2019-2020年福建省福州市质检一：福州市2019届高三第一次质量检测数学(文)试题-含答案
福建省福州市2018-2019学年高三第一学期质量抽测数学文试题(解析版)
2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学（文科）试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简集合,，再根据交集的运算即可．【详解】解：集合由集合中的不等式，因式分解得：，解得：，所以集合；则集合．故选：B．【点睛】此题考查了交集的运算，看清代表元素是解题关键，属于一道基础题．2.复数，则( )A. B. -2 C. D. 2【答案】D【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：，，故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，获得期中考试数学成绩的茎叶图如下：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是（）A. 75,84B. 76,83C. 76,84D. 75,83【答案】B【解析】【分析】利用中位数的定义，将茎叶图中数值排序，甲班9个数据选中间一位数，乙中10个数据选中间两个数据的平均数即得答案.【详解】解：甲班9个数据有小到大的顺序排序为：52,66,72,74,76,76，78,82,96故中位数为76；乙班10个数据有小到大的顺序排序为：62,74,76,78,82,84,85,86,88,92故中位数为.故答案为：B.【点睛】本题考查茎叶图中的中位数的定义，解题关键首要是排序，其次是看清个数，属于基础题.4.如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】三视图是对一个物体从一个三个不同的侧面进行正投影得到的，三个视图间存在长对正，高平齐，宽相等的对应关系，在三视图中不可见的轮廓用虚线表示.【详解】根据题意以及已知图形：由主视图得出主视方向，左视图应该是从实物图的左边进行正投影，右边的轮廓为不可见轮廓，所以要用虚线表示，故B正确.故选:B.【点睛】考查正投影，以及三视图的作图知识，本题属于中档题.5.已知，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式化简题中的等式，可得，再根据，解出. 【详解】，，即，解之得或．又由余弦函数取值范围，可知，不符合题意舍去，得.故选:C.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，注意有界性，属于中档题.6.已知点到双曲线的渐近线的距离为2，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，再根据点到直线的距离公式利用椭圆离心率公式求解即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，点到的距离，，．故选：A.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．7.等比数列的前项和为，若，，则（）A. 18B. 10C. -14D. -22【答案】D【解析】【分析】由求和公式可得关于和的值，再代入求和公式可得.【详解】解：设等比数列的公比为，显然，由求和公式可得①，②可得，解得，代回①可得，故选：．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题．8.函数的部分图像大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的表达式确定函数的性质，运用导数求出极值，从而利用数形结合确定函数的图象的形状．【详解】解：，函数是偶函数，的图象关于轴对称，故排除B，又，故排除D.在时取最小值，即时取最小值，解得x=，此时故排除C.故选:A.【点睛】本题考查了函数性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法以及导数在函数极值判断中的应用,属于中档题.9.已知函数在单调递增，则的最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简函数f（x），结合三角函数的单调性即可求f（x）的单调递增区间，从而得出m的最大值.【详解】在单调递增，即,解得即，由于则的最大值是.故选:C.【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求解，利用导数及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．10.如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线依次交抛物线及圆于点，、、四点，则的值是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】【分析】由已知可得，直线方程为，代入抛物线方程消去，结合抛物线的定义和韦达，即可得出结论．【详解】解：设，、，，由已知可知，直线方程为，代入抛物线方程消去，得，则=AF-r+DF-r=故选:B.【点睛】抛物线的定义，可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，属于基础题．11.在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是（）A. 3B.C.D. 4【答案】A【解析】【分析】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，，根据，求出，，根据三角函数的性质即可求出最值【详解】解：如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，，，，圆的方程为，设点的坐标为，，，即，=，，，，，，，，故的最大值为3，故选：A.【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．12.已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由题意知即等价转化为，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可. 【详解】解：对于任意，，恒成立,即也就是，代入选项验证即可，验证a=1时，，令，，由的图像可以知道在上递减，在上递增，故，，不满足，故排除B,D.验证时，，令，由的图像可以知道在上递减，在上递增，故，，满足，故排除C.故选：A.【点睛】本题考查恒成立问题的转化，应用导数求得最值，利用排除法通过验证选项求解的过程，属于中档题.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，，若，则__________．【解析】【分析】根据题意，由向量平行的坐标公式解得的值．【详解】解：根据题意，向量，，若，必有，解可得：；故答案为：-3．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，关键是利用向量平行的坐标表示方法得到关于的方程，属于基础题．14.若实数，满足约束条件则的最大值是__________．【答案】9【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象找出最优解求出最大值．【详解】解：画出变量，满足约束条件表示的平面区域如图：由解得．变形为，作出目标函数对应的直线，当直线过时，直线的纵截距最大，最大，最大值为，故答案为：9．【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求目标函数的最值，属于基础题．15.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是__________．【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解圆锥的高及底面半径，利用勾股定理建立等量关系求得球半径，再代入球的表面积公式求值即可．【详解】解：圆锥的顶点为，母线，互相垂直，的面积为8，可得：，解得，与圆锥底面所成角为．可得圆锥的底面半径为，圆锥的高为2，设该圆锥外接球的半径为R，由勾股定理可得,解得,则该圆锥外接球的表面积为：．故答案为：.【点睛】本题考查圆锥外接球表面积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．16.在中，已知，，，则__________．【答案】【解析】【分析】在BC上取点D,使得BD=AD找出A-B，应用余弦定理求得BD=DC=DA，证得A点在以BC为直径的圆上，在中解三角形且与互余，再利用诱导公式和二倍角公式即可得解.【详解】由题知a>b,在BC上取点D,使得BD=AD，连接AD，即A-B，设BD=x，在中利用余弦定理：解得x=4.故D为BC中点. BD=DC=DA=4，故A点在以BC为直径的圆上，故为，在中，,,.故答案为：【点睛】此题考查余弦定理，共圆证明及二倍角公式的应用，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，直接列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；（2）把（1）中求出的通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，.又，∴，∴，∴，∴.（2）解：由上问知，∴，.∴，∴∴【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．18.如图，在平行四边形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，是中点，.（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的高.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，通过证明四边形为平行四边形得到即可求证.（2）取的中点，先证明平面再通过等体积转化即可求解.【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示.因为点是中点，所以且.又因为四边形是平行四边形，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）取的中点，连结、，如图所示，因为在平行四边形中，为的中点，，，因为，所以，所以为正三角形，所以，且，因为在平行四边形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，所以平面，.所以..，，设三棱锥的高为，因为，，所以，所以三棱锥的高为.【点睛】本题考查线面平行的判定，等体积转化求椎体的高，属于基础题.19.已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求的方程；（2）设直线与交于，两点，若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用已知建立方程组，可求椭圆的基本量，从而可得椭圆方程；（2）设A、B两点坐标，带入椭圆和直线方程，利用向量坐标化解方程即可得出k值范围. 【详解】（1）解：由题意得，所以，①，又点在上，所以②，联立①②，解得，，所以椭圆的标准方程为.（2）解：设，的坐标为，，依题意得，联立方程组消去，得.，，，，，∵，∴，所以，.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，利用向量坐标化运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：温度10 11 13 12产卵数（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为，，求事件“，均不小于25”的概率；（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立关于的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出关于的线性回归方程；（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）可靠，见解析。
2020年福建省福州市中考数学一检试卷(解析卷)
副标题
题号
一
二
得分
三
四
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故 A 正确； B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故 B 错误； C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故 C 错误； D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故 D 错误； 故选：A． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图 重合．
的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道
比较好的题目．
6. 如图，在
中，D、E 分别为 AB、AC 边上的
点，且
，
，
，
，
则 AE 的长度为
A.
B.
C. D. 4
【答案】D
【解析】解：
，
，
∽
，
，
，
， 故选：D．
通过证明
∽
，可得
，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明
解：设双曲线的解析式为： ，E 点的坐标是
，
是 OB 的中点，
点的坐标是
，
则 D 点的坐标是
，
的面积为 10， ，
解得，
，
故选：D．
二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
16. 若点
福建省福州市2024届高三上学期第一次质量检测数学试题及参考答案
2023~2024学年福州市高三年级第一次质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i z=−，则在复平面内，z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}21A x x=<，{}0B x x =>，则A B = （ ）A ．（0，1）B ．()0,+∞C ．()1,−+∞D ．(),−∞+∞3．已知点()0,2P x 在抛物线C ：24y x =上，则P 到C 的准线的距离为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是（ ）A ．90B ．180C ．270D ．3605．一个正四棱台形油槽可以装煤油3190000cm ，其上、下底面边长分别为60cm 和40cm ，则该油槽的深度为（ ） A ．75cm 4B ．25cmC ．50cmD ．75cm6．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．347．已知1ea =，ln b =，ln c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >>D ．c a b >>8．若定义在R 上的函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的图象在区间[]0,π上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为（ ） A ．1721,44B ．1725,44C ．1725,44D ．3341,44二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以下关于这组数据判断正确的有（ ） A ．极差为13B ．中位数为82C ．平均数为79D ．方差为12410．已知圆M ：221x y +=，直线l ：(1y k x =−，则（ ）A ．l 恒过定点)1−B ．若l 平分圆周M ，则k =C ．当k =l 与圆M 相切D ．当k <<时，l 与圆M 相交11．已知函数()332f x x ax =−+有两个极值点．则（ ） A ．()f x 的图象关于点()0,2对称 B ．()f x 的极值之和为-4C ．a ∃∈R ，使得()f x 有三个零点D ．当01a <<时，()f x 只有一个零点12．已知正四棱柱1111ABCD A B C D −的底面边长为2，球O 与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切，P 为平面1CDD 上一点，且直线BP 与球O 相切，则（ ） A ．球O 的表面积为4π B ．直线1BD 与BP 夹角等于45°C ．该正四棱柱的侧面积为D ．侧面11ABB A 与球面的交线长为2π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()1,2a = ，()1,2b λλ=+−，若a b ⊥ ，则实数λ的值为__________．14．将圆周16等分，设每份圆弧所对的圆心角为θ，则sin cos θθ的值为__________．15．已知定义城为R 的函数()f x 同时具有下列三个性质，则()f x =__________．（写出一个满足条件的函数即可） ①()()()f x y f x f y +=+；②()f x ′是偶函数；③当0x y +>时，()()0f x f y +<．16．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左焦点为F ，两条渐近线分别为1l ，2l ．点A 在1l 上，点B在2l 上，且点A 位于第一象限，原点O 与B 关于直线AF 对称、若2AF b =，则C 的离心率为__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n a S +=+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若221log n n b a −=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）记ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =，6B π=．（1）若2c =，求a ；（2）求ABC △面积的最大值． 19．（本小题满分12分）国际上常采用身体质量指数（Body Mass Index ，缩写BMI ）来衡量人体肥瘦程度，其计算公式是()()22kg BMI m=体重单位:身高单位:．为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的身高和体重数据．计算得到他们的BMI（1）若该公司男员工有1500名，则该公司共有多少名员工？（2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工，求抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率．20．（本小题满分12分）如图，在底面为菱形的四棱锥M ABCD −中，2AD BD MB ===，MA MD ==（1）求证：平面MAD ⊥平面ABCD ；（2）已知2MN NB =，求直线BN 与平面ACN 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆E ：22143x y +=的右焦点为F ，左、右顶点分别为A ，B ．点C 在E 上，()4,P P y ，()4,Q Q y 分别为直线AC ，BC 上的点． （1）求P Q y y ⋅的值；（2）设直线BP 与E 的另一个交点为D ，求证：直线CD 经过F ．22．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a =−，记曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线为l ，l 在x 轴上的截距为()220x x >．（1）当1e x =，1a =时，求切线方程； （2）证明：12e e a a x x −≥−．答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性． 【答案】A ．【解析】由11i z =−得11i1i 2z+==−，应选A ． 2．【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性． 【答案】C ． 【解析】{}11A x x =−<<，{}0B x x =>，故()1,A B =−+∞ ，应选C ． 3．【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性． 【答案】C ．【解析】抛物线24y x =的准线为1x =−，由P C ∈得01x =，故P 到准线的距离为2，应选C ．4．【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和应用性． 【答案】B ．【解析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏．其中1春2夏的不同情况有：1266C C 90⋅=种；2春1夏的不同情况有：2166C C 90⋅=种，所以小明选取节气的不同情况有：9090180+=种．应选B ．5．【考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性． 【答案】D ．【解析】设正四棱台的高，即深度为cm h ，依题意，得()22190000604060403h=++×，解得75h =，应选D ．6．【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性． 【答案】C ．【解析】解法一：记第i 次摸到红球为事件i A ，摸到黄球为事件()1,2i B i =，则()()()()()21211211211123232P B P A P B A P B P B B =+=×+×=，()()()12121221433P A B P A P B A ==×=，故()()()1212223P A B P A B P B ==．应选C ． 解法二：记第i 次摸到红球为事件i A ，摸到黄球为事件()1,2i B i =．由抽签的公平性可知()22142P B ==，又()12221433P A B ×==×，所以()()()1212223P A B P A B P B ==．应选C ． 7．【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性． 【答案】A ． 【解答】解法一：1ln e e e a ==，ln 2ln 4ln 24b ==，ln 55c ，令()ln x f x x =，()21ln xf x x−′=，当e x ≥时，()0f x ′≤，故()f x 在区间[)e,+∞上单调递减，所以a b c >>．==>，所以ln ln >b c >．在同一坐标系中作出函数()2xf x =，()2g x x =的图象，如图所示，由图可知，()()e e f g <，即e22e <，所以e22e 2e 2e <，即11e22e <，所以111ln 2ln e 2e e<=，即b a <． （令()ln x f x x=，()21ln xf x x −′=，当0e x <<时，()0f x ′>，故()f x 在区间()0,e 上单调递增，所以1ln e ln 2e e 2a b ==>=．） 综上，a b c >>．应选A ．8．【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 【答案】A ．【解析】由已知，()4f x x πω=+，令42x k ππωπ+=+，k ∈Z ，得()414k x πω+=，k ∈Z ，依题意知，有5个整数k 满足()4104k ππω+≤≤，即0414k ω≤+≤，所以0,1,2,3,4k =，则4414451ω×+≤<×+，故172144ω≤<，应选A ． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性． 【答案】AC ．10．【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性． 【答案】BC ．【解析】依题意，l恒过定点()1−，选项A 错误；若l 平分圆周M ，则l 经过圆M 的圆心()0,0，代入直线方程得k =B 正确； 圆心()0,0O 到l的距离dk =1d r ==，l 与圆M 相切，选项C 正确；若l 与圆M相交，则1d <，即)2211k −<+，即0k <<，故选项D 错误．综上，应选BC ．11．【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性． 【答案】ACD ．【解答】()f x 的图象可由奇函数()33g x x ax =−的图象向上平移2个单位长度得到，故()f x 的图象关于点()0,2对称，选项A 正确．设()f x 的极值点分别为()1212,x x x x <，则由对称性可知120x x +=，故()()12224f x f x +=×=，即()f x 的极值之和为4，选项B 错误．依题意，方程()2330f x x a ′=−=有两异根，则0a >，1x =2x =，()f x在区间(−∞上单调递增，在区间(上单调递减，在区间)+∞单调递增．由图象可知，当()()120f x f x >>时，()f x 的图象与x 轴有3个交点，即()f x 有3个零点，选项C 正确．当01a <<时，(32210f=−+=−>，此时()f x 只有一个零点，选项D 正确．综上，应选ACD ．12．【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性． 【答案】BCD ．【解答】如图，设球O 与下底面相切于点1O ，则1OO ⊥平面ABCD ，连接1O A ，则1OAO ∠为直线OA 与平面ABCD 所成的角．因为球O与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径11R OO O A===，所以428S ππ=⋅=表，四棱柱的侧面积为()24××，故选项A 错误，C 正确．依题意，1BB ，BP 均为球O 的切线，1BD 经过球心O ，所以111B BD PBD ∠=∠，又111B D BB =，所以11145PBD B BD ∠=∠=°，选项B 正确．对于选项D ，棱1AA 的中点F ，即球O 与棱1AA 的切点应为交线上的点，故交线应为过F 的圆．截面圆的圆心即为矩形11ABB A 的中心E ，在Rt OEF △中，OFR ==，112OEBC ==，所以截面圆半径1r EF ==，周长为2π，该选项正确．综上，应选BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性． 【答案】5．【解析】由a b ⊥得()()1220λλ++−=，解得5λ=． 14．【考查意图】本小题以圆的等分为载体，考查三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力，抽象概括能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性．．【解析】依题意，得8πθ=，所以11sin cos sin 2sin 224πθθθ===． 15．【考查意图】本小题以函数的性质为载体，考查函数的奇偶性、函数与导数等基础知识；考查推理论证能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性、综合性与应用性． 【答案】x −（答案不唯一，()0kx k <均可）．16．【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的离心率、双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 【答案】2．【解答】依题意，1l 的方程为by x a=，2AF l ⊥，设垂足为P ，则FP b =．因为22AFb FP ==，所以点F ，A 关于直线2l 对称，FOP AOP ∠=∠，又1l ，2l 关于y 轴对称，所以1l 的倾斜角为1180603×°=°，故tan 60ba=°=，所以离心率2e =．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分． 【解答】（1）解法一：由12n n a S +=+得21322,2,a S aS =+ =+设等比数列{}n a 的公比为q ，所以()()12112,12,a q a q q −=−−= 解得12,2,a q == 或12,a q =− = （舍去）．所以2n n a =．（2）212212log log 221n n n b a n −−===−， 故11b =，()()12121122n n b b n n n −−=−−−−=≥ ， 所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以()()1212122n n n b b n n T n ++−===．解法二：（1）因为12n n a S +=+，① 所以当2n ≥时，12n n a S −=+，② ①－②得12n n a a +=， 所以等比数列{}n a 的公比12n na qa +==． 由①式得212a a =+，得12a =，所以2n n a =．（2）12n n T b b b =++⋅⋅⋅+2123221log log log n a a a −++⋅⋅⋅+()21321log n a a a −⋅⋅⋅= ()13212log 2n ++⋅⋅⋅+−=()12122log 2n n+− =2n =．18．【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．满分12分．【解答】解法一：（1）因为b =，2c =，6B π=，根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，所以22224cos6a a π=+−，即220a −+=，解得1a =．（2）根据余弦定理，得2222cos a b c ac B =+−，所以(222222cos 226a c ac a c ac ac π=+−=+−≥−=，（当且仅当1a c ==时取等号），即(22ac ≤=+，所以ABC △面积(1111sin sin 2222644ABC S ac B ac ac π===≤×△，即ABC △．解法二：（1）因为b =，2c =且6B π=，根据正弦定理，得sin sin b c B C=，2sin C=，即sin C =， 因为c b >，所以C B >，所以566C ππ<<， 所以4C π=或34C π=， 当4C π=时，()1sin sin sin 642A B C ππ =+=+= ， 根据正弦定理，得sin sin a bA B=， 所以sin 1sin b Aa B ==+；当34C π=时，()31sin sin sin 642A B C ππ =+=+=×= ，根据正弦定理，得sin sin a bA B=， 所以sin 1sin b A a B ==； 综上，1a =．（2）略，同解法一．解法三：（1）因为b =，2c =且6B π=， 根据正弦定理，得sin sin b cB C=， 2sin C=，即sin C =， 因为c b >，所以C B >，所以566C ππ<<， 所以4C π=或34C π=，当4C π=时，()76412A B C πππππ =−+=−+= ， 根据正弦定理，得sin sin a b A B=，所以sin sin cos cos sin sin 343434b A a B ππππππ ==+=+ ；sin cos cos sin 13434ππππ ++； 当34C π=时，()36412A B C πππππ =−+=−+= ， 根据正弦定理，得sin sin a b A B =，所以sin sin cos cos sin sin 343434b A a B ππππππ ==−=−sin cos cos sin 13434ππππ −− ；综上，1a =．（2）根据正弦定理，得sin sin sin ac b A C B ===，所以a A =，c C =，即(251sin sin 8sin sin 8sin cos 62aC A C A A A A A π ==−=+21cos 22sin 22sin 22sin 222A A A A A A −=−=+=++14sin 224sin 223A A A π +−+= 因为506A π<<，所以42333A πππ−<−<， 所以当232A ππ−=，即512A π=时，sin 23A π −取得最大值为1，即ac最大值为4+，所以ABC △面积(1111sin sin 422644ABC S ac B ac ac π===≤×+△，即ABC △． 19．【命题意图】本小题主要考查分层抽样、独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养；体现应用性和创新性．满分12分．【解】（1）设该公司共有x 名员工， 依题意得1500505030x =+， 解得2400x =， 所以该公司共有2400名员工．（2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为404505=，事件“抽到一名女员工不为肥胖”的概率为2793010=， 由事件的独立性，得抽到的两个男员工都不存在肥胖的概率为44165525×=， 抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为99811010100×=， 设事件M 为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件M 为“抽到的员工都不存在肥胖”， 所以()811632410025625P M =×=， 所以()3243011625625P M =−=， 所以抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率为301625． 20．【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．【解答】（1）取AD 的中点为O ，连结OM ，OB ，因为四边形ABCD 是为菱形，且2AD BD ==，所以ABD △为正三角形，所以BO AD ⊥，且BO =．因为MAMD ==，所以MO AD ⊥，所以1MO =，又因为2MB =，所以222MO BO MB +=，所以MO BO ⊥，因为AD BO O ∩=，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD所以MO ⊥平面ABCD ，又因为MO ⊂平面MAD ，所以平面MAD ⊥平面ABCD ．（2）由（1）知，OA ，OB ，OM 两两垂直，故以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OM 为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −．则()1,0,0A，()B，()C −，()0,0,1M，13N ，所以()3,CA =，12,3CN =，()2,0,0CB = ， 设平面ACN 的法向量为(),,n x y z = ， 则0,0,n CA n CN ⋅= ⋅=即30,120,3x x y z = +=取1x =，则()3n − ．因为()0,BM = ，则cos ,BM n BM n BM n⋅=== ， 所以直线BN 与平面ACN21．【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．【解答】（1）依题意，()2,0A −，()2,0B ．设()11,C x y ，则2211143x y +=， 直线AC 方程为()1122y y x x ++，令4x =得1162P y y x =+， 直线BC 方程为()1122y yx x −−，令4x =得1122Q y y x =−， 所以2121124P Q y y y x =− 2121123144x x ×− =− 9=−，即P Q y y ⋅的值为9−．（2）设()22,D x y ，()4,P t ，则直线AP 方程为()26t y x =+，直线BP 的方程为()22t y x =−， 由()222,63412t y x x y =+ +=得()222227441080t x t x t +++−=， 所以2124108227t x t −−=+，即21254227t x t −=+，故()112182627t t y x t=+=+． 由()222,23412t y x x y =− +=得()2222344120t x t x t +−+−=， 所以22241223t x t −=+，即222263t x t −=+，故()2226223t t y x t −=−=+． 所以()()122111x y x y −−−2222222736918273327t t t t t t t t−−−=⋅−⋅++++ ()()()222262733270327t t t t t −−+−=++，又()1,0F ，所以向量()111,FC x y =− ，与()221,FD x y =− 共线，所以直线CD 经过F ． 解法二：（1）依题意，()2,0A −，()2,0B ．设()11,C x y ，则2211143x y +=， 所以111122AC BC y y k k x x ⋅=⋅+− 21214y x =− 21213144x x −−= 34=−． 即B 344242Q P AP Q y y k k −=⋅=⋅+−，故P Q y y 的值为9−． （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，()4,P t ．要证直线CD 经过()1,0F ，只需证向量()111,FC x y =− ，与()221,FD x y =− 共线，即证()()122111x y x y −=−．（*） 因为()2222112014343x y −+==+，所以111123246P AC y x y k x y −==−⋅=+， 同理可得222223242P BD y x y k x y +==−⋅=−， 所以()()21122123AC BD x y k k x y −==+，即1221123620x y x y y y −++=，① 同理可得1221123260x y x y y y −+++=，②①－②得12211244440x y x y y y −+−=，即()()122111x y x y −=−．所以（*）式成立，命题得证．22．【命题意图】本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、综合性和创新性．满分12分．【解答】（1）()1f x x′=， 当1e x =，1a =时，()1ln e 10f x =−=，即切点为()e,0， 所以所求切线斜率()1e ek f ′=， 所以所求的切线方程为()1e e y x =−，即11ey x =−． （2）由于()11ln f x x a =−， 所以切线l 的方程为()()1111ln y x a x x x −−=−． 令0y =，得()()1111ln x a x x x −−=−，解得()2111ln x x x x a =−−．（*） 由20x >，得11e a x +<． 构造函数()()ln g x x x x a =−−， 所以()ln g x a x ′=−，所以当0e a x <<时，()0g x ′>，()x 单调递增；当e a x >时，()0g x ′<，()g x 单调递减．故()()max e e a a g x g ==．所以2e a x ≤．若1e a x ≤，由（*）式知12x x ≤，所以12e a x x ≤≤， 故12e e a a x x −≥−．若1e a x >，则()()()121212e e e e 2e a a a a a x x x x x x −−−=−−−=+−， 所以()12111e e 2ln 2e a a a x x x x x a −−−=−−−．构造函数()()()12ln 2e e e aa a x x x x a x ϕ+=−−−<<，所以()()1ln 0x a x ϕ′=+−>，故()x ϕ在区间()1e ,e a a +上单调递增， 所以()()e 0a x ϕϕ>=，所以()1112ln 2e 0a x x x a −−−>，即 所以12e e 0a a x x −−−>，即12e e a a x x −>−． 综上，不等式成立12e e a a x x −≥−成立（当且仅当1e a x =时取等号）．。
高中数学试题-2024~2025学年福州市高三年级第一次质量检测数学答案
2024-2025学年福州市高三年级第一次质量检测数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
15. （13分）已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+． （1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）求{}n a 的前n 项和n S ．【解法一】（1）证明：因为132n n a a +=+，且12a =，所以10n a +≠， ··················································································· 1分 所以1132111n n n n a a a a ++++=++ ········································································ 3分 3(1)31n n a a +==+， ···································································· 5分 又113a +=，所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列． ······························· 6分 （2）由（1）得13n n a +=，所以31n n a =−， ············································· 8分 所以()()()2313131n n S =−+−++−()233333n n =++++− ···························································· 10分13313n n +−=−− ············································································ 12分 133.2n n +−=− ············································································ 13分【解法二】（1）证明：因为132n n a a +=+，所以()113331n n n a a a ++=+=+， ····························································· 2分 因为12a =，所以1130a +=≠，所以10n a +≠， ········································ 4分 所以1131n n a a ++=+, 所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列． ······························· 6分 （2）略，同解法一． 16. （15分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2cos cos cos a C C B =⋅． （1）求角C ；（2）若4a =，b =D 为AB 中点，求CD 的长． 【解法一】（1）因为2cos cos cos a C C B =+⋅， 由正弦定理，得2sin cos cos sin A C B C B C =·············································· 2分()B C =+ ·································································· 4分()πA −A =，······································································ 6分 因为0πA <<，则sin 0A ≠，所以cos C =， ·········································· 7分 由于0πC <<，则π6C =； ···································································· 8分 （2）因为D 为AB 中点，故()12CD CA CB =+， ······································ 10分22111πcos 4426CA CB CA CB =++ ············································ 13分 1113164442=⨯+⨯+ 314=，················································································· 14分 所以CD ． ······································································ 15分 【解法二】（1）因为2coscos cos a CC B =⋅，由余弦定理，得2222222cos 22a b c a c b a C ab ac+−+−=··························· 2分 ， ···························································· 4分所以cos C =， ················································································ 6分 由于0πC <<，则π6C =； ···································································· 8分 （2）由（1）知，π6ACB ∠=， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos c a b ab ACB =+−∠··································································· 10分 22424=+−⨯ 7=， ··························································································· 11分 故c =， ······················································································· 12分 因为D 为AB 中点，所以cos cos 0ADC BDC ∠+∠=，故222222022AD CD AC BD CD BC AD CD BD CD +−+−+=⨯⨯⨯⨯， ·········································· 13分22222240CD CD +−+−=，故CD ． ··········································································· 15分 【解法三】（1）略，同解法一或解法二； （2）由（1）知，π6ACB ∠=， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos c a b ab ACB =+−∠··································································· 10分22424=+−⨯ 7=， ··························································································· 11分故c =， ······················································································· 12分 所以222cos 2b c a A bc+−=2224+−==， ············································································· 13分 在ACD △中，由余弦定理， 得2222cos CD AC AD AC AD A =+−⋅222⎛=+− ⎝⎭⎝314=， ······················································································· 14分故CD ． ··········································································· 15分 17. （15分）如图，在四棱锥S ABCD −中，BC ⊥平面SAB ，∥AD BC ，1SA BC ==，SB =，o 45SBA ∠=．（1）求证：SA ⊥平面ABCD ；（2）若12AD =，求平面SCD 与平面SAB 的夹角的余弦值． 【解法一】（1）在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由正弦定理，得sin sin SA SBSBA SAB=∠∠， ········································································· 1分所以1sin 45︒， ······································································ 2分 所以sin 1SAB ∠=，因为0180SAB ︒<∠<︒，所以90SAB ∠=︒，所以SA AB ⊥． ··················································································· 4分 因为BC ⊥平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥， ··················································································· 5分 又BCAB B =，所以SA ⊥平面ABCD ； ········································································· 6分 （2）解：由（1）知SA ⊥平面ABCD ，又,⊂AB AD 平面ABCD ，所以SA AB ⊥，SA AD ⊥，因为BC ⊥平面SAB ， ··········································································· 7分 ⊂AB 平面SAB ，所以BC AB ⊥，因为∥AD BC ，所以AD AB ⊥，所以,,SA AD AB 两两垂直． ··································································· 8分 以点A 为原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ················································································ 9分 则1(1,1,0),,0,0,2(0,0,1),D S C ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()1,1,1SC =−，1,0,12SD ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，设平面SCD 的法向量为1(,,)x y z =n ，则11,,SC SD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即110,10,2SC x y z SD x z ⎧⋅=+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n 取2x =，则()12,1,1=−n ， ·································································· 11分显然平面SAB 的一个法向量()21,0,0=n ， ················································ 12分 所以cos ⋅=⋅121212n n n ,n n n ····································································· 13分==········································································· 14分 所以平面SCD 与平面SAB ． ··································· 15分 【解法二】（1）证明：设AB x =，在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由余弦定理，得2222cos SA SB AB SB S AB BA =∠+−⋅， · (1)分 所以212co 5s 4x =+−︒， (2)分所以221x +−=， 所以2210x x −+=，解得1x =． ························································································ 3分 所以2222SA AB SB +==，所以SA AB ⊥． ················································ 4分 因为BC ⊥平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥， ··················································································· 5分 又BCAB B =，所以SA ⊥平面ABCD ； ········································································· 6分 （2）略，同解法一．【解法三】（1）设AB x =，在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由余弦定理，得2222cos SA SB AB SB S AB BA =∠+−⋅， (1)分所以212co 5s 4x =+−︒， ································································ 2分所以221x+−=，所以2210x x−+=，解得1x=． ························································································3分所以2222SA AB SB+==，所以SA AB⊥．················································4分因为BC⊥平面SAB，BC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面SAB；·································································5分又平面ABCD平面SAB AB=，SA AB⊥，SA⊂平面SAB，所以SA⊥平面ABCD；·········································································6分（2）由（1）知SA⊥平面ABCD，过B作BM SA，则BM⊥平面ABCD，又,AB BC⊂平面ABCD，所以BM AB⊥，BM BC⊥，因为BC⊥平面SAB，···········································································7分又⊂AB平面SAB，所以BC AB⊥，所以,,BM BA BC两两垂直．··································································8分以点B为原点，分别以BA，BC，BM所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ················································································9分则1(0,1,0),1,(,0,21,0,1),CS D⎛⎫⎪⎝⎭所以()1,1,1SC=−−，11,,02CD⎛⎫=−⎪⎝⎭，设平面SCD的法向量为1(,,)x y z=n，则11,,SCCD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩nn即110,10,2SC x y zCD x y⎧⋅=−+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩nn取2y=，则()11,2,1=n， ···································································· 11分显然平面SAB的一个法向量()20,1,0=n， ··············································· 12分所以cos⋅=⋅121212n nn,nn n····································································· 13分=。
2019-2020学年人教A版福建省福州市高三第一学期(上)期末数学试卷(文科) 含解析
2019-2020学年高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题）1．设复数z＝i（2﹣i），则|z|＝（）A．B．C．3 D．52．已知集合A＝{x|x≤0或x≥2}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则（）A．A⫋B B．B⫋A C．A∩B＝∅D．A∪B＝R3．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n＝（）A．6 B．5 C．4 D．34．某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为50mm的零件，各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则以下结论不正确的是（）A．甲流水线生产的零件直径的极差为0.4mmB．乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0mmC．乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定D．甲流水线生产的零件直径的平均值小于乙流水线生产的零件直径的平均值5．设抛物线y2＝2px上的三个点到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3．若d1，d2，d3的最大值为3，则p的值为（）A．B．2 C．3 D．6．函数y＝x2e x的大致图象为（）A．B．C．D．7．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1 B．3 C．4 D．58．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）．米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率π≈3，估算出堆放的米约有（）A．20斛B．21斛C．22斛D．23斛9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．B．C．D．10．若2cos2x＝1+sin2x，则tan x＝（）A．﹣1 B．C．﹣1或D．﹣1或或3 11．已知函数，直线y＝﹣x+3与曲线y＝f（x）相切，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若E上点A满足|AF1|＝2|AF2|，且∠F1AF2的取值范围为，则E的离心率的取值范围是（）A．B．C．[3，5] D．[7，9]二、填空题（共4小题）13．已知向量，满足||＝，||＝1，与的夹角为30°，则＝．14．已知函数f（x）＝，若f（a）+f（1）＝0，则a＝．15．在钝角△ABC中，已知，若△ABC的面积为，则BC的长为．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α．平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为．其中所有正确结论的编号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．垃圾分一分，城市美十分；垃圾分类，人人有责．某市为进一步推进生活垃圾分类工作，调动全民参与的积极性，举办了“垃圾分类游戏挑战赛”．据统计，在为期2个月的活动中，共有640万人次参与．为鼓励市民积极参与活动，市文明办随机抽取200名参与该活动的网友，以他们单次游戏得分作为样本进行分析，由此得到如频数分布表：单次游戏得分[30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80）[80，90] 频数10 40 60 40 30 20 （1）根据数据，估计参与活动的网友单次游戏得分的平均值及标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（其中标准差的计算结果要求精确到0.01）（2）若要从单次游戏得分在[30，40）、[60，70）、[80，90]的三组参与者中，用分层抽样的方法选取7人进行电话回访，再从这7人中任选2人赠送话费，求此2人单次游戏得分不在同一组内的概率．附：，．18．已知数列{a n}的前n项和，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．（2）若AB＝3，F为线段BC的三等分点，求多面体PAEFCD的体积．20．已知圆，椭圆（a＞b＞0）的短轴长等于圆O半径的倍，C的离心率为．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：OA⊥OB．21．已知函数f（x）＝ax cos x﹣1在上的最大值为．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在区间上有且仅有2个零点．选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，l与曲线C的交点为A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：．参考答案一、选择题（本题共12小题）1．设复数z＝i（2﹣i），则|z|＝（）A．B．C．3 D．5【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵z＝i（2﹣i）＝2i+1，则|z|＝＝．故选：B．2．已知集合A＝{x|x≤0或x≥2}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则（）A．A⫋B B．B⫋A C．A∩B＝∅D．A∪B＝R【分析】利用并集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|x≤0或x≥2}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，∴A∪B＝R．故选：D．3．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n＝（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝4，b＝2，n＝1a＝6，b＝4，n＝2不满足条件a≤b，执行循环体，a＝9，b＝8，n＝3不满足条件a≤b，执行循环体，a＝13.5，b＝16，n＝4满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．故选：C．4．某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为50mm的零件，各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则以下结论不正确的是（）A．甲流水线生产的零件直径的极差为0.4mmB．乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0mmC．乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定D．甲流水线生产的零件直径的平均值小于乙流水线生产的零件直径的平均值【分析】直接利用图示中的数据的应用求出结果．解：对于选项A：甲流水线生产的零件直径的极差为50.2﹣49.8＝0.4mm，故选项A正确．对于选项B：流水线生产的零件直径的中位数为mm，故选项B正确．对于选项C：乙流水线生产的零件直径几乎接近50.0mm，所以比甲流水线生产的零件直径稳定，故选项C正确．对于选项D：＝50，＝50．故选项D错误．故选：D．5．设抛物线y2＝2px上的三个点到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3．若d1，d2，d3的最大值为3，则p的值为（）A．B．2 C．3 D．【分析】抛物线的性质到焦点的距离转化为到准线的距离，只用横坐标即可求出p的值．解：由抛物线的性质得，到焦点的距离转化为到准线的距离，而准线方程为：x＝﹣，所以由题意得：﹣（﹣）＝3，∴p＝3，故选：C．6．函数y＝x2e x的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】任意x∈R，y＝x2e x＞0，排除C．对函数求导，分析单调性，即可得出答案．解：任意x∈R，y＝x2e x＞0，排除C．y′＝2xe x+x2e x＝（x2+2x）e x，在区间（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上，y′＞0，y单调递增，在区间（﹣2，0）上，y′＜0，y单调递减，故选：A．7．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．1 B．3 C．4 D．5【分析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后平移直线y＝﹣2x，观察直线在y轴上的截距，即可求出最大值解：x，y满足约束条件的平面区域如下图所示：平移直线y＝﹣2x，由，解得易得，当x＝2，y＝1时，即过点B时；目标函数z＝2x+y的最大值为5．故选：D．8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）．米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率π≈3，估算出堆放的米约有（）A．20斛B．21斛C．22斛D．23斛【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为个圆锥，所以，由于π≈3，解得R＝，所以V＝＝．1斛米的体积约为1.6立方尺，所以：V＝斛≈22斛．故选：C．9．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．B．C．D．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象可得﹣（﹣）＝＝•，∴ω＝．再根据五点法作图，可得•+φ＝π，∴ω＝，∴函数f（x）＝sin（x+）．令2kπ+≤x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：A．10．若2cos2x＝1+sin2x，则tan x＝（）A．﹣1 B．C．﹣1或D．﹣1或或3 【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得2（cos x﹣sin x）（cos x+sin x）＝（sin x+cos x）2，分类讨论即可求解tan x的值．解：∵2cos2x＝1+sin2x，∴2（cos2x﹣sin2x）＝（sin x+cos x）2，即：2（cos x﹣sin x）（cos x+sin x）＝（sin x+cos x）2，∴cos x+sin x＝0，或2（cos x﹣sin x）＝sin x+cos x，∴解得：tan x＝﹣1，或tan x＝．故选：C．11．已知函数，直线y＝﹣x+3与曲线y＝f（x）相切，则a＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，再由函数在切点处的导数值为﹣1，且切点在线y＝﹣x+3上，联立即可求得a值．解：由f（x）＝lnx+，得f′（x）＝，设直线y＝﹣x+3与曲线y＝f（x）相切于（），则，解得．故选：B．12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若E上点A满足|AF1|＝2|AF2|，且∠F1AF2的取值范围为，则E的离心率的取值范围是（）A．B．C．[3，5] D．[7，9]【分析】由题意画出图形，由已知及双曲线的定义求得|AF1|，|AF2|，再由余弦定理及∠F1AF2的取值范围求解．解：如图，设|AF2|＝m，则|AF1|＝2|AF2|＝2m，由双曲线定义：|AF1|﹣|AF2|＝2a，得2m﹣m＝2a，则m＝2a，则△AF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2＝＝，∵∠F1AF2的取值范围为，∴﹣1≤cos∠F1AF2≤，即﹣1，解得≤e≤3．∴E的离心率的取值范围是[，3]．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量，满足||＝，||＝1，与的夹角为30°，则＝．【分析】根据条件进行数量积的计算即可．解：∵||＝，||＝1，与的夹角为30°，∴．故答案为：．14．已知函数f（x）＝，若f（a）+f（1）＝0，则a＝﹣5 ．【分析】由已知可求出f（1）＝3，然后结合（a）+f（1）＝0，可得f（a）＝﹣3，代入可求a．解：∵f（x）＝，∴f（1）＝3，∵（a）+f（1）＝0，∴f（a）＝﹣3，当a＞0时显然不满足条件，当a≤0时，则有a+2＝﹣3，所以，a＝﹣5．故答案为：﹣515．在钝角△ABC中，已知，若△ABC的面积为，则BC的长为．【分析】由三角形的面积公式，列式算出sin A＝，得到cos A＝±＝±时．当cos A＝＝时，利用余弦定理算出BC＝，从而证出C＝，与已知矛盾舍去，进而求得结论．解：因为，△ABC的面积为，∴S＝AB×AC sin A＝，即××1×sin A＝，解之得sin A＝，∵当cos A＝＝时，BC＝＝，∴此时AB最大，得cos C＝＝0⇒C＝，这与△ABC为钝角三角形矛盾，可得不符合题意．因此cos A＝﹣＝时，BC＝＝，故答案为：．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α．平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形；②截面形状可能为正方形；③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为．其中所有正确结论的编号是①③④．【分析】画出图形，得出结果．解：如图，显然①③成立，下面说明④成立，如图，当截面是正六边形，面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝＝，所以S＝2××（2+）×＝3，故④成立，故答案为：①③④三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．垃圾分一分，城市美十分；垃圾分类，人人有责．某市为进一步推进生活垃圾分类工作，调动全民参与的积极性，举办了“垃圾分类游戏挑战赛”．据统计，在为期2个月的活动中，共有640万人次参与．为鼓励市民积极参与活动，市文明办随机抽取200名参与该活动的网友，以他们单次游戏得分作为样本进行分析，由此得到如频数分布表：单次游戏得分[30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80）[80，90] 频数10 40 60 40 30 20 （1）根据数据，估计参与活动的网友单次游戏得分的平均值及标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（其中标准差的计算结果要求精确到0.01）（2）若要从单次游戏得分在[30，40）、[60，70）、[80，90]的三组参与者中，用分层抽样的方法选取7人进行电话回访，再从这7人中任选2人赠送话费，求此2人单次游戏得分不在同一组内的概率．附：，．【分析】（1）直接代入求出其平均值和方差即可；（2）按古典概型的计算方法求出总数以及符合条件的个数即可求解．【解答】解（1）参与该活动的网友单次游戏得分的平均值＝60．标准差＝．（2）用分层抽样抽取7人，其中得分在[30，40）的有1人，得分在[60，70）的有4人，得分在[80，90]的有2人，分别记为a，b1，b2，b3，b4，c1，c2，7人中任选2人，有21种结果，其中2人得分在同一组的有7种，分别是{b1，b2}、{b1，b3}、{b1，b4}、{b2，b3}、{b2，b4}、{b3，b4}、{c1，c2}，故2人得分不在同一组内的概率．18．已知数列{a n}的前n项和，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用数列的前n项和推出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求解数列的和即可．解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1+p，当n≥2时，，经检验，n＝1时也满足上式，所以a n＝2n﹣1+p．因为a2，a4，a8成等比数列，所以，即（3+p）（15+p）＝（7+p）2，解得p＝1．所以a n＝2n．（2）由（1）及题设得，，所以T n＝b1+b2+…+b n＝＝＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由．（2）若AB＝3，F为线段BC的三等分点，求多面体PAEFCD的体积．【分析】（1）法一：推导出PA⊥BC．AB⊥BC，从而BC⊥平面PAB，进而AE⊥BC．推导出AE⊥PB，从而AE⊥平面PBC，由此得到平面AEF⊥平面PBC．法二：由PA⊥底面ABCD，得平面PAB⊥底面ABCD，由BC⊥AB，得BC⊥平面PAB．从而AE⊥BC，推导出AE⊥PB，从而AE⊥平面PBC，由此得到平面AEF⊥平面PBC．（2）点E到底面ABCD的距离为＝，则，由F为线段BC的三等分点，根据和两种情况，分别求解多面体PAEFCD的体积．解：（1）解法一：平面AEF与平面PBC互相垂直，理由如下：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC又PA∩AB＝A，且PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC．因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，又PB∩BC＝B，且PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．解法二：平面AEF与平面PBC互相垂直，理由如下：因为PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥底面ABCD，又平面PAB∩底面ABCD＝AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB．因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC，因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，又PB∩BC＝B，且PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．（2）因为PA⊥底面ABCD，E为线段PB的中点，所以点E到底面ABCD的距离为＝，则，又F为线段BC的三等分点，当时，，所以多面体PAEFCD的体积为，当时，，所以多面体PAEFCD的体积为．综上，多面体PAEFCD的体积为或．20．已知圆，椭圆（a＞b＞0）的短轴长等于圆O半径的倍，C的离心率为．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：OA⊥OB．【分析】（1）由题意可写出符合题意的方程，联立解之得C的方程，（2）分类讨论斜率存在不存在的情况，根据直线与圆相切，可得向量垂直，代入求解．【解答】解法一：（1）依题意，圆O半径等于，因为椭圆的短轴长等于圆O半径的倍，所以，解得．因为C的离心率为，所以，①又因为a2﹣c2＝b2，所以a2﹣c2＝2，②联立①②，解得a2＝4，所以C的方程为．（2）证明：①当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，或．当时，，则，故OA⊥OB．同理可证，当时，OA⊥OB．②当直线l斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线l与圆相切，所以，即3m2﹣4k2﹣4＝0，由得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，所以△＝16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣2）＝8（4k2﹣m2+2）＞0，且所以＝＝＝＝0，所以OA⊥OB．综上，OA⊥OB．解法二：（1）同解法一．（2）①当直线方程为时，，则，故OA⊥OB．同理可证，当直线方程为时，OA⊥OB．②当直线l不与x轴平行时，设其方程为x＝ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线l与圆相切，所以，即3m2﹣4t2﹣4＝0．由得，（t2+2）y2+2tmy+m2﹣4＝0．所以△＝4t2m2﹣4（t2+2）（m2﹣4）＝8（2t2﹣m2+4）＞0，且，＝＝＝＝0，所以，OA⊥OB．综上，OA⊥OB．21．已知函数f（x）＝ax cos x﹣1在上的最大值为．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在区间上有且仅有2个零点．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可判断单调性，进而可判断取得最大值的条件，代入即可求解a，（2）结合函数的单调性及零点判定定理即可求解．解：（1）f′（x）＝a（cos x﹣x sin x），因为，所以cos x＞sin x≥0，又1＞x≥0，所以1•cos x＞x sin x，即cos x﹣x sin x＞0．当a＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上递增，所以，解得a＝2．当a＜0时，f′（x）＜0，所以f（x）在区间上递减，所以f（x）max＝f（0）＝﹣1，不合题意．当a＝0，f（x）＝﹣1，不合题意．综上，a＝2．（2）设g（x）＝cos x﹣x sin x，则，所以g（x）在上单调递减，又，所以存在唯一的，使得g（x0）＝0，当0＜x＜x0时，g（x）＞0，即f′（x）＝2g（x）＞0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增；当时，g（x）＜0，即f′（x）＝2g（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递减，又，所以f（x）在与上各有一个零点，综上，函数f（x）在区间上有且仅有两个零点．选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，l与曲线C的交点为A，B，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ．将代入得，x2+y2＝2x，所以C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．（2）设A，B所对应的参数分别为t1，t2，因为直线l的参数方程为为参数），所以M在l上，把l的参数方程代入（x﹣1）2+y2＝1，可得，所以，所以，故＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：．【分析】（1）去掉绝对值符号，利用分段函数求解函数的最值，通过m即可．（2）利用重要不等式a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，利用综合法证明即可．【解答】（1）解：根据题意，函数，所以f（x）为在单调递减，在单调递增，所以．（2）证明：由（1）知，m＝1，所以a+b+c＝1，又因为a，b，c为正实数，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，所以2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，所以1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），即．。
福建省福州第一中学2020届高三数学下学期开学质检试题 文（PDF）答案
………………9 分
当 x 190时, 600x −19000 86000 , ∴ x 175
………………10 分
∴ P(A) = P(x 175) =1− 0.1− 0.24 = 0.66 .
………………12 分
19.解：（1）证明：∵平面 AEC ⊥ 平面 CDE, 平面 AEC ⊥ 平面 CDE=CE,
2019-—2020 学年第二学开学初质量检查试卷解答
一、选择、填空题：
1～5 DADBB ;
6～10 CACCD ;
13. 2;
14. (−, −1][5, + ) ;
三、解答题：
11. 12. DB.
15. 4 个;
16. − 3 . 4
17.解：（1）∵ a1 = 3， a1, a3 −1, a5 +1 成等比数列. ∴ (a3 −1)2 = a1(a5 +1) ，………2 分
………………4 分
（2）由题意得，当 x 190 时， y = 500190 = 95000（元）
………………5 分
∴
y
与
x
的函数解析式：
y
=
95000, x 190 600x −19000, x 190
（ x N ） ………………8 分
设销售利润不少于 86000 元的时间记为 A.
当 x 190时, y = 500190 = 95000 86000 .
∴ (2 + 2d)2 = 3(4 + 4d) ， ∴ d2 − d − 2 = 0 ∴ d = −1或 d = 2 ，
∴ Sn
=
na1
+
n(n −1) 2
d
【6月福州一中高三模拟文数】2020年6月福建省福州第一中学高三高 考模拟考试文科数学试卷含答案
A． 7 2
B． 5 2
C． 3 2
D． 1 2
4.已知 m, n 是两条不同的直线， 是一个平面，且 m ，则“ m n ”是“ n / / ”
的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
1
条件 5．已知 a 4 2 , b log4 9, c log3 2 ，则 a, b, c 的大小关系是
A. a b c
B． a c b
C． c a b
D． c b a
6.已知正项等比数列an 的首项和公比相等，数列bn 满足 bn log2 an ，且 b1+b2 +b3 12 ，
则 a4 =
A． 4
B． 32
C． 108
D． 256
7.已知函数
f
(x)
ex , ln x ,
3 sin2 （1）求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）已知 F (1, 0) ，曲线 C1 与 C2 的交点 A, B 满足 BF 2 AF （A 为第一象限的点）， 求 cos 的值.
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) x 2 2 x . （1）求解不等式： f (x) x2 ； （2）设 a, b, c 为正实数，若函数 f (x) 的最大值为 m ，且 a b 2c m . 求证： ab ac bc c2 1
x x
0
，则不等式
0
f
(x)
1 2
的解集是
A. (, ln 2] (0, e]
B. (, ln 2)
C. (0, e]
D. (, ln 2) (0, e)
2019年福建省福州市高考数学一模试卷(理科)
2019年福州市普通高中毕业班质量检测数学（理科）试卷（完卷时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A.1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -2.已知集合{}{}2213,20A x x B x x x =+>=--<，则AB =A. {}12x x <<B. {}11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}1x x >-3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：参加场数1234567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2%以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64aa a ==，则5S =A. 32B. 31C. 64D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= A. 0 B.12 C. 1 D. 3 6.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为A. 23B. 43C.8D. 837.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C.323 D.8038.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛⎫><⎪2⎝⎭图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图第7题图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域是A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B. ()1,1-C. (]0,2D.(]1,2-9. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=．若存在[]11x ∈-，，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为A.－1B.35 C. 1 D. 35- 10.如图，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为A. 2215-+B. 23C. 2215+ D.3211.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34πB.2π C.32π D.94π 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2122124nn n n n a a a na n++=++，则8a =A.64892-B. 32892-C. 16892-D. 7892-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两个单位向量,a b ，满足3a b b +=，则a 与b 的夹角为__________． 14. 已知点()0,2A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0x y x≥⎧⎨≤⎩，则PA 的最小值是 ．15. ()()2511ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为__________． 16.已知函数()2e()ln 2ex f x a x =-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是__________．第10题图第11题图三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 成等差数列，且32b =． （1）求ABC △的外接圆直径； （2）求a c +的取值范围． 18. （12分）如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB △为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ， Q 为PB 中点． (1) 求证：AQ ⊥平面 PBC ；(2)求二面角B PC D --的余弦值． 19.（12分）最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都过月收入13的在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[)03，，[)36，，[)69，，[)912，，[]1215，（单位：千元）分组的频率分布直方图如上：乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：月收入 [)03，[)36，[)69，[)912，[]1215，户数38272492（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M 的概率；（2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的22⨯列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关. 幸福指数低 幸福指数高总计甲小区租户 乙小区租户总计第18题()2P K k ≥0.10 0.010 0.001 k2.7066.63510.828参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20. （12分）已知圆O ：222x y r +=，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短半轴长等于圆O 的半径，且过C 右焦点的直线与圆O 相切于点132D ⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线l 与圆O 相切，且与C 相交于,A B 两点，求点O 到弦AB 的垂直平分线距离的最大值. 21. （12分） 已知函数()()()ln 11xf x a x a x=-+∈+R ，2m 12e e ()x g x x +=-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，[]12,0,e x x ∀∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. 22. [选修44-：坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为123x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）当AB OP =时，求a 的值. 23.[选修45-：不等式选讲] （10分） 已知不等式21214x x ++-<的解集为M. （1）求集合M ；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+.2019年福州市普通高中毕业班质量检测参考答案数学（理科）试卷1.因为1i1i iz -==--，所以1+i z =-，故选A ． 2.因为{}{}1,12A x x B x x =>=-<<，所以{}1A B x x =>-，故选D ．3.A 中的m 值应为12;B 中应为380人;C 是正确的;D 中的分段间隔应为20，故选C ．4.解法一：设首项为1a ，公比为q ，因为0n a >，所以0q >，由条件得21511464a q a q a q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，所以531S =，故选B ．解法二：设首项为1a ，公比为q ，由226464a a a ==，又34a =，∴2q =，又因为214a q ⋅=所以11a =，所以531S =，故选B ． 5. 解法一：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得， πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．解法二：由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 6.解法一:设准线与x 轴交于点Q ,因为直线AF 的斜率为3 2FQ =， 60AFQ ∴∠=， 4FA =，又因为PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △的面积为22334=4344FA =B ． 解法二：设准线与x 轴交于点Q ,,)Pm n （,因为直线 AF 的斜率为3， 2FQ =，60AFQ ∴∠=，所以23AQ =23n =±24n m =，所以3m =，又因为4PA PF ==， 所以PAF △的面积为11423=4322PA n ⨯⨯=⨯⨯．故选B ． 7.由三视图知,所求几何体的体积为直三棱柱的体积减去三棱锥的体积321180442=323⨯-⨯⨯⨯12．故选D ． 8.由图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T =π，又因为0ω>，所以2ωπ=π，解得=2ω． 0,ωϕ><π2，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数2()2sin 23g x x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．因为函数()g x 为偶函数，所以2,32k k ϕππ+=π+∈Z ，由ϕπ<2，解得 =6ϕπ- ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为02x π<<，所以1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域是(]1,2-，故选D ．9. 由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()()2222,22x x x xg x h x --+==－．由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ---≤==-+++－，∵2141x y =-+为增函数，∴max231415x⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选B ． 10.连结1QF ，由条件知12QF PF ⊥，且22cQF =．由双曲线定义知122c QF a =+，在12Rt F QF △中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得C 的离心率22157e +=，故选C ． 11.正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分,例如，与上底面截得的弧长是以1A 为圆心,1为半径的圆周长的14,所以弧长之和为23342ππ⨯=．故选C. 12. 因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 第10第11题图所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，两边取对数得1lg 2lg n n b b +=，又111lg lg 2lg3b a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以数列{}lg n b 是首项为lg 3，公比为2的等比数列.所以112lg lg32lg3n n n b --=⋅=，所以123n n b -=，即1232n n n a -+=，从而1232n n na -=-，将8n =代入，选A. 法二、因为()2122124n n n n n a a a na n ++=++，所以()22212411n n n na na n a n a +++=+， 所以2222124142n n n n n n a na n n n na a a a +⎛⎫+++==+⋅+ ⎪⎝⎭， 所以21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，则21n n b b +=，因为13b =，所以223b =，所以()224333b ==，所以()248433b ==，…，所以7264839b ==。
2019-2020年福州市质检二：福建省福州市2019届高三教学质量检测(二)数学(理)试题word-附详细答案
见微知著，闻弦歌而知雅意2019-2020届备考福建省福州市2019届高三教学质量检测（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}12A x x =-<≤，{}0B x x =<，则下列结论正确的是( )A.(){}12R C A B x x =-<≤B.{}10A B x x =-<<C.(){}0R A C B x x =≥D.{}0A B x x =< 2.已知复数z 满足()zi i m m R =+∈，若z 的虚部为1，则复数z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在等比数列{}n a 中，2a =2，516a =，则6a =( )A.28B.32C.64D.144.设0a >且1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件5.我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为( )(参考数据：sin150.2588=°，sin 7.50.1305=°，sin 3.750.0654=°)A.24B.36C.48D.126.若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( )A.3πB.23πC.56πD.6π 7.在()()5121x x -+的展开式中，含4x 项的系数为( )A.5-B.15-C.25-D.258.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )。
2023年5月福州市高三毕业班质检数学卷及答案
准考证号姓名.（在此卷上答题无效）2023年5月福州市高三毕业班质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,3,5,7,8A =，{}1,5,,8,9B a =，若{}3,5,8A B =I ,则a =A ．2B ．3C ．6D ．72.在复平面内，复数1z对应的点位于第二象限，则复数z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量b 在单位向量a 上的投影向量为4-a ，则+⋅=（）a b a A ．3-B ．1-C ．3D ．54.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P 关于贷款人的年收入x （单位：万元）的Logistic 模型：0.96800.9680e ()1e kxkxP x -+-+=+．已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（精确到0.01万元，参考数据：ln 3 1.0986≈，ln 20.6931≈）A ．4.65万元B ．5.63万元C ．6.40万元D ．10.00万元5.已知ABC △的外接圆半径为1，π3A =，则cos cos AC C AB B ⋅+⋅=A ．12B ．1C ．2D 6.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨．某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨．现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有A ．15种B ．18种C ．19种D ．36种7.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若直线l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则A ．α//β，l //αB ．α⊥β，l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l8.已知0a >，函数()()1e a x f x -=，()()222g x x a x b =-+++．若()()f x g x >，则ba的取值范围是A ．2(,)e-∞-B ．(),1-∞-C ．1(,2-∞-D ．2(,0)e-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．第40百分位数10.已知椭圆C ：22px qy r +=，其中p ，q ，r 成公比为2的等比数列，则A ．C 的长轴长为2B ．C 的焦距为C ．C 的离心率为2D ．C 与圆()2231x y -+=有2个公共点11.如图，一个半径为3m 的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周．已知盛水筒P 离水面的最大距离为5.2m ，旋转一周需要60s ．以P 刚浮出水面时开始计算时间，P 到水面的距离d (单位：m)(在水面下则d 为负数)与时间t (单位：s)之间的关系为()ππsin 0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭，[0,60]t ∈，下列说法正确的是A ． 2.2K =B ．π30ω=C ． 2.2sin 3ϕ=D ．P 离水面的距离不小于3.7m 的时长为20s 12.已知函数()f x 定义域为R ，满足()()122f x f x +=，当11x ≤-<时，()f x x =．若函数()y f x =的图象与函数121()(20232023)2x g x x +⎡⎤⎢⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤的图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则A ．()g x 是偶函数B ．2024n =C ．10ni i x ==åD ．10121011122ni i y -==-å第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 678910y3.54566.5若由表中数据得到经验回归直线方程为ˆˆ0.8yx a =+，则10x =时的残差为（注：观测值减去预测值称为残差）．14.写出经过抛物线28y x =的焦点且和圆()2214x y +-=相切的一条直线的方程．15.已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为．16.不等式π1sin46x x <+的解集为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）如图，直线12l l ∥，线段DE 与12,l l 均垂直，垂足分别是,E D ，点A 在DE 上，且1,2AE AD ==.,C B 分别是12l l ,上的动点，且满足π3BAC ∠=．设ABD x ∠=，ABC △面积为()S x ．（1）写出函数解析式()S x ；（2）求()S x 的最小值．18.（12分）学校有A ，B 两家餐厅，周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐．第1天午餐选择A餐厅的概率是13，如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为35；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为34．（1）记周同学前两天去A 餐厅的总天数为X ，求X 的数学期望；（2）如果周同学第2天去B 餐厅，那么第1天去哪个餐厅的可能性更大？请说明理由．19.（12分）如图，四边形A 1ABB 1是圆柱的轴截面，CC 1是母线，点D 在线段BC 上，直线A 1C //平面AB 1D ．（1）记三棱锥B 1-ABD 的体积为V 1，三棱锥B 1-ABC 的体积为V 2，证明：212V V =；（2）若CA =2，CB =4，直线A 1C 到平面AB 1D 的距离为43，求直线CC 1与平面AB 1D 所成角的正弦值．20.（12分）已知数列{}n a 满足12211,1022n n n a a a a a n ++==++=+．（1）若1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求使n a 取得最小值时n 的值．21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为原点，点(1,1)P 在C 的渐近线上，PAO △的面积为12．（1）求C 的方程；（2）过点P 作直线l 交C 于,M N 两点，过点N 作x 轴的垂线交直线AM 于点G ，H 为NG 的中点，证明：直线AH 的斜率为定值．22.（12分）已知a R Î，函数()()11e x f x x a -=--．（1）讨论()f x 在(,)b -∞上的单调性；（2）已知点(),P m m ．（i ）若过点P 可以作两条直线与曲线()1e 113x y x -=+-<<相切，求m 的取值范围；（ii ）设函数122e 1,11,()ln(1)1,1e 1e x x h x x x --⎧+-<<⎪=⎨-++<<+⎪⎩．若曲线()y h x =上恰有三个点iT （1,2,3i =）使得直线i PT 与该曲线相切于点i T ，写出m 的取值范围（无需证明）．质量抽测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。