转化与化归思想
转化与化归思想 复习参考题(4)
kk1 kk2
课堂总结——化归的常用方法
直接转化法 等价转化法 特殊化法 数形结合法
构造法
换元法 坐标法 分离参数法 类比法 补集法
高考理科数学二轮复习
长沙市明德中学 谢卫平
1
函数与方程思想
2ห้องสมุดไป่ตู้
数形结合思想
3 条件 分类与整合思想 结论
4
转化与化归思想
思想概述
1.转化与化归的含义：
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关 数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转 化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是 将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解 的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决 的问题通过变换转化为已解决的问题．
则( C )
A．3α－β＝π2 B．3α＋β＝π2 C．2α－β＝π2
D．2α＋β＝π2
点评：化繁为简：弦切互化（化一）.
2.已知直线 x y 1通过点 M (cos ,sin ) ，则（
ab
D
）
A. a2 b2 1
B. a2 b2 1
C.
1 a2
1 b2
1
D.
1 a2
曹冲称象
2.转化与化归的基本原则：
简单化
正难则反
熟悉化
化归 将转复化问杂题的的问条题件转或化结为论简，单使其的表问现题形：式更符合数与形内
化部高所表次示为的将低和比次决谐较，将的统抽化陌一问象多的生题的变形的，问元式问以题，为题利或转单转于者化变化运转为元为用化比，熟熟命较综悉题知直合，的的问使或知其已识推解演
化归与转化的思想方法
化归与转化的思想方法随着教育事业的发展，数学教育改革的逐步深入，尤其是在数学新课程标准中十分注重培养学生的思想方法，培养学生应用数学解决问题的能力。
化归作为重要的数学思想方法，在数学教育中加强对化归思想的教育已成为十分重要的工作，这里，我仅就化归思想的核心及其在生活中的作用等问题作一些初步探讨。
一、历史背景化归与转化的思想简介匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的.有人提出了这样一个问题:“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做?”对此，某人回答说:“在壶中灌上水，点燃煤气.再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道:“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做?”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说:“点燃煤气，再把水壶放上去.”但是更让人出乎意料的答案出现了。
数学家会回答：“把水倒掉，方法同上。
”一个有趣的笑话精辟的道出化归的方法的精髓。
二、化归与转化的含义在历史上曾经有不少数学家从各种不同的角度对化归方法作过论述。
例如，笛卡尔曾经提出如下的“万能方法”：①把任何问题都化归为数学问题；②把任何数学问题都化归为代数问题；③把任何代数问题都化归方程式的求解。
由于求解方程的问题被认为是已经能解决的（或者说，是比较容易解决的），因此笛卡尔认为利用这样的方法可解决各类型的问题。
显然他的这一结论并不正确，所谓的“万能方法”也根本不存在，笛卡尔所给出的这一模式毕竟可视为化归方法的一个具体运用，从而产生过具有重要意义的成果。
事实上，笛卡尔创立解析几何学，正是这种重要成果的生动体现。
化归法的一般模式，其形式如下图[4]：转换未知问题（复杂）已知问题（简单）已知理论、方法、技巧解答解答化归与转化就是将待解决或未解决的问题，通过转化归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容易解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决。
转化与化归思想方法
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法。
一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决,总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.1.转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.（2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题, 通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。
（3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解。
2。
常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：（1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元"把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式)与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径。
（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的。
（5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题。
随着国家经济的发展，科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。
转化与化归思想
正面与反面的转化 例 2：若抛物线 y＝x2＋4ax＋3－4a，y＝x2＋(a－1)x ＋a2，y＝x2＋2ax－2a 中至少有一条与 x 轴相交，则实数 a 的取值范围是________．
第20讲 │ 要点热点探究
4 (1)－3，7 3 (2)－∞，－2∪[－1，＋∞)
【解析】(1)g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.g(x)＝f′(x)在区间(－1,1) 上存在零点，等价于 3x2＋4x＝a 在区间(－1,1)上有解，等价于 a 的 取值范围是函数 y＝3x2＋4x 在区间(－1,1)上的值域，不难求出这个 4 4 函数的值域是－3，7.故所求的 a 的取值范围是－3，7. (2) 若 三 条 抛 物 线 均 不 与 x 轴 相 交 ， 则
第20讲 │ 要点热点探究
x2 y2 (2)证明：由(1)知 a ＝3b ，所以椭圆 2＋ 2＝1 可化为 x2＋3y2＝3b2. a b → 设OM＝(x，y)，由已知得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，
2 2
x＝λx1＋μx2， ∴ y＝λy1＋μy2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵M(x，y)在椭圆上，∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2， 2 2 即 λ2(x1＋3y2)＋μ2(x2＋3y2)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2. ① 1 2 a2c2－a2b2 3 2 3 3 2 1 2 由(1)知 x1＋x2＝ c，a2＝ c ，b2＝ c ，∴x1x2＝ 2 ＝ c. 2 2 2 8 a ＋b2 ∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c) 3 9 ＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋3c2＝ c2－ c2＋3c2＝0. 2 2 2 又 x2＋3y1＝3b2，x2＋3y2＝3b2， 1 2 2 代入①得 λ2＋μ2＝1.故 λ2＋μ2 为定值，定值为 1.
转换与化归思想
浅谈转换与化归思想转化思想就是数学中的一种基本却很重要的思想。
深究起来,转化两字中包含着截然不同的两种思想,即转换与化归。
这两者其实表达了不同的思想方法,可以说就是思维方式与操作方法的区别。
一、 转换思想(1)转换思想的内涵转换思想就是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化,能跳出现有领域的局限,联系相关领域,并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。
要做到这一点,对思维能力的要求相对更高,必须对各个领域分别都有透彻的了解,更必须对各领域之间的联系有较多的研究,在关键时刻才能随心所欲地运用。
(2)转换思想在同一学科中的应用转换思想可以就是在同一学科的不同知识模块之间的变换,在解决问题时改变解题方向。
象数学学科中,数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。
比如,函数、方程、不等式就是代数中的三大重要问题,而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其她模块的各类问题。
不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决,或者就是二次方程根的分布,也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。
再比如,数列问题用函数观点来解释,那更就是我们数学课堂中一再强调的问题了。
瞧这样一个问题:已知:11122=-+-a b b a ,求证:122=+b a 。
[分析] 这就是一个纯粹的代数证明问题,条件的变形就是比较艰难的,所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。
再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式,稍加联系,我们完全可以想到:21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现,它们呈现出完全类似的规律性。
[解答]由题意1≤a 、1≤b ,则可设αsin =a ,αcos =b ,πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ,0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了就是发现了不同知识模块中的类似规律,加以利用得到新的思路,本题的题设与结论中都没有出现三角函数的形式,最终却必须引进三角函数加以解决,思维已经具有跳跃性,对一般学生来说解决起来还就是比较棘手的。
数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
转化与化归思想
例1 已知 x + x + 1 = 0, 求 x + 2 x + 2010 的的。
2 3 2
例2 解方解 2( x − 1) − 5( x − 1) + 2 = 0.
2
1 1 4 例3 已知 x + = 2, 则 x + 4 的的为 __________ . x x
已知正方形的边长为a， 例4 已知正方形的边长为 ，以各边为直径 在正方形内画半圆，求所围成的图形（ 在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影 部分）的面积。 部分）的面积。
如图,在梯形 在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD, 例6 如图 在梯形 中 对角线AC,BD交于点 且AC⊥BD.已知 交于点O,且 ⊥ 对角线 交于点 已知 AD=3,BC=5,求AC的长 的长. 求 的长
如图， 分别是正三角形ABC、正 例7 如图，点E、D分别是正三角形 、 分别是正三角形 、 四边形ABCM、正五边形 中以C点为 四边形 、正五边形ABCMN中以 点为 中以 顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的 延长线交AE于点 点，且BE=CD，DB延长线交 于点 ． ， 延长线交 于点F． 1））若将条件“正三角形、正四边形、正 求图1中∠AFB度数，并证明 ， 、 中 度数， （（3）若将条件“正三角形、正四边形图3中 ）求图2中∠AFB的度数为 中 度数 并证明CD2=BD•EF 2）图 中 的度数为______， 的度数为 五边形”改为“ 边形” 其它条件不变， 度数为_______，在图 、图3中， 五边形”改为 边形 在图2、 ∠AFB度数为“正n边形”，其它条件不变， 度数为 ， 中 ；（填 可用含n的代数式 成立” 则∠AFB度数为 （1）中的等式 _______. 填“成立”或“不成 ）中的等式_____ ；（ （可用含 的代数式 度数为 表示，不必证明） 表示，不必证明） 不必证明） 立”，不必证明）
转化与化归思想
转化与化归思想1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
一、选择题1．某厂2007年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润M 与全年总投入N 的大小关系是 （ ）A. M>NB. M<NC.M = ND.无法确定 解:设第n 个月的利润与投入资金分别为,n n a b ，则1(1)n a a n d =+-是关于n 的一次函数，1n n b a q -=⋅是关于n 的指数函数复合形，易知111212,a b a b ==，作出示意图如下：显然有i i a b >，2,3,4,,11i = 故有M>N ，选答案A2．已知两条直线1l ：y x =，2l ：0ax y -=，其中a R ∈，当这两条直线的夹角在(0,)12π内变动时，a 的取值范围是（ ） A.(0,1)B.(3C.(3D.解：分析直线2l 的变化图形，化数为形，答案为C3．若(0x y -=，则x y -的最小值和最大值分别是（ ）A.12-和B.C.1-D.1解：已知化为x =y =即221(0)x y x +=≤或221(0)x y y +=≥，即单位圆的34（除去第四象限部分） 令cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，3[0,]2πθ∈∴3cos sin )4x y πθθθ-=-=+∵339[,]444πππθ+∈，∴3sin ()[1,42πθθ+∈-∴[x y -∈，选答案D4．函数114sin 5sin y x x =-++的值域是（ ）A.11[,]126B.11[,]3012C.11[,]93D.11[,]159解：221191sin 9sin 20(sin )24y x x x ==+++- ∵sin [1,1]x ∈-，∴291(sin )[12,30]24x +-∈故11[,]3012y ∈，选答案B5．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是（ ）A.1(,1)2-B.1(3,)2--C.3(3,)2-D.13(,)22-解：由反面情况分析易知只须(1)0f ->或(1)0f >（或由保号性亦可直接推出）得答案A6．若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=的两个对称点，则实数a 的取值范围是（ ）A.1(,)4+∞ B.3(,)4+∞ C.1(0,)4 D.13(,)44解：（法一）21y ax =-关于0x y +=的对称曲线为21x ay -=-由2211y ax x ay ⎧=-⎨=-+⎩ ①②，得22()x y a x y +=- 易知0x y +≠，∴()1a x y -=把①代入得2(1)1a x ax -+=，即2210a x ax a --+=0∆>，得224(1)0a a a +->2(43)0a a ⇔⋅->∴34a >，选答案B（法二）假设存在两个对称点P 111(,)x y ，P 222(,)x y ，则由21122211y ax y ax ⎧=-⎨=-⎩两式相减得：121212()()y y a x x x x -=+-……① 设P 1P 2中点M 00(,)x y ，∵P 1P 2与对称轴0x y +=垂直∴1212121P P y y k x x -==-，∴①式变为012ax =又000x y +=，∴中点M 11(,)22a a -，结合图象知必有0a >，且M 在抛物线内部∴2001y ax >-，∴211.()122a a a ->-，得34a > （法三）设P 1P 2所在直线：y xb =+与21y ax =-联合消去y 得：210ax x b ---=由0∆>，得14(1)0a b ++>……①设P 1P 2中点M 00(,)x y ，∴120122x x x a +==，0012y x b b a=+=+ 又点M 在直线0x y +=上，∴000x y +=即11022b a a ++=，∴1b a=-， 代入①，得114(1)0a a +-+>，即34a >二、填空题7．函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是_____________。
转化与化归思想
转化与化归思想[思想方法解读] 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．常考题型精析题型一 正难则反的转化例1 已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}． 若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以，使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．点评 本题中，A ∩B ≠∅，所以A 是方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0①的实数解组成的非空集合，并且方程①的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根．分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U ，然后求①的两根均为非负时m 的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”．变式训练1 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5； 由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. 所以，函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 题型二 函数、方程、不等式之间的转化例2 已知函数f (x )＝13x 3＋⎝⎛⎭⎫a 2－43x 2＋⎝⎛⎭⎫43－23a x (0<a <1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围．解 因为f ′(x )＝x 2＋⎝⎛⎭⎫a －83x ＋⎝⎛⎭⎫43－23a ＝⎝⎛⎭⎫x －23(x ＋a －2)，所以令f ′(x )＝0， 解得x 1＝23，x 2＝2－a . 由0<a <1，知1<2－a <2.所以令f ′(x )>0，得x <23，或x >2－a ； 令f ′(x )<0，得23<x <2－a ， 所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a 6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .因为当0<a ≤25时，13－a 6≥23a ； 当25<a <1时，23a >13－a 6， 由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，得2f (x )min >f (x )max (x ∈[1,2])．所以当0<a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2>13－a 6， 结合0<a ≤25可解得1－22<a ≤25； 当25<a <1时，必有2×a 6(2－a )2>23a ， 结合25<a <1可解得25<a <2－ 2. 综上，知所求实数a 的取值范围是1－22<a <2－ 2. 点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．变式训练2 (2015·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点．当a >0时，因为e 2x 单调递增，－a x单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于022e x －a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a .故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a. 题型三 主与次的转化例3 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，1 解析 由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0， 解得－23<x <1. 故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 点评 主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x 及a ，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题．变式训练3 设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为______________．答案 (－∞，－1]∪[0，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的增函数，∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．(*)(*)式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0， 解得x ≥0或x ≤－1，即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．题型四 以换元为手段的转化与化归例4 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，则说明理由．解 y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－(cos x －a 2)2＋a 24＋58a －12.∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1，令cos x ＝t ， 则y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. 当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递增， ∴t ＝1时，函数有最大值y max ＝a ＋58a －32＝1， 解得a ＝2013<2(舍去)； 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时， t ＝a 2函数有最大值，y max ＝a 24＋58a －12＝1， 解得a ＝32或a ＝－4(舍去)； 当a 2<0，即a <0时， 函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12在t ∈[0,1]上单调递减， ∴t ＝0时，函数有最大值y max ＝58a －12＝1， 解得a ＝125>0(舍去)， 综上所述，存在实数a ＝32使得函数有最大值． 点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况．本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos x ＝t ，转化为关于t 的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y ＝－(t －a 2)2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1的最值问题，然后分类讨论解决问题．变式训练4 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－8]解析 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a ，得a ＋4＝－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ， ∵t >0，∴－⎝⎛⎭⎫t ＋4t ≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．高考题型精练1．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案 B 解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b .又∵函数y ＝log a x (a >1)为增函数，∴a ＝log 233>log 22＝1，c ＝log 32<log 33＝1，∴a ＝b >c .2．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( )①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )既没有最小值，也没有最大值．A ．①②③B ．②C ．①③D ．③答案 A解析 若f (x )＝(2x －x 2)e x >0，则0<x <2，①正确；∵f ′(x )＝－e x (x ＋2)(x －2)，∴f (x )在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f (－2)是极小值，f (2)是极大值，②正确；易知③也正确．3．(2014·湖南)若0<x 1<x 2<1，则( ) 21121212212121A.e e ln ln B.e e lnC e eD e e x x x x x x x x x x x x x x ->--<><.. 答案 C解析 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x －1x ＝x e x －1x . 令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．设g (x )＝e x x (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数．又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)，1221e e .x x x x ∴>4．设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋2b 的最小值为( )A ．－2 2B ．－533C ．－2 3D ．－72答案 C解析 由a 2＋2b 2＝6，得a 26＋b 23＝1. 所以可设⎩⎨⎧a ＝6cos θ，b ＝3sin θ.a ＋2b ＝6cos θ＋6sin θ＝12⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ ＝12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，所以a ＋2b ≥－2 3. 5．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R 、Q 两点，则PR →·PQ →的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2答案 A解析 当直线RQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a ，故选A.6．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 A解析 设P (x 0，y 0)，倾斜角为α，0≤tan α≤1，f (x )＝x 2＋2x ＋3，f ′(x )＝2x ＋2,0≤2x 0＋2≤1，－1≤x 0≤－12，故选A.7．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和圆(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析 设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知|PF 1|－|PF 2|＝2×3＝6.要使|PM |－|PN |最大，需PM ，PN 分别过F 1、F 2点即可．∴(|PM |－|PN |)max ＝(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝9.8．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e 答案 A解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.9．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是________． 答案 1316 解析 由题意知，只要满足a 1、a 3、a 9成等比数列的条件，{a n }取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列a n ＝n (n ∈N *)，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316. 10．已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P ，Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点，Q 为顶点，则在几何体侧面上，从P 点到Q 点的最短路径的长为________．答案 a 1＋π2解析 由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a 1＋π2.所以P ，Q 两点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.11．f (x )＝13x 3－x ，x 1，x 2∈[－1,1]时，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43. 证明 ∵f ′(x )＝x 2－1，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0，∴f (x )在[－1,1]上递减．故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝23， 最小值为f (1)＝－23， 即f (x )在[－1,1]上的值域为[－23，23]． 所以x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)|≤23，|f (x 2)|≤23， 即有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x 1)|＋|f (x 2)|≤23＋23＝43. 即|f (x 1)－f (x 2)|≤43. 12．已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． (1)解 ∵g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x－1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)， 令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)，取t ＝1n(n ∈N *)时， 则1n >ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ，∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n)＝ln(n ＋1)． 即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．。
数学思想方法梳理(3)——化归与转化思想
数学思想方法梳理（3）——化归与转化思想解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化,是具有较高思维能力要求的压轴题中重点考查的数学思想方法。
1.求函数y ax =可以设t 则原函数转化为关于t 的二次函数 ；2.若lg y u =的定义域为R ，其中()u f x =，则问题等价于不等式 恒成立；若lg ()y f x =的值域为R ，则问题等价于函数()u f x =在(0,)+∞能 ；3.对于[,]x a b ∀∈，总有()()f x g x <等价于函数()h x = 在[,]a b 上的最大值小于零；对于1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈总有12()()f x g x <等价于max min [()],[()]f x g x 之间满足 ；4.对于12,[,]x x a b ∈，1122()()()()f x g x f x g x -<-等价于函数()()y f x g x =-在[,]a b 上 ；实数,m n 分别满足320am bm cm d +++=，320an bn cn d +++=，可构造()f x = 且()()0f m f n ==．5. 当遇到四个变量1122,,,x y x y ，满足11220,0ax by c ax by c ++=++=时，则1122(,),(,)x y x y 可以可视为直线 上的两个的不同点的坐标，该直线也就是过两定点1122(,),(,)x y x y 的直线； 当遇到两个变量,x y ，满足22,(0)x y m x y n n +=+=>，则可理解为 有公共点；6. ()()()()f x g x f x g x ''+是 的导数； ()()()()0f x g x f x g x ''->（0)(≠x g ）说明函数 在定义域的某个区间上单调增；()()0xg x g x '+<说明函数 在定义域内单调减；7.已知实数[,]k m n ∈， 若210kx kx ++≥恒成立，构造关于k 的一次函数()f k = ，问题等价于不等式 在[,]k m n ∈上恒成立；已知210ax bx ++=，其中[,]x m n ∈，欲求22a b +的最小值，可以视方程为直线:l ，22a b +的最小值就等价于坐标原点到直线l 的的距离d = 的平方的最小值；8.如图（1），A 、B 在直线L 的异侧，在直线L 上任取一点M ，M A M B AB +≥，当且仅当点M与M '重合时有MA MB AB ''+=，所以MA+MB 的最小值是 ．简单地说，就是“异侧和最小”；9.如图（2），A ，B 在直线L 的同侧，在直线L 上任取一点M ，AB MB MA ≤-，当且仅当点M 在AB 的延长线与L 的交点处时有MA MB AB ''-=，此时MA-MB 的最大值是 ．简单地说，就是“同侧差最大”【例1】已知曲线2(),()21a f x g x ax b x+==++.（1）若1,1a b ==为常数，点(,)x y 为直线()y g x =的最小值；（2）若,,0a b a ∈≠R ，关于x 的方程()()f x g x =在[3,5]【解析】（1的最小值，等价于原点到直线30x y -+=的距离d ==2； （2）方程整理得2(21)20ax b x a ++--=，即2220x a xb a x +--+=，以aOb 建立平面坐标系，的最小值 ，设()x ϕ=，其中[3,5]x ∈.2221()51252x t x x t t t t ϕ-====+++++,2t x =-， 设5()2h t t t =++，[1,3]t ∈，225()t h t t-'=，当()0h t '>3t ≤，函数()h t 单调增； 当()0h t '<，1t ≤<()h t 单调减。
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转化与化归思想
转化与化归思想
转化与化归思想是中学数学中四种重要的数学思想之一，它是在处理问题时，把那些待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题，是一种把未知问题转化为熟知可解问题的一种重要的思想方法。
高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分。
常见的转化方法：
（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。
（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。
（3）数形结合法：研究原问题中的数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换，获得转化途径。
（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化。
（5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。
（6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径。
（7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，确定转化途径。
（8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题。
（9）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化。
（10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的。
（11）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果类比集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全
集U，通过解决全集U及补集C U A使原问题获得解决。
以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割。
一、等与不等的相互转化
等与不等是数学中两个重要的关系，也是常见的两种关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。
【例1】若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.
∵a，b为正数，
∴ab≥9.
训练（2009天津卷理）设0,0.
a b
>>
11
33
a b
a b
+
与的等比中项，则的最小
值为（）
,) (1
3
,0
3
2
)
(
.3
2
,3
,
2
2
舍去或
解得
即
又
-
≤
≥
≥
-
-
+
≥∴
+
+
=
≥
+∴
ab ab
ab ab
ab ab
b
a ab
ab
b
a
A . 8
B . 4 C. 1 D. 14
二、正与反的相互转化
对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算比较繁杂的问题，可以先攻其反面，
从而使正面问题得以解决。
【例2】已知三条抛物线：2443y x ax a =+-+，22(1)y x a x a =+-+，
222y x ax a =+-中至少有一条与x 轴相交，求实数a 的取值范围。
解：令0y =，由2122223(4)4(34)0(1)40(2)80
a a a a a a ??=--<<- 所以满足题意a 的取值范围是32
a ≤-或1a ≥- 训练已知向量a =(1,1),
b =(x ,-1),若a 与b 所成的角不是锐角，则x 的取值范围是（）
A.(-∞,1)
B.(-∞,1]
C.(-1,1]
D.(1,+∞)
三、换元转化问题
【例3】求函数2()12cos 2sin f x x x =--的最值。
解：令t=cos x,则-1≤t ≤1,
则原函数化为2()122(1)f t t t =---2221t t =-- 所以当12t =时，2min 113()2()21222
f x =?-?-=- 当1t =-时，2max ()2(1)2(1)13f x =?--?--=
归纳拓展：
通过换元将三角问题转化成较为熟悉的二次函数问题,应特别注意换
元后t ∈[-1,1],应讨论二次函数的对称轴与区间[-1,1]的位置关系,才能快速、准确
解答此题.
变式训练3 求函数sin cos ()1sin cos x x f x x x
=++的最大值和最小值. 四、常量与变量的转化与化归
含参变量的不等式中，求参数的取值范围是高考的一大热点，当
变量易于分解
时，转化为()a f x >或()a f x <恒成立或有解的问题，再转化为函数最值问题或
值域问题。
【例4】设f(x)是定义在R 上的单调递增函数，若f(-1-ax-x 2)≤f(-2-a)对任意a ∈
[-1,1]恒成立，求实数x 的取值范围.
解由题意知,-1-ax-x 2≤-2-a,即(1-x)a-x 2+1≤0,令g(a)=(1-x)a-x 2+1,
所以原不等式等价于
解得x ∈(-∞,-2]∪[1,+∞)，
所以实数x 的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).
训练4：已知不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ??∈
成立，求a 的最小值五、“数”与“形”转化问题
例、（1）若f(x)=ax+3-a 的图像在（0，1）内与x 轴恰有一个交点，则a 的取值范围是。
（2）当a ∈R 时，方程 |3x+5|=ax+b 恒有实数解，则b 的取值范围是。
这两个问题都是求参变量的取值范围，可结合图形及一次函数的性质转化为解不等式。
解：（1）f （x ）的图象是一条直线，在（0，1）内与x 轴恰有一个交点，则f （0）·f （1）＜0，则a ＞3。
（当a=0时不合题意）（2）方程|3x+5|=ax+b 恒有实数解，即曲线y=|3x+5|与直线y=ax+b 恒有交点，由图可知b ≥5时，方程恒有实数解。
从直线方程的观点看，一个是求斜率的取值范围，一个是求y 轴上截距的取值范围，要认真比较他们的区别和联系。
训练：（2005江西）设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202??
≤->-+≤-- 思想方法小结：
一．转化思想方法包含三个基本要素：
1.把什么东西转化,即转化的对象；
2.转化到何处去,即转化的目标；
3.如何进行转化,即转化的方法.
二．转化思想方法应遵循以下五条原则：
1.熟悉化原则:将陌生等问题转化成熟悉的问题,以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决.
2.简单化原则:将复杂问题转化成简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.
3.和谐化原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.
4.直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.
5.正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,是问题获得解决，或证明问题的可能性.
,0)1(0)1(≤≤-g g ,02022≤---≤+-x x x x 即
练习：
1.若直线2ax-by+2=0(a ＞0,b ＞0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（） A.2 B. 14 C. 12
D. 4 2.（2009重庆卷文）已知0,0a b >>
，则11a b
++ ） A ．2 B
． C ．4 D ．5
3.（2009福建卷理）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________.
4.（2009滨州一模）(13)已知正数,a b 满足a b a b +=，则a b +的最小值为；
5、(2008江苏省启东中学高三综合测试三)当x>1时，不等式x+
11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．(－∞,2]
B ．[2,+∞)
C ．[3,+∞)
D ．(－∞,3] 6.方程sin 2x+cos x+k=0有解,则k 的取值范围是____________
7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）
A. －3，1
B. －2，2
C. －3，32
D. －2，32
8．设222(log )(2)log 1y x t x t =+--+,若t 在［-2，2］上变化时,y 恒取正值,求x 的取值范围
9.设函数321()(1)4243
f x x a x ax a =--++，其中常数a>1 (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。
10.（2009江西卷文）（本小题满分12分）设函数329()62
f x x x x a =-+-．（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．b a 11+。