差分方程的定义
差分方程的定义
差分方程的定义
差分方程是一种数学方程，用于描述离散化的动态系统。它可以被视
为微分方程的离散版本，通常用于模拟和预测离散时间下的自然现象
和工程问题。
一、差分方程的基本概念
1.1 差分方程的定义
差分方程是一种数学方程，描述一个序列在相邻时间点之间如何变化。它通常采用递推公式表示，其中当前时刻的值是前一时刻值和其他参
数的函数。
1.2 差分方程的分类
根据差分方程中所涉及到变量的类型，可以将其分类为一阶差分方程、二阶差分方程等。此外，还可以根据其递推公式中所包含的项数进行
分类。
1.3 差分运算符
在差分方程中，通常使用差分运算符来表示序列在相邻时间点之间发生了什么变化。最常见的两个运算符是前向差分运算符和后向差分运算符。
二、解差分方程
2.1 差分方程求解方法
求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法。其中递推法是最基本也是最常见的方法，它通过逐个计算序列中每个时间点的值来得到整个序列的解。
2.2 初始条件和边界条件
在求解差分方程时，需要给出初始条件和边界条件。初始条件是指序列在起始时刻的值，而边界条件则是指序列在某些时间点上的限制。
三、应用领域
3.1 差分方程在物理学中的应用
差分方程广泛应用于物理学中，例如描述运动物体的速度、加速度等问题。此外，在热力学和电磁学等领域也有广泛的应用。
3.2 差分方程在经济学中的应用
差分方程在经济学中也有广泛的应用，例如描述市场需求和供给之间的关系、货币政策对通货膨胀率的影响等问题。
3.3 差分方程在工程学中的应用
差分方程在工程学中也有广泛的应用，例如描述机器人运动轨迹、控制系统稳定性等问题。
四、总结
差分方程是一种重要的数学工具，在模拟和预测离散时间下自然现象和工程问题时具有重要作用。其基本概念包括差分方程定义、分类以及差分运算符等。求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法，并给出初始条件和边界条件。差分方程在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
差分方程
差分方程及其应用 在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。 §1 基本概念 线性差分方程解的基本定理 一、 基本概念 1、函数的差分 对离散型变量，差分是一个重要概念。下面给出差分的定义。 设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。 显然，t y 的取值是一个序列。当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ?，即 )()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+?。 由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。 例如：设某公司经营一种商品，第t 月初的库存量是)(t R ，第t 月调进和销出这种商品的数量分别是)(t P 和)(t Q ，则下月月初，即第1+t 月月初的库存量)1(+t R 应是 )()()()1(t Q t P t R t R -+=+， 若将上式写作 )()()()1(t Q t P t R t R -=-+， 则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记 ))()1()(t R t R t R -+=?， 并将理解为库存量)(t R 是时间t 的函数，则称上式为库存量函数)(t R 在t 时刻（此处t 以月为单位）的差分。 按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数)(t f y t =在t 的一阶差
差分方程的基本知识(3)
差分方程模型的理论和方法 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。
差分方程的定义
差分方程的定义 差分方程的定义 差分方程是一种数学方程，用于描述离散化的动态系统。它可以被视 为微分方程的离散版本，通常用于模拟和预测离散时间下的自然现象 和工程问题。 一、差分方程的基本概念 1.1 差分方程的定义 差分方程是一种数学方程，描述一个序列在相邻时间点之间如何变化。它通常采用递推公式表示，其中当前时刻的值是前一时刻值和其他参 数的函数。 1.2 差分方程的分类 根据差分方程中所涉及到变量的类型，可以将其分类为一阶差分方程、二阶差分方程等。此外，还可以根据其递推公式中所包含的项数进行 分类。
1.3 差分运算符 在差分方程中，通常使用差分运算符来表示序列在相邻时间点之间发生了什么变化。最常见的两个运算符是前向差分运算符和后向差分运算符。 二、解差分方程 2.1 差分方程求解方法 求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法。其中递推法是最基本也是最常见的方法，它通过逐个计算序列中每个时间点的值来得到整个序列的解。 2.2 初始条件和边界条件 在求解差分方程时，需要给出初始条件和边界条件。初始条件是指序列在起始时刻的值，而边界条件则是指序列在某些时间点上的限制。 三、应用领域 3.1 差分方程在物理学中的应用
差分方程广泛应用于物理学中，例如描述运动物体的速度、加速度等问题。此外，在热力学和电磁学等领域也有广泛的应用。 3.2 差分方程在经济学中的应用 差分方程在经济学中也有广泛的应用，例如描述市场需求和供给之间的关系、货币政策对通货膨胀率的影响等问题。 3.3 差分方程在工程学中的应用 差分方程在工程学中也有广泛的应用，例如描述机器人运动轨迹、控制系统稳定性等问题。 四、总结 差分方程是一种重要的数学工具，在模拟和预测离散时间下自然现象和工程问题时具有重要作用。其基本概念包括差分方程定义、分类以及差分运算符等。求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法，并给出初始条件和边界条件。差分方程在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
差分方程
第九节 差分方程 迄今为止，我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型. 但在其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等. 通常称这类变量为离散型变量. 对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型. 求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 差分的概念 ★ 例1-5 ★ 差分方程的概念 ★ 例6 ★ 例7 ★ 一阶常系数线性齐次差分方程 ★ 一阶常系数线性非齐次差分方程 ★ 例9-14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 二阶常系数线性差分方程 ★ 二阶常系数线性齐次差分方程的通解 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解 ★ 例20-23 差分方程在经济学中的应用 ★ 模型1 ★ 模型2 ★模型3 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-9 ★ 返回 内容要点： 一、 差分的概念与性质 一般地，在连续变化的时间范围内，变量y 关于时间t 的变化率是用 dt dy 来刻画的； 对离散型的变量y ，我们常取在规定的时间区间上的差商t y ??来刻画变量y 的变化率. 如果 选择1=?t ，则 )()1(t y t y y -+=? 可以近似表示变量y 的变化率. 由此我们给出差分的定义. 定义1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ?, 即 t t t y y y -=?+1 或 )()1()(t y t y t y -+=?. 一阶差分的差分称为二阶差分t y 2 ?, 即 t t t t y y y y ?-?=??=?+12 )(
差分方程的解法及应用
差分方程的解法及应用 随着科学技术的不断进步，人类对于数学这一学科的探索和研 究也越来越深入。在数学的众多分支中，差分方程是一种重要的 数学工具。它具有广泛的应用领域，比如利用差分方程可以对物理、化学、生态学和经济学等领域中的一些现象进行建模和预测。 一、差分方程的定义与类型 差分方程是一种描述序列之间关系的数学工具。简单来说，差 分方程就是一种具有递推性质的方程。通过对序列中前一项和后 一项之间的差值进行分析，差分方程可以对序列之间的关系进行 确定。 根据差分方程的形式，我们可以将其分为线性差分方程和非线 性差分方程两种类型。线性差分方程通常可以表示为： $$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+···+c_ka_{n-k}+F(n)$$ 其中，$a_n$表示数列中第n项的值，$F(n)$为非齐次项， $c_1,c_2,...,c_k$为系数。非线性差分方程则不具有这种明显的简
洁形式，但是常常可以利用变量代换的方法将其转化为线性差分方程的形式求解。 二、差分方程的求解方法 差分方程的解法依赖于方程的类型和系数，不同的差分方程往往需要使用不同的方法进行求解。 1.一阶线性差分方程 一阶线性差分方程的形式通常为： $$a_n=c·a_{n-1}+F(n)$$ 其中，$c$为常数，$F(n)$为非齐次项。为求解这种类型的差分方程，我们可以采用欧拉定理，得到方程的通解为： $$a_n=A·c^n+\frac{F(n)}{1-c}$$ 其中$A$是待定系数。
2.二阶常系数线性差分方程 二阶常系数线性差分方程的形式通常为： $$a_n=c_1·a_{n-1}+c_2·a_{n-2}+f(n)$$ 其中$c_1,c_2$为常数，$f(n)$为非齐次项。为了求解这种类型的差分方程，我们需要先找到其特征方程： $$\lambda^2-c_1\lambda-c_2=0$$ 然后，我们可以根据该特征方程的根以及非齐次项来计算该方程的通解。 3.高阶常系数线性差分方程 高阶常系数线性差分方程的求解方法与二阶常系数线性差分方程类似，也需要先求解出其特征方程，然后根据特征方程的根和非齐次项来计算通解。
pi差分方程
PI差分方程 1. 引言 差分方程是数学中一种描述离散时间系统动态行为的工具。PI差分方程是一种特 殊的差分方程，常用于控制系统中的比例积分控制器。在本文中，我们将介绍PI 差分方程的基本概念、特点以及应用。 2. PI控制器 PI控制器是一种常用的控制器类型，用于调节系统的输出。它由比例控制器和积 分控制器组成。比例控制器根据当前误差的大小调节输出，而积分控制器则根据误差的累积值进行调节，以消除系统的稳态误差。 3. 差分方程基础 差分方程是一种离散时间系统的数学模型，通常用递推关系式表示。在差分方程中，系统的当前状态取决于前一时刻的状态以及输入信号。差分方程可以用于描述各种离散时间系统，如滤波器、控制器等。 4. PI差分方程的定义 PI差分方程是一种特殊的差分方程，用于描述PI控制器的动态行为。它基于当前 误差和误差的累积值来计算控制器的输出。PI差分方程一般形式如下： u(k) = Kp * e(k) + Ki * ∑e(i) 其中，u(k)表示控制器的输出，Kp表示比例增益，e(k)表示当前误差，Ki表示积 分增益，∑e(i)表示误差的累积值。 5. PI差分方程的特点 PI差分方程具有以下特点： •比例增益Kp决定了系统对当前误差的响应速度，增大Kp可以加快系统的响应速度，但可能导致过度调节和震荡。 •积分增益Ki决定了系统对误差累积值的响应速度，增大Ki可以减小稳态误差，但可能导致系统的超调和震荡。 •PI控制器具有良好的稳定性和鲁棒性，可以适应不同的系统和工作条件。•PI控制器可以通过调节比例增益和积分增益来实现性能的优化。
6. PI差分方程的应用 PI差分方程广泛应用于控制系统中，特别是工业自动化领域。它可以用于调节温度、压力、流量等各种物理量。以下是一些常见的应用场景： •温度控制：PI控制器可以根据温度误差和累积误差来调节加热器或冷却器的输出，以保持温度稳定。 •液位控制：PI控制器可以根据液位误差和累积误差来调节液位控制阀的开度，以保持液位在设定值附近。 •机器人控制：PI控制器可以根据位置误差和累积误差来调节机器人的关节角度，以实现精确的轨迹跟踪。 7. 总结 本文介绍了PI差分方程的基本概念、特点以及应用。PI差分方程是一种常用的控制器模型，可以有效地调节系统的输出。通过调节比例增益和积分增益，可以优化系统的性能。在实际应用中，我们可以根据具体的系统要求和工作条件来选择合适的参数。希望本文对读者理解和应用PI差分方程有所帮助。
差分方程教案
差分方程教案 一、引言 差分方程，是数学中一个重要的概念，它描述了离散、连续变化的关系。在这个教案中，我们将介绍差分方程的基本概念、求解方法以及应用领域。通过本教案的学习，希望能够帮助学生对差分方程有一个全面的理解，并能够灵活运用于实际问题的求解过程中。 二、差分方程的定义与分类 差分方程描述了一个函数在连续变化过程中的规律。它由当前值与之前值之间的差异关系所构成，一般形式可以表示为： y(n) = a*y(n-1) + b*y(n-2) + c 其中，y(n)代表第n次变化后的值，y(n-1)和y(n-2)代表之前的变化值，a、b、c为常数。 根据差分方程的特征和解法，差分方程可以分为线性差分方程、非线性差分方程、高阶差分方程等。 三、差分方程的求解方法 1. 特征方程法 特征方程法适用于线性差分方程的求解。其基本思路是通过特征根的求解，确定差分方程的通解。以一阶线性差分方程为例，其特征方程为： r - a = 0
求解得到特征根r，代入通解公式中可以得到线性差分方程的通解。 2. 递推关系法 递推关系法适用于非线性差分方程的求解。其基本思路是通过建立 递推关系式，将差分方程转化为递推关系，然后逐步求解。以非线性 一阶差分方程为例，递推关系式可以表示为： y(n) = f(y(n-1)) 根据初始条件，逐步计算出y(n)的值。 3. 特殊解法 对于某些特殊的差分方程，可以根据问题的特点，采用特殊解法求解。比如，对于常数差分方程，可以直接推算出差分方程的通解；对 于线性齐次差分方程，可以通过特征方程法求解。 四、差分方程的应用领域 差分方程作为一种描述离散变化规律的数学工具，在各个领域都有 广泛的应用。 1. 自然科学领域 差分方程可以用于描述化学反应、生物种群数量变化等自然现象， 帮助科学家分析和预测自然界的变化规律。 2. 经济学领域
差分法的原理与计算步骤
差分法的原理与计算步骤 差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值计算方法， 主要用于解决微分方程的数值近似解。差分法的基本思想是用差分代替微分，将微分方程转化为代数方程组，进而求得数值解。其主要优点是简单 易行、通用性强，适用于各种类型的微分方程。 差分法的基本思想是将连续的空间、时间或其他变量分割为离散的点集，用有限差分代替微分算子，从而将微分方程转化为差分方程。差分方 程是一个递推方程，它描述了相邻点之间的关系。通过求解差分方程，可 以得到所求问题的离散解，从而近似求得微分方程的解。差分法的关键是 将微分方程离散化，使得问题可以在计算机上进行数值求解。 差分法的计算步骤如下： 1.网格划分：将求解区域分割为若干个小网格，每个网格可以表示为 一个离散点。网格划分的精细程度与计算结果的精度有关，通常需要根据 问题的特性和要求合理选择网格划分的大小。 2.定义差分方程：根据微分方程的形式和边界条件，将微分算子用差 分算子近似代替。常用的差分算子有前向差分、后向差分和中心差分。 - 前向差分：使用紧邻点的函数值求得导数的近似值，表达式为： $\frac{{df(x)}}{{dx}} \approx \frac{{f(x+h) - f(x)}}{h}$； - 后向差分：使用紧邻点的函数值求得导数的近似值，表达式为： $\frac{{df(x)}}{{dx}} \approx \frac{{f(x) - f(x-h)}}{h}$； - 中心差分：使用两侧紧邻点的函数值求得导数的近似值，表达式为：$\frac{{df(x)}}{{dx}} \approx \frac{{f(x+h) - f(x-h)}}{{2h}}$。
微分方程差分方程
微分方程差分方程 （原创实用版） 目录 1.微分方程和差分方程的定义 2.微分方程和差分方程的联系与区别 3.微分方程和差分方程的应用领域 正文 微分方程和差分方程都是数学领域中重要的方程式，它们各自具有独特的性质和应用，但在某些方面也存在相似之处。本文将从定义、联系与区别以及应用领域三个方面对微分方程和差分方程进行介绍。 一、微分方程和差分方程的定义 微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，描述了物理量在时间、空间上的变化规律。微分方程中的未知函数通常表示某一物理量的瞬时变化率，如速度、加速度等。 差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了离散系统中各变量之间的变化关系。差分方程中的未知函数通常表示某一离散系统中各个时刻的变量值，如数列、矩阵等。 二、微分方程和差分方程的联系与区别 1.联系 微分方程和差分方程都是描述系统变化的数学模型，它们之间存在一定的联系。微分方程是差分方程的连续形式，而差分方程是微分方程的离散形式。这意味着，当微分方程中的自变量离散化时，可以得到相应的差分方程；反之，当差分方程中的自变量连续化时，可以得到相应的微分方程。 2.区别
微分方程中的未知函数通常表示物理量的瞬时变化率，而差分方程中的未知函数表示离散系统中各个时刻的变量值。这意味着，微分方程描述的是连续系统中的变化规律，而差分方程描述的是离散系统中的变化规律。 此外，微分方程和差分方程的求解方法也有所不同。微分方程通常采用积分方法求解，而差分方程则采用代数方法求解。 三、微分方程和差分方程的应用领域 微分方程广泛应用于物理、工程、生物学等领域，描述了各种连续现象的变化规律。例如，牛顿运动定律、电磁场方程、生态系统模型等都包含微分方程。 差分方程在计算机科学、信息处理、控制论等领域具有重要应用。例如，数值方法中的欧拉法、龙格 - 库塔法等用于求解常微分方程；离散 系统中的状态转移方程、输入输出关系等都可以用差分方程来描述。
差分方程边界条件
差分方程边界条件 摘要： 一、差分方程简介 1.差分方程的定义 2.差分方程的基本概念 二、差分方程的边界条件 1.边界条件的定义 2.边界条件的作用 3.常见边界条件类型 三、边界条件在实际问题中的应用 1.物理问题中的应用 2.工程问题中的应用 3.经济问题中的应用 四、结论 1.总结边界条件的重要性 2.提出进一步研究的建议 正文： 差分方程是一种数学模型，用于描述离散系统中变量之间的关系。在差分方程中，我们通常需要考虑边界条件，以确定变量在边界上的取值。边界条件在解决实际问题中起着关键作用，因为它能帮助我们更好地理解系统的性质和行为。
首先，让我们了解一下差分方程的基本概念。差分方程是一种递归关系式，用于描述离散系统中变量之间的关系。它由一组差分方程和一组边界条件组成。边界条件定义了变量在边界上的取值，这对于理解系统的整体行为至关重要。 差分方程的边界条件可以分为多种类型，如Dirichlet 边界条件、Neumann 边界条件、Robin 边界条件等。Dirichlet 边界条件是指在边界上给定变量的值，而Neumann 边界条件是指在边界上给定变量的一阶导数的值。Robin 边界条件是一种混合型边界条件，它既考虑了变量在边界上的值，又考虑了变量的一阶导数。 在实际问题中，边界条件广泛应用于各种领域。在物理学中，边界条件可以用于描述固体、流体和气体等物质在不同边界上的行为。在工程领域，边界条件可以用于优化结构设计、控制系统性能和预测系统响应。在经济学中，边界条件可以用于建立经济模型，预测市场趋势和政策效果。 总之，差分方程的边界条件在解决实际问题中起着关键作用。了解不同类型的边界条件及其在各种领域的应用，有助于我们更好地理解和控制复杂系统。
微分方程差分方程
微分方程差分方程 摘要： 1.微分方程与差分方程的定义及区别 2.微分方程的应用领域 3.差分方程的应用领域 4.求解微分方程和差分方程的方法 5.两者在实际问题中的结合与转化 正文： 微分方程与差分方程是数学中的两种重要方程类型，它们在许多实际问题中有广泛的应用。尽管它们具有一定的相似性，但它们之间仍然存在着明显的区别。本文将对微分方程和差分方程进行简要介绍，并探讨它们在实际问题中的求解方法及应用领域。 一、微分方程与差分方程的定义及区别 1.微分方程 微分方程是一种描述变量随时间变化的数学方程。它包含一个或多个未知函数及其导数，要求求解该未知函数在某一区间内的解。微分方程可以分为线性和非线性两类。 2.差分方程 差分方程是一种离散时间模型，它描述了变量在离散时间点上的关系。差分方程包含一个或多个未知数，并要求求解这些未知数在离散时间点上的取值。与微分方程类似，差分方程也可以分为线性和非线性两类。
二、微分方程的应用领域 1.物理：微分方程在物理学中被广泛应用于描述力学、电磁学、热力学等领域中的现象。 2.生物学：微分方程在生物学中可以用于描述生物种群的数量变化、生长速率等。 3.经济学：微分方程在经济学中可以用于描述物价、产量等经济指标的变化。 4.工程：微分方程在工程领域中可以用于分析结构的动态特性、控制系统的稳定性等。 三、差分方程的应用领域 1.计算机科学：差分方程在计算机科学中可以用于数值计算、图像处理等领域。 2.生物学：差分方程在生物学中可以用于模拟生物种群的动态行为。 3.社会科学：差分方程在社会科学中可以用于研究人口统计、经济学模型等。 4.工程：差分方程在工程领域中可以用于分析系统的稳定性、预测发展趋势等。 四、求解微分方程和差分方程的方法 1.数值方法：对于微分方程和差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。 2.解析方法：对于一些简单的微分方程和差分方程，可以尝试通过解析方法求解，如分离变量法、常数变易法等。
差分方程
差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。 数学意义及性质 意义 差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。比如dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程，x取值[0,1] (注：解为y(x)=e^(-x)); 要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间[0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1] 这样上述微分方程可以离散化为： 差分方程 y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0，k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组）利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出y(k/n) 的近似值了。§1 基本理论 差分方程 1. 差分 2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下：Δxn=xn+1-xn 对新数列再应用差分算子，有Δ2xn=Δ（Δkxn). 性质 性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn 性质2 Δk(cxn)=cΔkxn 性质3 Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j 性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1，存在η，有Δkxn=f(k）（η） 差分方程定义8。1 方程关于数列的k阶差分方程：xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1，……）其中a1,a2,------ak 为常数，ak≠0. 若b=0，则该方程是齐次方程关于λ的代数方程λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0 为对应的特征方程，根为特征值。 例题 1．实验内容与练习2．1 插分例1 Xn={n3},求各阶差分数列：xn
差分方程
差分方程 对连续型变量而言，我们常常导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致另一类的问题. 一、差分的定义 定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为 )()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分, 简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1. 称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆. 同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分. 一般记)(1 x n x n y y -∆ ∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i n i i n x n y C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时, (1) Δ(C )=0; (2) Δ(Cy x )= C Δ(y x ); (3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ; (4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ; (5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= α α x x -+)1(.
差分方程基本概念和方法
差分方程基本概念和方法 考察定义在整数集上的函数，(),,2,1,0,1,2, n x f n n ==-- 函数()n x f n =在n 时刻的一阶差分定义为： 1(1)()n n n x x x f n f n ∆+=-=+- 函数()n x f n =在n 时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分： 21212n n n n n n x x x x x x ∆∆∆+++=-=-+ 同理可依次定义k 阶差分 k n x ∆ 定义1．含有自变量n ,未知函数n x 以及n x 的差分2,, n n x x ∆∆的函数方程, 称为 常差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分 方程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 (,,, ,)0k n n n F n x x x ∆∆= 其中(,,,,)k n n n F n x x x ∆∆为,,, k n n n n x x x ∆∆的已知函数，且至少k n x ∆要在式中出 现。 定义2．含有自变量n 和两个或两个以上函数值1,, n n x x +的函数方程，称为（常） 差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 1(,,, ,)0n n n k F n x x x ++= 其中1(,,,,)n n n k F n x x x ++为1,,, n n n k n x x x ++的已知函数，且n x 和n k x +要在式中一定 要出现。 定义3．如果将已知函数()n x n ϕ=代入上述差分方程，使其对0,1,2, n =成为恒 等式，则称()n x n ϕ=为差分方程的解。如果差分方程的解中含有k 个独立的任意
差分方程方法
在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项 ()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。 4．1常系数线性差分方程 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=+⋯+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1) 其中为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a λλλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根 设差分方程（4.1）有个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为 n k k n n n c c c x λλλ+++= 2211， 其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件 ()0 i i x λ=()k i ,,2,1 = (4.3) 时，可以唯一确定一个特解。 2. 特征根为重根 设差分方程（4.1）有个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为l m m m ,,,21 且 k m l i i =∑=1 则差分方程（4.1）的通解为 n l i m i li n i m i i n i m i i n n c n c n c x l λλλ11 2 1 1 21 1 1 12 1 -=-=-=∑∑∑+++= 同样的，由给定的初始条件（4.3）可以唯一确定一个特解。 3. 特征根为复根 设差分方程（4.1）的特征根为一对共轭复根βαλλi ±=21,和相异的2k -个单根k λλλ,,43 ,则差分方程的通解为 n k k n n n n n c c c n c n c x λλλθρθρ+++++= 443321sin cos , 其中22βαρ+=, α β θarctan = . 同样由给定的初始条件（4.3）可以惟一确定一个特解。 另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可以类似地给出差分方程解的形式。 4．1．2 常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程的一般形式为 () n f x a x a x a x k n k n n n =++++--- 2211 (4.4) 其中为差分方程的阶数， () k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数， ()n k a k ≤≠0,) (n f 为已知函数。 在差分方程（4.4）中，令0)(=n f ,所得方程 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x (4.5) 称为非齐次差分方程（4.4）对应的齐次差分方程，即与差分方程（4.1）的形式相同。 求解非齐次差分方程通解的一般方法为 首先求对应的齐次差分方程（4.5）的通解 ，然后求非齐次差分方程（4.4）的一个特解，则 ()0* n n n x x x += 为非齐次差分方程（4.4）的特解。 关于求的方法同求差分方程（4.1）的方法相同。对于求非齐次方程（4.4）的特解 的方法，可以用观察法确定，也可以根据()f n 的特性用待定系数法确定，具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。 4.2 差分方程的平衡点及其稳定性 一般来说，差分方程的求解是困难，实际中往往不需要求出差分方程的一般解，而只需要研究它的平衡点及其稳定性即可。 一阶线性常系数差分方程 一阶线性常系数差分方程的一般形式为 ，⋯==++,2,1,0,1k b ax x k k 其中b a ,为常数，它的平衡点由代数方程b ax x =+求解得到，不妨记为.