高中数学：几何概型 (6)

设事件 A 为两人同乘一辆车，
y
事件 A 构成区域 A= x, y x y 0.25 , 2
A
即图中的阴影部分，面积为
S
A
7 16
．
这是一个几何概型，P A
SA S
7 16
1
O
1
2x
方法小结1：
1、先对问题进行判断，基本事件是否等可能， 确定概率模型；
2、通过观察，寻找所有基本事件构成的区域Ω， 再确定随机事件A构成的区域A；
乙到达时间
x0, y0
甲到达时间
x y 0.25(小时)
O
1 x0 2 x
二、碰面问题探究：
例 1：甲、乙两人相约于下午 1:00—2:00 之间 到某车站乘车外出，他们到达车站的时间是随机的， 两人约定先到者等候另一个人 15 分钟，过时即可 自行乘车离去，求两人一起乘车的概率
y
2
x
如何表示 x y 0.25 ？ 1
自行乘车离去，求两人一起乘车的概率
思考：
y
1.甲、乙到达时间是否互相影响？2 甲、乙到达时间是否等可能？
乙到达时间
2.问题中基本事件是什么？
3.两人如何才能一起乘车？
1
甲到达时间
O
1
2x
二、碰面问题探究：
例 1：甲、乙两人相约于下午 1:00—2:00 之间
到某车站乘车外出，他们到达车站的时间是随机的，
3、利用相应的几何概型概率公式计算.
例 1 变式：
甲、乙两人相约于下午 1:00—2:00 之间
到某车站乘车，他们到达车站时间是随机的，
并且在 1:00—2:00 之间有四班客车开出，
开车时间分别是 1:15，1:30，1:45，2:00，
解：若设两甲到人达约时刻定为先x到，乙达到的达时人刻见为车y，便乘，
总结：
1、理解几何概型的基本概念； 2、根据问题建立相应的数学模型，
用数学语言、图形语言表述条件； 3、Monte Carlo方法是以概率统计理论为指导
的一类非常重要的数值计算方法，在当今的 金融工程学，宏观经济学，计算物理学等领 域应用非常广泛。
谢谢！
两人约定先到者等候另一个人 15 分钟，过时即可
自行乘车离去，求两人一起乘车的概率
思考：
y
1.甲、乙到达时间是否互相影响2？
21.甲问 x题、中乙2,基到1 本达y事时 件间2 是是什否么等？可能？y0
3每.两组人(x如0,何y0)才为能一一个起基乘本车事？件 1
甲、乙同车 到达时间差在 15 分钟以内
构成事件A 的区域长度面积或体积 试验全部结果构成的区域长度 面积或体积
mA P（ A）
m
m(A)表示问题对应集 合的某种度量，通常 代表：长度、面积、 体积、角度等…
二、碰面问题探究：
例 1：甲、乙两人相约于下午 1:00—2:00 之间
到某车站乘车外出，他们到达车站的时间是随机的，
两人约定先到者等候另一个人 15 分钟，过时即可
对两类几何概型问题的 进一步探究
一、温故：
• 如果每个事件发生的概率只与构成该 事件区域的长度（面积或体积）成比 例，则称这样的概率模型为几何概型.
• 几何概型有哪两个基本特征？
（1）可能出现的结果有无限多个； （2）每个结果发生的可能性相等.
一般地，在几何概型中事件A发生的概率 计算公式为：
P A
x0, y0
O
1y 2 x
二、碰面问题探究：
例 1：甲、乙两人相约于下午 1:00—2:00 之间
到某车站乘车外出，他们到达车站的时间是随机的，
两人约定先到者等候另一个人 15 分钟，过时即可
解：两自人行到乘达时车间离的去所，有求情况两构人成一正起方乘形区车域的：概率
= x, y 1 x 2,1 x 2，面积为 S 1，
可得求1≤两x≤人2，能1≤y乘≤2，同一班车的概率.y
记事件 A 为：甲乙同乘一辆车，则：
★A 如乘果一x, y有班11三车n 个xy个的11人..人概2255等或等率车11车是..2255多 xx 少 11..5？5或
2
1.75 1.5
1.25Biblioteka 1.5 1.5x y1.75 1.75
或
1.75 1.75
y 轴围成的封闭图形的概率.
D
C
A
B
用Geogebra实现随机模拟程序框图
(2)生成基本事件对应 区域中的随机数
(1)设置随机投点次数
(4)估算概率(面积)
(3)模拟并统计目标 区域中的点数
小组探究：开局一个圆，求 π 靠投点
请结合有关面积的几何概型问题， 设计一个估算圆周率 π 的方法， 并尝试用图形计算器实现随机模拟.
x y
2 2
1
故 P A
SA S
1 4
.
O
1 2 x 1.25 1.5 1.75
例 1 变式 2： 在上一题的条件下， 若两人约定最多等待一班车， 求两人能乘同一班车的概率
y
2
1.75 1.5 1.25
1
O
1 2 x 1.25 1.5 1.75
方法小结2：
1.对于较为复杂的问题，一般先根据问题建立 相应的数学模型，用数学语言表述条件；
2.解决问题的关键，在于确定问题中的基本事件 是什么，如何将事件表示在相应的一维、二维 或三维空间中？
进一步思考：
几何概型中还有其他求概率的方法吗？
三、利用随机模拟近似计算面积：
例 2：计向算下抛图物正线方形y AxB2C与D直中线任y投一1个点， 求该点及落y入轴抛围物成线的y封闭x图2 形与的直面线积y S. 1及