差分的基本概念
第1节 差分方程的基本概念
比的方法是学习差分方程有效的方法.
3
一、差分概念
yt 设函数 y f (t ) 为定义在整数集上的函数,简记,
一阶差分： yt yt 1 yt
一阶差分的差分称为yt 的二阶差分,
2 yt (y x ) yt 1 yt yt 2 2 yt 1 yt
三阶差分：
3 yt (2 yt ) 2 yt 1 2 yt yt 2 2yt 1 yt
yt 3 3 yt 2 3 yt 1 yt ,
4
一般地，k 阶差分定义为
k yt (k 1 yt ) k 1 yt 1 k 1 yt
F (t , yt , yt , yt ,, yt ) 0 .
2 n
6
三、差分方程的解
定义 若一个函数代入差分方程后,方程两边恒等,则
称此函数为该差分方程的解.
若差分方程的解中含有相互独立的任意常数且个
数恰好等于差分方程的阶数, 则称该解为差分方程的
通解. 差分方程满足初始条件的解称为该问题的特解.
3 yt (2 yt ) (2) 0 .
5
二、差分方程
定义 含有未知函数 yt 在 t 的两个或两个以上的函数值
yt , yt 1 , 的函数方程称为差分方程；差分方程中所出现的
未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.
G(t , yt , yt 1 ,, yt n ) 0,
7
练习：
P384 习题十
8
i ( 1)i C k yt k i , i 0 k
k 1, 2,
2 3
例1 设 yt (t 1)2 t 2 2t 1, yt
差分方程及其稳定性分析
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
第九章--微分方程与差分方程简介
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
差分方程基本知识
二、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt1 ayt f (t )，
(2)
的k个特解，则线性组合 y(t ) C1 y1(t ) C2 y2(t ) Ck yk (t )
也是该差分方程的解，其中 C1 ,C2 , ,Ck 为任意常数.
定理2 n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个 线性无关的特解．若
是方程
y1(t ), y2(t ), , yn(t )
yt (t 2 ) (t 1)2 t 2 2t 1,
2( yt ) 2(t 2 ) (yt ) (2t 1)
2(t 1) 1 (2t 1) 2,
3( yt ) (2 yt ) (2) 2 2 0. 例2 设 yt at (0 a 1), 求 ( yt ). 解 ( yt ) at1 at at (a 1).
它对应的齐次方程 ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0
的通解与它自己本身的一个特解之和，即通解等于 Y C1 y1(t ) C2 y2(t ) Cn yn(t ) y*(t),
其中 y*(t) 是它自己本身的一个特解.
以上三个定理揭示了n阶齐次及非齐次线性差 分方程的通解结构, 它们是求解线性差分方程非常 重要的基础知识．
否则称为非齐次的. 当 f (t) 0 时，与差分方程 (1)
对应的齐次差分方程为
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt 0.
(2)
定理1 设
y1(t ), y2(t ), , yk (t )
微积分9.5 差分及差分方程的基本概念
定义2’ 函数yt的n 1阶差分的差分称为n阶差分，
记为 n yt ,即 n yt n 1 yt 1 n 1 yt .
例7 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 从例2已经得到yt 2t 1.于是
yt 2t 1 ［2 t 1 1］ 2t 1 2,
2
3 yt (2 yt ) 2 2 0.
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例8 设yt t 2，求2 yt ，3 yt .
解 yt ［ t 1 2 t 1］ t 2 2t 2t 3，
2
yt 2t 3 2,
差分的基本运算性质： （1）Δ(Cyt)=CΔyt(C为常数); （2）Δ(yt±zt)=Δyt±Δzt; （3）Δ(yt· zt)=ztΔyt+yt+1Δzt;
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例6 求yt t 2 · 2t的差分.
解 由差分的性质，有
yt (t 2 2t ) 2t t 2 (t 1)2 (2t )
项在方程中出现.
未知函数的最大下标与最小下标的差称为差分 方程的阶.
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例10 将差分方程3 yt 2 yt 0表示成不含 差分的形式.
解 因2 yt yt 2 2yt 1 yt， 3 yt yt 3 3yt 2 3yt 1 yt，
2 2
例3 已知阶乘函数t
0
( n)
n
t (t 1)(t 2)(t n 1)，
t 1.求t 解 设yn t ( n ) t (t 1)(t 2)(t n 1)，则
差分与差分方程的概念
第十章 差分方程§ 差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构教学目的与要求：1. 了解差分与差分方程，差分方程的阶与解（通解、特解）等基本概念。
2. 了解常系数线性差分方程的通解的结构。
教学重点（难点）：常系数线性齐次差分方程解的结构。
一、差分的概念 1.差分的定义定义1 设函数)(x y y =, 自变量从x 变化到x +1, 称函数的增量)()1(x y x y y x -+=∆为)(x y 在点x 的差分,简称为)(x y 的差分。
记)(),1(1x y y x y y x x =+=+，即x x x y y y -=∆+1 ， 一阶差分称x y 2∆=x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分；称)(2x y ∆∆为x y 3∆为三阶差分；一般，)(1x n x ny y -∆∆=∆为n 阶差分，且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0.例1 已知(0),log ,sin x a y x x x ax α=≠求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(. 特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )=i n ni i nx C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m . 例2 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x . 例3 求22232(),(),()x x x ∆∆∆。
例4()(0)()(1)(2)(1),1(()).n n x y x x x x x n x y x ==---+=∆∆设，求即[]()()(1)(1)(1)(11)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(2)n n x y x x x x x x n x x x n x n x x n x x x n ∆=+-=+-+-+---+-+=+--+--+(1)n nx -=2.差分的四则运算法则(1)()()x x Cy C y C ∆=∆为常数； (2)()x x x x y z y z ∆+=∆+∆；()()113x x x x x x x x x x y z y z z y y z z y ++∆⋅=∆+∆=∆+∆()11114x x x x x x x x xx x x x x y z y y z z y y z z z z z z ++++⎛⎫∆-∆∆-∆∆== ⎪⎝⎭例533.x y x y =∆设，求分析：3y x = (1)(2)3(1)x x x x x x =--+-+ ()()()3213x x x =++ 注意：()(1)n n x nx -∆=解：3()x x y y ∆=∆∆∆ (3)(2)(1)(3)x x x =∆∆∆+∆+∆ (2)(1)(0)[36]x x x =∆∆++(2)(1)[361]x x =∆∆+∆+∆ (1)(0)66 6.x x =∆+∆=例6 22.x x y e y =∆设，求 二、差分方程的概念 1.差分方程与差分方程的阶2,,.x x y y ∆∆定义2：含有未知函数的差分的函数方程称为差分方程2(,,,,,)0n x x x x F x y y y y ∆∆∆=形式：1,,.x x y y +定义3：含有未知函数两个或两个以上时期的符号的方程，称为差分方程 11(,,,,)0(,,,,)0(1)x x x n x x x n F x y y y G x y y y n ++--==≥形式：或 或0),,,,(1=++n x x x y y y x F 或0),,,,(=∆∆x n x x y y y x G ，2.差分方程的解满足差分方程的函数称为差分方程的解．含有阶数个互相独立的任意常数的解称为差分方程的通解． 不含有任意常数的解称为差分方程的特解．同微分方程一样也有初值问题. 初值条件也有如下情形: 一阶的如: 00y y x x x==.二阶的如: 00y y x x x==,00y y x x x∆=∆=等等.三、常系数线性差分方程解的结构n 阶线性差分方程： )()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++0)(=x f 时为齐次的. 0)(≠x f 为非齐次的.n 阶常系数齐次线性差分方程的标准形式11110x n x n n x n x y a y a y a y ++--+++++=n 阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式()1111x n x n n x n x y a y a y a y f x ++--+++++= （10-1）对于线性差分方程的解的结构有如下结论：定理1 如果)(1x y y =和)(2x y y =都是方程（10-1）的解，则对任意常数C 1, C 2, )()(2211x y C x y C +也是方程（10-1）的解．定理2 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n xx x y y y 是 0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a的n 个线性无关的特解，则)()2(2)1(1.....n xn x x x y C y C y C y +++=是它的通解. 定义4：线性相关、线性无关(,)x ∈-∞+∞当时，2,x x x e e e -，线性无关221cos ,sin x x ，线性相关定理 3 设0)(0≠x a ，)()2()1(,.....,,n xx x y y y 是齐次方程 0)()()(110=+++-++x n n x n x y x a y x a y x a的n 个线性无关的特解，*x y 是非齐次方程)()()()(110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++的一个特解,则*)()2(2)1(1.....x n x n x x x y y C y C y C y ++++=是非齐次方程的通解. 定理4 设)1(x y 是方程 )()()()(1110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解， )2(xy 是方程 )()()()(2110x f y x a y x a y x a x n n x n x =+++-++ 的解,则)2()1(xx x y y y +=是方程)()()()()(21110x f x f y x a y x a y x a x n n x n x +=+++-++ 的解. 练习：22221122112121..2.2.3.33,2,234,3.4.28320,320,28,28.x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x y a y y x x y A y y a B y y y y C y y y D y y A A y y y B y y y C y y D y y ++--++--++=∆=+∆-=+∆=-+-+===⋅+-+=-+=-=--=设，求设，求下列等式是差分方程的有（）、、、、函数是差分方程（）的通解．、、、、四、小结 1.差分的定义2.差分方程与差分方程的阶3.差分方程的解、定解条件和通解4.常系数线性差分方程解的结构115.(1)()(2)()x x x x x x x x x x x x x x U V U U V U V U V V U V V V ++∆-∆∆=∆+∆∆=证明下列各等式：；111111216.(1).(2)2520.7.()2,()23()()()()t t t t t t t t t t t t t t y e y y e y y y y y t y t t y P t y Q t P t Q t αααβαβ--+-+-+=+==+++===-+=已知是方程的一个特解，求设是差分方程的一个特解，求常数，已知是方程的两个特解，求，．答案：21111.(1);2.2;3.;4.;6.(1)1(2)7,107.()1,()(1)2x t a a C C P t Q t e t tααβ-=-=-==--=-，。
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
10.1差分方程的基本概念 共21页
例3 设差分 yn1 方 3yn程 3n,验证 ynC3nn 33n 是否为差分 ,并 方 求 程 满 的 y0足 5 通 的 条 解 特 件 . 解 将ynC3nn 33n代入方程
2yn(yn) 2 ( n 1 ) 2 ( 2 n 2 ) 2.
例2 设ynf(n)表示某辆汽n车 小外 时出 汽 车里程表显示的公里数, 且6前 个读出 {f(数 n)}为 { 1 4 ,1 4 2 ,1 5 5 ,1 5 1 5 ,1 5 0 ,1 6 9 4 } ,其 3 5 中 f0 (1)表示 开车时里程表的读数, f(2)表示行1小 驶时后里程 的读数, 以此类推, 可将 yn,yn,2yn各值列,表 并称为 yn的 函差 数.分表
k 阶差分方程的一般形式 为 F ( n , y n , y n , , k y n ) 0 ( 1 5 ) 0
其 F (n 中 ,yn , yn, , kyn )为 n ,yn , yn, , kyn的已 知,函 且至数 少 kyn要在式中 . 出现
定义10.2 含有自变 n和量两个或两个值 以yn上 , yn1,的函数,方 称程 为 (常)差分方.出 程现在差 方程中的未知的 函最 数大 下 ,称 差 标为差分方.程
方 n n 3 程 y 3 y n 1 n 2 1 是二阶非齐次线性差方分程,
方 n n 3 程 y 3 y n 1 0 是对应的齐次方程.
三、差分方程的解
定义10.3 如果将y已 n(知 n)代 函 入 数 (1方 06)程 使其 n0 对 ,1,2, 成为恒 ,则等 y称 n式 (n)为方
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教学心得
同样可以定义四阶差分、五阶差分，……
更一般地，函数 在 时刻的 阶差分(kth-orderdifference) （ 为整数）定义为其 阶差分的一阶差分，即
其中 。
二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分(higerdifference)。
说明，若函数中自变量的个数多于一个时，与定义偏导数相类似可定义多元函数的偏差分(partialdifference).
表.1
（月）
1
2
3
4
5
6
（万元）
80．5
161．5
234．4
324．8
407．9
490．5
（月）
7
8
9
10
11
12
（万元）
572．7
655．8
740．2
825．4
910
993．9
若记该公司在 月份的销售额为 ，则有
具体如表2所示：
表.2
（月）
1
2
3
4
5
6
（万元）
80．5
81．5
81．9
81．4
83．1
4差分的性质及运算法则
性质1： （ 为常数）
性质2：
更一般地有：
性质3：
特别地，当 （ 为常数）有
教学札记
教学心得
推论1：
一般地有，
推论2：
性质4：
5例题
例1设
求 。
6课后作业
教学札记
教学心得
82．6
（月）
7
8
9
10
11
12
（万元）
82．2
83．1
84．4
85．2
84．6
83．9
若记该公司在 月份相对于其前一月份的月增长额为 ，则有
具体如表3所示：
表.3
（月）
2
3
4
5
6
7
（万元）
0．5
0．9
-0．5
1．7
-0．5
-0．4
（月）
8
9
10
11
12
（万元）
0．9
1．3
0．8
-0．6
-0．7
例2假设某家庭开车外出旅行，每小时后记录下的里程表中读出的总的行程数 ，如表4所示：
称
为函数 在 时刻的一阶差分(first-orderdifference)，记作 ,即
依此定义有
称一阶差分 的一阶差分为函数 在 时刻的二阶差分(second-orderdifference)，记作 ,即
依二阶差分的定义有
注：二阶差分 中的上标 表示差分运算重复了两次，即差分算子 使用了两次。
依此类推，计算二阶差分的一阶差分，便可得到三阶差分(third-orderdifference)，记作 ，即
表4
(小时)
0
1
2
3
4
5
6
(公里)
22300
22322
22354
22403
22452
22481
22513
教学心得
若用 表示在第 小时所行驶的路程，则有
具体如表5所示：
表.5
(小时)
1
2
3
4
5
6
(公里)
22
32
49
49
29
32
2差分的定义
对于已知函数 ，其自变量 （通常表示时间）取离散的等间隔的整数值：
微积分教学设计
教学札记
教学对象：财经类，管理类等专业
教学内容：差分概念引入、差分的定义
差分的几何意义及经济意义
教学目的：理解差分的概念、几何及经济意义
教学方法：利用多媒体进行启发式教学
教学重点：对差分的定义及经济意义的理解
教学难点：高阶差分计算公式及计算高阶差分
教学过程
1. 差分概念的引入（引例）
例1已知某公司1999年前 个月的销售额 如表意义：
由差分的定义知：函数 在 时刻的一阶差分
其几何意义表示函数 上的点 与点 所在的直线的斜率（见图1）。
差分的经济意义：
设消费者在一定时间内消费某种商品 个单位时所产生的总的效用为 。当消费商品量由 个单位变为 个单位时，总效用的增加量为
表示该商品消费量为 个单位时的边际效用，即总效用 的一阶差分 的经济意义为：当消费量为 个单位时，再多消费一个单位的商品所产生的效用的增加，亦即消费第 个单位的商品所产生的效用。（如图2所示）