《“数学化” 小学数学教学的回归》文献综述

《“数学化”----小学数学教学的回归》文献综述

默认分类2007-11-24 15:29:28 阅读619 评论0 字号：大中小订阅

一、国外相关领域的研究现状和趋势：

笔者主要通过检索国内翻译的外文资料及书籍等途径进行查阅，发现国外对于“数学化”教育思想的研究起源于人们对于数学本质特征的认识，且这样的认识在不断变化与深化，现概述如下：

（一）对数学本质特征的认识深化：

数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识（恩格斯），又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界

的直接抽象，也可以来自人类思维的劳动创造。

从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。”欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密

切。

随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。

对于上述关于数学本质特征的看法，我们应当以历史的眼光来分析，实际上，对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践，因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，这样，人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特

征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。

（二）组成数学整体是一个“思维的实验过程”，即“数学化”思想：

事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G. Poliva，1888--1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的，”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊（Courani Robbins）也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋

斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”

1、“数学化”思想的首次提出：

“数学化”思想是荷兰著名数学教育汉斯·弗赖登塔尔于20世纪70年代在他的巨著《作为教育任务的

数学》（1973年）一书中首次提出的。

（1）“数学化”的定义：

弗赖登塔尔认为，人们在观察，认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫做数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。弗赖登塔尔教授进一步指出：“毫无疑问，学生应当学习数学化；自然先在最低层次，对非数学事物进行数学化以保证数学的应用，接着还应进到下一层次，至少能对数学事物进行局部组织…… 应当懂得，没有数学化就没有数学，没有公理化就没有公理系，没有形式化也就没有形式体系……因此数学教学必须通过数学化来进行”，并且把“数学化”作为数学教学的基本原则之一。[1]

（2）“数学化”的内涵：

弗赖登塔尔认为，数学化包含两个层次：①对非数学内容进行数学化，以保证数学的应用性；②对

数学内容进行局部的组织。[2]

2、“数学化”过程中区分出水平和垂直两种成分：

特莱弗斯（Treffers）和哥弗里(Goffree)等人进一步研究认为，可在“数学化”过程中区分出水平和垂直两种成分。[3]其中水平成分是将问题运用数学的方式来陈述，即由现实问题到数学问题的转化，是把情景问题表述为数学问题的过程。大体包括以下内容：确定情景问题中包含的数学成分；建立数学成分与已知的数学模型之间的联系；通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化；找出蕴涵其中的关系和规则；考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现；作出形式化的表述等。垂直的数学化是运用数学工具着手处理，即在数学范畴内对已知符号化的问题作进一步抽象化处理的数学化问题，是从“符号”到“概念”的转化。垂直数学化大体包括以下内容：用公式表示关系；对规则作出证明；尝试运用不同的数学模型；对数学模型进行调整和加工；考虑不同的数学模型的结合和形成统一的新模型；对得到新的数学概念作出公式化的

精确表述；一般化等。[4]

3、理论和实践中概括出学生几何思维发展的五种水平：

荷兰的范·希尔（van Hiele）夫妇在理论和实践两个方面进行了探索和实验，概括出学生几何思维发

展的五种水平，即：

0—水平：直观（Visualization）；1—水平：分析（Analysis）；2—水平：抽象（Abstraction）；3—水平：演绎（Deduction）；4—水平：严谨（Rigor）。这为如何通过数学化途径进行数学教学提供一个很

好的借鉴。

4、斯托利亚尔对数学活动的描述：

前苏联的数学教育家斯托利亚尔指出，数学活动可看作是按下述模式进行的思维活动：（1）“经验材料的数学组织化”，即借助于观察、试验、归纳、类比、概括积累事实材料；（2）“数学材料的逻辑组织化”，由积累的材料中抽象出原始概念和公理体系并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论；（3）“数学理论的应用”即应用理论。其中，数学活动的第一和第三两个阶段（问题的数学化和理论的应用）的重要性并不低于第二阶段（建立合乎逻辑的理论体系）。在科研中如此，在教学中更是如此。纯演绎地进行的教学，按法国数学家绍盖所说，是“无结果且不完全的，教学必须有使大脑建立新结构并由一个思维水平向令一个

思维水平发展的阶段”。[5]

（三）对“数学”更加广义、多面化的理解是不断完善的补充过程，但“数学化”为其核心：

有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”。这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解

某些领域中的对象、现象、关系和机制等。”

前苏联教育家斯托利亚在《数学教育学》一书中指出：数学教学是思维活动的教学，不是思维活动结果的教学。数学教学是具有数学思维特点的智力活动，其任务是培养学生的思维能力。数学化过程和数

学知识是紧密相连的。从知识形成看，知识是经过人们的实践并经过大脑加工形成的，每个知识除包含知识外，还凝聚着形成知识所经历的思维方法和思维形式，也就是说形成知识的同时凝聚着思维因素。从知识学习过程看，我们在学习知识的同时不仅获得了知识，也实践了获得知识的思维方法，在学习知识的过

程中发展了思维能力。

英国在中小学数学教育目的中提出：“使用和应用数学、数、代数、形体和空间、数据处理”；美国小学数学教育目的则是：课程标准贯彻一条始终不变的主线——学习和应用数学；日本更是提出了：“培养学生自觉地把数学应用于日常生活的态度”等等。20世纪80年代以来，美国率先提出了“问题解决”这一响亮的口号，然而“问题解决”更多关注的是解决已经提出的问题，隶属于“数学化的垂直成分”，对如何从现实生活中提炼、加工、抽象、概括出数学问题则较少涉及。

二、国内的研究现状及趋势

1987年弗赖登塔尔应邀到华东师范大学和北京讲学，1992年他的巨著《作为教育任务的数学》中译本出版，弗赖登塔尔的教育理念逐渐被我国数学教育界所认同和接受。

我国在2002年《数学课程标准》（实验稿）的基本理念中明确提出：“通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴涵其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹”，强调小学数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强。

与国外相比，我国关于小学数学“数学化”教育思想的研究起步较晚，但已取得了一些研究成果并散见于各类教育学的著作当中，但更多见于中国期刊网、google网中。这类文章中案例较为丰富，多为小学一线教师所写。综合目前所掌握的资料，我国对“数学化”思想的研究主要集中在如下方面：

（一）是对培养小学生实际问题的“数学化”能力具有重大意义的肯定：

有利于“发展学生数学应用意识”，数学中的每一个概念、公式、定理、法则等都是实际问题数学化的结果，数学就是常识的系统化。在《数学课程标准》的框架设想中明确指出：数学“不仅要突出知识的来龙去脉，而且还要为学生创设应用实践的空间，……设立数学与日常生活相联系的‘数学与社会’课程，以及与社会人文科学相联系的专题课程等，从而促进学生在学习和实践的过程中形成和发展数学应用意识”。正如弗赖登塔尔所言：”不要忘记数学在社会中扮演的角色，在过去、现在一直到将来，教数学的教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属于社会的”[6]。因此不该一味追求现代数学中形式变换的花样，而丢掉了数学的应用，“应当在数学与现实的接触点之间寻找联系”[7]。

培养学生数学化能力也是改变数学教学与现实世界之间的严重脱节现象的重要举措。事实证明，只有将数学与它有关的现实世界背景紧密联系在一起，也就是说只有通过数学化的途径来进行数学的教与学，才能使学生获得充满着关系的、富有生命力的数学知识，使他们不仅能理解这些知识，而且能够应用。教学实践也表明，在教学的初级阶段，给出内容丰富并且容易理解的事实根据，比给出形式的演绎证明，更能保证深入地牢固掌握学习材料．过早地引进容易出现死记硬背的演绎的证明，不仅无助于学生的逻辑思

维的发展，相反地会阻碍学生的这种发展。

（二）对“数学化”思想、“数学化”能力的界定：

纵观有关数学教育的研究成果，20世纪80年代以来，人们不仅认识到数学教育的技术功能，而且重视了它的文化价值；不仅重视数学的科学功能，而且关注数学在多方面的应用价值。爱因斯坦曾指出：“提

出一个问题比解决一个问题更重要。因为解决问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看待旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”因此“数学化的水平成分”更富有现实意义。因为数学知识与数学能力、数学思想方法以及在数学学习中获得的自信、科学的态度、理性精神相比，后者显然更为重要。

20世纪90年代以来蓬勃发展的”数学建模”，可以看成是对“问题解决”的一种超越。数学建模(Mathematical Modelling) 是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。“数学建模”由建模准备、作假设、建立模型、模型求解、讨论与验证和模型应用等若干环节组成。学习数学建模的重要意义在于：(1)体会数学的应用价值，培养数学的应用意识；(2)增强数学学习兴趣，学会团结合作，提高分析和解决问题的能力；(3)知道数学知识的发生过程，培养数学创造能力。这一过程涵概了数学化的水平和垂直两种成分。然而高水准的“数学建模”需要花费学习者大量的时间，具备宽厚的数学知识以及许多人的通力合作，对小学生来讲可谓空中楼阁，望尘莫及。

另外，刘兼先生在《21世纪中国数学教育展望③》一书中率先提出了“大众数学”的口号，即“数学大众化，为大众所掌握、所利用，成为人们适应社会生活和促进社会发展的有力武器，成为大众文化的一个

组成部分”。

在此基础上，把小学数学“数学化能力”厘定为：从学生已有的生活经验和知识背景出发，让其亲身经历由实际问题抽象出数学模型，并运用已经掌握的数学知识、数学思想和数学方法去解决这一数学问题的过程，使学生熟悉“数学化”的基本方法和途径。同时学会对已经学习的数学知识进行“数学化”组织，建构完善的数学认知结构的简单方法与原理。从而既发展其数学应用意识又培养其数学组织建构能力，并使学生在头脑中永远铭记“数学化”这一终身受用的“工具”，为其一生的发展奠定坚实的数学文化底蕴。

（三）正视目前出“生活味”过浓的数学：

小学数学课堂教学只是单纯地研究学生的实际生活，过分淡化对数学知识的研究，小学生对事物之间的关系和规律理解不深、把握不准，不能把生活现象上升到数学的高度，严重影响了学生对数学知识的理解和掌握，阻碍了小学生的进一步发展，这就是“生活味”过浓的教学。

当前，小学数学教学注重应用，既讲来源，又谈用处，大大地克服了过去“掐头去尾烧中段”脱离实际的倾向，成效是明显的。但是反对“只烧中段”，而不是不要“烧中段”；反对过度的形式化，而不是不要形式化，数学的形式化是数学固有的特点。我们既要注重应用、返朴归真的一面，又要注重抽象概括、形式推理的一面，引导小学生抽象出数学问题，提炼出数学模型，利用其已有的知识经验，通过数学思考解决问题。所以，重要的数学概念、规律应加以概括，常见的数量关系在小学生理解的基础上仍要揭示，在重视直觉思维的同时，还要注重培养形象思维和初步的逻辑思维，以提高小学生的数学素养。

1．“生活味”可以“敲门”：

就相关内容的教学而言，特定情境的设置不应仅仅起到“敲门砖”的作用，特别是，仅仅有益于调动学生的学习积极性，而还应当在课程的进一步开展中自始至终发挥一定的导向作用。就当前在小学数学教学中普遍采用的“情境设置”而言，关键就在于如何由所设置的情境引出恰当的问题，从而促使学生积极地去进行探索──后者正是围绕所说的问题进行的，从而就有着明确的目的性。

2．不仅仅“生活味”能“敲门”：

数学，对小学生来说，是他们自己生活经验中对数学现象的一种“解读”。把数学教学密切联系他们的生活实际，利用他们喜闻乐见的素材唤起其原有的经验，学起来必然亲切、实在、有趣、易懂。

当然，我们不禁还是要问：“数学问题是不是都必须从小学生的生活实际提出？”“教三角形内角和怎样从生活实际引入？”“循环小数又怎样联系学生的生活实际？”……正由于此，有的课已上了15分钟，还停留在大量的情境渲染之中，丝毫没有涉及数学本身的内容，教学效果可想而知。应该看到，小学生的数学学习是一种不断提出问题、探索问题和解决问题的思维过程。问题是数学的心脏，数学问题来自两个方面，有来自数学外部的（即现实的生活实际），也有来自数学内部的。无论来自外部或内部，只要能造成学生的认知矛盾，都能引起小学生的内在学习动机，就会出现发展，都是有价值的。看问题必须全面，不能绝

对化。教学是科学，一切要从实际出发。

（四）“生活化”和“数学化”本身并非矛盾冲突，从中寻求平衡点，有效“数学化”：

小学数学教学中把握好“生活味”与“数学味”两者的协调，应该使数学教学既来源于生活、应用于生活，

又不失数学本身应有的味道。

1、“数学味”需要“生活味”的调和

小学数学与生活有着密切联系，现实生活是研究数学的基础，而数学则是对生活现象、关系和规律的提炼、升华。数学正是由于有了生活才有了不绝的研究源泉，生活正是有了数学才会变得更加绚丽多彩。教师在教学时有必要让小学生经历知识的发生、发展的过程。教学中，为了帮助小学生理解和掌握数学知识，特别是一些小学生理解有困难的知识，就需要创设一个与知识联系紧密的生活情境来辅助教学，帮助小学生借助已有的生活经验建立思考问题的模型。在此基础上，再引导小学生利用所建立的模型来理解数学知识，进而体验数学、掌握数学、应用数学。至于“数学味”中到底要加多少分量的“生活味”，这就要根据知识的特点和学生的实际水平而定，当学生的基础知识储备不足时，“生活味”过淡不利于学生理解和掌握知识，所以就要多添加一些“调味剂”；当学生已经储备了足够的基础知识，能够用数学的思维来理解和掌握数学知识，“生活味”就要淡一点，否则不但会冲淡数学应用的味道，还会阻碍小学生数学思维的发展。

2、教学中“数学味”要浓于“生活味”

小学数学教学的目的至少包括：第一，掌握必须的数学基础知识，为学习更高层次的数学知识储备能量，所以，理解和掌握数学基础知识和基本技能是数学教学的首要目的；第二，为了解决实际生活中的一些问题，更好地为我们的生活和生产服务；第三，通过数学知识的学习和应用，培养学生的思维能力、创新意识和创造能力，同时使学生的情感、态度与价值观得到发展。所以，只注重解决实际生活中的问题，

不重视小学数学基础知识的教学也是行不通的。

数学毕竟不是生活经验的”照片”，而是对生活经验进行重组、加工以后的思维模型，它反映的是事物之间的关系和规律，它来源于生活而又远远高于生活，它是一门具有很高应用价值的科学，而生活仅仅是生活经验而已。所以，创设生活情境是作为提高数学课堂教学效率的一种手段，是为了让学生更好地理解和掌握数学知识，而不是数学课堂教学所追求的最终目的，这就注定了数学教学中的“数学味”要浓于“生活味”。“数学味”是数学课堂教学的原味，“生活味”是作为烹饪数学这道大餐的调味剂，“生活味”是为“数学味”

服务的。

3、逐步用“数学味”淡化“生活味”

一般情况下，越是低级的数学知识，与生活联系得越紧密，因此教师在教学中要通过创设一些学生熟悉的生活情境，从实际生活中发现问题、提出问题，把数学知识与小学生的生活经验相联系，充分调动学生的已有生活经验来思考问题、解决问题，帮助小学生理解和掌握数学知识，所以低年级的数学教学“生活味”比较浓一点。相反，越是高级的数学知识越远离实际生活，更要从数学内部引入，用数学的思想、方法去理解和掌握这些知识。随着学生年龄的增长、知识储备的增加、思维能力的提高，应该引导学生逐步学会用数学的思维方式来发现问题、思考问题、解决问题，数学教学逐渐用“数学味”淡化“生活味”。