高考数学一轮复习 第11章 概率与统计11.3几何概型教学案 苏教版
高考数学一轮复习 11.3 几何概型精品教学案(教师版)新人教版
2013年高考数学一轮复习精品教学案11.3 几何概型（新课标人教版，教师版）1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，一般以实际应用题的形式考查，又经常与其它知识结合，在考查概率等基础知识的同时，考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率，或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．【例题精析】考点一 与长度、角度有关的几何概型例1.（2009年高考山东卷理科11） 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为（ ） A. 31 B.π2 C.21 D. 32 【答案】A【解析】当10cos 22xπ<<时，在区间[]1,1-上，只有223x πππ-<<-或322x πππ<<，即22(1,)(,1)33x ∈--，根据几何概型的计算方法，这个概率值是13.【名师点睛】本小题主要考查与三角函数结合的有关长度的几何概型的计算，熟练基本概念是解决本类问题的关键.【变式训练】1.点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．考点二 与面积、体积有关的几何概型例2. (2012年华东师大附中模拟)设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【变式训练】2.(2012年高考北京卷文科3)设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【易错专区】问题：综合应用例.(2012年高考陕西卷理科10)右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）（A ） 1000N P =（B ） 41000N P = （C ） 1000M P = （D ） 41000M P =1.（2009年高考山东卷文科第11题）在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为（ ） A.31 B.π2 C.21 D. 32 【答案】A 【解析】当10cos 2x <<时，在区间[,]22ππ-上，只有23x ππ-<<-或32x ππ<<，根据几何概型的计算方法，这个概率值是13. 2. (湖南省十二校2011届高三第二次联考) 在区间[-3，5]上随机取一个数x ，则[1，3]的概率为（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】本题考查几何概型,所求的概率为2184=,故选C. 3．（2010年高考湖南卷文科11）在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 。
2021高考数学一轮复习统考 第11章 概率 第3讲 几何概型学案(含解析)北师大版
第3讲几何概型基础知识整合1．几何概型（1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的错误!长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．（2）几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P(A）＝错误!错误!.几种常见的几何概型(1）与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3）与体积有关的几何概型,可借助空间几何体的体积公式解答问题．1．(2019·大连模拟)在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是( )A.错误!B。
错误! C.错误!D。
错误!答案B解析将木棒三等分，当P位于中间一段(不包括两个三等分点)时，点P到木棒两端点的距离都大于2 m，∴P＝错误!＝错误!。
2．（2019·湖南长沙统一检测)某人午觉醒来，发现表停了,他打开收音机，想听电台的整点报时,则他等待的时间不多于5分钟的概率为（)A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!答案B解析设距离电台的整点报时还有x分钟，由题意可得，0≤x≤60，等待的时间不多于5分钟的概率为P＝错误!＝错误!,故选B.3．（2019·湖南株洲二模)如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点,若落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3335,6665，则图形Ω面积的估计值为( )A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!答案C解析设图形Ω的面积为S，则由几何概型及题意，得错误!＝错误!≈错误!，所以S≈错误!＝0.3335≈错误!，即图形Ω面积的估计值为错误!.故选C.4．(2019·衡水中学调研)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O 内的概率是( )A.错误!B.错误!C。
2023版高考数学一轮总复习11-1随机事件古典概型与几何概型课件
Ω的几何度量
考法一 古典概型概率的求法 1.求解古典概型概率的步骤
2.基本事件个数的确定方法 1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. 2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标 法.
3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. 4)运用排列组合知识计算.
A39 7
答案 D
创新 生活中的概率问题 1.概率问题常与生活实际或数学文化相结合,主要考查学生的逻辑推 理、数据分析、数学抽象等核心素养. 2.解决这类问题的关键:①认真审题,把握信息;②弄清提供的问题情境的 意义;③抽象转化成数学问题,应用熟悉的数学知识解决.
例1 (2021湖南湘潭一模,7)德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习 之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的.最初遗忘速度很快,以后逐 渐减慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”.他用无意义音节(由若干音 节字母组成,能够读出,但无内容意义,即不是词的音节)作为记忆材料,用 节省法计算保持和遗忘的数量,并根据试验结果绘成描述遗忘进程的曲 线,即著名的艾宾浩斯遗忘曲线(如图所示).若一名学生背了100个英语单 词,一天后,该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词,以频率代 替概率,不考虑其他因素,则该学生恰有1个单词不会的概率大约为 ( )
m=5+4+3+2+1=15,则取到的整数十位数字比个位数字大的概率P= m =15
n 25
=3.
5
答案 B
考法二 几何概型概率的求法
例2 (2021辽宁辽南协作体联考,9)1876年4月1日,加菲尔德在《新英格兰 教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法,即在如图的直角梯形 ABCD中,利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之 和等于直角梯形的面积”,可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲 尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、易 懂的证明,就把这一证明方法称为“总统证法”.如图,设∠ECB=60°,在梯 形ABCD中随机取一点,则此点取自等腰直角△CDE(阴影部分)中的概率 是() A.2(2- 3 ) B.2- 3 C. 3 -1 D.2( 3-1)
高优指导高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型课件 文 北师大版
线AP所,则以射23<线p≤AP1与或线2段≤BpC≤有5,公即共p∈点的23 ,概1 率∪为[2_,5_]_,由__几__何. 概型的概率
计算公式可知所求概率为
1-23
+(5-2) 5
=
23.
(2)因为在∠DAB 内任作射线 AP,则等可能基本事件为“∠DAB
内作射线 AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是∠DAB,当
|x|≤m 的概率为56,则 m=
.
(2)
关闭
(1)由题意知 m>0,
当
m≤2
时,满足|x|≤m
的概率为������-(-������)
4-(-2)
=
2������ 6
=
56,解得
m=52(舍
去).
如当 (2)图如2<所题m示≤图,4,在因时直为,所角射求坐线概标O率系A 为在内���坐,���射6+标2线=系O56内,T解是落得等在m可3=0能3°.分角布的的终,所边以上,O任A作关闭
-11-
思考:如何确定几何概型的概率用长度或角度的比来求?
解题心得:解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和 对象的活动范围.当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线 段长度比计算;当考察对象为线时,一般用角度比计算.
考点1
考点2
考点3 知识方法 易错易混
-12-
对点训练 1 (1)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足
射线 AP 与线段 BC 有公共点时,射线 AP 落在∠CAB 内,区域 h 为∠关闭
C(1A)B23,所以(2)射13 线
AP
与线段
BC
有公共点的概率为∠������������������
高三数学,一轮复习人教A版 , 第十一章 11.3,几何概型 课件
思维升华
求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模 型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的 不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).
跟踪训练1
(1)(2016· 全国乙卷改编)某公司的班车在7：00，8：00，
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取
一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ )
答案 解析
40－15 5 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40 ＝8.
π π 1 (2)在区间[－2， 则 cos x 的值介于 0 到2之间的概率 2]上随机取一个数 x， 1 为____. 3
答案 解析
π π 1 当－2≤x≤2时，由 0≤cos x≤2， π π π π 得－2≤x≤－3或3≤x≤2，
x－2 (2)已知集合A＝{x|－1<x<5}，B＝ x >0 3－x
，在集合A中任取一
1 6 个元素x，则事件“x∈(A∩B)”的概率是___.
8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达 1 发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是___. 2
答案 解析
如图所示，画出时间轴.
小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间 落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过 10分钟，根据 10＋10 1 几何概型得所求概率P＝ . ＝ 40 2
2020届高考数学一轮复习第十一章概率与统计11.1随机事件、古典概型与几何概型课件文
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的 估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值.
200
故P(B)的估计值为0.3. (6分) (3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
(10分) 调查的200名续保人的平均保费为 0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. (12分) 评析 本题考查了频率的求解方法,同时对考生的应用意识及数据处理能力进行了巧妙的考 查,属中档题.
0.99× 4 =0.98.
3.(2017课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4 元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经 验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最 高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月 份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
高考数学(苏教版文)一轮配套学案：几何概型
第3讲几何概型知识梳理1．几何概型若随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点，这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型的两个特点几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．3．几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的测度试验的全部结果所构成的测度.辨析感悟1．对几何概型的理解(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)2．几何概型的计算(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19.(×)(5)(2013·福建卷改编)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为13.(√)[感悟·提升]1．一个区别“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．2．一点提醒 几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的测度(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，如(3).考点一 与长度、角度有关的几何概型【例1】 (1)(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.(2)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．解析 (1)由题意知m ＞0，当m ≤2时，满足|x |≤m 的概率为m －(－m )4－(－2)＝2m 6＝56， 解得m ＝52(舍去)．当2＜m ≤4时，所求概率为m ＋26＝56，∴m ＝3.(2)∵∠B ＝60°，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝75°，在Rt △ADB 中，AD ＝3，∠B ＝60°，∴BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式得P (N )＝30°75°＝25.答案 (1)3 (2)25规律方法 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．【训练1】 (1)(2014·淄博二模)设P 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为________．(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．解析 (1)方程有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为5－25－0＝35. (2)因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域h 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13.答案 (1)35 (2)13考点二 与面积有关的几何概型【例2】 (1)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )________．(2)(2012·北京卷改编)设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________． 解析 (1)豆子落在正方形EFGH 内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH 的边长是2，则正方形EFGH 的面积是2，又圆的面积是π，所以P (A )＝2π.(2)如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.答案 (1)2π (2)4－π4规律方法 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.【训练2】 已知x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎨⎧ 2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为________．解析 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为12×32×1＋12×32×1＝32，则所求概率为322×2＝38. 答案 38考点三 与体积有关的几何概型【例3】 在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．审题路线 画出正方体⇒找出以点O 为中心且到O 点的距离等于1的几何体(球)⇒利用球的体积公式及几何概型的概率公式求解．解析 点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12.答案 1－π12规律方法 很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．【训练3】 如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥MABCD 的体积小于16的概率为________． 解析 当V MABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12. 答案 121．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．教你审题10——几何概型中有关平面几何的“临界点”的探求【典例】 (2013·湖南卷改编)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB ＝________.[审题] 一审条件：在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ；二审过程：如何确定△APB 的最大边是AB ？找出BP ＝AB 与AP ＝AB 的“临界点”；三审结论：要求AD AB ，利用直角三角中的勾股定理找出AD 与AB 的关系式．解析 矩形ABCD 如图所示，在点P 从D 点向C 点运动过程中，DP 在增大，AP 也在增大，而BP 在逐渐减小，当P 点到P 1位置时，BA ＝BP 1，当P 点到P 2位置时，AB ＝AP 2，故点P 在线段P 1P 2上时，△ABP 中边AB 最大，由已知事件发生的概率为12可得P 1P 2＝12CD .在Rt △BCP 1中，BP 21＝916CD 2＋BC 2＝916AB 2＋AD 2＝AB 2. 即AD 2＝716AB 2，所以AD AB ＝74.答案 74[反思感悟] (1)解决有关长度、角度、面积、体积的几何概型问题，关键是动点的轨迹的判断，在“动”中求“静”，也就是找出符合题设条件的“临界点”．(2)此类试题常与平面几何图形、不等式组表示的平面区域、直线与圆等知识综合考查，难度稍大．【自主体验】已知M ：⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，定点A (3,1)，在M 内任取一点P ，使得P A≤2的概率等于________． 解析 如图所示，区域M 是一个边长为2的正方形，其面积为S ＝22＝4；满足P A ≤2的点P 在以点A (3,1)为圆心，2为半径的圆内．如图，作出圆A ，则扇形ABC 的圆心角∠BAC ＝π2，故扇形ABC 的面积S 1＝14×π×(2)2＝π2，S △ABC ＝S 2＝12×AB ×AC ＝12×2×2＝1，所以阴影部分弓形的面积S 3＝S 1－S 2＝π2－1.所以所求事件的概率为P ＝S 3S ＝π2－14＝π－28.答案 π－28基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是________．解析 以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.答案 252．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是________．解析 把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m ，故所求概率为P＝2 4＝1 2.答案1 23．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．解析如图可设A B与AB′的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.答案2 34．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1 000粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为600粒，则可以估计出阴影部分的面积为________．解析设所求的面积为S，由题意，得6001 000＝S5×12，则S＝36.答案365．(2014·长沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A 的距离|P A|≤1的概率为______．解析如图，满足|P A|≤1的点P在如图所示阴影部分运动，则动点P到顶点A的距离|P A|≤1的概率为S阴影S正方形＝14×π×121×1＝π4.答案 π46．(2012·辽宁卷改编)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为________． 解析 设AC ＝x cm,0＜x ＜12，则CB ＝(12－x )cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )＞20，则x 2－12x ＋20＜0，解得2＜x ＜10，所求概率为P ＝10－212＝23. 答案 237．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．解析 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.答案 1278．(2014·淮安模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0至12之间的概率为________．解析 由0≤cos x ≤12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，可得－π2≤x ≤－π3，或π3≤x ≤π2，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为P ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝13. 答案 13二、解答题9．在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？解 1升＝1 000毫升，记事件A ：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”．则P(A)＝101 000＝0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”．则P(B)＝301 000＝0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.10．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax ＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长超过2R的概率为________．解析如图，在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MD＝MC＝2R，当点N不在半圆弧CMD上时，MN＞2R，故所求的概率P(A)＝πR2πR ＝1 2.答案1 22．(2012·湖北卷改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________． 解析 如图，设OA ＝2，S 扇形AOB ＝π，S △OCD ＝12×1×1＝12，S 扇形OCD ＝π4，∴在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率P ＝π－1×2π＝1－2π. 答案 1－2π3．(2014·徐州二模)已知正三棱锥SABC 的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC <12V SABC 的概率是________．解析 三棱锥P ABC 与三棱锥SABC 的底面相同，V P ABC <12V SABC 就是三棱锥P ABC 的高小于三棱锥SABC 的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC 的面积为S ，三棱锥SABC 的高为h ，则所求概率为：P ＝13Sh －13×14S ×12h 13Sh ＝78.答案 78 二、解答题4．设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A ，B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎨⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎨⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎨⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎨⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3，所表示的平面区域为△DEF ， 由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14. 方法强化练——统计与概率 (对应学生用书P305)(建议用时：90分钟)一、填空题1．(2014·石家庄调研)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是________抽样法．解析 总体由差异明显的几部分组成、按比例抽样，为分层抽样． 答案 分层2．(2014·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．解析一次射击不够8环的概率为：1－0.2－0.3－0.1＝0.4.答案0.403．(2012·湖北卷改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：解析数据落在区间[10,40)内的频数为9，样本容量为20，所求频率为920＝0.45.答案0.454．(2014·沈阳模拟)第十二届全运会于2013年8月31日在沈阳举行，运动会期间从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是________．解析记2名来自A大学的志愿者为A1，A2,4名来自B大学的志愿者为B1，B2，B3，B4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15种．其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种．故所求概率为915＝3 5.答案3 55．(2014·南京一中月考)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．解析600×10×(0.030＋0.025＋0.015＋0.010)＝480答案4806．(2014·湖州二模)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是________．解析基本事件有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为410＝2 5.答案2 57．(2014·江西九校联考)在区间[－3,3]上，随机地取两个数x，y，则x－y＞2的概率是________．解析取出的数对(x，y)组成平面区域{(x，y)|－3≤x≤3，－3≤y≤3}，其中x－y＞2表示的区域是图中的阴影部分(如图)，故所求的概率为12×4×46×6＝29.答案2 98．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．解析四个球中任取3个球的方法共有4种，其中恰好成等差数列的有两种：2,3,4和2,4,6，∴P＝24＝1 2.答案 129．(2014·杭州二检)用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，若乙有一次不少于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．解析 显然甲的平均成绩是90分，乙的平均成绩要低于90分，则乙的未记录的成绩不超过97分，90～97共有8个成绩，故满足要求的概率为810＝45. 答案 4510．(2014·深圳二模)在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥62”发生的概率为________．解析因为⎩⎨⎧sin x ＋cos x ≥62，0≤x ≤π，所以⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥320≤x ≤π，，即π12≤x ≤5π12.根据几何概型的计算方法，所以所求的概率为P ＝5π12－π12π＝13. 答案 1311．(2014·泰州一模)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________． 解析 设样本中男生人数为n ，则有n 560＝280560＋420，解得n ＝160.答案 16012．(2014·金丽衢十二校联考)统计某校1 000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，则及格人数是________名．解析 [1－(0.005＋0.015)×10]×1 000＝800. 答案 80013．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________． 解析 令x ＝0得y ＝33－m ，令y ＝0得x ＝3m ＋2，由于m ∈(0,3)，∴S ＝12·33－m ·3m ＋2＝92(3－m )(m ＋2)，由题意，得92(3－m )(m ＋2)<98，解得－1<m <2，由于m ∈(0,3)，∴m ∈(0,2)，故所求的概率为P ＝23. 答案 2314.(2014·广州二模)如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________． 解析 ∵S 扇形＝2×12×12×π4＋14×π×12＝π2， ∴S M ＝12×2×2－S 扇形＝2－π2， ∴所求概率为P ＝2－π22＝1－π4. 答案 1－π4 二、解答题15．(2013·广东卷)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个)5102015(1)(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．解(1)由题意知苹果的样本总数n＝50，在[90,95)的频数是20，∴苹果的重量在[90,95)的频率是2050＝0.4.(2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个，则从重量在[95,100)的苹果中抽取(4－x)个．∵表格中[80,85)，[95,100)的频数分别是5,15，∴5∶15＝x∶(4－x)，解得x＝1.即重量在[80,85)的有1个．(3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在[80,85)中有1个，记为a，重量在[95,100)中有3个，记为b1，b2，b3，任取2个，有ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3共6种不同方法．记基本事件总数为n，则n＝6，其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的事件记为A，事件A包含的基本事件为ab1，ab2，ab3，共3个，由古典概型的概率计算公式得P(A)＝36＝12.16．(2013·安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1－x2的值．解(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意知，30n＝0.05，即n＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x1′，x2′，根据样本茎叶图可知，30(x1′－x2′)＝30x1′－30x2′＝(7－5)＋(50＋13－14)＋(－60＋24－17)＋(－70＋26－33)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x1′－x2′＝0.5.故x1－x2的估计值为0.5分．17．(2013·陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表．(2)在(1)中，若A抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：(2)记从A12312B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝418＝29.18．(2012·湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x 3025y 10结算时间/(分钟/人)1 1.52 2.5 3(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320，P(A2)＝30100＝310，P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7 10.。
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11.3 几何概型
考纲要求
了解几何概型的意义，会求与几何概型相交汇的线性规划、圆及其他图形的概率．
1．几何概型的概念
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一
点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区
域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法
处理的随机试验，称为几何概型．
2．几何概型的特点
(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有______个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的________．
3．几何概型的计算公式
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事
件A，则事件A发生的概率
P(A
)＝d的测度D的测度.
这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形
和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．
1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，
则某人到达路口时看见的是红灯的概率是__________．
2．(2012江苏泰州期末)已知ABCD是半径为2的圆的内接正方形，现在圆的内部随机
取一点P，点P落在正方形ABCD内部的概率为__________．
3．(2012江苏连云港测试卷)设不等式组 0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域
D
内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是__________．
4．已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCDA1B1C1D1内任取点M，点
M在球O
内的概率是__________．
5．已知直线y＝x＋b，b [－2,3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是__________．
古典概型与几何概型的区别是什么？
提示：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本
事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个．
一、与长度、角度有关的几何概型问题
【例1】 (2012江苏南京金陵中学预测卷)设函数f(x)＝x2－3x－4，x [－3,6]，则
对任意x0 [－3,6]，使f(x0)≤0的概率为__________．
方法提炼
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为
点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事
实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际
上是所对的弧长(曲线长)之比．
请做针对训练1
二、与面积有关的几何概型
【例2】 (2012江苏高考名校名师押题卷)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会
面，并约定先到者应等候另一人15分钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是__________．
方法提炼
几何概型的概率计算公式中的“测度”，既包含面积，又包含线段的长度、几何体的体
积等，而且这个“测度”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．
请做针对训练2
三、与体积有关的几何概型
【例3】 在铸铁过程中，经常出现铸件里面混入气泡的情况，但是如果在加工过程中
气泡不暴露在表面，对产品就不会造成影响，否则产品就会不合格．在一个棱长为4 cm的
正方体铸件中不小心混入一个半径为0.1 cm的球形气泡，在加工这个铸件的过程中，如果
将铸件去掉0.5 cm的厚度后产品外皮没有麻眼(即没有露出气泡)，产品就合格，问产品合
格的概率是多少？
方法提炼
解决几何概型问题，当考察对象为点，点的活动范围在空间区域内时，常用体积比计算．
请做针对训练3
从近三年高考试题来看，对几何概型考查较少，属中档题，主要考查基础知识．几何概
型的基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们占据的区域是有限的，根据等可
能性，这些点落在某区域的概率与该区域的测度成正比，而与该区域的位置和形状无关．
1．某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均为每小时一班，此人等车时
间不多于10分钟的概率为________．
2．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则
点Q取自△ABE内部的概率等于__________．
3．已知三棱锥SABC，在三棱锥内任取一点P，使得VPABC＜12VSABC的概率是__________．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
2．(1)无限 (2)可能性相等
基础自测
1.25 解析：以时间的长短进行度量，故P＝3075＝25.
2.2π 解析：利用几何概型计算公式即得．
3.4－π4D 解析：设事件A：点到坐标原点的距离大于2.
如图，P(A)＝S2S＝S－S1S＝4－π4.
4.π6 解析：设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为43π×a23＝
π
6
a3，故M在球O
内的概率为π6a3a3＝π6.
5.25 解析：区域D为区间[－2,3]，d为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故
所求概率P＝25.
考点探究突破
【例1】 59 解析：函数f(x)＝x2－3x－4＝(x＋1)(x－4)，
因此当x∈[－1,4]时，f(x)≤0，
所以对任意x0∈[－3,6]，
使f(x0)≤0的概率为4－－6－－＝59.
【例2】 716 解析：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两
人能够会面的充要条件是|x－y|≤15.
在如图所示的平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，
而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得
P(A
)＝SAS＝602－452602＝3 600－2 0253 600＝716.
所以两人能会面的概率是716.
【例3】 解：记产品合格为事件A，试验的全部结果所构成的区域是棱长为4 cm的
正方体的体积．由条件可以发现要使产品合格，球心距离正方体表面要0.6 cm，所以球心
必须在正方体内的一个棱长为2.8 cm的正方体内部才符合题意，所以构成事件A的区域是
棱长为2.8 cm的正方体的体积，这样产品合格的概率P (A)＝2.8343＝0.343.
演练巩固提升
针对训练
1.16 解析：设A＝{等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A恰好是到站等车
的时刻位于[50,60]这一时间段内，由几何概型的概率公式，得P(A)＝60－5060＝16.
∴所求的概率为16.
2.12 解析：这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为S△ABES矩形ABCD＝
1
2
·|AB|·|AD|
|AB|·|AD|＝12
.
3.78 解析：若VPABC＝12VSABC，则P点到面ABC的距离与S点到面ABC的距离之比为12.
如图所示，A′，B′，C′分别为SA，SB，SC的中点，若P点在△A′B′C′内(包括边
界)，则VPABC＝12VSABC.若P在三棱台A′B′C′ABC内，则VPABC＜12VSABC，因为VSA′B′C′VSABC＝18，故所
求概率为78.