统计学数字特征

0 ， 即
散型随机变量， 级数 ( xk E( X ))2 pk 收敛， 或 方 对连续型随机变量，无穷积分 差 2 ( x E( X )) f ( x)dx 绝对收敛，则此期望成为

3. 4. 5.
D(CX ) C 2 D( X）
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E (( X E ( X ))(Y E (Y ))
连续型随机变量：
E ( X E ( X ))k ( x )k f ( x)dx


特别Βιβλιοθήκη Baidu，当 k 2 时，二阶中心即是方差。
数 值 特 征
定义
性质
X 的分布律为 P{X xk ,} pk ， 若级数 xk pk

离 散 型 期 望
绝对收敛， 即 | xk | pk | xk | pk 0 则
E ( X ) : xk pk x1 p1 x2 p2 xn pn
k k 1 k N


k 1
1. 常数的期望是其本身，即
E(C ) C C const
2. 数乘的传递性分别由级数和积分的传 递性决定，即
E (CX ) CE ( X ) 。
称为离散型随机变量 X 的数学期望或算数期 望。 连续性随机变量 X 的概率密度函数 f X ( x) ，若
X 与 Y 不相关。
随机变量 X ， Y 的相关系数定义为 相 关 系 数
( X , Y ) :

Cov( X , Y ) D( X ) D(Y ) Cov( X , Y )
2. X 与 Y 独立，则相关系数 ( X , Y ) 0 。 即随机变量独立是不相关的充分 （而非 必要）条件。 3. 1 ( X , Y ) 1 。
随机变量 X 的方差，记为
D( X ) Var ( X ) E( X E( X ))2 。
当且仅当 X 与 Y 相互独立时
D( X Y ) D( X ) D(Y )
1. 随机变量 X 的方差即是 X 与自身的协 方差，即 D( X ) Cov( X , X ) 2. 对称性 Cov( X , Y ) Cov(Y , X ) 随机变量 X ， Y 的离差（与各自数学期望的差）乘 3. 随机变量和的方差可用协方差简写为 协 积的数学期望称为 X 与 Y 的协方差，记为 平方和的形式，即 方 Cov( X , Y ) E ( X E ( X ))(Y E (Y )) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X , Y ) 差 E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 4. 线性性质为
Cov(aX b, cY d ) acCov( X , Y )
5. 分配率为
Cov( X1 X 2 , Y ) Cov( X1, Y ) Cov( X 2 , Y )
6. 当 X 与 Y 相互独立时，协方差为 0 1. 相 关 系 数 或 协 方 差 为 0 ， 即 称 ( X , Y ) 0 Cov( X , Y ) 0 时，
E( XY ) E( X ) E (Y )
为连续型随机变量 X 的数学期望或算数期望。 1.
X 为随机变量，若期望 E( X E( X ))2 存在，即对离 2.
方差计算式：D( X ) E( X 2 ) E( X )2 。 常 数 的 方 差 为
D(C ) 0 C const

(X k )


xk f ( x)dx,
特别地，当 k 1 时，一阶原点矩即是数学期望。 随机变量 X 与其数学期望（作为中心）差的 k 次方 的数学期望
E( X E( X ))k , E | X E( X ) |k 称为随机变量的 k 阶中心距，即 中 离散型随机变量： 心 E ( X E ( X ))k ( xi E ( X ))k pi 矩 i
4.
1 2
相关系数为无量纲的数。
| ( X , Y ) | 1 的充要条件是 X 与 Y （以
概率 1）存在线性关系： Y aX b ， 且 a 0 时 ( X ,Y ) 1 ， a 0 时
( X , Y ) 1 。
随机变量 X 的 k 次方的数学期望
vk : E( X k ), E | X |k
称为 X 的 k 阶原点矩。
k : E(| X | )
k
称为 X 的 k 阶绝对原点矩 原 对于离散和连续型随机变量，其具体计算公式分别 点 是： 矩 离散型随机变量：
E( X k ) xik pi ,
连续型随机变量：
E(| X |k ) | xi |k pi
E (| X |k ) | x k | f ( x)dx
连 无穷积分 | x | f X ( x)dx 则称 续 性 E ( X ) : x f X ( x)dx
3. 和的分配率， 即 E( X Y ) E( X ) E (Y )
4. 随机变量 X 与 Y 相互独立， 则积的期望
等 于 各 自 期 望 的 乘 积 ， 即