和差公式二倍角公式及半角公式

三角函数公式习题

一 基础知识

1．两角和与差的三角函数

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；

βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

。

2．二倍角公式

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

2

2tan tan 21tan α

αα

=

-。 3.半角公式：

22cos 1sin 2αα-=

,2

2cos 1cos 2α

α+=， 2

sin 2cos 12

α

α=-，2

cos 2cos 12

α

α=+

sin

2

α

=cos 2α=

sin 1cos tan

2

1cos sin α

αα

αα

-===+

4．.掌握“弦化切”的二倍角公式

α

α

α2tan 1tan 22sin +=

ααα22tan 1tan 12cos +-= 5辅助角公式

()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，

sin cos ϕϕ=

=

其中

cos cos 2cos

cos

2

2

αβ

αβ

αβ+-+=, cos cos 2sin

sin

2

2

αβ

αβ

αβ+--=-

二 基本题型

题型一 三角函数求值

1 sin163°sin223°+sin253°sin313°

2 (cos

12

π-sin 12

π) (cos 12

π＋sin 12

π)

3

1

40cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒

4．0

tan 20tan 4020tan 40++ 5. 求=11

5cos 114cos 113cos 112cos

11

cos

πππππ

题型二 三角函数式化简

1.22sin2cos 1cos2cos2αααα

⋅+

2. )2

4(sin 2)2cos 2(sin

22α-π+α+α 3 2cos 2

α－1

2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α 4

1+sin2cos21sin2cos2αα

αα

-++

题型三 三角形中的求值问题 1在△ABC 中，若sinA=

55,sinB=10

10,且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 2．在△ABC 中，已知cos(π4＋A )＝3

5

，求cos2A 的值．

3在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 2

2C

A +-cos2B=2

7,求角B 的度数. 4 在△ABC 中，已知的值求sinC ,135

B c ,53cosA ==

os ； 5在ABC ∆中，已知35

sin ,cos ,513A B ==

求cos C 的值； 6在ABC ∆中，已知312

sin ,cos ,513

A B ==

求cos C 的值； 题型四 角的代换与提斜边的应用 1已知

αβαβαπαβπ

sin2,5

3

)(sin ,1312)(cos ,432

求-=+=-<

<<．

2若均βα,为锐角，3

sin ),cos 55

ααββ=

+=求的值；

3若x 是一个三角形的最小内角，求函数sin cos y x x =-的值域； 4 已知3sin cos 23x x a +=-，求a 的取值范围； 题型四 三角恒等变换的综合应用

1 .如果α∈(π2，π)，且sin α＝45，那么sin(α＋π4)＋cos(α＋π

4

)＝ ( )

A.

425 B ．－425 C.325 D ．－32

5

2．已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π

3

＋2α)的值是 ( )

A ．－79

B ．－13 C.13 D.7

9

3.函数y ＝2cos 2

x 的一个单调递增区间是 ( )

A ．(－π4，π4)

B ．(0，π2)

C ．(π4，3π4)

D ．(π

2

，π)

4.若0≤α≤2π，sin α＞3cos α，则α的取值范围是 ( )

A ．(π3，π2)

B ．(π3，π)

C ．(π3，4π3)

D ．(π3，3π

2

)

5．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )·si n 2

x ，x ∈R，则f (x )是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π

2的偶函数

6．已知0<α<π，sin α＋cos α＝1

2

，则

cos2αsin α－

π

4

的值为 ( )

A ．－

72 B ．－22 C.22 D.72

7. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（ ）

A. 6π

-

B.

6π C. 65π D. 6

5π

-

8 ．若(0,)απ∈，且1

cos sin 3

αα+=-，则cos2α=( )

A ．

917 B ．17 C ．17 D ．317

9．已知23

sin

cos

,2

2

3

θ

θ

+=

那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。