2018秋九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第5课时直角三角形相似的判定作业课件新版沪科版
2018年秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定
22.2 第3课时 相似三角形的判定定理2 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．已知△ABC 如图22－2－19①所示，则图②中与△ABC 相似的是( )图22－2－192．下列条件中可以判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的是( )A. AB AC ＝A ′B ′A ′C ′ B. AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，∠B ＝∠B ′ C. AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，∠A ＝∠A ′ D. AB A ′B ′＝AC A ′C ′3．［教材练习第2题变式］在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.在Rt △A ′B ′C ′中，∠C ′＝90°，添加下列条件后不能判定两个直角三角形相似的是( )A ．A ′C ′＝12，B ′C ′＝9B ．A ′C ′＝12，A ′B ′＝15C ．A ′C ′＝9，A ′B ′＝12D ．B ′C ′＝9，A ′B ′＝154．如图22－2－20，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，D ，E ，B ，C 在同一条直线上，且AB 2＝BD ·CE ，求证：△ABD ∽△ECA .图22－2－205．如图22－2－21，3个相同的正方形拼成1个矩形，则∠EAD ＋∠EBD 的度数为________．图22－2－216．［2016·杭州］如图22－2－22，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DF CG. (1)求证：△ADF ∽△ACG ； (2)若AD AC ＝12，求AF FG的值．图22－2－227．如图22－2－23，已知△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，D是边AC上一点，且满足BC2＝CD·AC，DE与AB相交于点F，则图中的相似三角形共有( ) A．6对 B．7对 C．8对 D．9对图22－2－231．C2．C3．C [解析] A 项中直接利用两条直角边对应成比例，夹角都是直角，进行判定；B ，D 选项先用勾股定理求出另一个直角边，再用相似的判定定理进行判定．只有C 项给出的对应边不成比例．4．证明：∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝BD·CE，∴AB CE ＝BD AB ，即AB CE ＝BD AC ，∴△ABD ∽△ECA.5． 45°6．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE ＝∠CAB，∴∠ADF ＝∠C.又∵AD AC ＝DF CG ，∴△ADF ∽△ACG.(2)∵△ADF∽△ACG，∴AD AC ＝AF AG .又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12，∴AF FG ＝1.7．D [解析] ∵△ABC 与△BED 都是顶角为36°的等腰三角形，∴ABC ∽△EBD. ∵BC 2＝CD·AC，∴△BCD ∽△ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD＝∠A＝36°，∴△BCD ∽△EBD.同理，△BDF ∽△BCD ∽△ABC ∽EBD ，△ADF ∽△EBF ∽△ABD.。
2018年秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定
22.2 第2课时相似三角形判定定理1知|识|目|标通过观察、测量、试验、推理等方法，归纳出相似三角形判定定理1，并能应用其解决相关问题．目标会用相似三角形判定定理1判定三角形相似例1 ［教材补充例题］如图22－2－7，在△ABC中，∠C＝90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E.根据题意，回答下列问题：图22－2－7(1)在△DEM和△BEN中，∵∠DME与∠BNE都是________角，∴__________________．∵∠DEM与∠BEN是________角，∴__________________，∴________∽________．(2)在△ABC和△EBN中，∵∠ACB与∠ENB都是________角，∴____________________．∵∠ABC与∠EBN是公共角，∴____________，∴________∽________．(3)由(1)(2)可知△ABC与△DEM之间的关系为________．【归纳总结】运用定理1判定三角形相似时“四注意”：(1)注意是不是有公共角；(2)注意是不是有对顶角；(3)注意是否有特殊角，例如直角；(4)注意运用“三角形的内角和为180°”计算三角形的内角度数．例2 ［教材补充例题］[2017·益阳模拟] 如图22－2－8，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E，连接BD.求证：△ABC∽△BDC.图22－2－8例3 ［教材补充例题］如图22－2－9，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，交CA的延长线于点F.求证：DA2＝DE·DF.图22－2－9【归纳总结】证明等积式或比例式的一般方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式．知识点相似三角形判定定理1如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(可简单说成：__________________的两个三角形相似)．[点拨] 通过判定两个角分别相等来证明两个三角形相似是判定两个三角形相似的常用办法．如图22－2－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P是斜边AB上一点，且AP＝2.过点P作一直线，与Rt△ABC另一边的交点为D，并且截得的三角形与Rt△ABC相似，求PD的长．图22－2－10小林给出如下的解法：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝42＋32＝5.分两种情况考虑：如图22－2－11①，过点P作PD⊥AC于点D，则∠ADP＝∠C.又∵∠DAP＝∠CAB，∴△APD ∽△ABC ，∴PD BC ＝AP AB ，即PD 3＝25， ∴PD ＝65.图22－2－11如图②，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，则∠PDB ＝∠C . 又∵∠PBD ＝∠ABC ， ∴△PBD ∽△ABC ，∴PD AC ＝PB AB ，即PD 4＝5－25， ∴PD ＝125.故PD 的长为65或125.你认为以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误的原因，并说明理由，且给出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 (1)直 ∠DME＝BNE 对顶 ∠DEM＝∠BEN △DEM △BEN (2)直 ∠ACB＝∠ENB ∠ABC＝∠EBN △ABC △EBN (3)相似例2 证明：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD.∵∠BAC ＝40°， ∴∠ABD ＝40°. ∵∠ABC ＝80°， ∴∠DBC ＝40°， ∴∠DBC ＝∠BAC. 又∵∠C＝∠C， ∴△ABC ∽△BDC.例3 证明：在△ABC 中，∵∠BAC ＝90°，DF 为BC 的垂直平分线，∴D 为BC 的中点， ∴AD ＝12BC ＝DB ，∴∠B ＝∠DAB.∵DF ⊥BC 于点D ，∴∠C ＋∠F＝90°. 又∵∠B＋∠C＝90°，∴∠B ＝∠F， ∴∠DAB ＝∠F.又∵∠ADE＝∠FDA， ∴△ADE ∽△FDA ， ∴DE DA ＝DA DF ， ∴DA 2＝DE·DF.[反思] 不正确，分类不全面，丢了一种情况．第1，2种情况，跟小林解法相同，第3种情况如下： 如图，过点P 作PD⊥AB 交AC 于点D ，则∠APD＝∠ACB.又∵∠DAP＝∠BAC， ∴△ADP ∽△ABC ， ∴PD BC ＝AP AC ，即PD 3＝24，∴PD ＝32.故PD 的长为65或125或32.。
2018年秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第4课时 相似三角形的判定
22.2 第4课时 相似三角形判定定理3 一、选择题 1．［2017·河北］若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( ) A．增加了10% B．减少了10% C．增加了(1＋10%) D．没有改变 2．［2017·当涂县期末］已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′中的第三条边长应该是 ( ) A．2 B.2 C．4 D．2 2 3．如图23－K－1，在4×4的正方形网格图②③④中的三角形与图①中的三角形相似的是( )
图23－K－1 A．② B．③ C．④和③ D．②和④ 二、填空题
4．要判定△ABC∽△A′B′C′，已知条件ABA′B′＝BCB′C′，还要添加条件__________(填角的关系)或____________(填边的关系，填一组即可)． 5．若△ABC的各边长分别为AB＝25 cm，BC＝20 cm，AC＝15 cm，△DEF的两边长分别为DE＝5 cm，EF＝4 cm，则当DF＝________ cm时，△ABC与△DEF相似． 6．［2016·潜山县期末］如图23－K－2，D是△ABC内的一点，连接BD并延长到点E，
连接AD，AE.若ADAB＝DEBC＝AEAC，且∠CAE＝29°，则∠BAD＝________°.
图23－K－2 三、解答题 7．［2018·肥东县月考］如图23－K－3，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由.
图23－K－3 2
8．［2017·池州市期末］如图23－K－4，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且ABAE＝BCED＝ACAD. 求证：(1)∠BAE＝∠CAD； (2)△ABE∽△ACD.
图23－K－4
沪科版九年级数学上册22.2相似三角形的判定说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课的内容是沪科版九年级数学上册22.2相似三角形的判定。本节课在课程体系中位于九年级上册的几何部分，是在学生已经学习了全等三角形、三角形的基本概念和性质之后，进一步研究三角形相似性的判定条件。主要知识点包括：
1.相似三角形的定义及性质。
4.对于复杂问题的解决策略和方法不够熟练，容易产生畏难情绪。
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：通过设计有趣的实际问题情境，引导学生发现相似三角形在实际生活中的应用，激发学生的探究欲望。
2.小组合作：组织学生进行小组讨论和合作，让他们在互动中发现问题、解决问题，培养团队合作精神。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，已经具备了一定的前置知识和技能，如全等三角形的性质、角的度量、三角形的分类等。然而，在学习相似三角形判定条件时，可能存在以下学习障碍：
1.对相似三角形判定条件的理解不够深入，容易混淆。
2.缺乏实际操作和观察，难以将理论知识与实际应用相结合。
3.逻辑推理能力较弱，难以独立完成三角形相似的证明过程。
学生通过观察、分析、推理等方法，探究相似三角形的判定条件，培养空间想象能力和逻辑思维能力。同时，学会运用数学语言进行表达和交流。
3.情感态度与价值观：
学生在学习和应用相似三角形知识的过程中，体验数学的严密性和实用性，培养对数学的兴趣和信心。同时，通过小组合作，学会与他人合作，共同解决问题。
（三）教学重难点
3.激励评价：及时给予学生积极的反馈和评价，鼓励他们克服困难，持续进步。
4.游戏化学习：设计一些数学游戏，如竞赛、拼图等，让学生在游戏中学习，提高学习兴趣。
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》教学设计5
沪科版数学九年级上册22.2《相似三角形的判定》教学设计5一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪科版数学九年级上册第22章第2节的内容。
本节课主要学习了相似三角形的判定方法，包括AA相似定理、SAS相似定理、SSS相似定理和直角三角形的相似定理。
通过本节课的学习，学生能够理解和掌握相似三角形的判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识。
大部分学生对这些基础知识掌握较好，但部分学生在理解和运用方面存在困难。
此外，学生对于实际问题的解决能力也有所不同，需要教师在教学中给予关注和指导。
三. 教学目标1.理解相似三角形的定义和性质。
2.掌握相似三角形的判定方法。
3.能够运用相似三角形的知识解决实际问题。
4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：理解和运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究和合作交流来理解和掌握相似三角形的判定方法。
2.利用多媒体课件和实物模型辅助教学，帮助学生直观地理解相似三角形的性质和判定方法。
3.结合例题和练习题，引导学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
4.采用分组讨论和小组竞赛的形式，激发学生的学习兴趣和竞争意识。
六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。
2.练习题和测试题。
3.分组讨论和小组竞赛的准备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些实际问题，引导学生思考如何利用相似三角形的知识来解决这些问题。
2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的定义和性质，通过实物模型和多媒体课件展示相似三角形的判定方法，包括AA相似定理、SAS相似定理、SSS相似定理和直角三角形的相似定理。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，结合例题和练习题，运用相似三角形的判定方法进行解题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
22.2 第4课时 相似三角形的判定定理3
例2:如图, 方格网的小方格是边长为1的正方形，△ABC
与 △A′B′C′ 的顶点都在格点上，△ABC 与 △A′B′C′ 相
似吗?为什么? 解：△ABC 与 △A′B′C′ 的顶点 都在格点上，根据勾股定理，得
AB 2, AC 2, BC 10;
B
C A A′
AB 5, AC 10, BC 5;
B'
C'
△ABC∽△A'B'C'
3 证得 △A'DE≌△ABC
新课讲授
全等三角形
全等三角形是相似三角形的特例.
相似三角形 A'
A'
A
类比
A
B'
C' B
SSS定理
AB=A'B' BC =B'C' AC =A'C'
C
B'
C' B
C
特殊到一般
，
AB∴ BC AC k
A'B' B'C' A'C'
猜想：三边对应成比例的两个三角形相似.
∵ DE 2.4 0.6，EF 2.1 0.6，FD 1.8 0.6，
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴ DE EF FD . ∴ △ABC ∽ △DEF. AB BC CA
归纳总结
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了 两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比 值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短 边对应.
AB BC AC
B
又 A' B' B'C' A' C' ，AD = A′B′，
秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定定理1(2
第2课时一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法1——“两角分别相等的两个三角形相似”2．难点：三角形相似的判定方法1的运用．3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、课堂引入1.复习相似多边形的定义，得出相似三角形的定义三角分别相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2．复习提问：(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(3) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？3.教材P89 想一想做一做让学生画图，自主展开探究活动．【归纳】三角形相似的判定方法1 两角分别相等的两个三角形相似。
四、例题讲解例1（教材P89例1）．解：略（见教材P89例1）．例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE 于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个B'A'A B三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=310）． 六、课堂练习1．教材P90随堂练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．七、课后练习1． 已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EFBF AF ．教学反思。
[推荐学习]2018年秋九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定
22.2 第3课时 相似三角形的判定定理2知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．已知△ABC 如图22－2－19①所示，则图②中与△ABC 相似的是( )图22－2－192．下列条件中可以判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的是( )A. AB AC ＝A ′B ′A ′C ′ B. AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，∠B ＝∠B ′ C. AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，∠A ＝∠A ′ D. AB A ′B ′＝AC A ′C ′3．［教材练习第2题变式］在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.在Rt △A ′B ′C ′中，∠C ′＝90°，添加下列条件后不能判定两个直角三角形相似的是( )A ．A ′C ′＝12，B ′C ′＝9B ．A ′C ′＝12，A ′B ′＝15C ．A ′C ′＝9，A ′B ′＝12D ．B ′C ′＝9，A ′B ′＝154．如图22－2－20，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，D ，E ，B ，C 在同一条直线上，且AB 2＝BD ·CE ，求证：△ABD ∽△ECA .图22－2－205．如图22－2－21，3个相同的正方形拼成1个矩形，则∠EAD ＋∠EBD 的度数为________．图22－2－216．［2016·杭州］如图22－2－22，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DF CG. (1)求证：△ADF ∽△ACG ； (2)若AD AC ＝12，求AF FG的值．图22－2－227．如图22－2－23，已知△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，D是边AC上一点，且满足BC2＝CD·AC，DE与AB相交于点F，则图中的相似三角形共有( ) A．6对 B．7对 C．8对 D．9对图22－2－231．C2．C3．C [解析] A 项中直接利用两条直角边对应成比例，夹角都是直角，进行判定；B ，D 选项先用勾股定理求出另一个直角边，再用相似的判定定理进行判定．只有C 项给出的对应边不成比例．4．证明：∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝BD·CE，∴AB CE ＝BD AB ，即AB CE ＝BD AC， ∴△ABD ∽△ECA.5． 45°6．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE ＝∠CAB，∴∠ADF ＝∠C.又∵AD AC ＝DF CG， ∴△ADF ∽△ACG.(2)∵△ADF∽△ACG，∴AD AC ＝AF AG. 又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12， ∴AF FG＝1. 7．D [解析] ∵△ABC 与△BED 都是顶角为36°的等腰三角形，∴ABC ∽△EBD.∵BC 2＝CD·AC，∴△BCD ∽△ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD＝∠A＝36°，∴△BCD ∽△EBD.同理，△BDF ∽△BCD ∽△ABC ∽EBD ，△ADF ∽△EBF ∽△ABD.。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、学习要求1．了解相似多边形的概念，知道相似多边形的性质；2．了解两个三角形相似的概念，会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；3．会利用相似三角形的知识解决一些实际问题；认识现实生活中物体的相似；会运用相似多边形的性质解决简单的问题；利用图形的相似解决一些简单实际问题.二、知识梳理及例题分析1．相似三角形的概念：在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？猜想：与相似. 证明：在与中，∴，.过点作，交于点在中，，，∴. 又，∴∴，∴∽(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为.改变点在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？已知：在和中，.求证：∽.分析：要证明∽，可以先作一个与全等的三角形，证明它与相似，这里所作的三角形是证明的中介，它把与联系起来证明：在线段(或它的延长线)上截取，过点作，交于点，根据前面的结论可得∽. ∴又，∴∴同理：∴≌∴∽相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.思考：若，，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.解：(1)，∴又∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)(2)，，∴与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：)例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：，3；或，；或，.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.分析:题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接，.在∴∽∴.例4.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.分析：(1)利用两角相等证相似；(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；(3)利用射影定理和勾股定理直接求；(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.分析：先利用相似三角形的性质得到，，再利用角平分线的定义，得到，从而可证得∽，则比例式可证得得到：相似三角形对应角的平分线的比等于相似比.那么对应中线的比，对应高线的比呢？4．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.证明：如果∽，相似比为，那么.因此，，.从而，.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形，并且，∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在和中，，又∽，相似比为.的周长为，的面积是.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△B CO；(2)如果AP=m(m 是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O 上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似. 即，第2问：设∵是的比例中项，∴是的比例中项即∴解得又∵第3问：∵ ，，即当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.例7.如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.解：(1)，∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点，使得为等腰直角三角形.过作于，则，设交于若，则.∵∽若，同理可求. 若，∽∴ 在线段上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，或.三、总结归纳：1、相似三角形的判定：(1)相似三角形的定义；(2)平行得相似；(3)三边的比相等；(4)两边的比相等，夹角相等；(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.3、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期2相似三角形的判定课件
B1C1，垂足分别为点D，D1，且
AB A1B1
AD A1D1
求证：△A B C ∽△A1B1C1
课堂小结
直角三角形类似的判定方法：
预备定理
（判定定理1）两角对应相等
有一锐角相等的两Rt△类似
（判定定理2）两边对应成比例且夹角相等 （判定定理3）三边对应成比例 （特殊）斜边和直角边对应成比例
布置作业
HL
斜边和一条直角边对应相等， 两直角三角形全等
猜想：斜边和一条直角边对应成比例， 两直角三角形类似
已 知 ： 如 图 ， 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中 ，C C1 90 AB AC A1B1 A1C1
求 证 ：Rt△ABC ∽ Rt△A1B1C1
A
A1
C
B
C1
B1
直角三角形类似判定方法
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，那么这两个直角三形类似。
简单地说： 斜边和直角边对应成比例，两直角三角形类似。
看一看
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列两个直 角三角形是否类似？
（1）
D
A
45
12
15
C
B
F
E
（2）
A
5
C
( 2 ) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8
两边对应成比例且夹角相等，两三角形类似
AC BC C C △ABC ∽△ABC AC BC
( 3 ) AC=3，AB＝5，A'C'＝6，A'B'＝10
△ABC ∽△ABC
你的判定根据是？