数列的差分
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中的一个重要概念，常用于计算数列中各项之和。
数列求和公式有多种方法，下面将介绍七种常见的求和公式方法。
方法一：等差数列求和公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法二：等比数列求和公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法三：斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
斐波那契数列求和公式为Sn=f(n+2)-1，其中Sn表示数列的和，f表示斐波那契数列。
方法四：调和数列求和公式调和数列是指数列中每一项的倒数是一个调和级数的一项。
调和数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
调和数列求和公式为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n，即Sn=Hn，其中Hn表示调和级数的n项和。
方法五：等差数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等差数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之差等于同一个常数d。
等差数列求和差分公式为Sn=[(a1+an)/2]n，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法六：等比数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等比数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之比等于同一个常数q。
等比数列求和差分公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法七：等差数列求和公式（倍差法）倍差法是一种基于等差数列的求和方法。
等差数列与差分方程
等差数列与差分方程在数学中，等差数列和差分方程是两个经常被提及的概念。
它们之间有着一种奇妙的关联，让人们不禁想要探索更多。
让我们来了解一下等差数列。
等差数列是一种数学序列，其中每个元素与前一个元素之间的差值是固定的。
例如，1、4、7、10、13就是一个等差数列，其中公差为3。
等差数列的特点是具有相同的差值，让人感到规律和有序。
而差分方程则是描述离散函数的数学方程。
它们用于描述一种变量随时间或其他独立变量的变化。
差分方程可以通过将连续函数转化为离散函数来解决一些实际问题。
例如，在物理学中，差分方程可以用来描述物体的运动状态。
那么，等差数列和差分方程之间的关联是什么呢？事实上，等差数列可以被看作是差分方程的一种特殊情况。
当我们将等差数列中的每个元素都视为离散函数的值，并将公差视为独立变量的差分，我们就可以得到一个差分方程。
举个例子，假设我们有一个等差数列1、3、5、7、9，公差为2。
我们可以将这个数列表示为差分方程y(n) = y(n-1) + 2，其中y(n)表示数列中第n个元素的值。
这个差分方程描述了数列中每个元素与前一个元素之间的关系。
通过这种关联，我们可以利用差分方程来解决等差数列相关的问题。
例如，我们可以通过解差分方程来求解等差数列中的任意一项，或者根据已知的数列项求解公差。
总结一下，等差数列和差分方程之间存在着一种奇妙的关联。
等差数列可以被看作是差分方程的一种特殊情况，通过差分方程我们可以解决等差数列相关的问题。
这种关联不仅展示了数学中的美妙之处，也为我们解决实际问题提供了便利。
让我们深入研究这种关联，探索更多数学的奥秘吧！。
求数列最大值与最小值项的方法
求数列最大值与最小值项的方法
求数列最大值与最小值项的方法：
1、排序法：通过排序将原来的数列变成有序的，最大值及最小值项将
被排在序列最高或最低位置，从而确定最大最小值。
2、求和法：将原来的数列逐项累加得到总和，将总和减每项数值得到
剩余总和，再从中求出每项的数值，最大值最小值值也就有了。
3、差分法：将原来的数列逐步求出每相邻项之间的差值，每相邻差值
的和可以得出每项数值，最大最小值也就确定了。
4、假设法：假设某一项数值是最大或最小，找出其他各个项数值之和，若等于总和减去该值，则该值就是最大或最小值；若不等，则假定另
一项数值为最大或最小，重复上述操作，直至找出最大或最小值为止。
5、比较法：将原数列的每一项两两比较，较大的数值为最大值，较小
的数值为最小值，一直比较到数列的一头，最后即可得到最大最小值。
6、直接比较法：从原来数列中直接得出最大值或最小值，如从数列中
有一个数值大于或小于其他数，则可以直接得出该数值就是最大或最
小值。
高中数学“数列与差分”专题教学研究
高中数学“数列与差分”专题教学研究作者：张丽来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2015年第08期摘要：高中阶段的数列、差分专题教学，对学生日后的生活非常有帮助，这一专题教学，可有效提高学生自身的综合素质，对于满足学生多元化的需求，意义重大。
本文将对高中数学“数列与差分”进行阐述，并在此基础上就如何进行专题教学，谈一下自己的观点和认识，以供参考。
关键词：高中数学；数列；差分；专题教学；研究中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2015）04-068-01高中阶段的数学教学过程中，尤其是“数列与差分”专题教学，可帮助学生有效解决现实生活中的一些问题，实用价值非常的大。
1. 数列与差分关系分析第一，数列是描述世界客观事物的数学模型。
数列是定义在自然数集上的特殊函数，对客观存在的各种离散变量进行描述。
实践中可以看到，客观存在的很多变量本身都表现出一定的离散性，比如细胞分裂、股市等，均具有函数关系的离散性特点。
同时，还存在着很多连续函数关系，无法用解析式对其进行表示，比如河流的水位变化等，只能通过测得相应数值来得到数列。
在不影响研究结果的情况下，为了更加方便分析研究，通常将对连续函数的研究有效地转化成对数列的研究。
第二，差分是对数列变化进行描述的一种工具。
比如，△an=an+1.其中，an 代表{an}这一数列中的第n项一阶差分，并将“△”称作差分算子，此时有△（△an）=△2；an=△an+1；其中△an代表{an}这一数列的第n项二阶差分。
对于二阶差分△2an而言，其中的2代表差分两次运算。
{an}这一竖列的二阶差分，构成了一个新的数列，即{△2an}。
事实上，高中数学数列与差分之间存在着一定的关联性，具体表现在以下几个方面：当{an}={2，2，2，2，2}时，一阶差分△an为{0，0，0，0}；此时数列的一阶差分为各项是零的常数列；再如，当{an}={3n-5}时，即{an}={-2，1，4，7，10，13，16，19}；一阶差分△an为常数列 {3，3，3，3，3，3，3}，通项an=3n-5（线性函数）。
数列在高等数学里表示就是 差分方程
数列在高等数学里表示就是差分方程.差分方程的解可以用e的指数型来表示,如果这时特征方程解出来的根是虚根,也就是说无实数解,那么根据欧拉公式,e^(inx)=cosnx+isinnx,可以将e的指数型化为正弦与余弦函数和的形式,也就是具有周期性.在复数域内考虑,必存在共轭复数根an = c1*(a1+jb1)^n+c2*(a1-jb1)^n+...= c1*a^n*(cos(n*th)+jsin(n*th))+ c2*a^n*(cos(n*th)-jsin(n*th))+...对任意n均成立,只可能c1=c2,所以 an = 2*c*a^n*cos(n*th),当 a=1时,且pi/th是整数时,可能会是周期数列.c1，c2是任意常数，由数列的前几项决定的。
比如: 1,1,2,3,5,... 递推公式为 a(n+1) =a(n)+a(n-1), 必须要给出 a(1),a(2),才能确定a(3),a(4),... 特征方程为 x^2 = x+1,有两个跟 x1,x2 可以设通项为 a(n) = c1*x1^n+c2*x2^n, 将n=1,n=2代入并利用a(1),a(2)已知的条件进而求出c1,c2，从而求出了a(n)的通项。
特征根事实上是形式上的结果,实际上是推导出来的比如著名的斐波那契（Fibonacci）兔子数列（递推公式为an+2=an+1+an,a1=1,a2=1）：为了求出这个通项：我们用特征根的办法：即解一元二次方程x^2=x+1的根解得x1=1/2+√5/2,x2=1/2-√5/2∴设通项公式为an=c1（1/2+√5/2)^ n+c2(1/2-√5/2)^n代入a1=1,a2=1,求出待定系数c1、c2即是通项我们熟知的通项公式：an=1/√5 [（1/2+√5/2)^ n-(1/2-√5/2)^n] (n=1,2,3.)而本质上我们还是用了等差数列与等比数列：∵an+2=an+1+an∴若设an+2-k*an+1=p(an+1-kan),就要有：k+p=1,k*p=-1这样解得k=1/2+√5/2,p=1/2-√5/2（或者k、p值互换,但你可以自己验证结果是一样的）下面就是求等比数列an+1-(1/2+√5/2)an的时候了,其首项为a2-(1/2+√5/2)a1,公比为1/2-√5/2求出an+1-(1/2+√5/2)an的通项后再用叠加法就可以求出an的通项了,思路就是这样那么我们看到解k、p的时候其实就是解了特征方程,所以特征方程就是这么来的A（n+1)=（3An+4）/（2An+3）特征方程：x=（3x+4）/（2x+3），x=±√2则 {（An+√2）/（An－√2）}为等比数列（A（n+1）+√2）/（A（n+1）－√2）＝[（3An+4）/（2An+3）+√2]/[（3An+4）/（2An+3）－√2]＝[（3+√2）An+（3√2+4）]/[(3-2√2)/(4-3√2)] ＝（3+2√2）/（3-2√2）×（An+√2）/（An-√2）＝(√2－1)^4×[（An+√2）/（An－√2）]。
七种常见递推数列通项的方法--全方位无死角!!!
七种常见递推数列通项的方法--全方位无死角递推数列是数学中的一个重要概念，它描述了一个数列中每一项与前面相邻的一或多项之间的关系。
递推数列也常常出现在实际问题中，解决递推数列的关键就是找到数列中的通项公式。
本文将介绍七种常见递推数列通项的方法，帮助读者全面深入地理解和掌握这一概念。
第一种方法：递推关系法递推关系法是最常见的求递推数列通项的方法。
它通过观察数列中每一项与前面相邻的一或多项之间的关系，找到数列的递推关系式。
通过递推关系式，我们可以通过已知的一或多项来计算下一项的值，从而求得数列的通项公式。
例如，斐波那契数列就是一个常见的递推数列。
该数列的递推关系为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项的值，F(n-1)和F(n-2)分别表示第n-1项和第n-2项的值。
通过递推关系式，我们可以从已知的F(0)和F(1)计算出后续的项的值，从而得到斐波那契数列的通项公式。
第二种方法：差分法差分法是一种利用数列的差分性质求递推数列通项的方法。
差分法可以通过计算数列中相邻项之间的差值，并找到相邻项差值之间的递推关系，从而求出数列的通项公式。
例如，等差数列就是一种可以使用差分法求解的递推数列。
对于等差数列，其通项公式为：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项的值，a(1)表示第一项的值，d表示等差数列的公差。
通过对等差数列进行差分，我们可以发现相邻项之间的差值是一个常数d，从而得到等差数列的通项公式。
第三种方法：代数法代数法是一种利用代数的方法求递推数列通项的方法。
代数法可以通过将数列中的项表示成代数形式，构建代数方程，并通过解方程得到数列的通项公式。
例如，等比数列就是一种可以使用代数法求解的递推数列。
对于等比数列，其通项公式为：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项的值，a(1)表示第一项的值，r表示等比数列的公比。
通过将等比数列的项表示成代数形式，我们可以得到一个代数方程，并通过解方程得到等比数列的通项公式。
等差数列证明方法
等差数列证明方法等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
常见的等差数列的通项公式为an=a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数，d 为公差。
等差数列的证明方法有很多，下面我们将介绍三种常用的证明方法。
一、数学归纳法证明数学归纳法是证明数学命题的一种常见方法。
证明等差数列的通项公式可以使用数学归纳法。
首先，假设数列的首项是a1，公差是d，项数是n。
1.基础情形当n=1时，数列的首项就是a1，显然成立。
2.归纳假设假设当n=k时，数列的通项公式成立，即ak=a1 + (k-1)d。
3.归纳证明当n=k+1时，数列的通项公式是否成立？根据等差数列的定义，ak+1=ak + d。
代入归纳假设可得ak+1=a1 + (k-1)d + d=a1 + kd。
所以，数列的通项公式对于n=k+1也成立。
根据数学归纳法原理，数列的通项公式对于任意正整数n都成立。
二、等差数列求和公式证明等差数列的求和公式是数列前n项和Sn=n/2(a1+an)，其中Sn为数列的前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
我们可以通过等差数列的求和公式来证明等差数列的通项公式。
首先，根据求和公式可得Sn=n/2(a1+an)。
又an=a1 + (n-1)d，代入求和公式可以得到Sn=n/2(a1+a1+(n-1)d)=n/2(2a1+(n-1)d)=n(a1+(n-1)d)/2所以，Sn=n(a1+(n-1)d)/2，即等差数列的求和公式。
再根据逆向思维，将等差数列的通项公式代入求和公式进行计算也可以得到相同的结果。
三、差分公式证明差分公式是指等差数列的n项与n-1项之差等于常数d。
可以使用差分公式来证明等差数列的通项公式。
设等差数列的n项为an，n-1项为an-1根据差分公式可得an-an-1=d。
即a1+(n-1)d-(a1+(n-2)d)=d。
整理得a1+d(n-1)-a1-(n-2)d=d。
化简得d(n-1-d)=d。
数列求和的几种方法
数列求和的几种方法一、数列的求和问题在数学中非常常见，可以通过各种方法进行求解。
下面将介绍一些数列求和的常用方法。
1.直接求和法直接求和法是最基础的求和方法，即将数列中的所有项相加得到数列的总和。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
根据等差数列求和公式Sn = n(a1 + an)/2，可以直接将数列中的所有项相加来求和。
2.差分法差分法是一种将数列转化为差分序列进行求和的方法。
对于数列an，可以构造差分序列∆an = an+1 - an，然后将差分序列的所有项相加，得到数列的和。
差分法在数列中的应用较为广泛，尤其对于一些递推关系式的求和问题具有很好的效果。
3.转化法转化法是将数列进行变换，使其转化为容易求解的形式进行求和的方法。
例如，对于等差数列an，可以将其转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行求解。
转化法需要根据具体数列的性质进行变换，通常需要一定的技巧和经验。
4.等差数列求和公式对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，有等差数列求和公式Sn = n(a1 + an)/2、该公式是数列求和中最常用的公式之一，可以快速计算得到等差数列的和。
此外，还可以利用等差数列的对称性求和，即Sn = na1 + n(n-1)d/25.等比数列求和公式对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数，有等比数列求和公式Sn = a1 * (q^n - 1)/(q - 1)。
该公式是数列求和中另一个常用的公式，可以迅速计算得到等比数列的和。
6.综合求和法当数列无法通过上述方法直接求和时，可以尝试使用综合求和法。
综合求和法是利用数列中的递推关系式和数学归纳法进行求和的方法。
通过观察数列中的规律，可以得到数列中前n项的和与前n-1项的和之间的关系，从而得到数列的总和。
以上是数列求和的一些常用方法，不同的数列可以采用不同的方法求解。
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ak-1(或用算子记号, Dak-1 ? 0而Dak 0).数列A在第k项处达到相对极小, 若ak ak+1而ak ? ak-1(或Dak-1 ? 0而Dak 0).数列A在第k项处上凹, 若Dak Dak-1(或用二阶差分的算子记号, D2ak-1 0).数列A在第k项处下凹, 若Dak Dak-1(或D2ak-1 0).注意: 在k-1处的二阶差分决定了k项处的凹性. 决定凹性的另一种看法是: 当一阶差分增加时数列上凹, 而当一阶差分减小时数列下凹.定义1.4 数列A在第k项处有一个拐点, 倘若D2ak和D2ak-1有不同的正负号.例讨论数列 {n2 - 4n + 3}的性质构造an = n2 - 4n + 3的前7个数列值的差分表, 并用该表确定数列在何处增加、减少, 达到相对极大或极小, 上凹、下凹以及是否有拐点.一. 差分方程的基本概念二. 齐次线性差分方程的解析解定义2.1 差分方程是一种方程, 该方程表明数列中的任意项如何用前一项或几项来算.初始条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分方程的阶.定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程是线性的. 否则差分方程就是非线性的. 注意这种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用于不包含数列变量的其它项.线性的非线性的定义2.3 线性差分方程称为齐次的, 如果它只包含数列变量的项.如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项, 就得到一个齐次方程, 称之为与原方程相应的齐次方程.齐次的对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当可以求解的时候)以及讨论解的性质. 能够给出解析解的差分方程是为数很少的一部分, 大多数差分方程是不能给出解析解的, 此时, 只能对其解的性质给出一定的讨论, 讨论解的性质(解的变化趋势, 是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法: 一是数值计算方法, 二是定性或定性定量结合的方法.§2 一阶线性差分方程差分方程的解具有不同的形式: 数值, 图形, 公式定义2.4 数值解是从一个或多个初值出发迭代差分方程得到的一张数值表.例如, 在银行帐户上以7%的利息积累起来的钱数是由差分方程 an+1 = an + 0.07an来确定, 其中an表示n个月后银行中的存款数.定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还满足任何给定的初始条件.差分方程 an+1 = an + 0.07an若把函数ak = (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差分方程就得到一个恒等式:定义2.6 差分方程的一个通解是一个函数, 当代入特定值后就得到相应于不同初值的特解.ak = (0.07)kc称为差分方程an+1 = an + 0.07an的通解, 因为代入c的特定值就给出与不同的初值a0相应的特解.数值解与解析解的比较: 在求银行模型的数值解时只需要一个差分方程和一个初值. 这是数值解的一个强有力的性质—求数值解时无须要求差分方程具有特殊的性质. 只要从一个或多个初值开始进行迭代计算就行了. 另一方面, 因为没有第k 项的一个一般的公式, 每一项必须从前一项或几项算得. 从一个数值解来预测解的长期性态可能是困难的.解析解给出了一个我们可以直接计算数列中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的解只从属于某个初始条件.二. 齐次线性差分方程的解析解定理2.1 一阶线性差分方程an+1 = ran + b的解为若r ? 1. an = bn + c, 若r = 1.§3 (二元)一阶线性差分方程组由两个或多于两个的差分方程构成的方程组称为差分方程组. 在差分方程组中, 单个差分方程的阶数的最大数称为差分方程组的阶数.§4 差分方程和差分方程组的应用差分方程模型是实际应用中常见的一种数学模型. 用差分方程模型解决实际问题如同别的数学模型一样, 大致需经过三个步骤.第一步: 设定好实际问题中的未知函数, 按照已知的相关领域中的物理, 力学, 化学, 生物, 经济等学科的规律用于建立相邻的自变量值(一般就是相邻时间)的未知函数取值间的依赖关系, 建立差分方程模型.第二步: 对上述建立的差分方程模型, 若能直接求解的则求出其解, 若不能直接求解的或直接求解比较困难的, 则用定性的方法讨论其解的变化趋势及性质.第三步: 将数学讨论得到的结果与实际情形加以对照, 然后给实际问题一个满意的答复.例4.1 建立并讨论经济学中的蛛网模型.在分析市场经济中农产品的价格和产量之间的关系中常常要用到如下的规律: 本期产量(或市场供给量)决定本期价格, 而本期价格决定下期产量. 为了建立相关的数学模型, 可以假设P表示价格, Q表示产量, D表示需求函数, S表示供给函数, 时间n表示第n期. 那么Pn表示第n期的价格, Qn表示第n期的产量. 把上述所的规律用数学式子写出来, 即为将上述两式合并, 得(4.1)式就是关于Pn为未知函数的差分方程. 下面给出简单情形下的差分方程(4.1). 把市场济中的市场供给量、价格、市场需求量之间的规律归结为下面的三条:市场供给量对价格变动的反应是滞后的, 即第n期的供给量取决于第n-1期的价格Pn-1,而这种相依关系简单地取为即相依关系是线性的正比例关系, 而价格不能太小，至少，从而市场需求量对价格变动的反应是瞬时的, 即第n期的市场需求量取决于本期的价格Pn,类似地这种相依关系简单地取为即相依关系是线性的, 价格Pn减少, 市场需求量增加, 价格不能太高, 至少从而市场平衡条件为市场清销, 供需相等, 即把(4.2)式和(4.3)式代入(4.4)式得方程(4.5)就是该问题的差分方程模型, 它是一个一阶常系数线性差分方程.易知方程(4.5)对应的齐次方程的通解为方程(4.5)的特解为因此方程(4.5)的通解为其中A是任意常数.用求得则用(4.6)来讨论方程(4.5)的解的性质:情形1. 当b d, 若t?+(, 则Pn收敛于P*, 这时称P*为均衡价格;情形2. 当b = d时, P0, P1, P2, L, Pn, L在均衡价格P*,两旁作周期振荡;情形3. 当b d时, 若t?+(, 则Pn越来越远离均衡价格发散振荡.a2 = 130.68, b2 = 139.22,a7 = 142, b7 = 128,a14 = 146, b14 = 126,a30 = 147, b30 = 123,二阶线性差分方程对应的齐次方程为将tn代入(2), 得t满足下列一元二次方程:情形1. a2 - 4b 0. 此时方程(3)有两个实根t1, t2. 而方程(2)的通解为其中C1和C2是任意常数.情形2. a2 - 4b = 0. 此时方程(3)仅有一个实根t1. 而方程(2)的通解为其中A和B是任意常数.情形3. a2 - 4b 0. 此时方程(3)有一对共轭复根改写为方程(2)的通解为其中A和B是任意常数求(1)的一个特解, 设a* = C, 将其代入方程(1)得求斐波那契数列的一般项. 比内公式设第n个月有兔子an对, 则这是一个二阶齐次差分方程. 求解代数方程得两个实根则得其中A和B是任意常数等比数列的前n项和.设数列{an}为以r(r?1)为公比的等比数列, 首项a1 = a, 用Sn记该数列的前n项和, 则这是一个二阶齐次差分方程. 求解代数方程得两个实根则得其中A和B是任意常数.等比数列的前n项和.由于S1 = a1 = a, S2 = a1 + a2 = a(1 + r), 则解以上关于A和B的方程组可得则植物叶序中的斐氏数列开卜勒研究了“叶序”问题, 即植物生长过程中叶花果在茎上的排列顺序问题, 其结论中也出现了与斐氏数列有关的数字.植物的叶子在茎上的排列, 对同一种植物来说是有一定规律的, 若把位于茎周同一母线位置的两片叶子叫做一个周期的话, 那么将是一些特定的数, 它只是随植物品种不同而不同.自然界中的斐氏数列榆树: 山毛榉: 樱桃:梨树柳树:树枝生长波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中有这样一个问题:一棵树一年后长出一条新枝; 新枝隔一年后成为老枝, 老枝便可每年长出一条新枝. 如此下去, 十年后树枝将有多少?这个问题只是斐波那契数列问题的变化而已, 即树枝的繁衍方式是按照斐波那契数列增加的.蜜蜂进蜂房问题一只蜜蜂从蜂房A出发, 想爬到1, 2, 3, L, n号蜂房, 但只允许它自左向右(不许反向倒走), 那么它爬到各号蜂房的路线数也恰好构成一个斐波那契数列.斐氏数列通项的表达式组合数和的形式斐氏数列与数学游戏把一个边长为8的正方形按图(1)方式剪裁, 然后拼成图(2)的矩形, 拼后你会发现:原来正方形面积为: 64矩形面积是: 65注意到正方形和矩形边长数字 5, 8, 13恰好是斐氏数列中相邻的三项, 斐氏数列有性质:若按照上面的办法把正方形剪拼成矩形(要求面积不变), 应当如何剪裁?。