2012全国高中数学联赛广东预赛试题(详细解析)
2012年广东高考试题(理数,word解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=( )()A 65i + ()B 65i - ()C i -6+5()D i -6-5【解析】选D 依题意：256(56)65i i ii i i--==--，故选D . 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( )()A U ()B {1,3,5} ()C {,,}356 ()D {,,}246【解析】选C U C M ={,,}3563. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==；则BC =( )()A (2,4)-- ()B (2,4) ()C (,)610 ()D (,)-6-10【解析】选A (2,4)B C B A C A =-=-- 4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )()A ln(2)y x =+ ()B y = ()C ()x y 1=2 ()D y x x1=+【解析】选A ln(2)y x =+区间(0,)+∞上为增函数，y =(0,)+∞上为减函数 ()xy 1=2区间(0,)+∞上为减函数，y x x1=+区间(1,)+∞上为增函数5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A 12π ()B 45π ()C π57 ()D π81 【解析】选C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为221353573V πππ=⨯⨯+⨯=7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是( )()A 49 ()B 13 ()C 29()D 19【解析】选D①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个 ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51459=8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )()A 12 ()B 1 ()C 32()D 52【解析】选C21cos 0,cos 0()()cos (,1)2a ba b b a a b b a baθθθ=>=>⇒⨯=∈,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中得：*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。
2012广东高考数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，，则A．B．C．D．2．设Sn是公差为的无穷等差数列的前n项和，则“d < 0”是“数列有最大项”的A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．ΔABC中，，，若，则角C为A．B．C．D．4．已知，则展开式中的常数项为A．20 B．-20 C．-15 D．155．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为A．B．C．D．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数C．的最小正周期为，且在上为单调递增函数D．的最小正周期为，且在上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A．C．D．8．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的摄影为C，若，，则抛物线的方程为A．B．C．D．9．阅读右面的程序框图，输出结果s的值为A．B．C．D．10．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为A．B．C．D．11．已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A．B．C．D．12．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为A．B．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填在答题卡的相应位置上。
）13．若复数，则 __________。
14．已知双曲线的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。
2012广东高考数学(理科)参考答案
2012广东高考数学〔理科〕参考答案 选择题答案：1-8： DCAAB CDC填空题答案： 9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 10. 2011. 21n -12. 21y x =+ 13. 8f14. ()1,115. 解答题16.〔1〕15ω= 〔2〕代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒= 162cos 17β=8cos 17β⇒= ∵ ,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 415cos ,sin 517αβ== ∴ ()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 17.〔1〕由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =〔2〕由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ=== ()11932129122C C P C ξ===()232121222C P C ξ=== ∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯= 18.〔1〕∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥∵ PC BDE ⊥平面∴ PC BD ⊥∴ BD PAC ⊥平面〔2〕设AC 与BD 交点为O ，连OE∵ PC BDE ⊥平面∴ PC OE ⊥又∵ BO PAC ⊥平面∴ PC BO ⊥∴ PC BOE ⊥平面∴ PC BE ⊥∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角∵ BD PAC ⊥平面∴ BD AC ⊥∴ ABCD 四边形为正方形∴BO =在PAC ∆中，133OE PA OE OC AC ==⇒= ∴ tan 3BO BEO OE∠== ∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为3 19.〔1〕在11221n n n S a ++=-+中令1n =得：212221S a =-+令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+又()21325a a a +=+解得11a =〔2〕由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+所以132n n n a a n N *+=+∈对成立∴ ()11+232n n n n a a ++=+∴ 23n n n a +=∴ 32n n n a =-〔3〕〔法一〕∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴ 1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)n n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<- 〔法二〕∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴ 11112n na a +<⋅ 当2n ≥时，321112a a <⋅ 431112a a <⋅541112a a <⋅ ………11112n n a a -<⋅ 累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭ ∴212311*********...1...5252552n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<< ⎪⎝⎭20.〔1〕由e =223a b =，椭圆方程为22233x y b += 椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b ≥,max 3d ==得1b =当②1b ->-即1b <,max 3d ==得1b =〔舍〕∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y += 〔2〕11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠ 当90AOB ∠=，AOB S ∆取最大值12， 点O 到直线l距离2d == ∴222m n +=又∵2213m n += 解得：2231,22m n ==所以点M 的坐标为22222222⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或 AOB ∆的面积为1221.〔1〕记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=--① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞ ② 当103a <≤，D ⎛⎫=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 当0a ≤，D ⎫=+∞⎪⎪⎝⎭ 〔2〕由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1 ② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤ ()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴ ()D f x 在内有无极值点理科数学试卷评析——汪治平1.整体分析：试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。
2012年广东高考理科数学试题及答案
试卷类型：A2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）题目及答案本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：主体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。
锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 . 设i为虚数单位，则复数56ii=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM=A .UB {1,3,5}C {3,5,6}D {2,4,6}3 若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10)4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln（x+2）B.y=-1x C.y=（12）x D.y=x+1x5.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为A.12B.11C.3D.-16,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是A. 49B.13C.29D.198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。
2012高考理科数学(广东版)试卷真题及答案
绝密★使用前试卷类型：A20##普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕本试卷共4页,21题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的##和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型〔B〕填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处〞。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh,其中S为柱体的底面积,h为柱体的高。
锥体的体积公式为V=1/3Sh其中S为锥体的底面积,h为锥体的高。
第I卷选择题〔共40分〕一、选择题：本大题共8小题,满分40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．设i为虚数单位,则复数56i i-=〔〕A．65i+B．65i-C．65i-+D．65i--2．设集合{1,2,3,4,5,6}U=,{1,2,4}M=,则UM =〔〕A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6}D．{2,4,6}3．若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC =〔〕A．(2,4)--B．(2,4)C．(6,10)D．(6,10)-4．下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是〔〕A．ln(2)y x=+B．y=．12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭D．1y xx=+5．已知变量x,y满足约束条件211yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩；则3z x y=+的最大值为〔〕A．12B．11C．3D．1-6．某几何体的三视图如图1所示,它的体积为〔 〕A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是 〔 〕A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβ=ββ。
2012广东高考数学(理科)参考答案mianfai
2012广东高考数学(理科)参考答案mianfai2012广东高考数学（理科）参考答案 选择题答案：1-8： DCAAB CDC填空题答案： 9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 10. 2011. 21n -12. 21y x =+ 13. 814. ()1,1 15. 3解答题16.（1）15ω= （2）代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒= 162cos 17β=8cos 17β⇒= ∵ ,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 415cos ,sin 517αβ== ∴ ()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=- 17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ=== ()11932129122C C P C ξ===解得：2123a a =+，31613a a =+又()21325a a a +=+解得11a =（2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+所以132nn n a a n N *+=+∈对成立∴ ()11+232n n n n a a ++=+∴ 23n n n a +=∴ 32n n n a =-（3）（法一）∵()()123211323233232...23n nn n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴ 1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)nn n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-（法二）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴ 11112n na a +<⋅当2n ≥时，321112a a <⋅431112a a <⋅541112a a <⋅………11112n n a a -<⋅累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭ ∴212311111111173...1...5252552n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<< ⎪⎝⎭20.（1）由23e =223a b =，椭圆方程为22233x y b +=椭圆上的点到点Q 的距离()()222222332d x y b y y =+-=-+-)222443y y b b y b =--++-≤≤当①1b -≤-即1b ≥,2max 633d b =+=得1b =当②1b ->-即1b <,2max 443d b b ++=得1b =（舍）∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y += （2）11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠当90AOB ∠=，AOB S ∆取最大值12，点O 到直线l 距离2222d m n ==+∴222m n +=又∵2213m n +=解得：2231,22m n ==所以点M 的坐标为62626262,22222222⎛⎫⎛⎛⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或 AOB ∆的面积为1221.（1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=-- ① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞ ② 当103a <≤， 22339309339309a a a a a a D ⎛⎫+--+++-+=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 当0a ≤，2339309a a a D ⎫++-+=+∞⎪⎪⎝⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1 ② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤ ()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴ ()D f x 在内有无极值点理科数学试卷评析——汪治平1.整体分析：试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。
2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(数学文)(广东卷)
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（广东卷）数学（文科）考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷､答题卡规定填写自己的姓名､座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名､座位号与本人姓名､座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整､笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．､草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交．说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算．第Ⅰ卷一､选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则A B ⋂=（ ）A ．()1,-+∞B ．()+∞,0C ．()1,+∞D ．()2,+∞2．若函数)()(3x x a x f --=的递减区间为（33-，33），则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．10a -<< C ．1a >D ．01a <<3．函数)1(log 2-=x y 的反函数图像是（ ）ABC D4．已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．13B ．-76C ．46D ．765．两个非零向量,a b 互相垂直，给出下列各式： ①0a b ⋅=； ②a b a b +=-； ③||||a b a b +=-； ④222()a b a b +=+； ⑤·0a b a b +-=（）（）． 其中正确的式子有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个6．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y ､2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（ ） A ．4p B ．5p C ．6pD ．8p7．0a b c ∈+∞，，（，）且表示线段长度，则a b c ，，能构成锐角三角形的充要条件是（ ） A ．222c b a <+ B ．222||c b a <- C ．||||b a c b a +<<-D ．22222||b a c b a +<<-8．下列函数中，周期为π的偶函数是（ ） A ．cos y x = B ．cos(2)2y x π=+C ．sin(2)2y x π=+D ．tan y x =9．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．已知抛物线:C 24x y =，直线:1l y =-．PA ､PB 为曲线C 的两切线，切点为,A B ．令甲：若P 在l 上，乙：PA PB ⊥；则甲是乙（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要第Ⅱ卷二､填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11-13题）11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是__________12．在回归分析中，对于x y ，随机抽取到的n 对数据,(1,2,...,)i i x y i n =（），样本相关系数r 具有下列哪些性质：（1）1r ≤；（2）r 越接近于1，x y ，的线性相关程度越弱； （3）r 越接近于1，x y ，的线性相关程度越强； （4）r 越接近于0，x y ，的线性相关程度越强； 请将正确的序号写出：__________13．若点P （αcos ，αsin ）在直线上x y 2-=上，则=+αα2cos 22sin ________． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是圆O 的直径，108AD DE AB BD ===，，，则cos BCE ∠=________15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的参数方程为：214x ty t==+⎧⎨⎩（t 为参数），圆C的极坐标为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为________三､解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明､证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知在ABC V 中，A B C ∠∠∠﹑﹑所对的边分别为a b c ﹑﹑，若cos cos A bB a= 且sin cos C A =． （1）求角A B C ､､的大小；（2）设函数()()sin cos 222C f x x x A ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的单调递增．．区间，并指出它相邻两对称轴间的距离．17．（本小题满分13分）袋中有6张卡片，编号分别是1､2､3､4､5､6，现从袋中任意抽取3张卡片，并记号码最大的为ξ．（1）求ξ的分布列和期望；（2）若3张卡片是有放回的抽取，则最大号码为4的概率是多少?18．（本小题满分13分）如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（1）证明：SO ⊥平面ABC ； （2）求二面角A SC B --的余弦值．19．（本小题满分14分）某森林出现火灾，火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50，所消耗的灭火材料､劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆､器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少?OSBAC20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中的各项均为正数，且满足()111122,1n n n n a a a n N a a +*+-==∈-．记2n nn b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1()2n n f x x =．（1）数列{}n b 和{}n a 的通项公式； （2）求证：()()()()()()()12312122n n f f f x x x n n n N f f x f x x *+-<+++<∈L ．21．（本小题满分14分）直线l ∶1y ax =+与双曲线C ∶1322=-y x 相交于A B ，两点． （1）a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点；（2）是否存在这样的实数a ，使A B ，关于直线20x y -=对称，若存在，求a 的值，若不存在，说明理由．普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（广东卷）数学（文科）1.选择题 1-5.BACBB 6-10.ADCCA二．填空题 11．-1212．（1）（3） 13．-2 14．3515．相交 三．解答题16．（本小题满分12分） 解：（1）由题设及正弦定理知：cos sin cos sin A BB A=， 得sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=．当A B =时，有sin(2)cos A A π-=， 即1sin 2A =，得6A B π==，23C π=；当2A B π+=时，有sin()cos 2A ππ-=，即cos 1A =，不符题设， ∴6A B π==，23C π=． （2）由（1）及题设知：()sin(2)cos(2)2sin(2)636f x x x x πππ=++-=+； 当2[2,2]()622x k k k Z πππππ+∈-+∈时， ()2sin(2)6f x x π=+为增函数，即()2sin(2)6f x x π=+的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈．它的相邻两对称轴间的距离为2π． 17．（本小题满分13分） （1）25.535.16.015.0=+++=ξE（2）21637666333444=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=P 18．（本小题满分13分）解：（1）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AOBO O =． 所以SO ⊥平面ABC ．（2）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（1）知SO OC SA AC ==，， 得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角． 由AO BC AO SO SOBC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又2AM SA =，故sinAO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B -- 解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴､y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，．SC 的中点11022M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，111101(101)2222MO MA SC ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，． 00MO SC MA SC ⋅=⋅=∴，．故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于二面角A SC B --的平面角．3cos MO MA MO MA MO MA⋅<>==⋅，所以二面角A SC B --的余弦值为3． 19．（本小题满分14分）解析：设派x 名消防员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则210100501005-=-⨯=x x t y =灭火劳务津贴+车辆､器械装备费+森林损失费=125t x +100x +60（500+100t ）=26000030000100210125-+++-⋅⋅x x x x =2600030000)22(1002221250-+++-+-+-⋅x x x x =262500)2(10031450-+-+x x3645062500100231450=⨯+≥当且仅当262500)2(100-=-x x ，即x =27时，y 有最小值36450．故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元． 20．（本小题满分14分） 解：（1）)(2211212111n n n n n n n n a a a a a a a a -=-⇒=--++++，}{,2,12n n n n n n b b b a a b 数列∴=-=+ 是公比和首项均为2的等比数列，nn b 2=∴，即).0(2211222>++=⇒=-+n n n nn na a a a （2）证明：因为等比数列{nb }的前n 项和,2212)12(21-=--=+n n n x 所以.12)(-=n n x f故,,,3,2,1,21)212(2121212)()(11n k x f x f k k k k k k =<--=--=++ 所以.2)()()()()()(13221nx f x f x f x f x f x f n n <++++ 另一方面,)12(21211212)()(111--=--=+++k k k k k x f x f.,,2,1,2121222121111n k k k k k =->-+-=+++ .21)211(212)212121(2)()()()()()(13213221->--=+++-≥+++∴++n n n x f x f x f x f x f x f n n n n.2)()()()()()(2113221nx f x f x f x f x f x f n n n <+++<-∴+ 21．（本小题满分14分）解：（1）联立方程ax+1=y 与1322=-y x ，消去y 得：022)3(22=---ax x a （*） 又直线与双曲线相交于A B ，两点， ∴660<<-⇒>∆a ．又依题OA ⊥OB ，令A B ，两点坐标分别为（1x ，1y ），（2x ，2y ），则2121x x y y -=． 且212121221211)()1)(1(x x x x a x x a ax ax y y -=+++=++=1221()1(x a a x x ++⇒)2x +01=+，而由方程（*）知：22132a a x x -=+，32221-=a x x 代入上式得1101323)1(222221±=⇒=⇒=+-+-+-a a aa a a ．满足条件．（2）假设这样的点A ，B 存在，则l ：y=ax+1斜率a=-2．又AB 中点2(21x x +，)221y y + 在x y 21=上，则)(212121x x y y +=+， 又2)(2121++=+x x a y y ， 代入上式知6324)(22212121=⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=++=++a a a x x x x x x a 又这与2-=a 矛盾．故这样的实数a 不存在．。
2012年广东省高考数学试卷（理科）答案与解析
A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i 考点：复数代数形式的乘除运算．系的扩充和复数．专题：数系的扩充和复数．分析：把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果．，由此能求出结果．解答：解：===﹣6﹣5i．故选D．题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6} 考点：补集及其运算．合．专题：集合．分析：直接利用补集的定义求出C U M．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}，故选C．点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．，向量，则A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）考点：平面向量的坐标运算．面向量及应用．专题：平面向量及应用．分析：由向量，向量，知，再由，能求出结果．，能求出结果．解答：解：∵向量，向量，∴，∴=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3） =（﹣2，﹣4）． 故选A ． 点评： 本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算．题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算． 4．（5分）（2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）上为增函数的是（ ）A ．y =ln （x+2） B ．C ．D ．考点： 对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用．数的性质及应用． 分析： 利用对数函数的图象和性质可判断A 正确；利用幂函数的图象和性质可判断B 错误；利用指数函数的图象和性质可判断C 正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断D 的单调性单调性 解答： 解：A ，y=ln （x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A 正确；确；B ，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除B C ，在R 上为减函数；排除C D ，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D 故选故选 A 点评： 本题主要考查了常见函数的图象和性质，题主要考查了常见函数的图象和性质，特别是它们的单调性的判断，特别是它们的单调性的判断，特别是它们的单调性的判断，简单复合函数简单复合函数的单调性，属基础题的单调性，属基础题5．（5分）（2012•广东）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为（ ）A ． 12 B ． 11 C ． 3D ． ﹣1 考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用．等式的解法及应用． 分析： 先画出线性约束条件表示的可行域，画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，在将目标函数赋予几何意义，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目数形结合即可得目标函数的最值标函数的最值：画出可行域如图阴影部分，解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）越大， 目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11 故选 B 故选点评：本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题识，数形结合的思想方法，属基础题6．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）A．12πB．45πC．57πD．81π考点：由三视图求面积、体积．间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项可得到正确选项解答：解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C 点评： 本题考查三视图还原几何体及求组合体的体积，解题的关键是熟练记忆相关公式及由三视图得出几何体的长宽高等数据，且能根据几何体的几何特征选择恰当的公式进行求体积的运算，求体积的运算，7．（5分）（2012•广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．率与统计． 分析： 先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n ，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求 解答： 解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有=45 记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A ，则A 包含的结果：10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得，P （A ）=故选D 点评： 本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是灵活利用简单的排列、解题的关键是灵活利用简单的排列、解题的关键是灵活利用简单的排列、组组合的知识求解基本事件的个数合的知识求解基本事件的个数8．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义○=，若平面向量、满足||≥||＞0，与的夹角，且○和○都在集合中，则○=（ ）A ．B ．1 C ．D ．考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 空间向量及应用．间向量及应用． 分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n ≥m 且m 、n ∈z ．再由cos 2θ=，与的夹角θ∈（0，），可得cos 2θ∈（，1），即∈（，1），由此求得n=3，m=1，从而得到，从而得到 •== 的值．的值．解答：解：由题意可得解：由题意可得 •====．同理可得同理可得 •====．由于||≥||＞0，∴n ≥m 且 m 、n ∈z ． ∴cos 2θ=．再由与的夹角θ∈（0，），可得cos 2θ∈（，1），即∈（，1）．故有故有 n=3，m=1，∴•==， 故选C ．点评： 本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n ≥m 且m 、n ∈z ，且∈（，1），是解题的关键，属于中档题．解题的关键，属于中档题．的解集为的解集为．考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 集合．合． 分析： 由题意，可先将不等式左边变形为分段函数的形式，然后再分三段解不等式，将每一段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集 解答：解：∵|x+2|﹣|x|=∴x ≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；无解； 当﹣2＜x ＜0时，由2x+2≤1解得x ≤，即有﹣2＜x ≤；当x ≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，恒成立， 综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为点评： 本题考查绝对值不等式的解法，题考查绝对值不等式的解法，其常用解题策略即将其变为分段函数，其常用解题策略即将其变为分段函数，其常用解题策略即将其变为分段函数，分段求解不等分段求解不等式．式．10．（5分）（2012•广东）中x 3的系数为的系数为20 ．（用数字作答）（用数字作答）考点： 二项式定理． 专题： 排列组合．列组合．分析： 由题意，可先给出二项式的通项，再由通项确定出x 3是展开式中的第几项，从而得出其系数出其系数 解答：解：由题意，的展开式的通项公式是Tr+1==x 12﹣3r令12﹣3r=3得r=3 所以中x 3的系数为=20 故答案为20 点评： 本题考查二项式定理的通项，属于二项式考查中的常考题型，题考查二项式定理的通项，属于二项式考查中的常考题型，解答的关键是熟练掌握解答的关键是熟练掌握二项式的通项公式二项式的通项公式11．（5分）（2012•广东）已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1，a 3=a 22﹣4，则a n = 2n ﹣1 ．考点： 等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．差数列与等比数列． 分析： 由题意，设公差为d ，代入，直接解出公式d ，再由等差数列的通项公式求出通项即可得到答案求出通项即可得到答案 解答： 解：由于等差数列{a n }满足a 1=1，，令公差为d 所以1+2d=（1+d ）2﹣4，解得d=±2 又递增的等差数列{a n }，可得d=2 所以a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1 故答案为：2n ﹣1． 点评： 本题考查等差数列的通项公式，题考查等差数列的通项公式，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，需要熟练需要熟练记忆公式．记忆公式．12．（5分）（2012•广东）曲线y=x 3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为）处的切线方程为2x ﹣y+1=0 ．考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用．数的概念及应用． 分析： 先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．化成一般式即可．解答： 解：y ʹ=3x 2﹣1，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y ﹣3=2（x ﹣1）， 即2x ﹣y+1=0．故答案为：2x ﹣y+1=0． 点评： 本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．属于基础题．13．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出的s 的值为的值为 8 ．考点： 循环结构． 专题： 算法和程序框图．法和程序框图． 分析： 由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i ＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s 值．值． 解答： 解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4； 当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i ＜8”，退出循环，，退出循环，则输出的s=8 故答案为：8 点评： 本题主要考查的知识点是程序框图，题主要考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，在写程序的运行结果时，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的我们常使用模拟循环的变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．14．（5分）（2012•广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1与C 2的参数方程分别为（t 为参数）和（θ为参数），则曲线C 1与C 2的交点坐标为的交点坐标为 （1，1） ．考点： 抛物线的参数方程；圆的参数方程． 专题： 坐标系和参数方程．标系和参数方程．分析： 把曲线C 1与C 2的参数方程分别化为普通方程，解出对应的方程组的解，即得曲线C 1与C 2的交点坐标．的交点坐标．解答： 解：在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1与C 2的普通方程分别为的普通方程分别为 y 2=x ，x 2+y 2=2．解方程组解方程组可得可得，故曲线C 1与C 2的交点坐标为（1，1），故答案为故答案为 （1，1）． 点评： 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于中档题． ．考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 直线与圆．线与圆．分析： 连接OA ，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠得到∠AOC=60°．因为直线PA 与圆O 相切于点A ，且OA 是半径，得到△P AO 是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题中数据可得PA=OAtan60°=．解答： 解：连接OA ，∵圆O 的圆周角∠ABC 对弧AC ，且∠ABC=30°， ∴圆心角∠AOC=60°．又∵直线P A 与圆O 相切于点A ，且OA 是半径，是半径， ∴OA ⊥PA ， ∴Rt △P AO 中，OA=1，∠AOC=60°， ∴PA=OAtan60°= 故答案为：点评： 本题给出圆周角的度数和圆的半径，题给出圆周角的度数和圆的半径，求圆的切线长，着重考查了圆周角定理和圆的切求圆的切线长，着重考查了圆周角定理和圆的切线的性质，属于基础题．线的性质，属于基础题．（其中的值；（1）求ω的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．的值．考点：两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．角函数的求值；三角函数的图像与性质．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式ω==解出参数ω的值；值；（2）由题设条件，可先对，与进行化简，）的值． 求出α与β两角的函数值，再由作弦的和角公式求出cos（α+β）的值．解答：解：（1）由题意，函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π所以ω==，即所以（2）因为，，分别代入得及∵∴∴点评：本题考查了三角函数的周期公式及两角和与差的余弦函数，同角三角函数的基本关系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题．系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题．17．（13分）（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．的值；（1）求图中x的值；分）的的（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，（含90分）分以上（含人，该该2人中成绩在90分以上的数学期望．人数记为ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．率与统计．专题：概率与统计．分析：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人，则随机变量ξ的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望．解答：解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018 （2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0，1，2 ∴点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型的概率公式和离散型随机变量的数学期望，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．期望，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面P AC；的正切值．（2）若P A=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．间位置关系与距离；空间角；立体几何．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出P A⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A 的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：解：（1）∵P A⊥平面ABCD ∴P A⊥BD ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥BD，又P A∩PC=P ∴BD⊥平面P AC （2）设AC与BD交点为O，连OE ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥平面BOE ∴PC⊥BE 的平面角∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面P AC ∴BD⊥AC ∴四边形ABCD为正方形，又P A=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3 ∴OC=在△P AC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3 点评： 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握要熟练掌握19．（14分）（2012•广东）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =a n+1﹣2n+1+1，n ∈N *，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．成等差数列．（1）求a 1的值；的值； （2）求数列{a n }的通项公式；的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有．考点： 数列与不等式的综合；等差数列的性质；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．差数列与等比数列．分析： （1）在2S n =a n+1﹣2n+1+1中，令分别令n=1，2，可求得a 2=2a 1+3，a 3=6a 1+13，又a 1，a 2+5，a 3成等差数列，从而可求得a 1； （2）由2S n =a n+1﹣2n+1+1，得a n+2=3a n+1+2n+1①，a n+1=3a n +2n②，由①②可知{a n +2n}为首项是3，3为公比的等比数列，从而可求a n ；（3）（法一），由a n =3n ﹣2n =（3﹣2）（3n ﹣1+3n ﹣2×2+3n ﹣3×22+…+2n ﹣1）≥3n ﹣1可得≤，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；（法二）由a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a n 可得，＜•，于是当n ≥2时，＜•，＜•，，…，＜•，累乘得：＜•，从而可证得+++…+＜．解答： 解：（1）在2S n =a n+1﹣2n+1+1中，中，令n=1得：2S 1=a 2﹣22+1，令n=2得：2S 2=a 3﹣23+1， 解得：a 2=2a 1+3，a 3=6a 1+13 又2（a 2+5）=a 1+a 3 解得a 1=1 （2）由2S n =a n+1﹣2n+1+1，得a n+2=3a n+1+2n+1，又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，成立所以a n+1=3a n+2n对n∈N*成立∴a n+1+2n+1=3（a n+2n），又a1=1，a1+21=3，∴a n+2n=3n，∴a n=3n﹣2n；（法一）（3）（法一）∵a n=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1∴≤，∴+++…+≤1+++…+=＜；（法二）∵a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a n，∴＜•，当n≥2时，＜•，＜•，，…＜•，累乘得：＜•，∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列递推式，着重考查等比数列的求和，着重考查放缩法的应用，综合性强，运算量大，属于难题．查放缩法的应用，综合性强，运算量大，属于难题．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．积；若不存在，请说明理由．圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．专圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．题：分析：（1）由得a 2=3b 2，椭圆方程为x 2+3y 2=3b 2，求出椭圆上的点到点Q 的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M （m ，n ）存在，则有m 2+n 2＞1，求出|AB|，点O 到直线l 距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M 的坐标．的坐标．解答：解：（1）由得a 2=3b 2，椭圆方程为x 2+3y 2=3b 2椭圆上的点到点Q 的距离=①当﹣b ≤﹣1时，即b ≥1，得b=1 ②当﹣b ＞﹣1时，即b ＜1，得b=1（舍）（舍）∴b=1 ∴椭圆方程为（2）假设M （m ，n ）存在，则有m 2+n 2＞1 ∵|AB|=，点O 到直线l 距离∴=∵m 2+n 2＞1 ∴0＜＜1，∴当且仅当，即m 2+n 2=2＞1时，S △AOB 取最大值，又∵解得：所以点M 的坐标为或或或，△AOB 的面积为．点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．三角形的面积是关键．考点： 利用导数研究函数的极值；交集及其运算；一元二次不等式的解法． 专题： 导数的综合应用．数的综合应用．分析： （1）根据方程2x 2﹣3（1+a ）x+6a=0的判别式讨论a 的范围，求出相应D 即可；即可；（2）由f ʹ（x ）=6x 2﹣6（1+a ）x+6a=0得x=1，a ，然后根据（1）中讨论的a 的取值范围分别求出函数极值即可．范围分别求出函数极值即可． 解答： 解：（1）记h （x ）=2x 2﹣3（1+a ）x+6a （a ＜1）△=9（1+a ）2﹣48a=（3a ﹣1）（3a ﹣9），当△＜0，即，D=（0，+∞），当，当a ≤0，．（2）由f ʹ（x ）=6x 2﹣6（1+a ）x+6a=0得x=1，a ， ①当，f （x ）在D 内有一个极大值点a ，有一个极小值点；，有一个极小值点； ②当，∵h （1）=2﹣3（1+a ）+6a=3a ﹣1≤0，h （a ）=2a 2﹣3（1+a ）a+6a=3a ﹣a 2＞0， ∴1∉D ，a ∈D ，∴f （x ）在D 内有一个极大值点a ． ③当a ≤0，则a ∉D ，又∵h （1）=2﹣3（1+a ）+6a=3a ﹣1＜0． ∴f （x ）在D 内有无极值点．内有无极值点． 点评： 本题主要考查了一元二次不等式的解法9，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试——文数(广东卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试——文数（广东卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设i 为虚数单位，则复数34i i+=（ ）A.43i --B.43i -+C.i 4+3D.i 4-3 【答案】D 【解析】依题意：234(34)43i i i i ii++==-2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5}U M ==；则U C M =（ ） A.{,,}246 B.{1,3,5} C.{,,}124 D.U【答案】A【解析】U C M ={,,}2463. 若向量(1,2),(3,4)A B B C ==；则AC = （ ）A.(4,6)B.(4,6)--C.(,)-2-2D.(,)22 【答案】A【解析】(4,6)AC AB BC =+=4. 下列函数为偶函数的是（ ） A.sin y x =B.3y x =C.x y e =D.lny =【答案】D【解析】sin y x =与3y x =是奇函数，，x y e =是非奇非偶函数。
5. 已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A.3B.1C.5-D.6-【答案】C【解析】约束条件对应A B C ∆边际及内的区域：(1,0),(1,2),1,2)A B C ---，则2[5,3]z x y =+∈-.6. 在A B C ∆中，若60,45,A B B C ︒︒∠=∠==A C =（ ）A.B.C.D.2【答案】B【解析】由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC AC AC AB︒︒=⇔=⇔=7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ） A.72π B.48π C.π30 D.π24【答案】C【解析】几何体是半球与圆锥叠加而成，它的体积为321413330233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦A B 的长等于（ ）A.B.C. D.1【答案】B 【解析】圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y +-=的距离515d -==，弦A B 的长AB ==.9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（ ） A.105 B.16 C.15 D.1【答案】C 【解析】10.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若两个非零的平面向量,a b满足，a 与b 的夹角(,)42ππθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b = （ ）A.12B.1C.32D.52【答案】A【解析】21cos 0,cos 0()()cos (0,)2a b a b b a a b b a b a θθθ=>=>⇒⨯=∈,a b b a 都在集合}2n n Z ⎧∈⎨⎩中得：*12121()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
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1 2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题 （考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上 1. 已知02014201320112010201222kk，则k .
答案： 220122（或4048142） 解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)nnnnnnnn 24222(54)(2).nnnn
2. 函数()sin()sin()cos366fxxxx的最小值等于 . 答案：1 解：因为
()sincoscossinsincoscossincos366663sincos32sin()3,6fxxxxxxxxx
所以)(xf的最小值为1.
3. 已知 1()2bxfxxa，其中,ab为常数，且2ab. 若 1()()fxfkx为常数，则k的值为 . 答案：1.4 解：由于 222211(1)()()222(4)2bxbxbxbxbkfxfxxaaxaxaxa
是常数，故2akb，且22(4)1akb. 将2bak代入22(4)1akb整理得22(4)(14)0kkak，分解因式得2(41)(1)0kka. 若410k，则
210ka，因此222abka，与条件相矛盾. 故410k，即14k. 2
4. 已知方程2133xxp有两个相异的正实数解，则实数p的取值范围是 . 答案：9(,2).4
解法一：令3xt，则原方程化为230ttp. 根据题意，方程230ttp有两个大于1的相异实根.
令2()3ftttp，则22(3)40,9(1)1310,2.431.2pfpp 解法二：令3xy，则原方程化为230yyp. 注意到这个关于y的方程最多有两个解，而由3xy严格单调递增知每个y最多对应一个x，因此所求的p
应当使230yyp有两个相异的实数解12,yy，且满足12123,3xxyy的两个实数12,xx都是正的. 由于12,xx都是正的，故12,yy都应大于1. 由于123yy，故
213yy，因此1y必须满足11y，131y及113yy. 因此1y的取值范围为33(1,)(,2)22. 因此1211(3)pyyyy的取值范围为9(,2)4.
5. 将25个数排成五行五列： 11121314152122232425313233343541424344455152535455
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
已知第一行11a,12a,13a,14a,15a成等差数列，而每一列1ja，2ja，3ja，4ja，5ja（15j）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a,412a,4310a,
则1155aa的值为______. 答案：11 解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等. 3
由412a,4310a知4210(2)42a且公差为6，故4416a,4522a. 由244a,4416a知公比2q. 若2q，则113214as,55222411a，故115511aa；
若2q，则113214as,5522(2)4(11)a，故115511aa.
6.设点P在曲线12xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则PQ的最小值为______. 解：2(1ln2).
函数12xye与函数ln(2)yx互为反函数，图象关于yx对称.
函数12xye上的点1(,)2xPxe到直线yx的距离为122xexd. 设函数minmin111ln2()()1()1ln2222xxgxexgxegxd. 由图象关于yx对称得：PQ最小值为min22(1ln2)d. 7.将2个a和2个b共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 . 答案：3960 解：使得2个a既不同行也不同列的填法有224472CA种，使得2个b既不同行也不同列的填法有224472CA种，故由乘法原理，这样的填法共有272种. 其中不合要求的有两种情况：2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内恰有1个方格填有b的情况有121691672CA种.
所以，符合条件的填法共有2727216723960种. 8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体 4
的体积为112，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156，则该梯形的周长为 . 答案：16213. 解：设梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33hbhabhab，因此21(2)1123hab，即2(2)336hab. 同理有2(2)240hab，两式相除得2336722405abab，去分母
化简得3ba，代入2(2)336hab得248ah. 注意到直角腰长等于高h，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563haabb. 将3ba代入化简得236ah. 结合248ah可解得3,4ah，因此9b，由勾股定理知另一条腰的长度为224(93)213，因此梯形的周长为39421316213.
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1xyab(>>0)ab的左、右顶点分别为,AB，
点P在椭圆上且异于,AB两点，O为坐标原点. 若||=||APOA，证明：直线OP的斜率k满足||3k. 解法一：设(cos,sin)(02)Pab,(,0)Aa. 由||||APOA，有22(cos)(sin)aaba， 即22222cos2cossin0aab. ……4分
从而 22222221cos0,cos2cossinsin.aaba
所以，1cos02，且2222sin213coscosba. 所以，sin2||13.coscosbka ……16分 5
解法二：设(cos,sin)(02)Pab. 则线段OP的中点(cos,sin)22abQ. ||=||APOA1AQAQOPkk. sinsincos22cosAQAQAQbkbakakaa
. ……8分
22222222222)cos(sin)(2AQAQAQAQkaakabkbbak
1||||33AQkk. ……16分
2．（本小题满分20分） 设非负实数a，b，c 满足3cba. 求 222222()()()Saabbbbccccaa
的最大值. 解：不妨设cba.显然有222bbccb，222ccaaa. ……………5分 根据AM-GM不等式可得
22222236622
55
433()()9223344()4()()12.229333ababSabaabbaabbababababcaabb
……………15分 所以S 的最大值为12，这时0,1,2,,cba. ……………20分
3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:fNN使得对于所有x，y *N，2(())fxy都能被2()fyx整除.
解：根据题目的条件，令1yx，则2((1))1f能被(1)1f整除. 因此2((1))(1)ff能被(1)1f整除，也就是(1)((1)1)ff能被(1)1f整除. 因为(1)f与(1)1f互素，所以(1)1f能被(1)1f整除，且(1)1(1)ff，所以(1)10f，(1)1f. ……………10分 令1y，则2(())1fx能被21x整除，因此22(())fxx.从而()fxx，对