双曲线的定义及其基本性质
《双曲线的定义》 知识清单
《双曲线的定义》知识清单一、双曲线的定义平面内到两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，通常用$2c$表示。
需要注意的是，距离之差的绝对值要小于两焦点之间的距离。
如果距离之差的绝对值等于两焦点之间的距离，那么轨迹就是以两焦点为端点的两条射线；如果距离之差的绝对值大于两焦点之间的距离，那么轨迹不存在。
二、双曲线的标准方程1、焦点在$x$轴上的双曲线的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$a$表示双曲线的实半轴长，＄b$表示双曲线的虚半轴长，且$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$，焦点坐标为$F_1(c, 0)＄，＄F_2(c, 0)＄。
2、焦点在$y$轴上的双曲线的标准方程为：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），焦点坐标为$F_1(0,c)＄，＄F_2(0, c)＄。
三、双曲线的几何性质1、范围对于焦点在$x$轴上的双曲线$＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，＄x$的取值范围是$x ＼leq a$或$x ＼geq a$；＄y$的取值范围是$R$。
对于焦点在$y$轴上的双曲线$＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$，＄y$的取值范围是$y ＼leq a$或$y ＼geq a$；＄x$的取值范围是$R$。
2、对称性双曲线关于$x$轴、＄y$轴和原点都是对称的。
3、顶点双曲线有两个顶点。
对于焦点在$x$轴上的双曲线，顶点坐标为$（a, 0)＄和$（a, 0)＄；对于焦点在$y$轴上的双曲线，顶点坐标为$（0, a)＄和$（0, a)＄。
4、渐近线焦点在$x$轴上的双曲线$＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$的渐近线方程为$y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x$；焦点在$y$轴上的双曲线$＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$的渐近线方程为$y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x$。
平面解析几何的双曲线性质与像
平面解析几何的双曲线性质与像双曲线是平面解析几何中一个重要的曲线类型，它具有独特的性质和特点。
在本文中，我将介绍双曲线的一些基本概念和定义，并详细讨论它的性质以及如何确定双曲线的像。
一、双曲线的定义和基本性质在平面直角坐标系中，双曲线可以通过以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴长度。
双曲线具有以下基本性质：1. 双曲线是对称图形，关于x轴和y轴两者都对称。
2. 双曲线有两个分支，分别称为实部和虚部。
3. 双曲线的焦点与直角坐标系的原点之间的距离为c，满足a^2 = b^2 + c^2。
4. 双曲线的渐近线是两条直线，分别与实部和虚部分支无限地靠近但永远不会相交。
二、确定双曲线的像确定双曲线的像需要考虑以下几个要素：焦点、顶点、直角坐标系和平行线。
1. 焦点：双曲线的焦点对于确定双曲线的像至关重要。
焦点是双曲线上的两个特殊点，它们在x轴上与顶点的距离分别为ae和-be，其中e是双曲线的离心率。
通过确定离心率和焦点的位置，可以确定双曲线的形状和大小。
2. 顶点：双曲线的顶点是双曲线的中心点，也是双曲线的对称轴与垂直轴的交点。
通过确定顶点的位置，可以确定双曲线的中心位置。
3. 直角坐标系：在平面直角坐标系中绘制双曲线时，可以确定双曲线的位置和方向。
通过绘制直角坐标系，然后确定双曲线的中心和顶点的位置，可以绘制出双曲线的形状。
4. 平行线：平行线可以帮助确定双曲线的位置和大小。
通过绘制与双曲线的渐近线平行的直线，可以确定双曲线的近似位置和范围。
综上所述，通过确定焦点、顶点、直角坐标系和平行线，我们可以确定双曲线的像。
在确定了这些要素后，我们可以根据需要进行绘制并研究双曲线的性质和特点。
总结：双曲线是平面解析几何中重要的曲线类型，具有独特的性质和特点。
确定双曲线的像需要考虑焦点、顶点、直角坐标系和平行线等要素。
通过确定这些要素，我们可以确定双曲线的形状、大小和位置，从而深入研究双曲线的性质和像。
高中数学解析几何双曲线性质与定义
双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。
取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
双曲线函数的图像和性质
双曲线函数的图像和性质双曲线函数是一类常见的函数，其具有独特的图像和性质。
本文将介绍双曲线函数的定义、基本性质以及图像特点。
一、双曲线函数的定义双曲线函数是一类由双曲线函数定义域和值域的函数。
一般来说，双曲线函数可以表示为：y = a / x + b / x其中，a和b是实数。
这个函数在x=0处有一个垂直渐近线，同时在 x 趋近正无穷（＋∞）和负无穷（－∞）时也会有渐近线。
此外，这个函数的图像是对称于 y 轴的。
二、双曲线函数的图像特点双曲线函数的图像有一些独特的特点。
首先，它的图像是以原点为中心的对称曲线，因此很容易将该函数的图像分成四个象限。
其次，双曲线函数在 x 轴上有一个渐近线，图像会在该线上面趋近正无穷或负无穷，而在该线下面趋近于零。
另外，双曲线函数也有两个射线渐近线，分别为 y = a 和 y = -a，其中 a 为函数的正值。
这两个射线渐近线与 x 轴上的渐近线相交于原点。
最后，双曲线函数的图像类似于双曲线的形状，因此得名双曲线函数。
在图像的左右两个象限中，函数都会随着 x 的增大或减小而逐渐趋近于渐近线，但方向是相反的。
三、双曲线函数的基本性质双曲线函数具有很多基本的性质。
其中，最重要的是该函数的定义域和值域。
双曲线函数的定义域为除了 x=0 的所有实数，而值域则是除了y=0 的所有实数。
此外，双曲线函数的导数为：dy / dx = -(a+b) / x^2使用导数可以帮助我们更好地理解双曲线函数的图像以及其性质。
四、结论综上所述，双曲线函数是一类具有独特图像和性质的函数。
它的图像类似于双曲线，在 x=0 处有一个垂直渐近线以及两个射线渐近线。
除了对应值为零的 y 轴上的点外，该函数的定义域和值域分别为除 x=0 和 y=0 外的所有实数。
同时，其导数的解析式为 -(a+b) / x^2。
了解双曲线函数的图像和属性有助于我们更好地理解和解决数学和物理领域的相关问题，如电磁学中的静电场和磁场问题等。
椭圆与双曲线的基本概念与性质
椭圆与双曲线的基本概念与性质椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，它们具有不同的特点和性质。
在本文中，我们将介绍椭圆和双曲线的基本概念以及它们的性质。
一、椭圆的基本概念与性质椭圆是平面上的一条曲线，定义为到两个定点 F1 和 F2 的距离之和等于常数 2a 的点的集合。
这两个定点称为焦点，而常数 2a 称为椭圆的长轴长度。
椭圆的性质如下：1. 椭圆的离心率是一个小于1的正数，可以表示为 e = c/a，其中 c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的中心在原点(0,0) 处，长轴与x 轴平行，短轴与y 轴平行。
3. 椭圆关于 x 轴和 y 轴对称，且关于原点对称。
4. 椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于常数 2a。
5. 椭圆的周长可以通过长度公式C = 2πa(1 - e^2) 计算。
二、双曲线的基本概念与性质双曲线是平面上的一条曲线，定义为到两个定点 F1 和 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a 的点的集合。
这两个定点也称为焦点，常数 2a 称为双曲线的距离。
双曲线的性质如下：1. 双曲线的离心率是大于1的正数，可以表示为 e = c/a，其中 c 是焦点之间的距离。
2. 双曲线的中心在原点 (0,0) 处，与椭圆不同，双曲线的两个分支分布在 x 轴的两侧。
3. 双曲线关于原点对称。
4. 双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数 2a。
5. 双曲线的周长可以通过长度公式C = 2πa(1 + e^2) 计算。
三、椭圆与双曲线在实际中的应用椭圆和双曲线在实际中具有广泛的应用。
下面是两个常见的例子：1. 卫星轨道：卫星在地球上空的轨道通常是椭圆或双曲线，这是因为椭圆和双曲线都能够提供稳定的轨道。
2. 反射面：抛物线是由椭圆和双曲线扩展而来的，抛物面具有反射的特性，因此经常被用于望远镜、碟形天线等设备的设计中。
总结：椭圆和双曲线是数学中重要的曲线类型，通过定义、性质以及实际应用来理解它们。
椭圆和双曲线具有不同的形态特点，对应不同的数学模型以及实际应用场景。
双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
《双曲线》相关概念和性质
《双曲线》相关概念和性质
以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质.
分支
可以从图像中看出，双曲线有两个分支.当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴.
焦点
在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点.双曲线有两个焦点.焦点的横（纵）坐标满足
准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线.
离心率
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率.
离心率
双曲线有两个焦点，两条准线.（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线.但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的.）[3]
顶点
双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
实轴
两顶点之间的距离称为双曲线的实轴.实轴长的一半称为实半轴.
虚轴
在标准方程中令该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴渐近线
双曲线有两条渐近线.渐近线和双曲线不相交.
渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：则则双曲线的渐近线为顶点连线斜率
双曲线上一点与两顶点连线的斜率之积为。
双曲线的定义和性质
牢记这些特殊问题的解法
做完书上剩余习题
渐进线方程 双曲线:方程 双曲线 方程 ,
双曲线方程? 双曲线方程 ,渐进线 渐进线
[五]双曲线的第二定义即统一 五 双曲线的第二定义即统一 定义
[1]统一定义的文字表述 统一定义的文字表述: 统一定义的文字表述 [2]统一定义的符号表述 统一定义的符号表述: 统一定义的符号表述 [3]由统一定义可进行 距离与 距离的转化 由统一定义可进行~距离与 由统一定义可进行 距离与~距离的转化 即焦半径公式
[4]顶点 实轴 ；虚轴端点 ，虚轴 顶点:实轴 顶点 [5]渐近线 渐近线: 渐近线 [6]基本元素 基本元素: 基本元素 1)基本量及关系式 基本量及关系式: 基本量及关系式 2)基本点 基本点: 基本点 3)基本线 基本线: 基本线
[1]双曲线的几何性质的研究方法与椭圆相同 双曲线的几何性质的研究方法与椭圆相同 [2]基本元素是每个双曲线都具备的 基本元素是每个双曲线都具备的 [3]基本元素之间的关系只有一个与椭圆不同 基本元素之间的关系只有一个与椭圆不同
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定义
标准方程
几何性质
特殊问题
已经学过的方面
统一定义
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[一]双曲线的定义 一 双曲线的定义
[1]双曲线定义的文字表述 双曲线定义的文字表述: 双曲线定义的文字表述 平面上到两个定点(F1 ,F2)的距离的差的绝对 平面上到两个定点 的距离的差的绝对 值是常数(小于 的点的轨迹是双曲线. 值是常数 小于 F1F2 )的点的轨迹是双曲线 的点的轨迹是双曲线 [2]双曲线定义的符号表述 双曲线定义的符号表述: 双曲线定义的符号表述
二 双 曲 线 标 准 方 程
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双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义：
（1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜
2
1F F ）的点的轨迹。
两定点叫双曲线的焦点。
a PF PF 221=-＜2
1F F
（2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的方程：
双曲线标准方程的两种形式：
，焦
（3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ，通径长EF ＝
a
b 2
2
（4）有两条准线，c a x l 21:-=c
a x l 2
2:=
四、双曲线的渐近线：
（1）若双曲线为12222=-b y a x ⇒渐近线方程为x a
b
y ±=，
（2）若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则可设此双曲线为λ=-22
22b
y a x ，
（3）特别地当a=b 时⇔2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线
五、共轭双曲线：
双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11
122=+B
A e e 。