2007苍南县“姜立夫”杯数学竞赛

2007苍南县“姜立夫”杯数学竞赛高二试卷2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1．本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.2．答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号． 3．本卷所有试题都必须用兰色或黑色签字笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效． 4．本卷解答一律不允许用计算器．一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）1．已知数列{}na 的前n 项和28nSn n=-, 若4＜ka ＜7,则k = ( ) A.9 B.8 C.7D.62．设集合S={x |x 2-5|x |+6=0}, T={x |(a -2)x =2}, 则满足T ⊂ ≠S 的a 的值共有 ( ) A.5 B.4 C.3D.2 3．已知,,a b c为三条不同的直线, 且,,a M b N MN c ⊂⊂=平面平面(1)若a 与b 是异面直线, 则c 至少与a , b 中的一条相交；(2)若a //b , 则必有a //c ；(3)若a 不垂直于c , 则a 与b 一定不垂直； (4)若a ⊥b , a ⊥c , 则必有M N ⊥. 其中正确的命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1D.04．为使关于实数x 的不等式()2121x x aa a R -+-≤-+∈的解集是空集, 则实数a 的 取值范围是( )A. a ＞1B. -1＜a ＜0C.0＜a ＜1D. 1＜a ＜25．在△ABC 中, 如果2228a b c +=, 则(BA tan 1tan 1+) tan C 的值等于 ( )A.72B.71C.92D.91 6．若点A(1,3)关于直线y kx =的对称点落在x 轴上, 则k = ( )A.33B.22C.33或-3D.22或-27．已知x , y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3006x y x y x , 若z ax y =+的最大值为39a +, 最小值为33a -, 则a 的取值范围是( )A.a ≤-1或a ≥1B.0≤a ≤1C.-1≤a ≤0D.-1≤a ≤18．若()()()sin 232f x x x θθ=++为奇函数, 且在[0,4π]为增函数, 则θ的一个值为( )A.32πB. -3πC.65πD. -6π二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9．设向量OA 绕点O 逆时针旋转2π, 得向量OB , 且2OA +OB =(8, 9), 则向量OB =_____.10.从3名男生和n 名女生中, 任选3人参加比赛, 已知3人中至少有1名女生的概率为3534, 则n =______.11.若sin 2(x +125π)-sin 2(x -125π)= -43, 且x ∈(43π,π), 则tan x =_______.12.设na 是(3 +x )n的展开式中x 项的系数(n =2, 3,4,… ), 则当n ＞100时, 223a +333a +…+nn a 3的整数部分的值为 .13.若集合A 中的每个元素都可表为1, 2, 3,…,8中两个不同的数之积, 则集合A 中元素个数的最大值为______14.定义: 区间[](),c d c d <的长度为d c -. 已知函数3log y x=的定义域为[],a b , 值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差等于________.2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9. 10.11. 12.13. 14.三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)15.设a为实数, 且函数()2=-+-的最2111f x a x x x小值为()g a.(1)设11=+-, 求t的取值范围, 并把()t x xf x表示为t的函数()m t.(2)求1()g的值.816.直线l 过点(1,1), 交x 轴, y 轴的正半轴分别于A , B , 过A , B 作直线330x y ++=的垂线, 垂足分别为C , D .(1)当AB //CD 时, 求CD 中点M 的坐标； (2)当|CD |最小时, 求直线l 的方程.17.设函数()f x 的定义域为R, 当x ＜0时, ()f x ＞1, 且对于任意的实数,x y R ∈, 有()()()f x y f x f y +=⋅成立. 又数列{}na 满足()10a f =, 且()()*11(2)n nf a n N f a +=∈--(1)求证: ()f x 是R 上的减函数； (2)求2007a 的值；(3)若不等式)11()11)(11(21na a a +++ ≥k ·12+n 对一切*n N ∈均成立, 求k 的最大值.2007年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CABCACDB二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9. （-2,5） 10. 4 11.312.17 13. 24 14.8三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)15.设a 为实数, 且函数()22111f x a x x x =-+-的最小值为()g a .(1)设11t x x =+-, 求t 的取值范围, 并把()f x 表示为t 的函数()m t . (2)求1()8g 的值. 15.解:(1)∵xx t -++=11, ∴要使t 有意义, 必须⎩⎨⎧≥-≥+0101x x , 解得-1≤x ≤1∵]4,2[12222∈-+=x t, 且t ≥0 ∴t 的取值范围是]2,2[又121122-=-t x, ∴t ta t m --=)121(2)(2at at 22--=, ]2,2[∈t(2)由题意知g (81)即为函数m (t )41812--=t t=49)4(812--x , ]2,2[∈t 的最小值.此时, m (t )在[2,2]上是减函数, 故得g (81)=m (2)= -4716.直线l 过点(1,1), 交x 轴, y 轴的正半轴分别于A , B , 过A , B 作直线330x y ++=的垂线, 垂足分别为C , D .(1)当AB //CD 时, 求CD 中点M 的坐标； (2)当|CD |最小时, 求直线l 的方程. 16.解: 依题意, 设A (a , 0), B (0, b ), a ＞0, b＞0, 则直线AB 的方程为1=+bya x ∵点(1, 1)在AB 上, ∴111=+ba ① (1)当AB //CD 时, 则可得k AB = -3, 即-3-=ab ∴b =3a 结合①解得a =34, b =4 设AB 的中点为N , 则N (31, 2). 又∵AC , BD ⊥垂直于CD , M 是CD 的中点∴MN ⊥CD ,从而直线MN 的方程为y =31(x -32)+2与方程3x +y +3=0联立, 可解得M (1013,3043-) (2)∵AC , BD ⊥垂直于直线y = -3x -3, ∴直线AC 的方程为y =31(x -a ), 即x -3y -a =0, 且点B 到直线AC 的距离就等于|CD |, 故得|CD |=10331|3|2b a a b +=+--(b a 11+)=)34(101b a a b ++≥)324(101+ 等号成立当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=1113ba b a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=33131b a 因此, 所求的直线l 的方程为x +3y -3-1=017.设函数()f x 的定义域为R, 当x ＜0时, ()f x ＞1, 且对于任意的实数,x y R ∈, 有()()()f x y f x f y +=⋅成立. 又数列{}na 满足()10a f =, 且()()*11(2)n nf a n N f a +=∈-- (1)求证: ()f x 是R 上的减函数； (2)求2007a 的值；(3)若不等式)11()11)(11(21na a a +++ ≥k ·12+n 对一切*n N ∈均成立, 求k 的最大值.17.解(1)由题设, 令x = -1, y =0, 可得f (-1)=f (-1)f (0), ∴ f (0)=1. 故a 1=f (0)=1 当x ＞0时, -x ＜0, ∴ f (-x )＞1, 且 1=f (0)=f (x )f (-x ), 故得 0＜f (x )＜1 从而可得f (x )＞0, x ∈R设x 1, x 2∈R, 且x 1＜x 2, 则x 2-x 1＞0, 故f (x 2-x 1)＜1, f (x 1)＞0 从而f (x 1) -f (x 2)=f (x 1) -f (x 1+x 2-x 1)=f (x 1) -f (x 1)f (x 2-x 1)=f (x 1)[1-f (x 2-x 1)]＞0即f (x 1)＞f (x 2), ∴函数f (x )在R 上是减函数.(2)由f (a n +1)=)2(1na f --, 得f (a n +1)f ( -2-a n )=1,即f (a n +1-a n -2)=f (0)由f (x )的单调性, 故a n +1-a n -2=0 即a n +1-a n =2 (n ∈N *) 因此, {a n }是首项是1, 公差为2的等差数列, 从而a n =2n -1, ∴ a 2007=4013(3)设g (n )=12)11()11)(11(21++++n a a a n, 则g (n )＞0, 且k ≤g (n )对n ∈N *恒成立.由1)1(4)1(23212)11()()1(21-++=+++=++n n n n a n g n g n ＞1, 即g (n +1)＞g (n ),∴ g (n )在N *上为单调递增函数, 故g (n )≥g (1)=323 因此, k ≤323, 即k 的最大值为323。