如何证明高考中以数列为背景的不等式

名 师大课 量
A B
的右侧 阴影 ：
i
n
…"
…
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Ⅲ …
m，
Ⅲ I m
， 。
岫 …．
…
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，
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j
中以数到为蓠鬃鹄不等式
d
哆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
． 。
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江 苏
减
立
本(特级 教 师 )
近 几 年 高 考 中 常 见 以 数 列 为 背 景 的 不 等式
。
证
明此 类不 等式 识
。
，
要 综 合 运 片j 函 数
ａ ３ａ ４
十
记 数 ” （ 鲁…・ ３ 。丽 真 为八） 导・ 一 ・ ｎ）・ ２， 丽
作 商
（ ｎ＋ ３） ３ 。
＝ ＝＝
： 二 ＋
ａ ５ ６
４ ＿ ） ＋… ＋ 二 ！
ａ ２ 一 １ａ ２
．
求 ：≤ ≤ ∈ 证吉 Ｎ） ．
（ ） 题 设 知 方 程 ｚ 一 （ 矗 ２） １由 ３ ＋ ｚ＋ ３ ・２ 一 ｋ
且 。２ １ （ ≤ 一 是一 １， ３， ） ２， … ．
ｇ ‘ ２ 詈…・ ｎ） ｉ…一 （ 号・ ・ ３ ．
，３ ６ ３ 、。 ２
（ ） 专ａ ， ２ ａ ， ； １ 习 １ 口 ， ３ ７
作 差 ３ － 一 ｌ ｇ （ ３ 一 Ｆ１ ｏ ｚ ｎ ＋ ）
由此 切 入 常 可 走 出
泸
磊
j 例
，
1
= = =
设 数 列 (。
2
，
。
} 的 首 项
a
。
∈ ( o
，
1 )
，
。
=
=
。
兰 芸盟 二
”
3
，
扣
。
。
。 ( 1)求 ；
。
}的通 项 公式
一
；
(2 )设 b 正 整 数
。
。
a
。
、 ，
／ 乏 乒
-_ 证 明
，
b
。
<
6
一
：
，
其 中
n
为
震
-
析
一
(1)
化递推式为
)
1
)
2
a
一
口
! (
9
一
3
—
2
a
。
)
。
一
f 专
0
，
羔
堕
r：
6 <
。
(3
a I。
-
-
)
]
一
。
i (3
，
-
~
)
，
一
i
a
。
(“
0
～
。
1 )
。
由(1)知
因此
>
埘
0
且
“
。
≠ l
。
故
6
：
+
一
bi >
，
又 6 >
。
6。
为正 整数
2
已 知 各 项 均 为 正 数 的数列 j
>
l
。
‰
n
} 的 ∈ N
前
”
视
项
和满足 S
。
，
０的 ２个 根 为 ３ ， 其 中 较 小 者 为 ｋ２，
ａ１— ２， ＝＝ ０ “２ ＝ ３， ３— ４， ａ７— １ ２７
ｆ ７￡
（ ｎ ５ （ ｎ＋ ２ ３ ＋ ）３ ）‘
因 （ ｎ＋ ３） 一 （ ｎ＋ ５）（ ｎ＋ ２） ３ 。 ３ ３ 一 ９ｎ＋ ７ ０， ＞ 且
１
（ ） 数 列 ｛ 的 前 ２ ２求 ｎ ｎ项 和 Ｓｚ；
ｇ （ 。 … 一 ３ １ 。３ －２ ２ ｉ ｎ —— ‘ Ｊ ｎＩ －
至 此 ， 定差 的符号 成 了关键 ． 确
（） 厂”一 Ｓ ＋ 一 ３记 （） 专 １７ ３， ｎｚ ）
＿ （ 二
ｚ ｃ － ， 上 的 点 Ｑｌ 横 坐 标 为 ａ （ ＜ ａ ＜ ａ 。从 Ｃ 上 的 的 ０ ）
但 是 3 个 人 劐 无 法 互 谈 这 人 世 最严 肃 而 应 深 究 的 事
，
．
爱默 生
名 师 大 课 堂
（ ） ３ － １ 过 程 略 ） １。一 ｎ （ ；
析
注 ： 时 Ｏ＜ ｎ 口， 此 ｌ＜ ｌ十 十 ａ ＞ ０， 且 ３ ｝ 并 “ 一
（ ＋ 口 十 ＆ ） ：（ １ １ （ ａ 十 ３ ｉ ３ 卜 ａ ＋ １ ＜ Ｏ １ １ ｛ ＝ Ⅱ ～ ） ３ ＝ 口＋ ａ ２ １ ） ．
且 8S
一
。
(d
。
十 1 ) (“
；
。
+
2 )
，
。
( 1 ) 求 {a (2 )设
j 的通 项 公式
a
。
数 列 {玩 ) 满 足
，
(2
。
”
一
1)
z
。
= =
=
1
，
并记 L
，
为 {玩 )
。
的前
n
项和
求证
：
3 r
一
}
；
1 D> l o g
(“ + 3 )
n
∈ N
。
2
个人 交 谈
一
，
个人 可
以
洗 耳恭 听
．
（ ） 意 到 ａ ＞ ０ 且 （ １ 只 有 １和 一 １这 ２ ３注 ， 一 ）
即 ３ ＋ １ ｌ ２ｎ Ｔ ＞ ｏｇ （ 十 ３ Ｃ Ｎ 。 ）， －
个值， 可用放缩法证明音≤Ｔ≤羞・
运 用 放 缩 法 是 证 明 不 等 式 的 又 一 重 要 技 能 ． 紧
扣 命 题 的数 量 特 征 把 握 放 缩 程 度 ， 能 免 走 弯 路 ． 才
二
因 Ｔ ＝ ＝ ＝
且
，
十
１ａ ２ ａ ３ ４ ａ
＋
“ ５“ ６
＋ … ＋
１ 一
１
１
，
● 例 ３ 设 ａ ， ＞ｏ 已知直 线 ￡ ＝ ｚ及 曲线 ｃ： ： ＝ ＝ａ 一
（ Ｅ 一 ） １ 得 １ （ ） ２ｈ ） （ １ ， 一。 １ 一 一 解 ＆ 十
，
Ｉｇ 丽３ ｏ ． ｎ 所 以 ￣
。
一 ６ ＋ ６ ＋ … ＋ ６ 一 ｚ
例 ４ 已 知 数 列 “ ｝ 的 相 邻 中 ２项 ａ≈¨ ａ ２ ２是
关 于 的 方 程 。 （ ｋ ｋ２ ） 一 ３ － ｚ＋ ３ ｋ。２ 一 ０的 ２个 根 ，
９ ７
… 故
厂（ ） ０， 厂（ ｎ＞ 故 ＋ １ ＞ 厂（ ） 注 意 到 厂（ ） ） ｎ ， １ 一 ＞ １ ， ｌ ｇ ’１ ＞ ０ 所 以 ３ ＋ １一 ｌｇ （ －３ ＝ ｏ２ （ ） ． Ｔ ｏ ２ “ ｑ ）＝ ：
１ｇ ｆ（ ｏ ２ ｎ）＞ ０．
（） 一３ 是 ２ｓ ∑ 十∑２ 一—￣Ｐ ｎ 一 一２ ３ ＋２ ｎ －３ — 。
～
n
一 。
( 专
-
-
C／ n
'
!
)
，
可 得
a
。
1
(i
—
a
1
(
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～
一
’
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b
。
)
>
0
，
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2。 <
。
萼 )
．
(2 ) 由 ( 1 ) 知
以 下 只 要 证
6
一
一
瞬>
0
即 可
(作 者 单位
：
。
江
苏 省 赣 榆 县 赣 马 高级 中学)
运 用 递 推式作差
6
：1 上
一
联
3
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=
=
现
■l (
a
,
．
3
—
2
口
，
一
。
，
、
方 程
、
不 等 式 等 知
，
思 维方法灵 活多样
。
对 考 生 能 力要 求较 高
是 考 生
，
普遍 感 到棘手 的题 型
究 证 明题 的基 本 方 法
本 文 举 例 分析其 思 维 特点
以供 参考
。
探
，
作差与
本方法
困境
i 驴
‘ 。
。
0
比较
、
作商与
1
比较 是 证 明不 等式 的基
，
。
看 似复杂 的数 列 不 等式