2.基本初等函数(Ⅰ)
第二章基本初等函数(I)复习课第一和二课时
超级记忆法-记忆 方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
1
3x
2 .
例4.比较下列各组中两个值的大小：
1 log6 7, log7 6; 2 log3 , log2 0.8.
例5.设 f x 4x a 2x1 b, 当x=2时，f(x)有最小值10.
求a,b的值。
解： f x 4 x a 2 x1 b 2 x 2 2a 2 x b 2 x a 2 b a 2
质 (3)a>1 时，a 越大越靠近 y 轴，0<a<1 时，a 越小越靠近 y 轴，
(4)在 R 上是增函数
(4)在 R 上是减函数
11．对数的定义:如果 ab N（ a 0且a 1）,那么数 b 就叫做以 a 为底 的 N 的对数，记作 log a N b ,其中 N 0,b R 12．指数式与对数式的互化
若a≤0,则f(x)不存在最值。若a>0，由题
意可知，要取最小值，需 a 2 x a 4
此时，最小值为b a 2 b 16 10,b 26
综上：a=4,b=26
例6.设0<x<1,a>0且a≠1,比较 log a 1 x和log a 1 x
的大小。
解：
log
a
1
x
log
a
1
x
log
对数与对数函数
对数换底公式
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第2课时对数的运算
第2课时(kèshí) 对数的运算
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第一页，共三十页。
学习目标：1.理解对数的运算性质．(重点)2.能用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易 混点)
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第二页，共三十页。
2 lg 9·lg
34＝14.]
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【导学号：37102274】
3．设 10a＝2，lg 3＝b，则 log26＝( )
b A.a
a＋b B. a
C．ab
D．a＋b
B [∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝llgg
62＝lg
2＋lg lg 2
3＝a＋a b.]
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[规律方法] 1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式. 2.常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝mn logab，logab＝log1ba等.
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[跟踪训练]
2．求值：
(1)log23·log35·log516； (2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解]
(1)原式＝llgg
3 lg 2·lg
53·llgg156＝llgg126＝4llgg22＝4.
(2)原式＝llgg
23＋llgg
2lg 9lg
34＋llgg
3 8
＝llgg
23＋2llgg232llgg32＋3llgg32＝32llgg
数学必修1课件：第二章 基本初等函数(I)1.1 第2课时
12
4．已知 m＞0，则 m3 ·m3 ＝( )
A．m
2
B．m3
C．1 [答案] A
2
D．m9
5．( 3)1＋ 3·( 3)1－ 3＝( )
A. 3
C．1 [答案] D
B．2 3 D．3
[解析] 原式＝( 3)1＋ 3＋1－ 3＝( 3)2＝3.
第二章 2.1 2.1.1 第二课时 第十六页，编辑于星期日：十一点 二十九分。
第二章 2.1 2.1.1 第二课时 第九页，编辑于星期日：十一点 二十九分。
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●自主预习
1．分数指数幂
m
(1)意义：a n
＝___n_a_m___，a－
m n
1 1 ＝_a_mn ______＝_n__a_m____，
其中a＞0，m，n∈N*，n＞1.
第二章 2.1 2.1.1 第二课时 第二十四页，编辑于星期日：十一点 二十九分。
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化简下列各式：
(1)2 3×3 1.5×6 12；
4
1
a3－8a3b
3
(2)
÷(1－2
4b23＋23
2
ab＋a3
ba)×3 a.
[解析]
(1)2
3×3
1.5×6
23
23
13
[解析] (1)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 ；
111
111
111
7
(2)原式＝[a·(a·a2 )2 ]2 ＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 ；
1
1
第二章 基本初等函数(1)复习课
6、若loga2＜logb2＜0，则 ( B ) A. 0＜a＜b＜1 B. 0＜b＜a＜1 C. 1＜b＜a D. 0＜b＜1＜a
7、方程loga(x+1)+x2＝2(0<a<1)的解的个数是( C ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定
a x 1 8、已知函数 f ( x) a x 1 (a＞1).
(1) 定义域： (0，＋∞) 值域：R (2) 过点(1，0)，即x＝1时，y＝0 (3)在(0,+∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
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13. 幂函数 函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 几个常见的幂函数的性质如下：
y x, y x , y x , y x , y x
na 若xn=a , 则 x n a
(n为奇数)
(n为偶数, a>0)
当n为偶数时，正数的n次方根有两个， 它们互为相反数.
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2. 根式的性质 (1)
( a) = a
n n
(2) 当n为奇数时，
n
a a；
n
n
a, a 0, 当n为偶数时， a | a | a, a 0.
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一、知识结构
根式 整数指数幂 定义 指数 对数 运算性质 无理指数幂 定义 指数函数
图象与性质
有理指数幂
定义 对数函数
图象与性质 新宁一中数学备课组
幂函数
二、知识要点
1. 根式 若 xn=a ，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n ＞ 1 ，且 n∈N*. 式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数， a叫做被开方数．
第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)
第二章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)全国卷5年考情图解高考命题规律把握1.高考对本章的考查一般为1～3道小题．2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，多为给出具体函数解析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题；指数、对数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数、对数函数，零点相结合．3.本章一般不单独涉及解答题，在解答题中多与导数、不等式结合命题，试题难度较大.第一节函数及其表示1．函数与映射函数映射两集合A ，B设A ，B 是非空的数集设A ，B 是非空的集合对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B 是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域❶；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域❷.显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．3．分段函数❸若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．,(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交.[熟记常用结论](1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)函数是一种特殊的映射．()(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、选填题1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是()解析：选C A 选项，函数定义域为M ，但值域不是N ，B 选项，函数定义域不是M ，值域为N ，D 选项，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应，不能构成函数关系．故选C.2．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是()A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为________．解析：x －1≥0，－2≠0，解得x ≥0且x ≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f (x )x －1，x ≤1，－x 2，x >1，则f (f (2))＝________.解析：由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1，所以f (f (2))＝1.答案：15．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则f (2)＝________.解析：∵函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)∴4＝－a ＋2，∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3－2x ，∴f (2)＝－2×23－2×2＝－20.答案：－20考点一求函数的解析式[师生共研过关][典例精析](1)已知lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．(3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．[解](1)(换元法)令2x＋1＝t，得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1，x∈(1，＋∞)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，a＋b＝b＋1，＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝2x＋1－2－x3.故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－2－x3，x∈R.[解题技法]求函数解析式的3种方法及口诀记忆待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式口诀记忆解析式，如何定，待定换元解方程；已知函数有特征，待定系数来确定；复合函数问根源，内函数，先换元；两个函数有关系，方程组中破玄机.[过关训练]1．[口诀第3句]已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为()A ．f (x )＝x ＋1x ＋2B ．f (x )＝x x ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋2解析：选A 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝t ＋1t ＋2，即f (x )＝x ＋1x ＋2.故选A.2．[口诀第2句]若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________.解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，＋b ＋c ＝1，－b ＋c ＝5，＝0，＝3，＝－2，＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .答案：3x 2－2x3．[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f (x )＝3x.②f (x )＋3x ，f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点二函数的定义域[全析考法过关][考法全析]考法(一)已知函数解析式求定义域[例1]求下列函数的定义域：(1)f (x )＝|x －2|－1log 2(x －1)；(2)f (x )＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4.[解](1)要使函数f(x)－2|－1≥0，－1>0，－1≠1，解不等式组得x≥3.因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数f(x)＋1>0，x2－3x＋4>0，>－1，＋4)(x－1)＜0，解不等式组得－1＜x＜1.因此函数f(x)的定义域为(－1,1)．考法(二)求抽象函数的定义域[例2]已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f(x－1)的定义域为() A．(－2,0)B．(－2,2)C．(0,2)－12，[解析]1＜x2＜1，1＜x－1＜1，2＜x＜2，＜x＜2，∴0＜x＜2，∴函数g(x)＝f(x－1)的定义域为(0,2)，故选C.[答案]C考法(三)已知函数的定义域求参数的值(范围)[例3](1)若函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是()，34C.0，34 D.(2)若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．[解析](1)∵函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0≠0，＝16m2－12m＜0，即m＝0或0＜m＜34，∴实数m的取值范围是0(2)∵函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，＜0，1)＝0，2)＝0，＝－32，＝－3，∴a＋b＝－92.[答案](1)D(2)－92[规律探求]看个性考法(一)是根据具体的函数解析式求定义域，已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．考法(二)是求抽象函数的定义域，有如下解法：(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．考法(三)是考法(一)的逆运用，通常是转化为含参数的不等式求解找共性1.谨记函数定义域的有关口诀定义域，是何意，自变量，有意义；分式分母不为零，对数真数只取正；偶次根式要非负，三者结合生万物；和差积商定义域，不等式组求交集.2.函数定义域问题注意事项(1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围；(2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简；(3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式；(4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集[过关训练]1．[口诀第1、2、3、4句]y＝x－12x log2(4－x2)的定义域是()A．(－2,0)∪(1,2)B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2)D．[－2,0]∪[1,2]解析：选C0，>0，解得x∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．[口诀第1句]已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，所以x∈[－3，3]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．[口诀第1、3句]若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________________．解析：若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，即实数a的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]考点三分段函数[全析考法过关][考法全析]考法(一)分段函数求值[例1](1)(2019·石家庄模拟)已知f(x)，x≤0，x，x>0，则________.(2)已知f(x)－3，x≥9，(f(x＋4))，x＜9，则f(7)＝__________________________________.[解析](1)∵log319＝－2，∴f(－2)2＝9.(2)∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6.[答案](1)9(2)6考法(二)求参数或自变量的值(范围)[例2](1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )－x ，x ≤0，，x >0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)(2)(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝x ，x >0，＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a ＝________.[解析](1)∵f (x )－x ，x ≤0，，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，＋1＜0，x ＜0，x ＜x ＋1＋1≥0，x ＜0，∴x ＜0，故选D.(2)当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，无实数解；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件．[答案](1)D(2)－3[规律探求]看个性考法(一)是求分段函数的函数值．在求分段函数的函数值时，一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集，再代入相应的关系式．若涉及复合函数求值，则从内到外逐层计算，当自变量的值不确定时，要分类讨论．考法(二)是在考法(一)的基础上迁移考查分段函数中，已知函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围．解与分段函数有关的方程或不等式，从而求得自变量或参数的取值(范围)时，应根据每一段的解析式分别求解．解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围找共性(1)无论考法(一)还是考法(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题[过关训练]1．已知函数f (x )，x ≥4，1)，x ＜4，则f (1＋log 25)＝________.解析：因为2＜log 25＜3，所以3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)22+log 5＝14×15＝120.答案：1202．(2018·衡阳模拟)已知函数f (x )·2x ，x ≥0，－x，x ＜0(a ∈R)，若f (f (－1))＝1，则a ＝________.解析：∵f (－1)＝2－(－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝4a ＝1，解得a ＝14.答案：14[课时跟踪检测]一、题点全面练1．(2019·重庆调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是()A ．(2,3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)解析：选D由题意，x －4>0，－3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.2．(2018·合肥质量检测)已知函数f (x )＋1x －2，x >2，2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝()A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C∵f (1)＝12＋2＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C.3．已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f (g (1))＝1，则a ＝()A ．1B ．2C ．3D ．－1解析：选A 由已知条件可知f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.4．(2018·荆州联考)若函数f (x )的定义域是[1,2019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是()A ．[0,2018]B ．[0,1)∪(1,2018]C ．(1,2019]D ．[－1,1)∪(1,2018]解析：选B由题知，1≤x ＋1≤2019，解得0≤x ≤2018，又x ≠1，所以函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是[0,1)∪(1，2018]．5．已知－2x －5，且f (a )＝6，则a 等于()A.74B ．－74C.43D ．－43解析：选A令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，故f (x )＝4x －1，则f (a )＝4a －1＝6，解得a ＝74.6．(2019·石家庄模拟)已知f (x )3x ，x >0，x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝()A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )x ，x >0，＋1，x ≤0，则f (－3)3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.7．(2018·福州二模)已知函数f (x )2x ＋a ，x >0，x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝()A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.故选A.8．(2019·合肥质检)已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x ＜2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝()A.98 B.94C.92D ．9解析：选C∵f (2x )＝2f (x )，且当1≤x ＜2时，f (x )＝x 2，∴f (3)＝22＝92.9．(2019·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且3f (x )＋53x ＋1，则函数f (x )的解析式为________________________．解析：用1x 代替3f (x )＋5＝3x ＋1中的x ，得35f (x )＝3x ＋1，f (x )＋5＝3x ＋1，①5f (x )＝3x ＋1，②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．答案：f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)10．设函数f (x )(－x )，x ＜0，ln x ，x >0，若f (m )>f (－m )，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )(－x )，x ＜0，ln x ，x >0，当m >0时，f (m )>f (－m )，即－ln m >ln m ，即ln m＜0，解得0＜m ＜1；当m ＜0时，f (m )>f (－m )，即ln(－m )>－ln(－m )，即ln(－m )>0，解得m ＜－1.综上可得，m ＜－1或0＜m ＜1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，则函数y ＝f (3x ＋2)的值域为()A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[2,8]解析：选A函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为[－1,1]，故函数y ＝f (3x ＋2)的值域为[－1,1]．故选A.2．(2018·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为()A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)解析：选Bf [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg [1－lg(1－x )]，－x >0，－lg (1－x )>0的解集，解得－9＜x ＜1，所以f [f (x )]的定义域为(－9,1)．故选B.3．(2018·安阳三校联考)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是()A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4]解析：选D由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0>0，2－4m ≤0，解得0＜m ≤4.综上可得，0≤m ≤4.4．(2019·珠海质检)已知函数f (x )－2a )x ＋3a ，x ＜1，x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]1C.－1解析：选C 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a >0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12.5．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－3x ＋1的值域是[0，＋∞)，显然成立；当m >0时，Δ＝(m －3)2－4m ≥0，解得0＜m ≤1或m ≥9.显然m ＜0时不合题意．综上可知，实数m 的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．答案：[0,1]∪[9，＋∞)(二)技法专练——活用快得分6．[排除法]设x ∈R ，定义符号函数sgn x ，x >0，，x ＝0，1，x ＜0，则()A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A 、B 、C ，故选D.7．[特殊值法]函数y ＝a －a x (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a485＝()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C当x ＝1时，y ＝0，则函数y ＝a －a x 在[0,1]上为减函数，故a >1.∴当x＝0时，y ＝1，则a －1＝1，∴a ＝2.∴log 256＋log 2485＝log log 28＝3.8．[数形结合法]设函数f (x )＋1，x ≤0，x，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)>1的x 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )的大致图象如图，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又因为x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立，则结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1，解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)(三)素养专练——学会更学通9．[逻辑推理]具有性质f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；③f(x)，0＜x＜1，，x＝1，－1x，x>1.其中满足“倒负”变换的函数是()A．①③B．②③C．①②③D．①②解析：选A对于①，＝1x－x＝－f(x)，满足题意；对于②，＝1x＋x＝f(x)，不满足题意；0＜1x＜1，，1x＝1，x，1x>1，即x>1，x＝1，x，0＜x＜1，故f(x)，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.10．[数学运算]已知函数f(x)2－1，x≤0，－1，x>0，g(x)＝2x－1，则f(g(2))＝__________，f(g(x))的值域为________．解析：g(2)＝22－1＝3，∴f(g(2))＝f(3)＝2.易得g(x)的值域为(－1，＋∞)，∴若－1＜g(x)≤0，f(g(x))＝[g(x)]2－1∈[－1,0)；若g(x)>0，f(g(x))＝g(x)－1∈(－1，＋∞)，∴f(g(x))的值域是[－1，＋∞)．答案：2[－1，＋∞)11．[数学抽象]设函数f：R→R，满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2018)＝________.解析：令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)·f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2018)＝2019.答案：2019第二节函数的单调性与最值❶函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.❸对于∀x 1，x 2∈D ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.❻若函数f (x )的值域是开区间，则函数无最值；若函数f (x )的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是最值.1．函数的单调性❶(1)增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x ❷2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)❸，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)❹，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间❺.2．函数的最值❻前提设函数y＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为函数y ＝f (x )的最大值M 为函数y ＝f (x )的最小值x 1，x 2的特征：(1)任意性；(2)有大小，即x 1＜x 2(x 1>x 2)；(3)属于同一个单调区间.对于∀x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0或f(x1)－f(x2)x1－x2＜0.(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域．(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M.[熟记常用结论]1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性．(2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．2．复合函数的单调性对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．()(4)所有的单调函数都有最值．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、选填题1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1xD．y＝－x2＋4解析：选A y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.2．函数f (x )＝－x ＋1x 在区间－2，－13上的最大值是()A.32B ．－83C ．－2D ．2解析：选A∵函数y ＝－x 与y ＝1x在x ∈－2，－13上都是减函数，∴函数f (x )＝－x＋1x 在－2，－13上是减函数，故f (x )的最大值为f (－2)＝2－12＝32.3．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．答案：[－1,1]和[5,7]4．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.5．若函数f (x )满足“对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则满足f (2x －1)＜f (1)的实数x 的取值范围为________．解析：由题意知，函数f (x )在定义域内为减函数，∵f (2x －1)＜f (1)，∴2x －1>1，即x >1，∴x 的取值范围为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)考点一确定函数的单调性(区间)[全析考法过关][考法全析]考法(一)确定不含参函数的单调性(区间)[例1](1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是()A.32，＋∞ B.1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和32，2－∞，32和[2，＋∞)(2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．[解析](1)y ＝|x 2－3x ＋2|2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，(x 2－3x ＋2)，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．[答案](1)B(2)[2，＋∞)(－∞，－3]考法(二)确定含参函数的单调性(区间)[例2]试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解]法一：(定义法)设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝则f (x 1)－f (x 2)＝＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1>0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．法二：(导数法)f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a ＜0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[规律探求]看个性考法(一)中的函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利用单调性的定义或借助图象求解即可．考法(二)是在考法(一)的基础上增加了参数，解决此类问题除利用定义外，导数法是一种非常有效的方法．注意分类讨论思想的应用找共性无论考法(一)还是考法(二)，判断函数单调性常用以下几种方法：(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；②对于复合函数，先将函数y ＝f (g (x ))分解成y ＝f (t )和t ＝g (x )，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断[过关训练]1．函数f (x )()－∞，12B.0，12C.12，＋∞ D.12，1解析：选D令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g (t )是减函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x－x 2的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递减区间为12，1，即原函数的单调递增区间为12，1.故选D.2．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)12＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0＜x 1＜x 2≤a 时，0＜x 1x 2＜a ，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二函数单调性的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一)比较函数值的大小[例1]已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c[解析]由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1＜2＜52＜e ，∴f (2)>f (e)，∴b >a >c .[答案]D考法(二)解函数不等式[例2](1)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (1)的实数x 的取值范围是()A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．[解析](1)由f(x)为R上的减函数且f(1)，|1x|>1，≠0，|＜1，≠0.所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.(2)因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1.[答案](1)C(2)[0,1)考法(三)利用函数的单调性求参数[例3]若f(x)a－1)x＋4a，x＜1，ax，x≥1是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________．[解析]由题意知，a－1＜0，3a－1)×1＋4a≥－a，>0，＜1 3，≥1 8，>0，所以a∈1 8，[答案]18，[规律探求]看个性考法(一)是比较函数值的大小．解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小．考法(二)是求解与函数单调性有关的抽象函数不等式．求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域以及函数奇偶性质的应用．考法(三)是在考法(一)和考法(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较找共性对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是：[过关训练]1．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1,2)时，f (x 1)＜f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)＜0，f (x 2)>0.故选B.2．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)解析：选D作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.3．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数，又0，知0.故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f f (log 19x )＜f (0)，∴log 19x >12或－12＜log 19x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.0＜x ＜13或1＜x ＜答案0＜x ＜13或1＜x ＜考点三函数的最值[师生共研过关][典例精析](1)已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为()A.1 4B.1 2C.2 2D.3 2(2)函数f(x)x≥1，x2＋2，x＜1的最大值为________．[解析](1)－x≥0，＋3≥0得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，y2＝4＋21－x·x＋3＝4＋2－(x＋1)2＋4，当x＝－1时，y取得最大值M＝22；当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，所以mM＝2 2 .(2)当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.[答案](1)C(2)2[解题技法]求函数最值(值域)的常用方法单调性法易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域)图象法能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域)基本不等式法分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)[过关训练]1．函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝________.解析：易知f(x)在[a，b]上为减函数，a)＝1，b)＝13，1，＝1 3，＝2，＝4.所以a＋b＝6.答案：62．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．解析：令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＋14，当t＝12，即x＝14时，y max＝14.答案：143．设0＜x＜32，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋(3－2x)22＝92，当且仅当2x＝3－2x，即x ＝34时，等号成立．∵34∈∴函数y＝4x(3－2x＜x的最大值为92.答案：92[课时跟踪检测]一、题点全面练1．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是()A．y＝11－xB．y＝cos xC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－x解析：选D函数y＝2－x在(－1,1)上为减函数．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：选D由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为()A．－3B．－2C．－1D．1解析：选B因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.故选B.4．函数f(x)＝x1－x的单调递增区间是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)，(1，＋∞)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：选C因为f(x)＝－(1－x)＋11－x＝－1＋11－x，所以f(x)的图象是由y＝－1x的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到，而y＝－1x的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)；所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．故选C.5．(2019·赣州模拟)设函数f(x)，x>0，，x＝0，1，x＜0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是()A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]解析：选B由题知，g(x)2，x>1，，x＝1，x2，x＜1，可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1)．6．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是()A.－113，－3B．[－6，－4]C.[－3，－22]D.[－4，－3]解析：选B由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－a2∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．7．函数y＝2－xx＋1，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是() A．(1,2)B．(－1,2)C．[1,2)D．[－1,2)解析：选D 函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，且在x ∈(－1，＋∞)时单调递减，在x ＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时y 的最小值为0，所以－1≤m ＜2.8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定()A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋ax－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.9．(2019·湖南四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )2＋ax －2a ，x ≥2，2－ax ＋2a ，x ＜2.又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，－a2≤2，0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]10．已知函数f (x )的值域为38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2t 令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋t∴当t＝13时，y有最小值79；当t＝12时，y有最大值78.∴g(x)的值域为7 9，78.答案：79，78二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．函数y＝log13(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是()A．(－1,1]B．(－∞，1)C．[1,3)D．(1，＋∞)解析：选C令t＝－x2＋2x＋3，由－x2＋2x＋3>0，得－1＜x＜3.函数t＝－x2＋2x＋3的对称轴方程为x＝1，则函数t＝－x2＋2x＋3在[1,3)上为减函数，而函数y＝log13t为定义域内的减函数，所以函数y＝log13(－x2＋2x＋3)的单调递增区间是[1,3)．2．(2019·西安模拟)已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0,1]B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)解析：选C要使y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a>0且a－1≥0，∴a≥1.故选C.3．已知函数f(x)2－x－14，x≤1，a x－1，x>1是R上的单调函数，则实数a的取值范围是()A.14， B.14，12，12 D.12，解析：选B由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.又函数f(x)在R上单调，则二次函数y＝ax2－x－14的图象开口向上，所以函数f(x)在R上单调递减，a＜1，1，12－1－14≥log a1－1，＜a＜1，＜a≤12，≥14.所以a∈14，12.4．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．解析：2－a>0，＋3>0，2－a>a＋3，解得－3＜a＜－1或a>3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)(二)技法专练——活用快得分5．[构造法]已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是()A．m－n＜0B．m－n>0C．m＋n＜0D．m＋n>0解析：选A设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R上的减函数，∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数，∴当m＜n时，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m－n＜0一定成立，故选A.6．[三角换元法]函数y＝x＋－x2＋10x－23的最小值为________．解析：原函数可化为：y＝x＋2－(x－5)2.由2－(x－5)2≥0⇒|x－5|≤2，令x－5＝2cosα，那么|2cosα|≤2⇒|cosα|≤1⇒0≤α≤π，于是y＝2cosα＋5＋2sinα＝5.。
必修1基本初等函数(Ⅰ)知识要点
必修１基本初等函数(Ⅰ)知识要点〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的nn 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =．xxxxx x(q)0x xf xfxfxxx。
《基本初等函数》要点归纳
高考数学复习点拨：《基本初等函数（1）》要点归纳《基本初等函数（Ⅰ）》要点归纳山东尹承利指数函数、对数函数和幂函数是三类重要的函数模型，在本章中我们学习了这三类基本初等函数的概念，图象和基本性质，并运用它们解决了一些简单的实际问题．下面将知识要点进行归纳整理．一、指数与对数１．依据"正整数指数幂→整数指数幂→分数指数幂→无理数指数幂→实数指数幂"这条主线，我们学习了幂的概念，应依次理解它们的含义并掌握其运算，同时要注意体会用有理数逼近无理数的思想．２．分数指数幂与整数指数幂既有相同之处又有不同之处．相同之处是它们都是有理数指数幂，都能用有理数指数幂的性质运算；不同之处是它们表示的意义不同，整数指数幂表示相同因式的连乘积，而分数指数幂表示的是根式．这里要特别注意根式的一个重要性质：当为奇数时，；当为偶数时，而根式的运算常常转化成幂的运算，即利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的性质进行计算．３．对数的概念是由指数引出的，但规定了"，且"，在解决对数问题，尤其是指、对数互化的综合问题时，一定要牢记这一前提．４．对数运算中要注意逆用对数运算法则，若对数运算中出现不同的底时，要会利用换底公式统一"底"再进行运算．５．关于对数函数值的正、负情况有如下关系：；．熟记这些关系有助于提高解题效率．二、指数函数、对数函数和幂函数1．规定指数函数中的底"，且"的目的是使函数定义域为，且使函数具有单调性．2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点．要熟知在和两个区间取值时函数的单调性及图象特点，还要明确在指数函数、对数函数中，若让底数取不同的允许值，则它们的图象可呈现出动态的变化规律．如果从轴的正半轴上方开始观察，可得到如下结论：①函数（，且）的图象绕点逆时针旋转时，其底数逐渐增大；②函数（，且）的图象绕点逆时针旋转时，其底数逐渐减小．利用上述结论可以解决异底数，且同指数（真数）的两个指（对）数式的值的大小比较问题．3．利用幂函数知识解题时，要注意运用数形结合思想．4．比较几个数的大小是幂、指数、对数函数性质应用的常见题型．在具体比较时，可以首先将它们与0比，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中间两两比较．具体步骤是：①指数相同、底数不同时，考虑幂函数的单调性；②底数相同、指数不同时，考虑指数函数的单调性；③底、指数都不同时，要借助于中间值，或考虑作差（商）的比较法；④对数函数型数值间的大小关系，底相同时考虑对数函数的单调性，底不同时可考虑中间值，或用换底公式化为同底，或考虑比较法；⑤含有参数的比较大小问题，还需对参数进行讨论．5．指数函数（，且）与对数函数（，且）是互为反函数的两个函数，其函数性质直接受底数的影响，所以分类讨论思想体现的非常突出，同时两类函数值的变化情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征．6．对于指数函数和对数函数要认真分析它们各自的图象与性质的差异，做到数与形的紧密结合．看见函数式，要立刻联想到它的图象；反之，见到图象，也能确定函数式的底数的范围．。
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2
基本初等函数Ⅰ的图像与性质
题型：选择、填空
分值：5 分
难度：基础 热点：基本初等函数Ⅰ的性质
函数﹑基本初等函数I的图像与性质 例 4 已知函数 f(x)＝log2|x|，g(x)＝－x2＋2，则 f(x)·g(x)
的图像可能是( )
图 5-5
函数﹑基本初等函数I的图像与性质
[答案] C
[解析] 由 f(x)与 g(x)都是偶函数，得 f(x)g(x)是偶函数，可 排除 A，D；当 0＜x＜1 时，f(x)＜0，g(x)＞0，则 f(x)g(x)<0， 排除 B.故选 C.
[答案] (1)C (2) 2
[解析] (1)∵a＝sin(2015π－π6 )＝sin(2014π＋π－π6 )＝ sin(π－π6 )＝sinπ6 ＝12，
∴f(x)＝（12）x，x>0， f（－x），x<0，
得 f(log216)＝f(log26)＝(12)log26＝16. (2)要使函数 f(x)有意义，则 1－2ax＞0，得 x＞log2a. 又函数 f(x)的定义域是(12，＋∞)，所以 log2a＝12，解得 a＝ 2.
函数﹑基本初等函数I的图像与性质
高考易失分题 4 函数奇偶性、单调性与求解函数不等式 的综合问题
1 [2015·全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)＝ln(1＋|x|)－1＋x2，则
使得 f(x)>f(2x－1)成立的 x 的取值范围是( )
1 A．(3，1)
1 B．(－∞，3)∪(1，＋∞)
11 C．(－3，3)
函数﹑基本初等函数I的图像与性质
► 考点三
函数的图像及其应用
题型：选择、填空
分值：5 分
难度：中等 热点：图像的识别
第二章基本初等函数(I)复习课
(2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
(3) 2 2, (2) 2, （ 2） 2.
4 4 4 4 4 4
结论:an开偶次方根,则有 n a n | a | .
式子
n
a 对任意a ∊ R都有意义.
n
公式1.
a
n
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.
第二章基本初等函数 复习课
整数指数幂
定义
有理指数幂
无理指数幂
指数
对数
运算性质
定义
定义
指数函数
图象与性质
对数函数
图象与性质
幂函数
1.整数指数幂的运算性质 (1)am· an=am+n (m,n∈Z) (2)am÷an=am-n (a≠0,m,n∈Z) (3)(am) n =amn (m,n∈Z) (4)(ab)n=anbn (n∈Z) 2.根式
*
(1)ar· as=ar+s (a＞0，r,s∈Q)； (2)ar÷as=ar-s (a＞0，r,s∈Q)； (3)(ar)s=ars (a＞0，r,s∈Q)； (4)(ab) r=arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)
*一般地，当a>0且是一个无理数时,也是一个确定的实数,故以上 运算律对实数指数幂同样适用.
；
x
x
5
4.5
4
3.5
fx = 1.7x
2.5 2 1.5 1
3
1.7
2. 5
<
1 .7
3
0.5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-0.5
基本初等函数(一)
基本初等函数（一）1. 指数函数1.1指数幂及其运算（1）0,,,1)m na a m n n *=>∈>分数指数幂：且N ；（2） ()r s r s r s rs a a a a a +⋅==①②【例题】_______.=★练习_______.= 【例题】11223,x x-+=已知求下列各式的值：12233(1)(2)(3)x x x x x x ---+++★练习22221,x x x x x --+=>-已知则的值为______.1.2 指数函数的定义：10 1. () 223x x x y a a a y y +=>≠==⨯函数且注意：，都不是指数函数！【例题】2(33) _________.x y a a a a =-+⋅函数是指数函数，则的取值范围为★练习22(1)(44) _________.mm x y m m a m +-=-+⋅函数是指数函数，则的取值范围为1.3 指数函数的性质（1）定义域为R ，值域为()0,+∞；（2）恒过定点(0,1)；（3）101 x x a y a a y a >=<<=当时，是增函数；当时，是减函数.【例题】1()23(01) _______.x f x a a a -=⋅->≠函数且的图象必过定点★练习()(01) ____.x m f x a n a a m n -=+>≠+=已知函数且的图象必过定点(1,3),则【例题】2()(46) x f x m m R m =--已知函数是上的增函数，则的取值范围为__________. ★练习()23 x f x m R m =-已知函数是上的减函数，则的取值范围为___________.2. 对数函数2.1对数的运算01,0,0,a a M N >≠>>如果且则（1）log a N a N =；（2）log ()log log ; log log log ;a a a aa a M M N M N M N N ⋅=+=- （3）log log ().n a a M n M n R =∈【例题】lg 525,____.x x ==已知则★练习234log log log 0,_____.x x ==则 【例题】lg lg 2lg(2),____.x x y x y y +=-=已知则★练习lg lg 1,____.x x y y -==已知则【例题】()ln ____.x f x x =是函数★练习())____.f x x =是函数2.2 换底公式01,0,01,a a b m m >≠>>≠如果且且则（1）log log log m a m b b a= （2）log 1log log log b a b b b b a a== 【例题】1135,2, _____.a b m m a b==+=已知且则的值为 ★练习1142510,_____.a b a b==+=已知则 2.3对数函数的性质（1）定义域为()0,+∞，值域为R ；（2）恒过定点(1,0)；（3）101 a a ><<当时，函数是增函数；当时，函数是减函数. 【例题】21()log (01) _______.1a x f x a a x +=>≠-函数且的图象必过定点 ★练习()log 22(01) .a f x x a a =-+>≠函数且的图象必过定点______【例题】2()(46) x f x m m R m =--已知函数是上的增函数，则的取值范围为__________. ★练习()23 xf x m R m =-已知函数是上的减函数，则的取值范围为___________.222(1)()1,0(2)(),0(3)()x x f x x x x x f x x x x f x +=+⎧-+>=⎨+=；；… 2.1 利用函数的奇偶性求值【例题】()0 ()22()(1)_.x f x R x f x x b b f =++-=设为定义在上的奇函数，当时，为常数，则… ★练习()()()2(1)1(1)___.f x R g x f x g g =+=-=设为定义在上的奇函数，若，且，则【例题】()()(4)____.f x x a x a =+-=若为偶函数，则实数 ★练习1()____.31x f x a a =+=-若为奇函数，则实数 1.3 判断抽象函数的奇偶性【例题】(),()()()()___f x R x y R f x y f x f y f x ∈+=+已知函数的定义域为，且对任意的，都有，则为函数.★练习(),()()()()___f x R x y R f x f x y f y f x ∈=++已知函数的定义域为，且对任意的，都有，则为函数.1.4 利用函数的奇偶性求函数解析式 【例题】1() 0 ()0 () f x x f x x x f x x>=-<已知是奇函数，且当时，，求时，的解析式.★练习32() 0 ()0 () f x x f x x x x f x >=+<已知是偶函数，且当时，，求时，的解析式.3. 函数的性质综合问题（1） 奇函数的图象关于原点对称，在对称的单调区间内具有相同的单调性；偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的单调区间内具有相反的单调性.3.1 最值问题【例题】[]()[]()2,545,2f x f x --已知奇函数在增函数且最大值为，那么在上上是是（ ）A. 增函数且最小值为-4B. 增函数且最大值为-4C. 减函数且最小值为-4D.减函数且最大值为-4★练习[]()[](),2,f x a b f x b a --如果偶函数在增函数且最大值为，那么在上上是是（ ）A. 增函数且最小值为2B. 增函数且最大值为2C. 减函数且最小值为2D.减函数且最大值为22.2 比较大小问题【例题】 121212()0()[()()]0 A. ()(1)(1) B. (1)()(1)C. (1)()(1)D. (1)(1R f x x x x x f x f x n N f n f n f n f n f n f n f n f n f n f n f n *<-->∈-<-<+-<-<++<-<-+<-定义在上的偶函数满足对任意的，有，则当时，有（ ）…)()f n <- ★练习()(4)()0,2 A. (1)(3)(4) B. (4)(3)(1)C. (3)(4)(1)D. (1)(4)(3)R f x f x f x f f f f f f f f f f f f -=--<<<<-<<--<<定义在上的奇函数满足，且在区间[]上是增函数，则下列大小关系正确的是（ ） 2.3 解不等式问题【例题】()(0)(0,) (1)0()0 f x x x f xf x ≠∈+∞=<已知是奇函数，且当时是增函数，若，则不等式的解集为__________.★练习()[0,) ()(5) f x f x f +∞<已知偶函数在上是增函数，则不等式的解集为__________.。
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1
(二) 基本初等函数(Ⅰ)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1．指数函数y＝ax的图象经过点(2，16)，则a的值是( )
A.14 B.12 C．2 D．4
2．若log32＝a，则log38－2log36用a表示为( )
A．a－2 B．a－1－a2 C．5a－2 D．3a－2－a2
3．设a＝3log21，b＝130.2，c＝312，则( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
4．已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于( )
A.43 B．8 C．18 D.12
5．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
6．函数y＝x2（x＜0），2x－1（x≥0）的图象大致是( )
7．函数f(x)＝log12(1＋2x－x2)的值域为( )
A．[－1，0) B．[－1，＋∞) C．(0，1) D．[1，＋∞)
8．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，且f(log124)＝－3，则a的值为( )
A.3 B．3 C．9 D.32
9．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图1，
则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1，0
A．0 B．1 C．2 D．3
2
11．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
12．已知函数f(x)＝（a－2）x，x≥2，12x－1，x＜2，满足对任意的实数x1≠x2都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0成立，
则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B.－∞，138 C．(－∞，2] D.138，2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，2)，则f(9)＝________．
14．函数y＝log12(3x－a)的定义域是23，＋∞，则a＝________．
15．函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________．
16．下列说法中，正确的是________．(填序号)
①任取x>0，均有3x>2x； ②当a>0，且a≠1时，有a3>a2；
③y＝(3)－x是增函数； ④y＝2|x|的最小值为1；
⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)化简：
(1)(32×3)6＋(22)34－4164921-－42×80.25－(－2 005)0.
(2)log2.56.25＋lg 1100＋ln(ee)＋log2(log216)．
18．(本小题满分12分)已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－5在区间[－1，2]的最大值为10，求
a
的值．
3
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x2－2)，f(2)＝1.
(1)求a的值； (2)求f(32)的值； (3)解不等式f(x)＜f(x＋2)．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝m－22x＋1是R上的奇函数，
(1)求m的值； (2)先判断f(x)的单调性，再证明之．
21．(本小题满分12分)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度之间的
函数关系是一种指数型函数，若牛奶放在0 ℃的冰箱中，保鲜时间是200 h，而在1 ℃的温度下是160 h.
(1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数解析式．
(2)利用(1)的结论，指出温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(3－x)(a＞0且a≠1)．
(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围．