

c.从1，2，3，?，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率。解：a不是古典概型，因为区间[1，10]中的有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，因此有无限多个基本事件，与古典概型定义中“基本事件只有有限个”矛盾。

b不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每个基本事件出现的可能性相等”矛盾。

c是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的（100个），而且每个整数被抽到的可能性相等。

例1.一个口袋内装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：

（l）基本事件总数．

(2)事件“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？

(3)摸出2个黑球的概率是多少？

解：(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6.

(2)事件“从3个黑球中摸出2个球”=｛（黑1，黑2)，（黑2，黑3），（黑1，黑3）｝，共3个基本事件．

(3)基本事件总数m＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n=3.故p?【反思领悟】在古典概型下,每一个基本事件出现的概率均为是要找出事件p(a)=

a

所包含的基本事件的个数

(m)(n)

1n

36?12

.

，因此要求p(a),关健m.然后套用公式

a包含的基本事件个数总的基本事件个数

求得古典概型的概率．

考点二、古典概型概率公式的应用

例2.某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：

（1）该车在某停车点停车；

（2）停车的次数不少于2次；（3）恰好停车2次.

解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有3=6561（个）基本事件.

（1）记“该车在某停车点停车”为事件a，事件a发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件a，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”.

∵p（a）=

23

88

8

=

2566561

，

2566561

∴p（a）=1－p（a）=1－=

63056561

.

（2）记“停车的次数不少于2次”为事件b，则“停车次数恰好1次”为事件b，则p

c33

81

（b）=1－p（b）=1－=1－

36561

=

21862187

.

（3）记“恰好停车2次”为事件c，事件c发生就是8名职工在其中2个停车点下车，

2237每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件数为c3（c18+c8+c8+?+c8）=3

×（28－2）=3×254，于是p（c）=

3?2546561

=

2542187

.

解后反思: （1)运用古典概型的概率公式解题时，需确定全部的基本事件的个数，及所求概率对应的基本事件数，同时可运用排列、组合的知识计算．(2)注意要恰当地进行分类，分类时应不重不漏．(3)分清问题是“放回”还是“不放回”；是“有序”还是“无序”．

考点三、概率的一般加法公式

例3.某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，求：（1）他恰好第三次打开房门的概率是多少？ (2）三次内打开房门的概率是多少？

(3)如果5把钥匙中有2把是该房门的钥匙，那么三次内打开房门的概

率是多少？分析：要解决上述问题，应首先分析上述事件是等可能事件，还是互斤事件或对立亨件．解：(1)记“恰好第3次打开房门”为事件a.

解法1：由于5把钥匙的排列是随机的．因此哪一次打开房门的概率是相等的，因此p(a1）＝

15

.

解法2：也可以只考虑第3次开门的钥匙情况，第三次开门的钥匙中，所有5把都有可能被拿到（等可能），而其中打开房门的只有一把，所以第3次门被打开的概率是.

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(2)记“三次内打开房门”为事件a2, a2可以看成三个事件b1,b2, b3的和，即a2=b1+b2+b3 .

其中b1＝“第1次就把房门打开”．b2=“第2次把房门打开”,b3＝“第3次把房门打开”. 显然p(b1)=p(b2)=p(b3)=