数列的差分
(完整版)选修系列：数列与差分
• 差分与数列通项的关系1:对数列{an} = {2,2,2,2,2},其一 阶差分Δan={0,0,0,0}.一般地,常数列的一阶差分为各项 是零的常数列(注意:每施行一次差分运算,所得新数列 的总项数都会减少1)
• 关系2:对数列{an} = {3n-5} = {-2,1,4,7,10,13,16,19},其 一阶差分Δan= {3,3,3,3,3,3,3}为常数列,其通项an=3n-5是 一个线性函数.一般地,当数列{an}是由一个线性函数定 义的等差数列时,其一阶差分为常数列.
可见xn是n的函数.从而可以进一步定义xn的差分 : (xn ) 2xn , 称之为在n处的二阶差分,它反映的是增量的增量.类似可 定义在n处的k阶差分为: k xn (k1(xn )).
2.差分算子、不变算子、平移算子
记Exn xn1, Ixn xn , 称E为平移算子, I为不变算子.则有: xn
k 1
k 1
k xn (1)ki Cki xni xnk xnk (1)ki Cki xni k xn (2.2)
i0
i0
表明: xnk可以由xn , xn , , k xn的线性组合表示出来.
3.差分算子的若干性质
3.1.(xn yn ) xn yn
3.2.( xn ) yn
数列与差分
1.引言
• 数列是描述客观世界究变结量果本有身效就性是的离前散提的下:如,为酵了母方细便胞,的人分们裂也,愿股意市把的对开连盘续或函收数盘的价研的 按究日 转记化录为等对数. 列的研究.而计算机技术的发展,更为数列的研究提供了方便,使数列 Ⅱ模现 型实的世应界用中也存日在趋着广大泛量. 的连续函数关系难以用解析式表示:如河流水位的高低作
为时•间的差函分数是等描. 述数列变化的主要工具
数列求通项的十种方法
数列求通项的十种方法
数列是数学中的一个重要概念，对于求数列通项的问题，有许多不
同的解法。
下面将介绍十种求解数列通项的方法。
1. 暴力求解法：将数列中的前几项写出来，然后根据已知项之间的规
律来推出通项公式。
2. 公式推导法：利用一些已知的数列通项公式，结合这个数列的特点，在此基础上推导出此数列的通项公式。
3. 通项公式分解法：将数列的通项公式分解为元素之和的形式，从而
得到每一项的通项公式。
4. 递推公式求解法：根据数列中一些指定的通项公式，推导出递推公式，并使用递推公式依次求出数列中每一项的通项公式。
5. 差分法：通过对数列求差（即相邻项之差），得到一个新数列，然
后对新数列再次求差，直到差分后的数列为常数列，最后通过累加得
到原数列的通项公式。
6. 微积分法：对数列进行微积分操作，得到导数，然后再对导数积分，通过积分得到原数列的通项公式。
7. 特征方程法：将递推公式转化为特征方程，并求解特征根，然后根
据特征根求得通项公式。
8. 奇怪公式法：有些数列的通项公式看起来十分奇怪，但通过反复验证，发现确实有效。
9. 递归法：通过一个递归的函数，根据某一项的值递归计算其他项的值，最终得到整个数列的通项公式。
10. 牛顿插值法：利用牛顿插值法，通过已知的数列中一部分数值，反
推出整个数列的通项公式。
以上是十种求解数列通项的方法，每种方法都有其适用范围和局限性。
对于不同的数列，选择不同的方法求解，可以得到更加准确和简便的
结果。
数列的差分
新课程中的现代数学——数列与差分新课程中的现代数学（数列与差分)§１数列的差分§２一阶线性差分方程§3 一阶线性差分方程组§４差分方程和差分方程组的应用2．§1数列的差分一。
数列的概念二。
数列差分的概念三. 差分表的性质一. 数列的概念一个数列就是实数的任何（有限或无限的）有序集。
这些数称为数列的项或元素。
用an来表示数列的第n项，称之为数列的通项。
定义1.１一个数列是一个函数, 其定义域为全体正整数（有时，为方便计，是全体非负整数集合)，其值域包含在全体实数集中。
数列的表示:1.列举法:数列的表示：2.通项法：数列的表示：3.图象法：序列的项通过标出点（n，an）图示．直观，具有可视化的效果4.描述法：数列的一些例子1.假如你开了一个100０0元的银行帐户，银行每月付给２％的利息．假如你既不加进存款也不取钱，那么每个月后的存款余额就构成一个数列.2.兔子出生以后两个月就能生小兔, 若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄)。
假如养了初生的小兔一对，则每个月小兔的对数也构成一个数列（假设生下的小兔都不死）斐波那契（Fｉbｏｎaｃci意大利约１17０—1250本名Leoｎarｄo）１, 1, ２，３，5, ８， 13, 21, 34，…二。
数列差分的概念数列相邻项的差, 称为数列的差分.定义1．2 对任何数列A = {a１，ａ2， L}，其差分算子D（读作dｅlta）定义如下：Ｄa1 = a２— a1,Dａ２ = a3 - a2,Da3 ＝ a4 - a３, L，一般地，对任何n有Dａｎ＝ aｎ+1 - an,应用这个算子D, 从原来的数列A构成一个新的数列DA, 从数列DA可得到数列D2A =｛D2an｝, 这里D2an = Ｄ（Dan）＝ Dan+1 — Daｎ= an＋2 －ａｎ+１—ａｎ＋1 ＋ aｎ= ａn+2 - ２an+1 + an，称之为数列Ａ的二阶差分, 二阶差分D２an的差分D3aｎ称为三阶差分，二阶及二阶以上的差分称为高阶差分, 而称Dan为一阶差分。
求数列最大值与最小值项的方法
求数列最大值与最小值项的方法
求数列最大值与最小值项的方法：
1、排序法：通过排序将原来的数列变成有序的，最大值及最小值项将
被排在序列最高或最低位置，从而确定最大最小值。
2、求和法：将原来的数列逐项累加得到总和，将总和减每项数值得到
剩余总和，再从中求出每项的数值，最大值最小值值也就有了。
3、差分法：将原来的数列逐步求出每相邻项之间的差值，每相邻差值
的和可以得出每项数值，最大最小值也就确定了。
4、假设法：假设某一项数值是最大或最小，找出其他各个项数值之和，若等于总和减去该值，则该值就是最大或最小值；若不等，则假定另
一项数值为最大或最小，重复上述操作，直至找出最大或最小值为止。
5、比较法：将原数列的每一项两两比较，较大的数值为最大值，较小
的数值为最小值，一直比较到数列的一头，最后即可得到最大最小值。
6、直接比较法：从原来数列中直接得出最大值或最小值，如从数列中
有一个数值大于或小于其他数，则可以直接得出该数值就是最大或最
小值。
单调变换的判断方法
单调变换的判断方法
单调变换是指数列中的数值随着下标的增加而呈现出单调递增或单调递减的趋势，是
一种很常见的变换形式。
在数学中，常常需要对数列进行单调变换，从而解决一些具体问题。
单调变换的判断方法如下：
一、数列差分法
差分法是判断单调性的常见方法之一。
对于一个数列，我们可以通过将其相邻项做差，生成一个新的数列，然后再对新数列进行分析，以判断原数列的单调性。
具体步骤如下：
1、对原数列进行差分，得到一个新的数列，表示相邻元素之间的差值。
2、对新数列进行分析，如果新数列是一个单调递增或单调递减的数列，那么原数列
也是单调递增或单调递减的。
例如，对于数列1，2，4，7，11，16，我们可以得到一个差分数列1，2，3，4，5。
通过观察差分数列，可以发现它是一个单调递增的数列，因此原数列也是单调递增的。
二、数列求导法
求导方法是一种更加精确的方法，其本质是利用微积分中的导数来刻画数列的单调性。
具体步骤如下：
三、数列特征法
特征法是一种更加直观的方法，通过观察一系列特征来判断数列的单调性。
具体步骤
如下：
1、观察数列是否具有单调性，如果具有单调性，则比较容易判断；如果没有单调性，则需要观察一些特征。
2、对于单调递增的数列，其相邻元素的差值应该逐渐递增；对于单调递减的数列，
其相邻元素的差值应该逐渐递减。
总之，判断数列的单调性可以采用多种方法，具体应视具体情况而定。
在应用数学中，单调变换是一个非常常见的概念，对于学习和应用数学来说，它有着重要的意义。
数列在高等数学里表示就是 差分方程
数列在高等数学里表示就是差分方程.差分方程的解可以用e的指数型来表示,如果这时特征方程解出来的根是虚根,也就是说无实数解,那么根据欧拉公式,e^(inx)=cosnx+isinnx,可以将e的指数型化为正弦与余弦函数和的形式,也就是具有周期性.在复数域内考虑,必存在共轭复数根an = c1*(a1+jb1)^n+c2*(a1-jb1)^n+...= c1*a^n*(cos(n*th)+jsin(n*th))+ c2*a^n*(cos(n*th)-jsin(n*th))+...对任意n均成立,只可能c1=c2,所以 an = 2*c*a^n*cos(n*th),当 a=1时,且pi/th是整数时,可能会是周期数列.c1，c2是任意常数，由数列的前几项决定的。
比如: 1,1,2,3,5,... 递推公式为 a(n+1) =a(n)+a(n-1), 必须要给出 a(1),a(2),才能确定a(3),a(4),... 特征方程为 x^2 = x+1,有两个跟 x1,x2 可以设通项为 a(n) = c1*x1^n+c2*x2^n, 将n=1,n=2代入并利用a(1),a(2)已知的条件进而求出c1,c2，从而求出了a(n)的通项。
特征根事实上是形式上的结果,实际上是推导出来的比如著名的斐波那契（Fibonacci）兔子数列（递推公式为an+2=an+1+an,a1=1,a2=1）：为了求出这个通项：我们用特征根的办法：即解一元二次方程x^2=x+1的根解得x1=1/2+√5/2,x2=1/2-√5/2∴设通项公式为an=c1（1/2+√5/2)^ n+c2(1/2-√5/2)^n代入a1=1,a2=1,求出待定系数c1、c2即是通项我们熟知的通项公式：an=1/√5 [（1/2+√5/2)^ n-(1/2-√5/2)^n] (n=1,2,3.)而本质上我们还是用了等差数列与等比数列：∵an+2=an+1+an∴若设an+2-k*an+1=p(an+1-kan),就要有：k+p=1,k*p=-1这样解得k=1/2+√5/2,p=1/2-√5/2（或者k、p值互换,但你可以自己验证结果是一样的）下面就是求等比数列an+1-(1/2+√5/2)an的时候了,其首项为a2-(1/2+√5/2)a1,公比为1/2-√5/2求出an+1-(1/2+√5/2)an的通项后再用叠加法就可以求出an的通项了,思路就是这样那么我们看到解k、p的时候其实就是解了特征方程,所以特征方程就是这么来的A（n+1)=（3An+4）/（2An+3）特征方程：x=（3x+4）/（2x+3），x=±√2则 {（An+√2）/（An－√2）}为等比数列（A（n+1）+√2）/（A（n+1）－√2）＝[（3An+4）/（2An+3）+√2]/[（3An+4）/（2An+3）－√2]＝[（3+√2）An+（3√2+4）]/[(3-2√2)/(4-3√2)] ＝（3+2√2）/（3-2√2）×（An+√2）/（An-√2）＝(√2－1)^4×[（An+√2）/（An－√2）]。
差分：开启等差数列宝藏的金钥匙
差分：开启等差数列宝藏的金钥匙作者：杨彬来源：《成才之路》 2012年第1期江苏邳州●杨彬高考结束，笔者正试做2011 年的江苏高考数学试卷，恰好任教班级的几位学生相约而来，向我畅谈考试的感受。
“试卷Ⅰ第20 题之前的试题比较常规，高考前的模考中有类似题型，要说有难度的就是解答题部分的那道数列题。
”这是他们对于试卷Ⅰ的评价。
于是，我们共同探讨第20 题。
例1：设M 为部分整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n 项和为Sn，已知对任意的整数k ∈M，当整数n ＞k 时，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）都成立。
（1）设M={1}，a2=2，求a5 的值；（2）设M={3,4}，求数列{an}的通项公式。
探讨活动的细节笔录如下。
考生 1 说，这道数列题的第一小问并不难，为第二小问的探究活动起着铺垫作用。
由题知，当n＞k=1 时，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1），根据通过数列的通项公式展开移项，得Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2，即an+1-an=2（n＞1），所以在数列{an}中，a2,a3,a4…是一个首项与公差都等于2 的等差数列，可得an=2+（n-2）×2=2n-2（n＞1），所以a5=8。
（考生1 喜悦之情溢于言表）。
“这是典型的运用差分思想解决数列问题案例，属于常规思路。
”我为他们高兴。
“试题的真正难度在第2 小问。
”考生2 插嘴道，“当k∈M={3,4}且n＞k 时，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk），根据差分思想解答数列问题的思路，可得Sn+1+k+Sn+1-k=2（Sn+1+Sk），两式相减得an+1+k+an+1-k=2an+1，它是等差数列的必要条件。
”考生2 继续说：“移项得an+1+k-an+1=an+1-an+1-k，即an+4-an+1=an+1-an-2 （k=3,n＞3）①，an+5-an+1=an+1-an-3 （k=4,n＞4）②，继续深入处理这两个关系式中所涵盖的信息，论证数列的性质成为解题的关键，我也没能继续做下去。
运用差分方法解数列问题
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中学 数学 教 学 参考
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关 系 式 有 时 运 用 差 分 方 程 求 解 数 列 问 题 具 有 显 著 的 １
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ak-1(或用算子记号, Dak-1 ? 0而Dak 0).数列A在第k项处达到相对极小, 若ak ak+1而ak ? ak-1(或Dak-1 ? 0而Dak 0).数列A在第k项处上凹, 若Dak Dak-1(或用二阶差分的算子记号, D2ak-1 0).数列A在第k项处下凹, 若Dak Dak-1(或D2ak-1 0).注意: 在k-1处的二阶差分决定了k项处的凹性. 决定凹性的另一种看法是: 当一阶差分增加时数列上凹, 而当一阶差分减小时数列下凹.定义1.4 数列A在第k项处有一个拐点, 倘若D2ak和D2ak-1有不同的正负号.例讨论数列 {n2 - 4n + 3}的性质构造an = n2 - 4n + 3的前7个数列值的差分表, 并用该表确定数列在何处增加、减少, 达到相对极大或极小, 上凹、下凹以及是否有拐点.一. 差分方程的基本概念二. 齐次线性差分方程的解析解定义2.1 差分方程是一种方程, 该方程表明数列中的任意项如何用前一项或几项来算.初始条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分方程的阶.定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程是线性的. 否则差分方程就是非线性的. 注意这种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用于不包含数列变量的其它项.线性的非线性的定义2.3 线性差分方程称为齐次的, 如果它只包含数列变量的项.如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项, 就得到一个齐次方程, 称之为与原方程相应的齐次方程.齐次的对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当可以求解的时候)以及讨论解的性质. 能够给出解析解的差分方程是为数很少的一部分, 大多数差分方程是不能给出解析解的, 此时, 只能对其解的性质给出一定的讨论, 讨论解的性质(解的变化趋势, 是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法: 一是数值计算方法, 二是定性或定性定量结合的方法.§2 一阶线性差分方程差分方程的解具有不同的形式: 数值, 图形, 公式定义2.4 数值解是从一个或多个初值出发迭代差分方程得到的一张数值表.例如, 在银行帐户上以7%的利息积累起来的钱数是由差分方程 an+1 = an + 0.07an来确定, 其中an表示n个月后银行中的存款数.定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还满足任何给定的初始条件.差分方程 an+1 = an + 0.07an若把函数ak = (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差分方程就得到一个恒等式:定义2.6 差分方程的一个通解是一个函数, 当代入特定值后就得到相应于不同初值的特解.ak = (0.07)kc称为差分方程an+1 = an + 0.07an的通解, 因为代入c的特定值就给出与不同的初值a0相应的特解.数值解与解析解的比较: 在求银行模型的数值解时只需要一个差分方程和一个初值. 这是数值解的一个强有力的性质—求数值解时无须要求差分方程具有特殊的性质. 只要从一个或多个初值开始进行迭代计算就行了. 另一方面, 因为没有第k 项的一个一般的公式, 每一项必须从前一项或几项算得. 从一个数值解来预测解的长期性态可能是困难的.解析解给出了一个我们可以直接计算数列中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的解只从属于某个初始条件.二. 齐次线性差分方程的解析解定理2.1 一阶线性差分方程an+1 = ran + b的解为若r ? 1. an = bn + c, 若r = 1.§3 (二元)一阶线性差分方程组由两个或多于两个的差分方程构成的方程组称为差分方程组. 在差分方程组中, 单个差分方程的阶数的最大数称为差分方程组的阶数.§4 差分方程和差分方程组的应用差分方程模型是实际应用中常见的一种数学模型. 用差分方程模型解决实际问题如同别的数学模型一样, 大致需经过三个步骤.第一步: 设定好实际问题中的未知函数, 按照已知的相关领域中的物理, 力学, 化学, 生物, 经济等学科的规律用于建立相邻的自变量值(一般就是相邻时间)的未知函数取值间的依赖关系, 建立差分方程模型.第二步: 对上述建立的差分方程模型, 若能直接求解的则求出其解, 若不能直接求解的或直接求解比较困难的, 则用定性的方法讨论其解的变化趋势及性质.第三步: 将数学讨论得到的结果与实际情形加以对照, 然后给实际问题一个满意的答复.例4.1 建立并讨论经济学中的蛛网模型.在分析市场经济中农产品的价格和产量之间的关系中常常要用到如下的规律: 本期产量(或市场供给量)决定本期价格, 而本期价格决定下期产量. 为了建立相关的数学模型, 可以假设P表示价格, Q表示产量, D表示需求函数, S表示供给函数, 时间n表示第n期. 那么Pn表示第n期的价格, Qn表示第n期的产量. 把上述所的规律用数学式子写出来, 即为将上述两式合并, 得(4.1)式就是关于Pn为未知函数的差分方程. 下面给出简单情形下的差分方程(4.1). 把市场济中的市场供给量、价格、市场需求量之间的规律归结为下面的三条:市场供给量对价格变动的反应是滞后的, 即第n期的供给量取决于第n-1期的价格Pn-1,而这种相依关系简单地取为即相依关系是线性的正比例关系, 而价格不能太小，至少，从而市场需求量对价格变动的反应是瞬时的, 即第n期的市场需求量取决于本期的价格Pn,类似地这种相依关系简单地取为即相依关系是线性的, 价格Pn减少, 市场需求量增加, 价格不能太高, 至少从而市场平衡条件为市场清销, 供需相等, 即把(4.2)式和(4.3)式代入(4.4)式得方程(4.5)就是该问题的差分方程模型, 它是一个一阶常系数线性差分方程.易知方程(4.5)对应的齐次方程的通解为方程(4.5)的特解为因此方程(4.5)的通解为其中A是任意常数.用求得则用(4.6)来讨论方程(4.5)的解的性质:情形1. 当b d, 若t?+(, 则Pn收敛于P*, 这时称P*为均衡价格;情形2. 当b = d时, P0, P1, P2, L, Pn, L在均衡价格P*,两旁作周期振荡;情形3. 当b d时, 若t?+(, 则Pn越来越远离均衡价格发散振荡.a2 = 130.68, b2 = 139.22,a7 = 142, b7 = 128,a14 = 146, b14 = 126,a30 = 147, b30 = 123,二阶线性差分方程对应的齐次方程为将tn代入(2), 得t满足下列一元二次方程:情形1. a2 - 4b 0. 此时方程(3)有两个实根t1, t2. 而方程(2)的通解为其中C1和C2是任意常数.情形2. a2 - 4b = 0. 此时方程(3)仅有一个实根t1. 而方程(2)的通解为其中A和B是任意常数.情形3. a2 - 4b 0. 此时方程(3)有一对共轭复根改写为方程(2)的通解为其中A和B是任意常数求(1)的一个特解, 设a* = C, 将其代入方程(1)得求斐波那契数列的一般项. 比内公式设第n个月有兔子an对, 则这是一个二阶齐次差分方程. 求解代数方程得两个实根则得其中A和B是任意常数等比数列的前n项和.设数列{an}为以r(r?1)为公比的等比数列, 首项a1 = a, 用Sn记该数列的前n项和, 则这是一个二阶齐次差分方程. 求解代数方程得两个实根则得其中A和B是任意常数.等比数列的前n项和.由于S1 = a1 = a, S2 = a1 + a2 = a(1 + r), 则解以上关于A和B的方程组可得则植物叶序中的斐氏数列开卜勒研究了“叶序”问题, 即植物生长过程中叶花果在茎上的排列顺序问题, 其结论中也出现了与斐氏数列有关的数字.植物的叶子在茎上的排列, 对同一种植物来说是有一定规律的, 若把位于茎周同一母线位置的两片叶子叫做一个周期的话, 那么将是一些特定的数, 它只是随植物品种不同而不同.自然界中的斐氏数列榆树: 山毛榉: 樱桃:梨树柳树:树枝生长波兰数学家史坦因豪斯在其名著《数学万花筒》中有这样一个问题:一棵树一年后长出一条新枝; 新枝隔一年后成为老枝, 老枝便可每年长出一条新枝. 如此下去, 十年后树枝将有多少?这个问题只是斐波那契数列问题的变化而已, 即树枝的繁衍方式是按照斐波那契数列增加的.蜜蜂进蜂房问题一只蜜蜂从蜂房A出发, 想爬到1, 2, 3, L, n号蜂房, 但只允许它自左向右(不许反向倒走), 那么它爬到各号蜂房的路线数也恰好构成一个斐波那契数列.斐氏数列通项的表达式组合数和的形式斐氏数列与数学游戏把一个边长为8的正方形按图(1)方式剪裁, 然后拼成图(2)的矩形, 拼后你会发现:原来正方形面积为: 64矩形面积是: 65注意到正方形和矩形边长数字 5, 8, 13恰好是斐氏数列中相邻的三项, 斐氏数列有性质:若按照上面的办法把正方形剪拼成矩形(要求面积不变), 应当如何剪裁?。