平行线的性质与定理
平行线的判定与性质
2、已知：b∥a，c∥a
求证：b∥c
d
1 2
证明：∵ b∥a （已知） 3 ∴ ∠1=∠2（两直线平行，同位角相等 ） ∵ c∥a（ 已知 ） ∴ ∠1=∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ） ∴ ∠2=∠3（ 等量代换 ） ∴ b∥c ，（ 同位角相等，两直线平行 ）
a b c
3、已知，如图∠1+∠2=180的补角相等；
同角的余角相等； 等角的余角相等；
三角形的任意两边之和大于第三边；
平行线的判定方法： 同位角相等，两直线平行-----公理 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行； 平行于同一条直线的两条直线平行
平行线的性质定理： 3 两直线平行，同位角相等； 8 5 7 6 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。
求证：∠3=∠4
证明：∵ ∠1+∠2 =180 ° （已知） ∠5=∠2（对顶角相等） ∴ ∠1+∠5 =180 ° （等量代换）
∴ a∥b（同旁内角相等，两直线平行） ∴ ∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）
练习：
1、课本174页 3题 2、课本184页 2题
3、课本184页 2题
4、求证：垂直于同一条直线的两条 直线平行 b a 已知：a⊥c b⊥c 求证：a∥b 证明： ∵a⊥c b⊥c
4 2 1
a
b
两直线平行
性质
判定
｛
1.同位角相等 2.内错角相等 3.同旁内角互补
性质定理的作用： 由两直线平行得到两角相等或互补 判定（公理）定理的作用：
由角相等或互补得到两直线平行
1、下列推理正确吗？为什么？a
b
（1）∵ ∠1=∠2 c 1 5 6 正确 ∴c //d 4 3 （2）∵ ∠4+∠5=180° d 2 ∴a //b 不正确 （3） ∵ a //b ∴ ∠2=∠4 正确 （4） ∵ c //d ∴ ∠1+∠5=180 ° 不正确
认识平行线垂直线及其性质
认识平行线垂直线及其性质在几何学中，平行线和垂直线是基本的概念和性质。
它们在一些常见的几何定理和问题中起着重要的作用。
本文将介绍平行线和垂直线的定义、性质以及相关定理。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。
具体来说，如果两条直线在平面内没有交点，我们就称它们为平行线。
如果将两条平行线延长到无限远，它们将永远保持相同的距离。
平行线具有以下性质：1. 平行线的夹角等于180度：设有两条直线L1和L2平行，它们之间的夹角为θ，则θ=180度。
2. 平行线的转角是相等的：设有两条平行线L1和L2，如果从L1任意一点开始作一条与L2相交的直线，再从与L2的交点开始作一条与L1相交的直线，这两条相交直线的转角是相等的。
二、垂直线的定义和性质垂直线是指在同一个平面内形成直角（即角度为90度）的两条直线。
具体而言，如果两条直线的角度为90度，我们就称它们为垂直线。
垂直线具有以下性质：1. 垂直线的转角等于90度：如果两条直线L1和L2垂直，它们之间的夹角为90度。
2. 垂直线与平行线之间的关系：如果一条直线L1与一条平行线L2相交，那么直线L1与L2的垂线也相交且互相垂直。
三、平行线和垂直线的重要定理1. 同位角定理：如果两条平行线L1和L2被一条截线交叉，那么对应的同位角相等。
2. 内错角定理：如果两条平行线L1和L2被一条截线交叉，那么同位内错角对应相等。
3. 外错角定理：如果两条平行线L1和L2被一条截线交叉，那么同位外错角对应相等。
4. 垂直线的性质：如果一条线段与垂直线相交，那么其两个交点与垂直线的连线是相等的。
5. 垂直线的唯一性：通过同一点可作一条且仅一条垂直线。
这些定理和性质为我们解决许多几何问题提供了基础。
我们可以利用这些性质来构造平行线、垂直线，计算角度和线段的长度等。
总结平行线和垂直线是几何学中的重要概念，它们具有独特的性质和定理。
通过了解它们的定义和性质，我们能够更好地理解几何学中的各种问题和定理。
平行线与垂直线的性质及判定方法
平行线与垂直线的性质及判定方法平行线和垂直线是几何学中常见的重要概念。
对于这两种线相互之间的性质以及如何准确判定它们的方法，本文将进行详细介绍。
一、平行线的性质及判定方法平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
关于平行线的性质和判定方法，我们可以从以下几个方面进行说明。
1. 平行线的性质1.1 不同于同一直线上的两点，同一平面上不同直线上的两点无法连线。
1.2 平行线之间的距离始终相等。
1.3 平行线对应的内角、外角相等。
1.4 平行线的斜率相等或者不存在。
2. 平行线的判定方法2.1 通过观察法判定平行线：如果两条直线的方向相同或者相互平行，它们就是平行线。
可以通过观察直线的倾斜角度或者倾斜方向来判断。
2.2 通过斜率判定平行线：计算两条直线的斜率，如果它们的斜率相等或者不存在，那么这两条直线即为平行线。
2.3 通过平行线定理判定平行线：平行线定理是指如果有一直线与两条平行线相交，那么这两条直线也是平行线。
二、垂直线的性质及判定方法垂直线是指在同一个平面上与另一条直线相交时，两条直线之间的角度为90度。
下面我们来介绍垂直线的性质和判定方法。
1. 垂直线的性质1.1 垂直线之间相交的角度为90度。
1.2 垂直线上的两条线段的长度相等。
1.3 垂直线的斜率的乘积为-1，其中一个垂直线的斜率不存在。
2. 垂直线的判定方法2.1 通过观察法判定垂直线：如果两条直线的交角为90度，它们就是垂直线。
可以通过观察直线之间的交角来判断。
2.2 通过斜率判定垂直线：计算两条直线的斜率，如果斜率的乘积为-1，其中一个直线的斜率不存在，那么这两条直线即为垂直线。
2.3 通过垂直线定理判定垂直线：垂直线定理是指如果两条直线相互垂直，则它们的斜率乘积为-1。
综上所述，平行线与垂直线在几何学中有着重要的性质和判定方法。
对于平行线来说，我们可以通过观察法、斜率以及平行线定理来判定。
而对于垂直线来说，我们可以通过观察法、斜率以及垂直线定理来判定。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质平行线，是在同一个平面上永不相交的两条直线。
在几何学中，判定两条直线是否平行，以及研究平行线的性质，是非常重要的内容。
本文将探讨平行线的判定方法，以及它们所具有的一些基本性质。
一、平行线的判定方法1. 直线的斜率判定法两条直线平行的充分必要条件是它们的斜率相同。
设直线L₁的斜率为k₁，直线L₂的斜率为k₂，那么如果k₁ = k₂，则L₁与L₂平行。
这是平行线的一种常见判定方法。
2. 直线的倾斜角度判定法两条直线平行的充分必要条件是它们的倾斜角度相同。
倾斜角度可以通过斜率来计算，利用三角函数的关系：倾斜角度θ = arctan(k)。
如果直线L₁与L₂的倾斜角度相同，则L₁与L₂平行。
3. 直线的法线判定法两条直线平行的充分必要条件是它们的法线平行。
设直线L₁的法线为n₁，直线L₂的法线为n₂，如果n₁平行于n₂，则L₁与L₂平行。
二、平行线的性质1. 备注①平行线的性质可由平行线公理推导得出，其中平行线公理也是几何学中最基本的公理之一。
②平行线的性质通常用于证明几何定理和解决相关问题。
2. 性质一：平行线与转角平行线与转角的关系是，当有一直线与一条平行线相交时，与原直线所形成的内部和外部转角也分别与另一条直线所形成的内部和外部转角相等。
这是利用平行线特性可以推导出的一个重要性质。
3. 性质二：平行线与等角平行线与等角的关系是，当两条直线被一条截线所分割，并且所形成的对应角相等时，这两条直线是平行的。
这一性质在解题过程中经常被用来判定两条直线是否平行。
4. 性质三：平行线与比例平行线与比例的关系是，当两条直线被一条截线所分割，并且截线上的两点与原两直线上的对应点之间成比例时，这两条直线是平行的。
这一性质在几何图形的相似性质证明中经常使用。
5. 性质四：平行线与平行四边形平行线与平行四边形的关系是，平行线切割同一组平行线所形成的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质有：对角线相等、对边互补、内角和为180度等。
平行线性质定理和判定定理的综合应用
6、如图，木工师傅用角尺画出
长方形工件边缘的两条垂线，这两
条垂线是否平行（ 是 ）。口述理
由。（3分）
理由：
同一平面内，垂
图12
直于同一条直线的
两条直线互相平行。
（二）选择题（每题1分）
7、如图7：当AC//BD时，可以
判断∠A等于哪个角。（ c ）
A.∠D
B.∠C
C.∠B
D.∠AOC
图7
（二）选择题（每题1分）
C
同位角有
_____∠__1_和__∠__5___
4
A
1
____________，
3
2
B
内错角有
_____∠__3_和__∠__5___
F
D
5
____________ ，
图2
同旁内角有
______∠_2__和_∠__5_
_____________ 。
二、抢答题，分组竞赛（答对加分，答错不扣分）。
2、如图4，如果∠1＝∠2，那么 ___A_D__//___B_C__，根据 内__错_角__相__等_，__两_直__线__平_行_______。
求证：AB//DF。
1
C
2
证明：
A E3
B
∵AEB为一直线（已知）
D
F
∴∠1+∠2=180°（邻补角定义）
∵∠1+∠D=180°（已知）
∴∠2=∠D（同角的补角相等）
∴AB//DF（同位角相等，两直线平行）
三、综合应用题
16．已知：如右图，BE平分∠ABC， ∠1=∠2，求证：①∠2=∠3；
②∠4=∠C
8、如图8，已知∠1=∠2 ，且
5.4平行线的性质定理和判定定理
证明
∵∠2= ∠3（对顶角相等）， ∠1=∠2 (已知)，
C
1
∴∠1=∠3（等量代换）
∵ ∠1=∠3（已证）
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
你会证明“两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补， 那么两直线平行”吗？与同学交流。
交流与发现
分析下面的两个命题，你发现它们的条件 和结论之间有什么关系？
（1）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那 么两直线平行。
两个命题的条件和 结论正好互换。
在两个命题中，如果第一个命题的 条件是第二个命题的结论，而第一个命题的 结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命 题叫做它的逆命题
第五章 几何初步证明
复习回顾
在七年级下册我们曾探索了哪些平行线的性质和判定方法？ 两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 同旁内角互补，两直线平行 怎样用有关的基本事实、平行线的性质1以及已经证实了的 定理证明平行线的其它性质和判定方法呢？
例1
证明平行线的性质定理2：两条平行直线被第三条直线所 截，内错角相等。 已知：如图，直线a∥b，∠1，∠2是直线a，b被直线c所 截得的内错角。 3 求证： ∠1=∠2 1 ∵a∥b（已知） ∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等） ∵∠1=∠3（对顶角相等） ∴ ∠1=∠2（等量代换）
2
练习一下
你能说出下列命题的逆命题吗？它们的逆 命题分别是真命题还是假命题？ （1）两条平行直线被第三条直线所截同旁 内角互补； 原命题成立，逆 （2）对顶角相等。 命题不一定成立。 这说明什么？
平行线的性质定理
2
求证：∠1+∠2＝180°.
c
已知：如图，直线a//b,∠1 a
3
和∠2是直线a,b被直线c截出
1
的同旁内角．
b
2
求证：∠1+∠2＝180°.
证法1
a//b（已知）
∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∠1+∠3＝180°（平角的定义）
∠1+∠2＝180°（等量代换）
c
已知：如图，直线a//b,∠1
c
求证：∠1=∠2.
证明：∵a∥b ( 已知 )
1 3a 2b
∴∠3=∠2
两直线平行，同位角相等 ∵( ∠3=∠1 ( 对顶角相等 ) ∴) ∠1=∠2 ( 等量代换 )
做一做
两条平行线被第三条直线所
截，同旁内角互补．
c
已知：如图，直线
a
3
a//b,∠1和∠2是直线a,b被
1
直线c截出的同旁内角． b
五四制鲁教版七年级下册
第八章 平行线的有关证明
5 平行线的性质定理
想一想
我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们.
定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位
角.求证：∠1=∠2.
E
证明：如果∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直 G
和∠2是直线a,b被直线c截出
的同旁内角．
求证：∠1+∠2＝180°.
a
31
b
2
证法２：∵a// b （已知）
∠3＝∠2 （两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠3＝180°（平角的定义）
平行线性质知识点
平行线性质知识点平行线性质是几何学中非常重要的基础知识，它涉及到平行线的性质和相关定理。
掌握平行线的性质可以帮助我们解决各种与平行线相关的几何问题。
本文将介绍平行线的定义、判定方法以及涉及平行线的重要定理和应用。
一、平行线的定义平行线是在同一个平面内且不相交的两条直线。
当两条直线之间的距离始终保持不变时，我们称它们为平行线。
二、平行线的判定方法1. 通过直线与直线的判定：如果两条直线的斜率相等且不相交，则它们是平行线。
斜率是表示直线斜率的数学概念，可以用两点间的坐标差的比值表示。
2. 通过角与角的判定：当两个角的对应边分别平行时，这两条直线也是平行线。
这是基于角的定理及其逆定理进行的。
三、平行线的性质1. 对偶性：如果两条直线相交，则它们的对应内、外、同位角相等。
2. 交叉性：如果两条直线相交，则内、外角互补。
3. 转置性：如果两个直角三角形的直角边分别平行，则这两个三角形相似。
四、平行线的定理和应用1. 直角定理：垂直于同一直线的两条直线平行。
2. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条线之间的对应角相等。
3. 中位线定理：连接平行线的两个平行线段等分比例。
4. 平行线分割定理：如果两条平行线被一条截线所分割，那么它们之间的截线分割比例与平行线段的比例相等。
5. 平行四边形定理：对于平行四边形，对角线相互平分。
6. 平行线对角线定理：如果一对平行线被一条截线所分割，那么它们之间的内、外角互补。
7. 该特定定理适用于正方形，长方形等特殊四边形形状，并且可以解决各种与平行线有关的几何问题。
通过以上简要介绍，我们了解了平行线的定义、判定方法以及性质与应用。
这些知识点在几何学中起着重要的作用，在解决与平行线相关的几何问题时，我们可以根据这些性质和定理进行推导和计算，从而得出准确的结论。
熟练掌握这些知识点，不仅可以提升我们解决几何问题的能力，还可以为我们今后学习更高级的几何学知识打下坚实的基础。
平行线性质定理简单应用
4、如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数。 解：
4、如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数。
解：∵EF∥AD (已知） ∴∠2=∠3 （两直线平行，同位角相等） 又∵∠1=∠2 (已知） ∴∠1=∠3 （等量代换） ∴DG∥AB （内错角相等，两直线平行） ∴∠BAC+AGD=180° （两直线平行，同旁内角互补）
a//b
∠2+∠4 =180 °
同旁内角互补
合作探究
例1 如图：
① ∵ ∠1 =___∠__2（已知）
CF
E
∴ AB∥CE （内错角相等,两直线平行） 1 3
② ∵ ∠1 +_∠__3__=180o（已知）
∴ CD∥BF（同旁内角互补,两直线平行）
③ ∵ ∠1 +∠5 =180o（已知）
2 54
∴ __A__B_∥_C__E__ （同旁内角互补,两A直线平行）
A 1 B
D
5 2
3 C
4 F
E
2、直线a、b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1= ∠2 ②∠3= ∠6
③∠4+∠7=1800
④∠3+ ∠5=1800，
其中能判断a//b的是( B )
A ①②③④
c
16
54
a
B ①③④ C ①③
27
b
83
D④
3.AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，试说明∠3= ∠E。
DB
④ ∵ ∠4 +_∠__3__=180o（已知）
∴ CE∥AB （同旁内角互补,两直线平行）
合作探究
例2 已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，试说明AB//CD？
平行线与一组平行线的性质
平行线与一组平行线的性质平行线是在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
在几何学中，平行线有一些独特的性质和定理。
本文将探讨平行线的性质及其在一组平行线中的重要特征。
一、平行线的定义及性质平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
具体而言，两条平行线之间的距离在任意两点处都相等。
平行线的性质如下：1. 垂直线和平行线不存在交点；2. 同一直线上的两个平行线之间的任意两条线段之间的比值是相等的；3. 在平行线被交叉的角中，对顶角是相等的；4. 平行线与一个横切线所形成的内角和等于180°。
根据上述性质，我们可以应用平行线的概念来解决各种几何问题。
二、平行线与一组平行线的特征平行线的性质可以扩展到一组平行线中的特定情况。
在本节中，我们将探讨一组平行线的以下性质：1. 平行线的交线与一组平行线的关系：当一条直线与一组平行线相交时，所形成的交线与这组平行线的关系是什么呢？答案是，交线将这组平行线分成两个或多个相似的锐角三角形。
2. 轴线的平行：如果两组平行线之间有一条平行线相交，那么这两组平行线中的平行线将是相互平行的。
3. 平行线与横切线：如果一条直线横跨两组平行线，并与之相交，那么所形成的内角和将相等于180°。
这一性质可以用于解决各种角度相关问题，例如确定未知角度的大小或判断两个角度是否相等。
4. 平行线与平行四边形：一组平行线可以形成各种几何图形，其中最常见的是平行四边形。
平行四边形的相邻边是平行线，并且具有相等的对顶角。
通过了解一组平行线的这些特性，我们可以在几何学问题中更好地利用这些性质。
总结：平行线是在同一个平面上永远不相交的两条直线。
它们具有一些重要的性质，如垂直线和平行线不存在交点、同一直线上的两个平行线之间的比值相等等。
在一组平行线中，平行线的性质可以扩展到更多特定情况，如平行线的交线与平行线的关系、轴线的平行、平行线与横切线以及平行线与平行四边形等。
通过理解和应用这些性质，我们可以更好地解决几何学问题，并深入探究平行线及其相关概念的数学原理。
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平行线的性质与定理
平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
在数学中，平行线有一系列的性质和定理，下面将对其中的一些进行探讨。
1. 平行线的定义
平行线的定义是指在同一平面内，两条直线没有任何交点。
如果两
条直线在平面上没有交点，我们就可以称它们是平行线。
2. 平行线的判定
判定两条直线是否平行有多种方法，其中一种常见的方法是通过线
与线之间的夹角关系来判断。
如果两条直线的夹角为180度，则它们
是平行线。
3. 平行线的性质
平行线具有以下性质：
- 平行线具有等斜率：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行线。
这是判断平行线的常用方法之一。
- 平行线的角度关系：当两条直线被一条横穿时，所形成的对应角、内错角、同旁内角都是相等的。
这个性质有助于我们解决与平行线相
关的角度问题。
- 平行线与平行线之间的距离关系：如果在两条平行线上分别取一点，并以这两个点为顶点画两条垂直于平行线的线段，这两条线段的
长度相等。
这个性质被称为平行线之间的距离关系。
4. 平行线的定理
- 同位角定理：当两条平行线被一条横穿时，同位角是相等的。
- 同旁内角定理：当两条平行线被一条横穿时，同旁内角是互补的，即角的度数之和为180度。
- 内错角定理：当两条平行线被一条横穿时，内错角是相等的。
- 对顶角定理：当两条平行线被一条横穿时，对顶角是相等的。
5. 实际应用
平行线的概念和定理在几何学中有广泛的应用。
例如，在平行线剖
分问题中，我们可以利用平行线的性质来解决线段的分割和角度的测
量问题。
此外，在解决平面图形的相似性问题中，平行线的性质也经
常被应用。
总结：
通过探讨平行线的性质与定理，我们可以更加深入地理解平行线的
概念，并利用这些性质解决各种几何问题。
无论是在学术研究中还是
实际应用中，平行线的相关内容都具有重要的作用。
理解和掌握平行
线的性质与定理，无疑是我们学习数学和几何学的重要一步。