圆锥曲线常用8种解法、7种常规题型与性质
巧用八种几何性质解决圆锥曲线问题
巧用几何性质求解圆锥曲线问题一．圆锥曲线定义与几何意义结合例题1 如图，12(,0),(,0)F c F c -分别为双曲线2222:1(,0)x y a b a bΓ-=>的左、右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ,设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A 、B 两点（A 、B 位于线段1F P 上），若1::2:2:1F A AB BP =,则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．5B 265C ．2623D ．263【解析】连接2AF ，2BF ，设||BP x =则1||||2F A AB x ==，即1||5PF x =，||3PA x =， 根据双曲线定义可知，12||||2BF BF a -=即21||||242BF BF a x a =-=-21||||2AF F A a -=即21||2||22AF a F A a x =+=+，直线l 与圆222()x c y r -+=相切于点P ，∴21PF PF ⊥，在12Rt F PF ∆中22222222121||||||(2)(5)425PF F F PF c x c x =-=-=-①在2Rt APF ∆中222222222||||||(22)(3)458PF AF PA a x x a x ax =-=+-=-+② 在2Rt BPF ∆中222222222|||B |||(42)()15416PF F PB x a x x a ax =-=--=+-③②③联立得222245815416a x ax x a ax -+=+-，即65x a =①②联立得2222425458c x a x ax -=-+即22244208c a x ax =++④将65x a =代入④，即222664420855c a a a a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得22535c a =即225326555c c e a a ====，选B巩固1 已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=- 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C ，415CP ∴=+=，()min514MA MF ∴+=-=，选B二．余弦定理在圆锥曲线中的应用例题2 如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c P -是椭圆C上一点，O 为坐标原点，若1260F PF ∠=，且223PO a =，则椭圆C 的离心率是A ．22B ．32C ．63D ．23【解析】设12,PF m PF n ==.由椭圆的定义，得2m n a +=，① 在12PF F △中，由余弦定理，得2222cos60(2)m n mn c ︒+-=，②2-①②得：()2234mn a c =-，③将③代入②，得22224833m n a c +=+ 在1POF 中，由余弦定理，得2221||2||cos PO c PO c FOP m +-⨯⨯∠=，④ 在2POF 中，由余弦定理，得2222||2||cos PO c PO c F OP n +-⨯⨯∠=，⑤④+⑤，得2222222216482||22933a m n PO c c a c +=+=+=+，化简，得2223a c =，故6e =，选C 三．圆锥曲线定义的灵活应用例题3 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，若四边形2AOBF 为菱形，则双曲线E 的离心率为（ ）A 31B 3C 2D 21【解析】如图，∵四边形2AOBF 为菱形，∴22||AF OA OF c === 又∵12F F 是圆O 的直径，∴1290F AF ∠=︒，∴()22123AF c c c =-=∴由双曲线的定义可得：122(31)AF AF a c -==-，∴3131e ==-，选A 巩固2 设点P 是以1F ，2F 为左、右焦点的双曲线2222 1(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，且满足120PF PF ⋅=，直线1PF 与圆2224a x y +=有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．32B 32C 10D 10【解析】如图所示1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，∴()1,0F c -，()2,0F c ，120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥直线1PF 与圆2224a x y +=有且只有一个公共点，∴直线1PF 与圆2224a x y +=相切，设切点为E∴1OE PF ⊥，∴2OE PF ，又O 为12F F 的中点，∴E 为1PF 的中点，22PF OE a ==又1OF c =，2a OE =，∴2214a F E c =-，根据双曲线定义，222224a PF PF c a a -=-=解得10c e a =，选D 四．圆锥曲线几何意义与不等式练习例题4 直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．7【解析】由抛物线标准方程可知p =2因为直线l 过抛物线24y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知1121AF BF p+== 所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭因为AF BF 、为线段长度，都大于0，由基本不等式可知 444152BF AF BF AFAF BF AF BF ⎛⎫+++≥+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭522≥+⨯=9，此时2BF AF =，选B 巩固3 已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）左支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，M 为虚轴的一个端点，若2||MP PF +的最小值为12F F ，则C 的离心率为（ ）A ．262+ B ．26+C ．426+ D ．46+【解析】21||||2MP PF MP PF a+=++221222MF a b c a c +=++=即22222c a a c -+=，化简得222850c ac a -+=，即22850e e -+= 解得462e +=或462e -=，所以462e +=，选C 巩固4 已知点()4,2M --，抛物线24x y =，F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线，P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ 的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ） A ．125+B ．25C ．17D ．5【解析】根据抛物线定义得PF PQ =，1l FQ ⊥，则1l 为FQ 的垂直平分线FR RQ ∴=，()224125QR MR FR MR FM ∴+=+≥=++=,选D五．向量几何意义与圆锥曲线 例题5M 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且120MF MF ⋅=，直线2MF 交y 轴于点N .若1NF M △的内切圆的半径为b ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．3【解析】如图所示：因为120MF MF ⋅=，所以三角形1F MN 为直角三角形故它的内切圆半径111222MF MN NF MF MN NF r +-+-==121222MF MN MN MF MF MF a b +---====所以2e =,选A巩固5 过双曲线()222210x y a b a b-=>>右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，若0OA AB ⋅=，O为坐标原点，且OAB 内切圆半径为31a -，则该双曲线的离心率为( ) A ．233B ．3C ．433D ．31+【解析】因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线OF 上 过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ， 由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =， 所以OA a =，31NA MN ==- 所以3133NO OA AN a =-=--=， 所以tan 3MN b AOF a NO =∠== 得2231b e a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭选A巩固6如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA 在OF 方向上的投影为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】由圆2C 与y 轴相切可知，12p = ，解得2p =，所以21:4C y x =，()222:11C x y -+= 由题意知，()1,0F ,设()()1122,,,A x y D x y 直线:AD 1x my =+，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，即2440y my --= 由韦达定理知，124y y m +=，124y y =-，则()21212242x x m y y m +=++=+，()21212116y y x x ==因为||||AB BD =，则()221,2B m m +，代入2C 得，424410m m +-=，解得2212m = 因为()()1212,,1,0DA x x y y OF =--=，所以DA 在OF 方向上的投影为()2212121221442422DA OF x x x x x x OF ⎛⎫⋅-=-=+-=⨯+-= ⎪⎝⎭，故选A巩固7 已知F 1，F 2分别为椭圆22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且（OP ＋2OF ）·2F P ＝0，｜1PF ｜＝2｜2PF ｜，则该椭圆的离心率为A ．55B ．54C ．53D ．52【解析】如图，取P F 2的中点A ，连接OA ，∴2OA =2OF +OP ，且OA =112F P ，1 O A F P ，又∵（OP ＋2OF ）·2F P ＝0， ∴OA ⊥2F P ，又1OA F P ，∴1PF ⊥2F P ，∵122PF PF =，不妨设|P F 2|=m ，则|P F 1|=2m ∵|P F 2|+|P F 1|=2a =3m ，∴|F 1F 2|=4c 2=m 2+(2m )2=5m 2，∴a c =5，∴e =5，故选C 六．三角形的心在圆锥曲线中例题6 已知14m <<，12,F F 为曲线22:144x y C m+=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-，在第一象限的交点,直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若12F PF △的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点N 横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】如图由椭圆的性质可知，PN 为12F PF ∠外角的角平分线，以N 为圆心作圆与12,PF PF ，x 轴分别相切于,,Q R E所以11121222FQ F E F P PQ c EF F P PR c RF =⇒+=+⇒+=+ ()1222222222F P PR RF c RF a c RF RF a c ⇒++=+⇒=+⇒=-所以2EF a c =-，E x a =，2E N a x x ===，选B巩固8 .平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B .若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为______【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =，则OB 所在的直线方程为by x a=- 解方程组2{2by x a x py ==得：222{2pbx apb y a==，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 抛物线的焦点F 的坐标为:0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，因为F 是ABC ∆的垂心，所以1OB AF k k ⋅=- 所以2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫- ⎪-=-⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2222293142c b e e a a ==+=⇒= 巩固9 已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，如图AB 是过1F 且垂直于长轴的弦，则2ABF 的内切圆半径是________【解析】设2ABF 内切圆的半径为r ，由椭圆的方程22162x y +=其中6a =2b =222c a b -，1224F F c ==因为AB 是过1F 且垂直于长轴的弦则有222116AF AF -=，122AF AF a +==1AF =，2AF =2ABF 的周长22l AF BF AB =++==面积121142233S AB F F =⨯⨯=⨯=，由内切圆的性质可知，有123r ⨯=，解得23r = 故2ABF 内切圆的半径为23七．斜率的几何意义问题例题7 若实数x ，y 满足222210x y x y +--+=，则42y x --的取值范围为（ ）． A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．4,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】令42y t x -=-，则24y tx t =-+，联立22242210y tx t x y x y =-+⎧⎨+--+=⎩消失y 得2222(1)(642)41290t x t t x t t ++--+-+=由题意该方程有解∴2222(642)4(1)(4129)0t t t t t ---+-+≥，解得43≥t ，选B 巩固10 已知在平面直角坐标系中，椭圆221:195x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ．直线l ：()()()2121m y m x y m R -+-=+∈交椭圆于P ，Q 两点，直线1A P 和直线2A Q 相交于椭圆外一点R ，则点R 的轨迹方程为_______________．【解析】因为()()()2121m y m x y m R -+-=+∈，所以(22)10m y x x y --+--=由22010y x x y --=⎧⎨--=⎩得1x y =⎧⎨=⎩，故直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0 设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y联立椭圆方程，得22(59)10400t y ty ++-=则>0∆，1212224010,,5959ty y y y t t --=+=++，()12124y y y y t+=由1,,A P R 三点共线可得1133y y x x =++，由2,,A Q R 三点共线可得2233y y x x =-- 两式相除可得121222213(3)(2)3(3)(4)x y x y ty x y x y ty ---===+++12121224ty y y ty y y -+()()121122421424y y t y t y y t y t+⋅-==+⋅+，解得9x = 所以点R 在定直线9x =上，故点R 的轨迹方程为9x = 八．阿波罗尼斯圆的应用例题8 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >，1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P满足PA PB =222PA PB +的最大值为（ ） A．3+B．7+C．8+D．16+【解析】以AB 中点为原点，AB 所在直线为x 轴，则()1,0A -，()10B , 设(),P x y，所以由PAPB==()2223x y -+=()222222212PBP PA B x y +⎡⎤==-+⎣⎦其中()221x y -+看作是圆()2223x y -+=上的点(),x y 到点()1,0的距离的平方， 所以其最大值为(214=+，所以222PA PB+的最大值为(248+=+ C巩固11 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比||||MQ MP λ=(0,1)λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点(1,1)B ，则2||||MP MB +的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．10 D．11【解析】C 设(),0Q a ，(),M x y ，根据||||MQ MP λ=和221x y +=求出a 的值 由2||||||||+=+MP MB MQ MB ，两点之间直线最短，可得2||||MP MB +的最小值为BQ 根据坐标求出BQ 即【详解】设(),0Q a ，(),M x y ，所以()22=-+MQ x a y由1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2212⎛⎫=++ ⎪⎝⎭PQ x y ，因为||||MQ MP λ=且2λ=，所以()2222212-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭x a y x y整理可得22242133+-++=a a x y x ，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以24203113a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2a =-，所以()2,0Q -，又=2||MQ MP 所以2||||||||+=+MP MB MQ MB因为(1,1)B ，所以2||||MP MB +的最小值为()()22121010=++-=BQ巩固12 阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知()3,0A ，()0,0O ，若直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则实数c 的取值范围是（ ）A ．()7,13-B ．[]7,13-C ．()11,9-D ．[]11,9-【解析】点M 在直线340x y c -+=上，不妨设点M 的坐标为3,4x c x +⎛⎫⎪⎝⎭由直线340x y c -+=上存在点M 满足2=MA MO ，则()2222333444x c x c x x ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦整理可得()2225632480x c x c +++-=()()22632100480c c ∆=+--≥()()269101370713c c c c c ⇒--≤⇒-+≤⇒-≤≤所以实数c 的取值范围为[]7,13-，选B。
巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)2025年新高考数学一轮复习
巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 (2)【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】 (3)【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 (3)【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】 (4)【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】 (5)【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】 (5)【题型7 函数法求离心率或其范围】 (6)【题型8 坐标法求离心率或其范围】 (7)1、巧解圆锥曲线的离心率问题从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.【知识点1 圆锥曲线的离心率】1．椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e.(2)离心率的范围：0<e<1.(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，.2．求椭圆离心率或其取值范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:(1)直接求出a, c求解.(2)由a与b求解.(3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.3．双曲线的离心率(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.(2)双曲线离心率的范围：e>1.(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e.4．求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.5．抛物线的离心率抛物线的离心率e =1.【知识点2 离心率的范围问题的求解方法】1．不等式法求离心率的范围(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解.2．函数法求离心率的范围(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.3．坐标法求离心率的范围根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为(4,0),(―4,0)，点(4,―6)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A B．3C．2D【变式1-1】（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（）A B C D【变式1-2】（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，M为C的顶点，若△MF1F2的内心和重心重合，则C的离心率为（）A B C．12D．13【变式1-3】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，若C上存在点P，使得|PF1|=3|PF2|C的离心率的取值范围为（）A．+∞)B．C．[2,+∞)D．(1,2]【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】【例2】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线x2a2―y2b2=1(a,b>0)上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．+∞)B．+∞)C．(2,+∞)D+∞【变式2-1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y26=1(a>0)的左、右焦点，过点F1的直线交C于A,B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为8，则C的离心率为（）.A B C D．12【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线E:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0),F,A分别为E的右焦点和左顶点，点M(―2,3)是双曲线E上的点，若△AMF的面积为92，则双曲线E的离心率为（）A B ．2C D 【变式2-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知F 1,F 2是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，若E 上存在不同的两点A,B ，使得F 1A =E 的离心率的取值范围为（ ）A ．―1)B ．1]C ．(3―D ．[3―【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】【例3】（2024·广东深圳·二模）P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）上一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，PF 1⋅PF 2=0，点Q 在∠F 1PF 2的平分线上，O 为原点，OQ∥PF 1，且|OQ |=b ．则C 的离心率为（ ）A ．12B C D 【变式3-1】（2024·江西南昌·三模）已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 2作直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为10b ，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A B C ,2D ．[2,+∞)【变式3-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C ：x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)，O 为坐标原点，F 1、F 2分别为C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且PF 2⊥x 轴，M 在∠F 2PF 1外角平分线上，且F 2M ⋅PM =0.若|OF 2|=|F 2M |，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，直线l:y =12(x +a )与椭圆C 交于A,B 两点（B 点在A 点上方），O 为坐标原点，以O 为圆心，|OB |为半径的圆在点B 处的切线与x 轴交于点D ，若∠BDA >∠BAD ，则C 的离心率的最大值为（ ）A ．13B ．12C D 【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】【例4】（2024·广西桂林·模拟预测）已知F 1、F 2是双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，且|PF 1|2+|PF 2|2=8b 2，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．53B ．54C D 【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）设A,B 分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右顶点，M 是C 上一点，且|MA |:|MB |:|AB |=3:5:7，则C 的离心率为（ ）A ．35B ．37C D 【变式4-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点A ，B 分别在双曲线C 的左，右支上.若F 1B =6F 1A ，AF 2⊥BF 2，且|AF 2|>|BF 2|，则双曲线的离心率为（ ）A ．175B ．135C D 【变式4-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2，O为坐标原点，过F 1作C 的一条渐近线的垂线，垂足为D ，且|DF 2|=OD |，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D ．3【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】【例5】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知点F 1是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点，过原点作直线l 交椭圆于A 、B 两点，M 、N 分别是AF 1、BF 1的中点，若∠MON =90∘，则椭圆离心率的最小值为（ ）A ．14B C ．12D 【变式5-1】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a 2―y 2b 2=1（a >0，b >0）的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若|MF 2|2|MF 1|的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．(2,4]C ．(1,3]D ．(3,5]【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．(1,3)C ．(1,3]D ．(2,4)【变式5-3】（2024·河南·二模）从椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)外一点P (x 0,y 0)向椭圆引两条切线，切点分别为A,B ，则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线，其方程为x 0xa 2+y 0y b 2=1.现有如图所示的两个椭圆C 1,C 2，离心率分别为e 1,e 2，C 2内含于C 1，椭圆C 1上的任意一点M 关于C 2的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则e 21―e 22的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．14【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】【例6】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C 1：x 2m 2+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2―y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．e 1e 2>2B ．e 1+e 2>2C ．0<e 1e 2<2D ．0<e 1+e 2<2【变式6-1】（2024·山东菏泽·二模）已知e 1,e 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和双曲线x 2a 2―y 2b 2=1的离心，则e 2e 1的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆C 1:x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0)与双曲线C 2:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)有共同的焦点F 1,F 2，点P 为两曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2=60∘，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，那么e 21+e 22最小为（ ）A B C D 【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＞|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1+e 22的最小值为（）A ．8B ．6C ．4D ．2【题型7 函数法求离心率或其范围】【例7】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在椭圆Γ上，且PF 1⋅PF 2=0．若|PF 1||PF 2|∈[1,3]，则椭圆Γ的离心率的取值范围是（ ）A B C D ―【变式7-1】（2024·河北邯郸·二模）已知直线l ：abx ―(4a ―1)y +m =0(a ＞14)与双曲线x 2a 2―y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 为直角三角形，则双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A B C ．2D 【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知Q 是椭圆M:x 29+y 2b 2=1(0<b <3)上的动点，若动点Q 到定点P (2,0)的距离|PQ |的最小值为1，则椭圆M 的离心率的取值范围是（ ）A B ．0,C D ．【变式7-3】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)，F 1，F 2为C 的左、右焦点，B (0,4b )，直线BF 2与C 的一支交于点P ，且|BP ||PF 2|=λ(λ≥1)，则C 的离心率最大值为（ ）A B ．2C ．D ．【题型8 坐标法求离心率或其范围】【例8】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知A,F 分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点和左焦点，直线y =kx 与椭圆交于B,C 两点，若直线CF 交线段AB 于M,AM =13AB ，则椭圆的离心率为（ ）A B ．12C D 【变式8-1】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知双曲线C:x 2―y 2b 2=1(b >0)，点P (2,0),Q (3,0)，若C 上存在三个不同的点M 满足|MQ |=2|MP |，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．+∞)D ．+∞)【变式8-2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P (0,m )(m >b )，线段PF 1，PF 2分别交E 于A ,B 两点，过点B 作E 的切线交PF 1于C ，且⃗BC ⋅⃗PF 1=0,⃗PB =2→BF 2，则E 的离心率为（ ）A ．12B C D 【变式8-3】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线C ：x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(―c,0)，F 2(c,0)，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点B ，且|F1F2|=2|OB|（O为坐标原点）.下列三个结论正确的是（）①B的坐标为(a,b)；②|BF1|―|BF2|>2a；③若AB=3F1A，则双曲线CA．①②B．②③C．①③D．①②③一、单选题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2=90∘,∠PAF2=45∘，则椭圆E的离心率为（）A．57B C．2―D12．（2024·四川雅安·三模）设F1,F2分别为双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点M，交y轴于点N，且F2为线段MN的中点，并满足F1M⊥F1N，则双曲线C的离心率为（）A B+1C．2D3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1⋅AF2=0，AF2=2F2B，则椭圆E的离心率为（）.A B C．34D．354．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)，F1(―c,0)、F2(c,0)分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段PF1与y轴交于点E，|PO|=|PF2|，线段EF2的中点H满足F1H⋅PF2 =0，则双曲线的离心率为（）A B C．7+D．7―5．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0,b)满足FB⋅AB=0，则椭圆的离心率等于（）A B C D6．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1,F2,P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，且∠F1PF2=π3，其离心率分别为e1,e2，则3e21+e22的最小值为（）A．3B．4C．6D．127．（2024·河南濮阳·模拟预测）点M 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P,Q 两点，若△PQM 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(2―BC,1D8．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l ：x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与E 的渐近线交于M 、N 两点，若S MON ≥2，则 E 的离心率的取值范围是（ ）A 2BC ．D ．[ ，2]二、多选题9．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=4|PF 2|，其中F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）A ．12B．35C ．56D 110．（2024·河南信阳·模拟预测）已知双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(―c,0),F 2(c,0)，直线l:bx +ay ―bc =0与C 相交于点M ，与C 的一条渐近线相交于点N,C 的离心率为e ，则（ ）A ．若NF 1⊥NF 2，则e =2B ．若MF 1⊥MF 2，则e =C ．若|NF2|=2|MF 2|，则e =D ．若|MF1|≥5|MF 2|，则e ≤11．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线C:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为点F 1,F 2，斜率为正的渐近线为l 1，过点F 2作直线l 1的垂线，垂足为点A ，交双曲线于点P ，设点M 是双曲线C 上任意一点，若|PF 2|=23|AF 2|,S △PF 1F 2=43，则（ ）A ．双曲线CB ．双曲线C 的共轭双曲线方程为y 2―x 24=1C ．当点M 位于双曲线C 右支时，|MF 1||MF 2|∈D ．点M 到两渐近线的距离之积为45三、填空题12．（2024·山东济南·三模）已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，点P为椭圆上一点，O为坐标原点，△POF2为正三角形，则该椭圆的离心率为.13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线x2a2―y2b2=1(a,b>0)，F1，F2为双曲线的左右焦点，过F1做斜率为正的直线交双曲线左支于A(x1,y1)，B(x2,y2)(y1<y2)两点，若|AF1|=2a，∠ABF2=90°，则双曲线的离心率是．14．（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上关于原点对称的两点，点P在第一象限，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，|OP|=|OF2|，若|QF1||PF1|≥C的离心率的取值范围为.四、解答题15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线C:x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x225+y25=1共焦点，点M、N分别是以椭圆半焦距为半径的圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限的交点，若点E(0,3)满足ME⊥ON，（O为坐标原点），(1)求双曲线的离心率；(2)求△OMN的面积.16．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A 1,(1)若椭圆E 的离心率e ∈b 的取值范围；(2)已知椭圆E 的离心率e =M ，N 为椭圆E 上不同两点，若经过M ，N 两点的直线与圆x 2+y 2=b 2相切，求线段MN 的最大值.17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线E:x 2a 2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点是A(―1,0)，一条渐近线的方程为y =x ．(1)求双曲线E 的离心率；(2)设直线y =12x ―12与双曲线E 交于点P ，Q ，求线段PQ 的长．18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，过A且斜率为k(k>0)的直线交y轴于点M，交C的另一点为P．(1)若k=13,MA=2PM，求C的离心率；(2)点Q在C上，若PA⊥QA，且tan∠PQA=8，求k的取值范围．19．（2024·上海·三模）已知双曲线Γ：x2a2―y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2．(1)若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：(2)若b=4，双曲线Γ左支上任意点T均满足|TF1|≥2a，求a的最大值；(3)若双曲线Γ的左支上存在点P、右支上存在点Q满足|FP1|=|PQ|=|QF2|，求Γ的离心率e的取值范围．。
圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)
圆锥曲线解题方法技巧归纳一、知识储备:1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
(2 )与直线相关的重要内容(3 )弦长公式直线y kx b 与圆锥曲线两交点 A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)间的距离:AB 1 k 2 X 1 X2I ,：(1 k 2 )[(x1 X 2)4x 1X 2]或 AB(若A 点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。
)(4)两条直线的位置关系① l 1 l 2 k 1 k 2 =-1 ② h 〃l 2 k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式(三种形式)2 2x y —1(m 0,n 0 且 m n) m n距离式方程：.(x c)2y 2 , (x c)2 y 22a参数方程：x a cos , y bsin (2)、双曲线的方程的形式有两种2 2标准方程：——1(m n 0)m n①倾斜角与斜率k tan , [0,)②点到直线的距离Ax o By 。
C .■ A 2 B 2③夹角公式：tan 1 k 2k 1④两直线距离公式I CT -C S I标准方程:参数方程：u 二atane , y = b⑶、三种圆锥曲线的通径⑹、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x 轴上时为a ex o ；焦点在y 轴上时为a ey 0 ,可简记为“左加右减，上加下减”。
(2)双曲线焦点在x 轴上时为e|X o | a(3)抛物线焦点在x 轴上时为|X i | $焦点在y 轴上时为|%|(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形 二、方法储备 1点差法(中点弦问题)2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办?设直线的方程，并且与曲线的方程联立， 消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判 别式 0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 A(x ,, y 1), B(x 2, y 2), 将这两点代入曲线方程得到 ①②两个式子，然后01 -②，整体消元•母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点椭圆：空；双曲线: a 竺；抛物线：2pa⑷、 圆锥曲线的定义 ⑸、 焦点三角形面积公式:P 在椭圆上时，S F 1PF 2P 在双曲线上时，S F 1PF 2(其中F 1PF 2,cos 卅护b 2cot —2,P F 1?P F 2|P F1设A X i , y i 、B X 2, y2 ,yi 为椭圆专+詈二L ab的弦AB 中点则有x 1 x 2 x 1X 2Vi T =1;两式相减得y 1 y 2 屮 y_K AB =，若有两个字F共线解决之。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的重要概念，也是高中数学中的重要内容之一。
在高考中，圆锥曲线问题往往是考查学生分析能力、解题技巧和数学理论应用能力的重要内容。
圆锥曲线问题包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等内容，这些问题在高考中的常见题型有很多，下面我们就来总结一下圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。
一、圆锥曲线的常见题型1. 求解圆锥曲线的焦点、直径等坐标问题2. 求圆锥曲线与坐标轴的交点3. 求圆锥曲线的参数方程4. 求解圆锥曲线的切线方程5. 求解圆锥曲线的渐近线方程6. 判断点是否在圆锥曲线内部或外部等问题这些都是高考中经常出现的圆锥曲线的题型，考查学生的代数计算、几何推理、参数方程应用等多方面的数学能力。
二、解题技巧1. 确定圆锥曲线的类型在解题时首先要明确圆锥曲线的类型，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
这样可以根据具体的类型选择相应的解题方法，避免盲目求解导致错误。
2. 利用几何的方法辅助求解对于椭圆、双曲线等圆锥曲线，可以利用几何的方法来辅助求解，比如通过图形性质来确定焦点、直径等坐标，利用图形的对称性质来求解切线方程等。
3. 转换坐标系有些圆锥曲线问题在直角坐标系中比较复杂，但是如果将坐标系进行适当的旋转、平移或变换，可能会使问题更易于求解。
将坐标系转换成合适的坐标系是解决问题的有效方法之一。
4. 参数化求解对于一些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来进行求解，将问题转化成参数方程的形式，有时会使问题变得更加简单。
5. 利用数学工具软件辅助求解在解题过程中，可以利用数学软件来辅助求解，比如利用计算机绘制图形、求解方程等，可以帮助理清思路、验证结果，并避免繁琐的计算错误。
三、举例分析以下举一个常见的圆锥曲线问题作为例子进行分析：已知椭圆的方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]求椭圆的焦点坐标及渐近线方程。
圆锥曲线解题技巧和方法综合讲义
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的情况讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧」、常规七大题型:(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法) ：设曲线上两点为(x^yj，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。
2 2如：(1)笃每1(a b 0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x o,y o)，则有a bX o~~2 a匹kb2k2x(2) 2a2与1(a 0,b 0)与直线I相交于A B,设弦AB中点为M(x o,y o)则有bxoa(3)y2=2px( p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x o,y o),则有2y o k=2p,即y o k=p.典型例题2给定双曲线X2七1。
过A(2，“的直线与双曲线交于两点p1及p2，求线段P1 P2的中点P的轨迹方程。
(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
2 2典型例题设P(x,y)为椭圆x y2 21上任一点，只(c,o)，F2(c,o)为焦点,PF1F2 PF2F1(2)求|PF 『 PF 2I 3的最值。
(3) 直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想， 通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程y 2 p(x 1) (p 0)，直线x y t 与x 轴的交点在抛物线准线的右边。
(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A 、B ,且0A 丄0B,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
(4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
圆锥曲线大题题型归纳
圆锥曲线大题题型归纳圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1.待定系数法：设定直线方程中的系数，求出标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；2.齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3.XXX定理法：将直线与曲线方程联立，设交点坐标而不求，用韦达定理进行转化。
需要注意的是，如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而可以直接计算出两个根；4.点差法：解决弦中点问题，设定端点坐标但不求解。
也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5.距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化为水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1.“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2.“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3.证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4.证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5.有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6.大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1、已知F1,F2分别是双曲线3x^2-5y^2=75的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积。
变式2、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点。
1）求|PF1|÷|PF2|的最大值；2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为100b^2，求b的值。
数学圆锥曲线题解题技巧方法总结
数学圆锥曲线题解题技巧方法总结圆锥曲线最值问题从方程与曲线着手，反映了数学问题中的数与形的密切关系，这类问题涉及的数学知识较多，解题方法灵活。
下面是小编为大家整理的关于数学圆锥曲线解题技巧，希望对您有所帮助!圆锥曲线解题技巧题型一：求曲线方程<1>曲线形状已知,待定系数法解决<2>曲线形状未知，求轨迹方程题型二：直线和圆锥曲线关系把直线方程代入到曲线方程中，解方程，进而转化为一元二次方程后利用判别式、韦达定理，求根公式等来处理(应该特别注意数形结合的思想)题型三：两点关于直线对称问题求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。
题型四：两直线垂直斜率相乘等于-1题型五：中点弦问题点差法：设曲线上两点为(X1,Y1)，(X2,Y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(注意斜率不存在D的情况讨论)，从而消去四个参数。
题型六：焦点三角形椭圆或双曲线上一点和其两个焦点构成三角形，多用正余弦定理解决问题。
题型七：最值问题(求范围)<1>若命题条件和结论有几何意义，可用图形性质来解答。
<2>若命题条件和结论有函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。
圆锥曲线大题解题技巧首先，我们要知道直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用。
其次当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”。
典型例题1：研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解。
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圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解） 总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k by a x 。
(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 20++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·||12a k △·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……6、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。
如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。
除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y 1-1,y 1） （2）斜率为参数当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
7、代入法中的顺序这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。
不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。
八、充分利用曲线系方程法 一、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,为 。
分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。
（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。
解：（1）（2，2）连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时AF 的方程为)1(13024---=x y 即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为(2,21-)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）（2）（1,41） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=41，∴Q(1,41) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例2、F 是椭圆13422=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。
（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '解：（1）4-5设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。
（2）作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=21， ∴PH PF PH PF ==2,21即 ∴PH PA PF PA +=+2当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142=-=-A x ca 例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,轨迹方程。
分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：图中的A 、M 、C 共线，B 、D 、M 共线）。
列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MD MC =）。
解：如图，MD MC =，∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA （*）∴点M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b 2=15轨迹方程为1151622=+y x 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4)1()1(2222=+-+++y x y x ，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程。
分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。
解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=-即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x 1,x 12)，B(x 2，X 22)，又设AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（2）M 到x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。
解法一：设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，AB 中点M(x 0，y 0)则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-+-0222102122221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④ 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得 [(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9∴220041944x x y +=-， ≥,5192=- 450≥y 当4x 02+1=3 即 220±=x 时，45)(min 0=y 此时)45,22(±M 法二：如图，222+=AA MM ∴232≥MM ， 即411≥+MM ∴451≥MM ， 当AB ∴M 到x 轴的最短距离为45 点评：① ② ③定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB 是否能经过焦点F ，而且点M 的坐标也不能直接得出。
二、韦达定理法【典型例题】例6、已知椭圆)52(1122≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A 、B 来源于“不同系统”，A 在准线上，B 在椭圆上，同样C 在椭圆上，D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x 轴上，立即可得防此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。