牛顿的后向差分公式
使用泰勒定理推导牛顿方法的误差公式
使用泰勒定理推导牛顿方法的误差公式我们来了解一下泰勒定理。
泰勒定理是由英国数学家泰勒在17世纪提出的，它是一种用多项式来逼近函数的方法。
具体而言，泰勒定理可以将一个函数在某一点附近展开成一个无穷级数，从而可以用级数的有限项来近似表示函数的值。
泰勒定理的表达式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，a是展开点，f(x)是函数在点x处的值，f'(x)、f''(x)、f'''(x)分别是函数的一阶、二阶和三阶导数。
接下来，我们来介绍一下牛顿方法。
牛顿方法是一种求解方程近似解的方法，它的基本思想是通过不断逼近函数的零点来求解方程。
具体而言，牛顿方法从一个初始的近似解开始，然后通过迭代的方式不断改进近似解，直到满足所需的精度要求为止。
牛顿方法的迭代公式如下：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)其中，x_n是第n次迭代的近似解，f(x_n)是函数在x_n处的值，f'(x_n)是函数在x_n处的导数。
现在，我们开始推导牛顿方法的误差公式。
假设我们要求解方程f(x) = 0，在方程的一个近似解x_n处，我们可以利用泰勒定理将函数f(x)展开成级数形式：f(x) = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) + f''(x_n)(x-x_n)^2/2! + f'''(x_n)(x-x_n)^3/3! + ...我们希望找到一个近似解x_{n+1}，使得f(x_{n+1}) = 0。
因此，我们可以将上式中的x替换为x_{n+1}，并忽略高阶项，得到近似的零点表达式：0 ≈ f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)由于我们希望找到方程的零点，即f(x_{n+1}) = 0，因此上式可以简化为：0 ≈ f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)进一步整理得到：x_{n+1} - x_n ≈ - f(x_n)/f'(x_n)将牛顿方法的迭代公式x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)代入上式，得到：x_{n+1} - x_n ≈ - (f(x_n)/(f'(x_n)))我们可以将上式右边的分数形式进行展开，得到误差公式：x_{n+1} - x_n ≈ - (f(x_n)/f'(x_n)) ≈ - (f(x_n)/f'(x_n)) + (f(x_n)f''(x_n))/(2(f'(x_n))^2) - (f(x_n)f''(x_n))/(2(f'(x_n))^2)继续展开得到更多项，最后得到牛顿方法的误差公式：x_{n+1} - x_n ≈ - (f(x_n)/f'(x_n)) + (f(x_n)f''(x_n))/(2(f'(x_n))^2) - (f(x_n)f''(x_n)f'''(x_n))/(6(f'(x_n))^3) + ...根据以上推导，我们可以得出牛顿方法的误差公式。
讲稿2(牛顿差分表及例题)
向前、向后差分表
-
)j
-
)j
例：在微电机设计计算中需要查磁化曲线表，通常给出的表是磁密B每间隔100高斯磁路每厘米长所需安匝数at的值，下面要解决B 从4000至11000区间的查表问题。
为节省计算机存储单元，采用每
500高斯存入一个at值，在利用差分公式计算。
从差分表中看到三阶差分近似于0，计算时只需二阶差分。
当4000≤B≤10500时用牛顿前插公
式；当10500≤B ≤11000时用牛顿后插公式；
例如，求f （5200）时取
2
00005000, 1.58,0.11,B f f f ==∆=∆=
，h=500,B=5200,t=0.4,取n=2，由公式
000(1)
()2!
n t t N x th f t f -+=+∆+
计算得：
(0.4)(0.
(5200) 1.58(0.4)(0.11)2
f -≈++
这个结果与直接查表得到的值相同，说明用此算法在计算机上求值是可行的。
newton-cotes 公式
newton-cotes 公式牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是用来在有限的数据点上进行数值积分的公式，它有助于解决一些数学里复杂的积分问题。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是建立在具有固定的插值点的基础上的，它的基本思想是将积分区间上的函数值用一个多项式曲线表示，根据多项式的函数值，通过运用权重系数求出函数对应积分区间上的积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式具有理论可靠性和可计算性，可以用来计算任何一类好的函数在有限积分区间上的数值积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式有如下几种：前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式，中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式和梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式，每种公式都是以一定的格式形式来进行积分计算的，它们在实用水平上是相通的，可以用来求取给定函数在有限划分区间上的近似数值积分值。
不同的是，每种公式都有不同的特点，比如，前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式算法效率高但精度低，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式算法精度高但效率低，梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式精度取决于区间的分段数，而中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式适合单次积分的计算。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式可以用来解决一些数学里比较复杂的积分问题，它对于提高程序自动执行效率也必不可少，所以它在很多地方都有实际应用。
4.2 牛顿插值公式
§2 差商、牛顿插值多项式在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出新的插值函数，则Lagrange 插值公式所有的基函数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。
而以下介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。
一、 差商及其性质： 1、相关定义设给出函数)(x f 在点0x ，1x ，… ，n x ，…上的函数值 ，则有：称],[10x x f 1010()()f x f x x x -=-为函数)(x f 在0x 、1x 点的一阶差商。
一阶差商的差商],,[210x x x f 121020],[],[x x x x f x x f --= 称为函数)(x f 在0x ,1x 和2x 点的二阶差商。
1-n 阶差商的差商],,,[10n x x x f 112020],,,[],,,[------=n n n n n n x x x x x f x x x f称为函数)(x f 在n x x x ,,,10 点的n 阶差商。
见插商表4-12、性质：性质1 ：差商],,,[10n x x x f 可表示为函数值的线性组合，即 ∑==ni i i n x f a x x x f 010)(],,,[ ，其中：∏≠=-=nij j j ii x xa ,0)(/1。
该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即：],,,[10n x x x f ＝],,,[01n x x x f ＝…＝],,,[01x x x f n这就是差商的对称性。
性质 2101010[,,][,,][,,,]n n n n f x x f x x f x x x x x --=-01110[,,,][,,,]n n n f x x x f x x x x -=11100[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-10110[,,][,,,]n n n f x x f x x x x x --=-性质 3 设)(x f 在所含节点n x x x ,,,10 的区间],[b a 上有n 阶导数，则在该区间内至少有一点],[b a ∈ξ，使得：!/)(],,,[)(10n f x x x f n n ξ= 由该性质可知，若)(x f 为n 次多项式，则其n 阶差商为一常数。
牛顿定律全部公式
牛顿定律全部公式
牛顿定律是经典力学中最为基础且重要的定律之一，描述了
物体受力和运动之间的关系。
下面是牛顿定律的全部公式：
第一定律（惯性定律）：
物体在没有外力作用下，或合力为零时保持静止或匀速直线
运动。
其表达式为：
∑F=0或F=0
第二定律（运动定律）：
物体的加速度与作用在它上面的合外力成正比，与物体的质
量成反比。
其表达式为：
F=m*a
其中，F为合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
第三定律（作用反作用定律）：
任何两个物体之间的相互作用力都成对出现，并且大小相等、方向相反。
其表达式为：
F₁₂=F₂₁
其中，F₁₂为物体1对物体2的作用力，F₂₁为物体2对物体
1的作用力。
这些公式是牛顿定律的核心内容，通过这些公式我们可以计算出物体受力和运动的相关参数。
牛顿定律适用于大多数日常生活中的力学问题，是理解和研究物体的运动行为的基础。
它在工程学、物理学等领域得到了广泛的应用。
牛顿均差差值
f ( n ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x n ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) n!
的函数表如下， 例 f(x)的函数表如下，用三次牛顿插值计算 的函数表如下 用三次牛顿插值计算f(0.596)的近似值 的近似值
←
y ← y+t*A(k,k) k ← k+1
N
k>N
Y
输出y 输出
§2 Newton’s Interpolation
等距节点公式 /* Formulae with Equal Spacing */ 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制. 牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制.不过当 结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化.首先介绍 结点等距时前述牛顿插值公式可进行简化. 差分概念. 差分概念. x −x 当节点等距分布时: 等距分布时 当节点等距分布时 x i = x 0 + i h ( i = 0 , ... , n ) h =
0.62)+0.21303(x-0.55)(x-0.65)(x-0.80) f(0.596) ≈N3(0.596)=0.63192
牛顿插值算法设计
N n ( x ) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ]( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ]( x − x0 )( x − x1 ) + ...
f [ x 0 , x 1 , x 2 ,⋯ , x n] =
牛顿后插公式
2012-2013（1）专业课程实践论文牛顿后插公式王瑜，0818180218，R数学08-2班一、算法理论由牛顿前插公式)()!1())...(1()()1(1ξ+++--=n a n n f h n n t t t x R ，),(0n x x ∈ξ如果要求表示函数在n x 附近的值)(x f ，此时应用Newton 插值公式，插值点应按的次序排列，有)()](,,,[))(](,,[)](,[)()(1011211x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N n n n n n n n n n n n n n --++--+-+=----- 作变换)01(≤≤-+=t th x x n 错误！未找到引用源。
，并利用公式代入上式带入得n n n n n n n f n n t t t f t t f t f th x N ∇-++++∇++∇+=+!)1()1(!2)1()(2称为Newton 后插公式，其余项。
。
),(,)!1()()()1()()()(0)1(1n n n n n n x x n f h n t t t th x N x f x R ∈+++=+-=++ξξ 若用Newton 后插公式求)(x f 的值，因x 在n x 附近，则其系数)(x f 在点n x 的各阶向后差分。
二、算法框图结束判断是否继续输入提示是否继续输入输出结果判断输入区间合法性Input x 提示正确的X 区间信息开始是否是否三、算法程序class Interpolation{public:Interpolation(int num, double x1, double x2, double func[]);double ComputeBackwardValue(double x); // compute backward interpolation value ~Interpolation();private:// Check(); // checking the inputsvoid GetBackwardTable(); // get the backward differential tableprivate:int m_num; // the number of interpolation pointsdouble m_x1, m_x2; // the first point m_x1 and last point m_x2double m_step; // the interpolation stepdouble* m_func; // the function value of interpolation pointsdouble* m_btable; // the backward differential table};#include <iostream>#include <limits>using namespace std;#define NUM 15//样本个数#define MIN 4000//上面输入区间下限#define MAX 11000//上面输入区间上限int main(){double func[NUM]={1.38, 1.48, 1.58, 1.69, 1.81,1.94,2.10, 2.28, 2.50, 2.76,3.06, 3.41, 3.83,4.33, 4.93};//输入对应的函数值double x1=MIN, x2=MAX, x;int num=NUM;char flag='Y';Interpolation test(num, x1, x2, func);while(flag=='Y'){cout<<"Input x: ";cin>>x;if (!cin){cin.clear();cin.ignore(numeric_limits<int>::max(), '\n'); // clear input buffercontinue;}if(x<x1 || x>x2){cout<<"---Invalid input: "<<x<<"---"<<endl;cout<<"Only the number between "<<x1<<" and "<<x2<<" is valid..."<<endl; }else{cout<<"Backward interpolation value:"<<puteBackwardValue(x)<<endl;}cout<<endl<<"Do you want to process? please input(Y/N):"<<endl;cin>>flag;}return 0;}Interpolation::Interpolation(int num, double x1, double x2, double func[]) {m_num = num;m_x1 = x1;m_x2 = x2;m_step = (m_x2-m_x1)/(num-1);m_func = new double[m_num];m_btable = new double[m_num];for (int i=0; i<m_num; ++i){m_func[i] = func[i];m_btable[i] = func[i];}GetBackwardTable();}Interpolation::~Interpolation(){delete m_func;delete m_btable;}void Interpolation::GetBackwardTable(){// get the backward differential tableint i, j;double tmp;for (i=1; i<m_num; ++i) {tmp = m_btable[m_num-1];for (j=m_num-1; j>=i; --j) {m_btable[j] = m_btable[j]-m_btable[j-1];}m_btable[i-1] = tmp;}}double Interpolation::ComputeBackwardValue(double x){// compute backward interpolation valuedouble* coef; //coefficient talbedouble result, t;int i;coef = new double[m_num];t = (x-m_x2)/m_step;for (i=1, coef[0]=1; i<m_num; ++i) //compute the coefficient table {coef[i] = coef[i-1]*(t+i-1)/i;}for (i=0, result=0; i<m_num; ++i){result += m_btable[i]*coef[i];}delete coef;return result;}四、算法实现例1．在微电机设计计算中需要查磁化曲线表，通常给出的表如图是磁密B每间隔100高斯磁路每厘米长所需安匝数at的值，下面要解决B从4000到11000区间的查表问题书上给出的可以用后插公式的区间为10500＜B≤11000解：在此谨以10500以上的数为例，首先输入样本个数和所在区间然后逐一输入对应的函数值。
计算方法引论课后答案
计算方法引论课后答案第一章误差1.什么是模型误差，什么是方法误差？例如，将地球近似看为一个标准球体，利用公式 $A=4\pi r$ 计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差。
在计算过程中，要用到 $\pi$，我们利用无穷乘积公式计算 $\pi$ 的值：pi=2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\f rac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{7}\cdot\ frac{8}{9}\cdot\cdots我们取前9项的乘积作为 $\pi$ 的近似值，得$\pi\approx3.xxxxxxxx5$。
这个去掉 $\pi$ 的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也称为截断误差。
2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：816.956，76.000，.322，501.235，.182，130.015，236.23.解：816.96，76.000，.501.24，.130.02，236.23.3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？81.897，0.008，136.320，050.180.解：五位，三位，六位，四位。
4.若 $1/4$ 用 0.25 表示，问有多少位有效数字？解：两位。
5.若 $a=1.1062$，$b=0.947$，是经过舍入后得到的近似值，问：$a+b$，$a\times b$ 各有几位有效数字？已知 $da<\frac{1}{2}\cdot10^{-4}$，$db<\frac{1}{2}\cdot10^{-3}$，又 $a+b=0.\times10$。
begin{aligned}d(a+b)&=da+db\leq da+db=\frac{1}{2}\cdot10^{-4}+\frac{1}{2}\cdot10^{-3}=0.55\times10^{-3}<\frac{1}{2}\cdot10^{-2}end{aligned}所以 $a+b$ 有三位有效数字；因为 $a\timesb=0.xxxxxxxx\times10$。
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(3)
使用。的 th向前的区别将被写成 ,同样, th后向差分作为 .
然而,当 被视为一个连续函数的离散化 ,那么有限差分有时写
(4)
(5)
在哪里 表示卷积和 是奇怪的脉冲对。有限差分算子因此可以写
(6)
一个 th权力有一个常数 有限差分。例如,以 和做一个差异表,
(7)
由:杰夫Hamrick
快照
细节
为了简单起见,你选择的限制和 稍微有界从0和1。
在左上角有一个可能的联合分布 适应你的选择的 , , 。此外,在底部显示(红线)的线性相关系数达到固定的选择 和 。基本的教训是显而易见的:不可能一起夫妇两个任意伯努利随机变量以这样一种方式,任何可能的线性相关系数。请注意,选择 最大化的可能值的范围.
(6)
一个 th权力有一个常数 有限差分。例如,以 和做一个差异表,
(7)
的 6列是常数。
有限差分公式可以非常有用的推断一个有限的数据量,试图找到通用术语。具体来说,如果一个函数 在只有少数离散值是已知的吗 ,1、2、……它需要确定的解析形式 ,可以使用下列程序 被认为是一种多项式函数。表示 th的价值序列感兴趣的, 。然后定义 随着向前的区别 , 作为第二个向前的区别 等,构建一个表如下
的年代和年代也满足两个伯努利随机变量之间线性相关皮尔森相关系数表示是一个衡量两个随机变量之间线性相关的也就是说一个随机变量的程度可以写成对于一些和一些
牛顿的后向差分公式
在哪里 是后向差分.
参见:
后向差分
是一个落后的区别有限差分定义为
(1)
高阶的差异是通过重复操作后向差分算子,
(2)
(3)
(4)
一般来说,
(8)
(9)
(10)
(11)
继续计算 , 等,直到0值。然后多项式函数的值 是由
(12)
(13)
当符号 , 等等,,这个美丽的方程牛顿提出了差分公式。看到一个特定的例子,考虑一个序列与前几的值1,19日,143年,607年,1789年、4211年和4211年。然后给出了表的区别
(14)
阅读第一个数字在每一行 , , , , 。堵在了方程
二维随机向量 ,两 和 离散随机变量,发现一个联合概率分布,触发特定的线性相关系数相当于求解一个线性方程组。毫不奇怪的是,有时这种线性方程组无解,一个独特的解决方案,或者无限多的解决方案。
特别是,给定一个单变量函数 使用已知值,插值的过程 找到的值 在点 , 。一般来说,这种技术涉及到建设一个函数 被称为interpolant它同意 在点 ,然后用于计算所需的值。
毫不奇怪,一个人可以谈论插值方法多元函数,虽然这些往往比单变量同���更多的参与。
中心差分
在相等的时间间隔的中心差分函数列表 被定义为
(15)
(16)
这的确符合原始数据准确。
公式的衍生品
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(拜尔1987,页449 - 451,Zwillinger 1995,p . 705)。
对差分积分公式
(28)
是由拜尔(1987年,第456 - 455页)。
有限的差异导致差分方程,有限的类似物微分方程。事实上,阴暗的微积分显示许多优雅的类似物连续函数的著名的身份。常见的有限差分方案偏微分方程包括所谓的Crank-Nicolson、Du Fort-Frankel和Laasonen方法。
(1)
和有限的后向差分作为
(2)
远期有限差分的实现Wolfram语言作为DifferenceDelta[f,我]。
如果在间距值列表 ,那么符号
(3)
使用。的 th向前的区别将被写成 ,同样, th后向差分作为 .
然而,当 被视为一个连续函数的离散化,那么有限差分有时写
(4)
(5)
在哪里 表示卷积和 是奇怪的脉冲对。有限差分算子因此可以写
的 6列是常数。
有限差分公式可以非常有用的推断一个有限的数据量,试图找到通用术语。具体来说,如果一个函数 在只有少数离散值是已知的吗 ,1、2、……它需要确定的解析形式 ,可以使用下列程序 被认为是一种多项式函数。表示 th的价值序列感兴趣的, 。然后定义 随着向前的区别 , 作为第二个向前的区别 等,构建一个表如下
(9)
在哪里 是第一个 差异来自不同表计算。此外,如果差异 , , ,……以一些固定的值 ,然后是一个公式 术语是由
(10)
(斯隆和普劳夫1985,p . 10)。
参见:
有限差分
有限差分离散的模拟导数。有限向前的区别的一个函数 被定义为
(1)
和有限的后向差分作为
(2)
远期有限差分的实现Wolfram语言作为DifferenceDelta[f,我]。
(5)
在哪里 是一个二项式系数.
向后有限差分中实现Wolfram语言作为DifferenceDelta[f,我]。
牛顿的后向差分公式表达 的总和 th落后的差异
(6)
在哪里 是第一个 差异来自不同表计算。
参见:
牛顿提出了差分公式
牛顿公式的区别有限差分身份给一个列表点之间插入值 第一个值 和权力的向前的区别 。为 ,这个公式
(1)
第一,高阶中心安排的差异,包括整数指数给出的
(2)
(3)
(4)(5)(源自)(7)(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 877)。
高阶差异可能计算甚至和奇怪的权力,
(8)
(9)
(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 877)。
参见
高斯的逆向公式
这是有时知道“酒吧和明星”的方法。假设一个食谱要求5捏的香料,9香料。每一个可能性是安排5香料(恒星)和9之间的分隔器类别(酒吧)。数量的可能性 . 意味着你使用香料1,1、5、6、9。
(15)
(16)
这的确符合原始数据准确。
公式的衍生品
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(拜尔1987,页449 - 451,Zwillinger 1995,p . 705)。
对差分积分公式
(28)
是由拜尔(1987年,第456 - 455页)。
有限的差异导致差分方程,有限的类似物微分方程。事实上,阴暗的微积分显示许多优雅的类似物连续函数的著名的身份。常见的有限差分方案偏微分方程包括所谓的Crank-Nicolson、Du Fort-Frankel和Laasonen方法。
参见:
向前的区别
是一个远期不同有限差分定义为
(1)
高阶差异是通过重复向前差分算子的操作,
(2)
所以
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
一般来说,
(8)
在哪里 是一个二项式系数(斯隆和普劳夫1995,p . 10)。
远期有限差分的实现Wolfram语言作为DifferenceDelta[f,我]。
牛顿提出了差分公式表达 的总和 th向前差异
(6)
(7)
为
(8)
两个伯努利随机变量之间线性相关
皮尔森相关系数表示 是一个衡量两个随机变量之间线性相关的,也就是说,一个随机变量的程度可以写成,对于一些 和一些 。这个演示探究以下问题:相关系数是可能的一个随机向量 ,在那里 是伯努利随机变量与参数 和 是伯努利随机变量与参数 吗?有趣的是,一个二维伯努利随机向量的相关系数选择的制约 和 .
(8)
(9)
(10)
(11)
继续计算 , 等,直到0值。然后多项式函数的值 是由
(12)
(13)
当符号 , 等等,,这个美丽的方程牛顿提出了差分公式。看到一个特定的例子,考虑一个序列与前几的值1,19日,143年,607年,1789年、4211年和4211年。然后给出了表的区别
(14)
阅读第一个数字在每一行 , , , , 。堵在了方程
(1)
为 ,在那里 是中心差分和
(2)
(3)
在哪里 是一个二项式系数.
高斯的公式
高斯的公式
(1)
为 ,在那里 是中心差分和
(2)
(3)
在哪里 是一个二项式系数.
参见:
埃弗雷特的公式
(1)
为 ,在那里 是中心差分和
(2)
(3)
(4)
(5)
在哪里 是系数从高斯的逆向公式和高斯的公式和 是系数从贝塞尔的有限差分公式。的 年代和 年代也满足
(1)
当书面形式
(2)
与 的下降!这个公式,看起来很像是一个有限的模拟泰勒级数扩张。这个对应的激励力量的发展阴暗的微积分.
另一种形式的方程使用二项式系数
(3)
在哪里二项式系数 代表一个多项式的学位 在 .
的导数牛顿提出的差分公式马尔可夫链的公式.
参
有限差分
有限差分离散的模拟导数。有限向前的区别的一个函数 被定义为
贝塞尔的有限差分公式
一个插值公式,有时被称为Newton-Bessel公式,给出的
(1)
为 ,在那里 是中心差分和
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
在哪里 是系数从高斯的逆向公式和高斯的公式和 和 是系数从埃弗雷特的公式。的 年代也满足
(10)
(11)
为
(12)
参见:
插值
点或值的计算之间的已知或使用周围的点或值列表。