2010年苍南县“姜立夫”杯数学竞赛高一试卷

1 2
5 7 a
2 9
7
8 8 6 1 9 4 7 5 9 3 6
3 5
5
2 7
1 2
b
2 8 4
6 7 2 8
3
6
2
9
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x 14．设函数 f ( x ) 2 1 的定义域为 S {x m x l} ，值域为 T ，且 S 满足：当 x S 时，
有 x S 。给出以下命题，其中正确的命题是
2
（填写相应序号）
①0T ； ③ T 不可能是单元素集
②若 a 1 ，则方程 f ( x) a 无解； ④不存在 区间 (a, b) S ，使得 f ( x) 在该区间为减函数 ．．．
三、解答题（本大题共 3 小题，第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写出必 要的解答过程）
16． （1）证明：令 x y 0, 则f (0) f (0) f (0),故f (0) 0 令 y x, 则f ( x) f ( x) f (
xx ) f (0) 0, 1 x2
-----------(4 分）
f ( x) f ( x) ，即函数 f ( x) 是奇函数.
只要 m2 2am 1 >1,即 m -2am>0 对所有 a 1,1 恒成立
2
令 g(a)= m -2am=-2ma+m ,要使 g(a)>0 对所有 a 1,1 恒成立,则
2 2
2 2m (1) m 0 2 2 m 1 m 0
1．若全集 U＝R，集合 A x log 1 x

2
1 ，则 cu A = 2
1 4
( ▲
)
A． ( , ) B． (,
1 4
2 ) 2
C． ( ,0] U ( , )
D． (,0] U (
2 ,) 2
2．函数 f x
4x 1 是 2x
∴ m ( , 2)∪(2, )
-----------(4 分）
17.解： （1） 当 K 4,
g K ( x) { 2
2 , x 2 x , 2 x 2
， 结合函数图象容易得单调增区间为 [0,) -----------(4 分）
x
（2）若 K 1, g K ( x) f ( x) ，在区间 (0,) 为增函数
-----------(2 分）
若 1 K 4, 函数 y x 2 2( K 4) x ( K 4)(K 3) 的对称轴在 y 轴右侧， 函数 g K ( x) 不可能在区间 (0,) 为增函数 若 K 4 ,由（1）可知，函数 g K ( x) 在区间 (0,) 为增函数 -----------(2 分）
x y ) f ( x) f ( y ) ， 1 xy
1 2
1 2
4 4 , , a 1,1 恒成立 , 求实数 m 的取值范 5 5
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5
17.
函
数
f ( x) 2
x
，
对
于
任
意
的
实
数
K,
定
义
函
数
gK ( x) { 2
f ( x ), f ( x ) K
( ▲ ) D. 既是奇函数又是偶函数 ( ▲ ) D． a b c ( ▲ )
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既不是奇函数又不是偶函数 3. 设 a log1 2, b log 1 3, c ( )
3 2
1 2
0.3
，则 C． b c a
A． b a c
B． a c b
---------(2 分）
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7
（3）∵ f ( x ) 在定义域 1,1 上为单调递增函数,且 f ( ) f ( ) f ( ) 1
4 1 1 5 2 2 4 4 ∴要使 f ( x ) ＜ m2 2am 1 ,对所有 x , , a 1,1 恒成立 5 5
实
数
K
，
定
义
函
数
f ( x), f ( x) K gK x 2 x 2( K 4) x K 4 K 3 , f x K
（1）若 K 4 ，求 g K x 的单调增区间； （2）是否存在实数 K ，使 g K x 在区间 0, 为增函数，若存在，求出 K 的取值范围；若不 存在，请说明理由。
四、 解答题（本大题共 3 小题，第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写出必 要的解答过程）
15． 解： A {2,4}, B A 若 B , 则 a 4 或 a 4 若 B {2}, 则 a 4 若 B {4}, 不存在 a 满足条件 若 B {2,4}, 则 a 2 所以， a 4 或 a 4 或 a 2 -----------(6 分） -----------(2 分） -----------(2 分）
10．若六进制数 3m502 6 化为十进制数为 4934 ，则 m =_________________。 11．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，对任意 x R 均有 f x 2 f x ，且 x 0,1 时，
1 f x 2x 1 ，则 f 2010 f 2009 2
15．已知集合 A=｛x|x2-2x-8=0｝,B=｛x|x2+ax+a2-12=0｝ ，且 A∪B=A ，求实数 a 的取 值范围。
16．定义在 (1,1) 的函数 f ( x) ，对于任意的 x, y (1,1) ，都有 f ( 且 x 0 时， f ( x) 0 ， f ( ) （1）判断 f ( x) 的奇偶性并证明 （2）证明 f ( x) 在区间 (1,1) 上是增函数
2 （3) 若 f ( x ) ＜ m 2am 1 ,对所有 x
x y ) f ( x) f ( y ) ， 1 xy
1 2
1 2
4 4 , , a 1,1 恒成立,求实数 m 的取值 5 5
范围.
17.
函
数
f x 2
x
，
对
于
任
意
的
6
2010 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高一参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案）
题号 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
A
D
B
C
C
D
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 6 分，满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上）
9. 11. 13. －1 －2 12 10. 12. 14. 4 2 ②④
三、 解答题（本大题共 3 小题，第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写出必 要的解答过程）
15．已知集合 A=｛x|x2-2x-8=0｝,B=｛x|x2+ax+a2-12=0｝ ，且 A∪B=A ，求实数 a 的取 值范围。
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16.定义在 (1,1) 的函数 f ( x) ，对于任意的 x, y (1,1) ，都有 f ( 且 x 0 时， f ( x) 0 ， f ( ) （1）判断 f ( x) 的奇偶性并证明 （2）证明 f ( x) 在区间 (1,1) 上是增函数 （ 3) 若 f ( x ) ＜ m2 2am 1 , 对所有 x 围.
x 2( K 4) x ( K 4)( K 3), f ( x ) K
(1)若 K 4, 求 g K ( x) 的单调增区间 （2）是否存在实数 K , 使 g K ( x) 在区间 (0,) 为增函数，若存在，求出 K 的取值范围；若不存 在，请说明理由。
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2010 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高一答题卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案）
题号 答案
1
2
3
4
5
6
7
8
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 6 分，满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上）
9.________________________ 11._______________________ 13._______________________ 10._____________________________ 12._____________________________ 14._____________________________
。
12．函数 f x x 2 ax 1, (a Z ) ,关于 x 的方程 f ( x) 2 在区间 ( 3, ) 内有两个不同的实 根，则 a 13． “九宫格数独” ，是一种数字谜题。数独盘面是个九宫，每一 宫又分为九个小格。在这八十一格中填入 1-9 的数字。使 1-9 每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。 这种游戏全面考验做题者观察能力和推理能力， 虽然玩法简 单， 但数字排列方式却千变万化， 所以不少教育者认为数独 是训练头脑的绝佳方式。 如图的数独表中， 若在两个阴影格 子中应该分别填入 a , b ，那么 a b