苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷(浙江省)
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
浙江省苍南县姜立夫杯2015年高一上学期数学竞赛试卷
2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知a 为给定的实数，那么集合{}22320=-+-=M x x x a 的子集的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．不确定 2．函数()212()log 23f x x x =--的单调递增区间是（ ）A ．)1,(--∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),3(+∞ 3．函数221)(xx x f x --=（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是偶函数又是奇函数 D 既不是偶函数也不是奇函数 4．设3log 2=a ，ln 2=b ，125-=c ，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．<<c a bD ．<<c b a5．设函数()()2log 2x f x m =+,则满足函数f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为（ ）A ．{}0m m =B ．{}0m m ≤C ．{}0m m ≥D ．{}1m m =6．已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数[]()1=-y f f x 的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47．如果不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,7)-∞B ．(],7-∞C ．(,5)-∞D ．(],5-∞ 8．已知(),(),()f x g x h x 为一次函数，若对实数x 满足1,1()()()32,1022,0x f x g x h x x x x x -<-⎧⎪-+=+-≤<⎨⎪-+≥⎩，则()h x 的表达式为（ ）A.1()2h x x =-B.1()2h x x =--C.1()2h x x =-+D.1()2h x x =+ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．已知点在幂函数()yf x 的图象上，则4f ▲ ．10．设,a b 为不相等的两个实数，若二次函数()2f x x ax b =++满足()()f a f b =，则()2f 的值为 ▲ ． 11．已知函数315(1)()(1)xa x x f x ax 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为▲ ．12．已知奇函数)(x f 在定义域[]3,3-上是减函数，且()2(2)20-+-<f x x f x ，则实数x 的取值范围是 ▲13.已知()f x 为R 上增函数，且对任意∈x R ，都有()34⎡⎤-=⎣⎦xf f x ，则(2)f 的值等于▲14．已知自然数a b c d e 、、、、满足1100a b c d e ≤<<<<≤，则当b da c e++取最小值时，a b c d e ++++=____▲ ___2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．设集合}023|{2≤++=x x x A ，}0|{2≤++=b ax x x B ， (1) 若R B A C x x B A C R R =≤<-= )(},21|{)(，求b a ,的值； (2) 若1=b ，且A B A = ，求实数a 的取值范围．16．已知函数()(1)(01)xxf x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 上的奇函数.（1）求k 的值； （2）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a x g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-， 求m 的值．17．设二次函数c bx ax x f ++=2)(（0,,,≠∈a R c b a ）满足条件： ①当R x ∈时，(1)(3)-=-f x f x ；②不等式241()21--≤≤+x f x x 对一切实数x 都成立。
浙江高三高中数学竞赛测试带答案解析
浙江高三高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.集合}，且,则实数取值范围为（）A．B．C．或D．2.若则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知等比数列{}：且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（）A．B．C．D．4.已知复数为虚数单位），且，则（）A．B．C．或D．或5.已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是（）。
A．B．其中是抛物线过的切线C．D．6.某程序框图如下，当E0.96时，则输出的K=（）A．20B．22C．D．257.若三位数被7整除，且成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（）个。
A．4B．6C．7D．88.设函数，则函数的极大值点为（）A．B．C．D．9.已知为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（）。
A．B．C．D．二、填空题1.若，则_________________。
2.已知，若当时恒大于零，则的取值范围为_____________ 。
3.数列，则数列中最大项的值为______________。
4.若，满足，则 ,。
5.设直线与曲线有三个不同的交点,且,则直线的方程为_________________。
6.若则________________________。
7.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限轴上的整点），其运动规律为或。
若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有__________________种不同的运动轨迹。
三、解答题1.已知抛物线，过轴上一点的直线与抛物线交于点两点。
证明，存在唯一一点，使得为常数，并确定点的坐标。
2.设二次函数在[3,4]上至少有一个零点，求的最小值。
3.设满足数列是公差为，首项的等差数列；数列是公比为首项的等比数列，求证：。
4.设证明。
2014苍南县姜立夫杯数学竞赛
苍教研函[2014] 309号
关于公布2014年苍南县“姜立夫杯”
高中数学竞赛结果的通知
各高级中学：
2014年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛于12月14日在苍南中学举行，全县共有1001名高一、高二学生参加竞赛，竞赛结果已经揭晓，吴姝瑶等258名学生分获不同组别的一、二、三等奖。
现将获奖名单予以公布。
附件：获奖学生和指导师名单
二○一四年十二月十六日
附件：获奖学生和指导师名单
1．一类高中组
1．1高一段：
一等奖（8名）
二等奖（10名）
三等奖（21名）
1．2高二段：
一等奖（7名）
二等奖（11名）
三等奖（23名）
2．二类高中组
2．1高一段：
一等奖（9名）
二等奖（18名）
三等奖（26名）
2．2高二段：
一等奖（8名）
二等奖（15名）
三等奖（30名）
3．三类高中组
3．1高一段：
一等奖（7名）
二等奖（11名）
三等奖（19名）
3．2高二段：
一等奖（6名）
二等奖（10名）
三等奖（19名）。
数学竞赛高一试题及答案
数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。
4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。
三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。
6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。
四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。
8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。
五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。
如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。
10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。
答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。
浙江省温州市2023-2024学年高一上学期数学家摇篮竞赛试题含解析
2023年苍南高一数学家摇篮竞赛（答案在最后）满分：120分考试时间：90分钟一､单选题1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么，函数解析式为2y x =-，值域为{}0,1,9--的同族函数共有（）个.A.7 B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【详解】1339⨯⨯=.选C.2.“23x <<”是“112x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由分式不等式的解法，求得不等式112x >-的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，不等式112x >-可化为131022x x x --=>--，即302x x -<-，解得23x <<，即不等式的解集为{|23}x x <<，所以“23x <<”是“112x >-”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3.设x R +∈.则y =+的最大值为（）.A.3 B.223C.2D.2【答案】D 【解析】【详解】令1 xt=，于是，1yt==≤+=+211122t t⎫=+=-=+⎪⎪++⎭23222≤=.=，即1t=，亦即1x=时成立.所以，y=+的最大值为2.故答案为D4.已知()f x是定义在()()00-∞∞，，+上的偶函数，对任意的()12,0x x∞∈+，满足()()1212f x f xx x->-且24f=（），则不等式()4f x≥的解集为（）A.[)[)202,-⋃+∞， B.[)(]2002-⋃，，C.][()22-∞-+∞，， D.(](],20,2-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】根据题意判断出()f x在()0+∞，上单调递增，再由函数()f x在()()00-∞∞，，+上为偶函数，得到()4f x≥，将24f=（）代入解题即可.【详解】因为对任意的()12,0x x∞∈+，满足()()1212f x f xx x->-，所以()f x在()0+∞，上单调递增，又()f x是定义在()()00-∞∞，，+上的偶函数，且24f=（），所以()()24f x f≥=，所以2xx⎧≥⎨≠⎩，解得2x≤-或2x≥.故选：C5.已知函数()()221,134,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩的值域与函数y x =的定义域相同，则实数a 的取值范围是（）A.(),1∞- B.(],2∞--C.[]2,3- D.][(),23,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】因为函数y x =的定义域为R ，所以()f x 的值域是R ，当1x ≥时，2347y x =+≥，故当1x <时，()21y a x a =-+的值域为(),m -∞，所以7m ≥，所以21017a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得2a ≤-，所以实数a 的取值范围是(],2∞--.故选：B.6.已知函数()y f x =()x y N +∈、满足：（1）对任意a 、b N +∈，a b ¹，都有()()()()af a bf b af b bf a +>+；（2）对任意N n +∈，都有()()3f f n n =.则()()512f f +的值是.A.17B.21C.25D.29【答案】D 【解析】【详解】对任意的n N +=，由（1）得()()()()()()1111n f n nf n n f n nf n +++>+++，即()()1f n f n +>.故()f x 在N +上为单调增函数.对任意n N +∈，由（2）得()()()()()33f n f f f n f n ==.显然()11f ≠.否则，()()()311ff f ==.矛盾.若()13f ≥，则()()()()()313213f f f f f =≥>>≥，矛盾.所以，()12f =.故()()3316f f ==，()()()63339f ff ==⨯=.由()()()()634569f f f f =<<<=，得()47f =，()58f =.则()()()743412f ff ==⨯=，()()()1273721f f f ==⨯=.故()()51282129f f +=+=.故答案为D二､多选题7.已知定义在R 上的函数()f x 在(],2-∞上单调递增，且()2f x +为偶函数，则（）A.()f x 的对称轴为直线2x =-B.()f x 的对称轴为直线2x =C.()()24f f ->D.不等式()()30f x f +>的解集为()3,1-【答案】BD 【解析】【分析】由偶函数的定义确定对称轴即可判断AB ；根据(4)(0)f f =和函数的单调性即可判断C ；利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断D.【详解】A ：因为(2)f x +为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以函数()f x 的对称轴为直线2x =，故A 错误；B ：由选项A 可知，B 正确；C ：因为函数()f x 的对称轴为直线2x =，所以(4)(0)f f =，又函数()f x 在(,2]-∞上单调递增，所以()()02f f >-，则()()42f f >-，故C 错误；D ：因为函数()f x 的对称轴为直线2x =，且()f x 在(,2]-∞上单调递增，所以函数()f x 在[2,)+∞上单调递减，且(2)(2)f x f x +=-，由(3)(0)f x f +>，得3202x +-<-，即12x +<，解得31x -<<，故D 正确.故选：BD.8.下列说法正确的有（）A.已知1x ≠，则4211y x x =+--的最小值为1+B.若正数x 、y 满足3x y xy ++=，则xy 的最小值为9C.若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3D.设x 、y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +的最大值为7【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式求最值逐项判断即可.【详解】对于A ，因为1x ≠，所以当1x >时，10x ->，()442121114111y x x x x =+-=-++≥=--，当且仅当()4211x x -=-，即1x =当1x <时，10x -<，()10x -->，()4211x x ⎡⎤--+-≥=⎡⎤⎣⎦⎢⎥-⎣⎦当且仅当()4211x x ⎡⎤--=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，即1x =()4211x x -+≤--，所以()4421211111y x x x x =+-=-++≤---，所以函数的值域为(),11⎡-∞-⋃++∞⎣，故A 错误；对于B ，若正数x 、y 满足3x y xy ++=，可得33xy x y =++≥+，当且仅当3x y ==时等号成立，(),0t t =>，则()223,0t t t ≥+>，即()2230,0t t t --≥>，解得3t ≥，即9xy ≥，所以xy 的最小值为9，故B 正确；对于C ，若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2213x y xy x y+==+，则()1122122552333321x y x y x y y x x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+当且仅当22x y y x=，即1x y ==时等号成立，所以2x y +的最小值为3，故C 正确；对于D ，221239x y xy x y ≥⋅-=⋅+，所以17xy ≤，()()222112395151577x y x y xy xy xy +=+++=+≤+⨯=所以37x y +≤，当且仅当37y x ==时，等号成立，故3x y +的最大值为7，故D 正确.故选：BCD.9.德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则下列关于狄利克雷函数()D x 的说法错误．．的是（）A.对任意实数x ，()()1D D x =B.()D x 既不是奇函数又不是偶函数C.对于任意的实数x ，y ，()()()D x y D x D y +≤+D.若x ∈R ，则不等式()2430x D x x -+<的解集为{}13x x <<【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意结合奇偶性、一元二次不等式的解法逐项分析判断.【详解】若x 是有理数，则()()()11D D x D ==；若x 是无理数，则()()()01D D x D ==，故A 正确；若x 是有理数，则x -也是有理数，此时()()1D x D x =-=；若x 是无理数，则x -也是无理数，此时()()0D x D x =-=；即()D x 为偶函数，故B 错误；若x 是无理数，取y x =-，则y 是无理数，此时()()01D x y D +==，()()0D x D y +-=，即()()()D x y D x D y +>+-，故C 错误；若x 是有理数，则()2243430x D x x x x -+=-+<的解集为{}13x Q x ∈<<；若x 是有理数，()224330x D x x x -+=+<，显然不成立，故D 错误．故选：BCD ．10.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--.若()()20f x f x --≤恒成立，则实数a 的取值可能是（）A.-1B.12C.13D.1【答案】AC 【解析】【分析】()()20f x f x --≤等价于()()2f x f x ≤+恒成立，当0x ≥时，函数()f x 的解析式进行去绝对值，所以讨论0a ≤和0a >的情况，再根据函数()f x 是奇函数，得到0x <时()f x 的解析式或图像，结合图像得到a 的取值范围.【详解】因为()()20f x f x --≤等价于()()2f x f x ≤+恒成立.当0x ≥时，()()1232f x x a x a a =-+--.若0a ≤，则当0x ≥时，()()1232f x x a x a a x =-+-+=.因为()f x 是奇函数，所以当0x <时，0x ->，则()()f x x f x -=-=-，则()f x x =.综上，()f x x =，此时()f x 为增函数，则()()2f x f x ≤+恒成立.若0a >，当0x a ≤≤时，()()1232f x x a x a a x ⎡⎤=-+---=-⎣⎦；当2a x a <≤时，()()1232f x x a x a a a ⎡⎤=----=-⎣⎦；当2x a >时，()()12332f x x a x a a x a ⎡⎤=-+--=-⎣⎦.即当0x ≥时，函数()f x 的最小值为a -，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，函数()f x 的最大值为a ，作出函数()f x 的图像如图：故函数()f x 的图像不能在函数()2f x +的图像的上方，结合图像可得323a a -≤-，即13a ≤，求得103a <≤.综上，13a ≤.故选：AC.【点睛】（1）运用函数图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含义，能够根据函数解析式和性质画出函数图像；（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图像的关系，结合图像研究.三､填空题11.已知不等式20x ax b --<的解集为(2,3)，则不等式210bx ax ++>的解集为______【答案】(,)-116【解析】【分析】根据韦达定理求出,a b ，代入解二次不等式即可.【详解】由不等式20x ax b --<的解集为(2,3)，则2323ab +=⎧⎨⨯=-⎩，则56a b =⎧⎨=-⎩，则210bx ax ++>，即为x x -++>26510，解得：(,)-116.故答案为：(,)-11612.正实数,x y 满足1423x y +=，且不等式24yx m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围__________.【答案】[2,3]-【解析】【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出4yx +的最小值，然后解不等式即可.【详解】因为1423x y +=且x ，y 是正数，所以314343((2(26424242y y y x x x x y x y +=++=++≥+=，当且仅当441423y x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即312x y =⎧⎨=⎩时等号成立，因为不等式24yx m m +≥-恒成立，所以26m m -≤，解得23m -≤≤.故答案为：[]2,3-.13.若函数()f x 在区间[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称区间[],a b 为函数()f x 的一个“倒值区间”．已知定义在R 上的奇函数()g x ，当(],0x ∈-∞时，()22g x x x =+．那么当()0,x ∈+∞时，()g x =______；求函数()g x 在()0,∞+上的“倒值区间”为______．【答案】①.22x x-+②.11,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据函数是奇函数求出0x >时，2()2g x x x =-+，再由二次函数的单调性及“倒值区间”的定义，列出方程求解即可.【详解】设0x >，则0x -<，2()2g x x x ∴-=-，由()g x 为奇函数，可得2()()2g x g x x x =--=-+，故当0x >，2()2g x x x =-+，对称轴方程为1x =，所以0x >时，max ()(1)1g x g ==，设[],a b 是()g x 在()0,∞+上的“倒值区间”，则值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以11a≤，即1a ≥，所以2()2g x x x =-+在[],a b 上单调递减，221()21()2g b b b b g a a a a ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，即22(1)(1)0(1)(1)0a a a b b b ⎧---=⎨---=⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以函数()g x 在()0,∞+上的“倒值区间”为511,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.故答案为：22x x -+；11,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.设0x >，对函数[][]1()111x xf x x x x x +=⎡⎤⎡⎤⋅+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，其值域是_______.【答案】155,264⎧⎫⎡⎫⋃⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭【解析】【分析】【详解】由于()f x 的表达式中，x 与1x对称.且0x >，不妨设1x ≥.（1）当1x =时，11x =，有1(1)2f =.（2）当1x >时，设,01,x n a a n N +=+≤<∈，则1[],0x n x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，故1()1n a n a f x n +++=+.易证函数1()g x x x =+在[)1,x ∞∈+上递增，故11111n a n n n n a n +++<++++≤，则1111(),,(1,2,)11n n n n n f x I n n n ⎡⎫+++⎪⎢+∈==⎪⎢++⎪⎢⎣⎭故()f x 的值域为12n I I I ⋃⋃⋃⋃ .设22211,1(1)n n n a b n n n +==+++，则[),n n n I a b =.又12(1)(2)n n n a a n n n +--=++，当2n >时，2345n a a a a a =<<<<< ，易知n b 单调递减，故[)2223,n a b I I I =⊇⊇⊇⊇ .因为1255101,,,469I I ⎡⎫⎡⎫==⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，所以12125510551,,,46964n I I I I I ⎡⎫⎡⎫⎡⎫⋃⋃⋃⋃=⋃=⋃=⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭ .综上所述，值域为155[,264⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.故答案为：155[,264⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭.四､解答题15.已知函数()()()2122R m f x m m x m -=--∈为幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增.（1）求m 的值，并写出()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()1f x a a x +>+，其中R a ∈.【答案】（1）3，()2f x x=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解；（2）由（1）可得原不等式变形为()()10x x a -->，分类讨论含参一元二次不等式即可求解.【小问1详解】因为()()()2122R m f x m m x m -=--∈为幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则222110m m m ⎧--=⎨->⎩，解得3m =，所以()2f x x =；【小问2详解】不等式()21x a x a -++>0，即()()10x x a -->当1a =，1x ≠，即不等式解集为{}|1x x ≠，当1a >，1x <或x a >，即不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞，当1a <，x a <或1x >，即不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞.所以，当1a =，不等式解集为{}|1x x ≠，当1a >，不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞，当1a <，不等式解集为()(),1,x a ∈-∞⋃+∞.16.中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元.公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入5x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40元；（2） a 至少应达到10.2万件，每件定价30元.【解析】【分析】（1）设每件定价为t 元，由题设有[80.2(25)]258t t --≥⨯，解一元二次不等式求t 范围，即可确定最大值；（2）问题化为>25x 时，151506x a x +≥+有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.【小问1详解】设每件定价为t 元，依题意得[80.2(25)]258t t --≥⨯，则2651000(25)(40)0t t t t -+=--≤，解得2540t ≤≤，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元【小问2详解】依题意，>25x 时，不等式21(600)6525850ax x x -≥++⨯+有解，等价于>25x 时，151506x a x +≥+有解，因为1501+6x x ≥（当且仅当30x =时等号成立），所以10.2a ≥，此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．17.已知函数()212f x x x=+，定义域为[)(]1,00,1- ．（1）写出函数()f x 的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数()f x 在(]0,1上的单调性；（2）若(]0,1x ∀∈，都有()2f x m >+恒成立，求实数m 的取值范围；（3）解不等式()()1f t f t ->．【答案】（1）()f x 在定义域[)(]1,00,1- 为偶函数；()212f x x x =+在区间(]0,1上单调递减，证明见解析.（2）()1∞-，（3）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由偶函数和单调性的定义可得；（2）先根据函数的单调性求最小值，根据恒成立即可得1m <；（3）根据函数的定义域，单调性，偶函数，结合()()1f t f t ->列出不等式组即可.【小问1详解】()f x 在定义域为[)(]1,00,1- 因()()()221122x x f x f x x x =-+=+=--，所以()f x 为偶函数；.()212f x x x =+在区间(]0,1上单调递减，证明如下设1201x x <<≤，则()()()22211212122222121211222x x f x f x x x x x x x x x --=+--=-+()()12121222221212121122x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦因1201x x <<≤，所以120x x -<，21211x x >，21211x x >，所以()()120f x f x ->，所以()212f x x x=+在区间(]0,1上单调递减.【小问2详解】由（1）可知()f x 在区间(]0,1上单调递减，所以，当1x =时，()f x 取得最小值()13f =，又(]0,1x ∀∈，都有()2f x m >+恒成立，所以只需32m >+成立，即1m <，故实数m 的取值范围为()1∞-，.【小问3详解】由（1）知，()f x 在定义域[)(]1,00,1- 为偶函数且在区间(]0,1上单调递减，故由()()1f t f t ->得111101101t t t t t t -≤-≤⎧⎪-≠⎪⎪-≤≤⎨⎪≠⎪-<⎪⎩，即02111012t t t t t ≤≤⎧⎪≠⎪⎪-≤≤⎨≠⎪⎪⎪>⎩，解得112t <<，所以实数m 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭18.设函数2()f x ax bx c =++（a ≠0）满足(0)2f ≤，|(2)|2f ≤，(2)2f -≤，求当[2,2]x ∈-时|()|y f x =的最大值．【答案】52【解析】【详解】解：由题意知()()()0422422c f a b c f a b c f ⎧=⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得()()()()()()022208224c f f f f a f f b ⎧⎪=⎪+--⎪=⎨⎪⎪--=⎪⎩，从而当[]2,2x ∈-时，()()()()()()()2222022084f f f f f y f x x x f +----==++()()()222224220884x x x x x f f f +--=+-+222224442x x x x x +--≤++．.因为[]2,2x ∈-时2222044x x x x +-⋅≤，从而()222222224224442442x x x x x x x x x x f x +--+--≤++=-+222x x =-++．易知当[]0,2x ∈时22522222x x x x -++=-++≤当[]2,0x ∈-时22522222x x x x -++=--+≤得()2225max max 222x x x f x x ≤≤⎛⎫≤-++≤ ⎪⎝⎭．最后取()2122f x x x =-++，则()()()2202f f f =-==．故该函数满足题设条件且在[]2,2-上能取到最大值52．因此()y f x =的最大值为52．。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
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竞赛数学情况调查测试卷〔2005年8月27日〕一、选择题（每小题6分，共36分）1、函数x －1 ) (x ∈R, x ≠1) 的递增区间是 （ ）（A ）[2,＋∞) （B ）(－∞,0]或[2,＋∞)（C ）(－∞,0] （D ）(－∞,1－]或[,＋∞)2、方程2002x ＋2003x ＋2004x ＝2005x x －2006的实根个数为 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）至少3个3、已知f(x)＝asinx ＋b(a,b,c 为实数)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)的值是（ ）（A ）－5 （B ）－3 （C ）3 （D ）随a,b,c 而变4、若函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－对称，则a 的值等于（ ）（A ）2或－ 2 （B ）1或－1 （C ）1或－2（D ）－1或2 5、已知(β－α2))＝1，则cos α＋cos β的值等于 （ ） （A ）1 （B ） （C ） （D ）6、已知在数列{a n }满足，a 1＝2＋，a n ＋2(1－a n )＝1＋a n ，则a 2005的值为 （ ）（A ）2＋（B ）2－（C ）－2 （D ）－2－二、填空题（每小题9分，共54分）7、在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则∠C 的度数为 .8、已知函数x ―a ―1 )的反函数图象关于点(－1,4)成中心对称，则实数a ＝.9、已知一个4元集合S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则S 的元素之和等于 .10、若3f(x －2005)＋4f(2005―x)＝5(x ―2005)，对所有实数x 成立，则f(x)的解读式是f(x)＝.11、函数f(x)＝的最小值是 .12、已知正整数n 不超过2005, 并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的正整数n 有 个.三、解答题（每小题20分，共60分）13、已知函数y ＝sinx ＋asin2xcosx..（1）当sinx ＝1时，求y 的值； （2分）（2）若函数的最大值为1，求实数a 的取值范围. （18分）14、n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列a 11 a 12 a 13… a 1na 21 a 22 a 23… a 2na31a32a33 (3)a41a42a43 (4)……………a n1a n2a n3…a nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知a24＝1, a42＝, a43＝，求S＝a11＋a22＋…＋a nn.15、某公司离火车站40千M，有12名该公司的职员出差，须从公司出发赶到火车站，他们步行的速度为4千M／时，当时公司仅有一辆同时可送4人的轿车，其速度为52千M／时.要求在3小时内将12名职员送到车站，还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车站买票.试问第一批职员最早能比3小时提前多少时间赶到车站.江苏省苏州实验中学2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷（参考答案）1、B原函数即为y ＝＝(x－1) ＋＋2，由对勾函数的增减性立知选B.2、B原方程即为＋＋＝，考查两个函数y＝＋＋和y＝，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选B.3、C容易判断f(x)＋f(－x)＝8，且lglog310 ＝lg＝－lg＝－lglg3，故有f(lglog310)＋f(lglg3)＝8，从而f(lglg3)＝3.选C4、C 函数f(x)＝a2sin2x＋(a－2)cos2x的图象关于直线x ＝对称，则f()应取得函数的最大值或最小值。
所以，a2sin(×2)＋(a－2)cos(×2)＝±，由此解得a＝1或－2.选C5、A由题意得＋＝2, 即＝－，用余弦的和与差公式展开并利用合分比定理，可得＝, 即＝. 故cosαcosβ＝4sin2sin2＝(1－cosα)(1－cosβ)，故cosα＋cosβ＝1. 选A6、C首先易得a n≠1, 否则有0＝2的矛盾。
所以有a n＋2＝，则a n＋4 ＝＝＝－，从而我们可得a n＋4 ＝－＝，{a n}为周期为8周期数列.故a2005＝a250×8＋5＝a5＝a4＋1＝－＝－＝. 选C7、30°或150°两式平方相加，得9＋16＋24(sinAcosB＋sinBcosA)＝37，即有24sin(A＋B)＝12，所以sinC＝，故∠C＝30°或150°.8、3反函数关于点(－1,4)对称，则原函数关于点(4,－1)，又原函数即为，由平移规律立得其对称中心为(a＋1,－1)，与(4,－1)比较得a＝3.9、2005 在求所有子集元素和总和的时候，集合的每一个元素都被重复求和计算23＝8次，故集合S的元素之和为10、－5x令t＝x－2005，则原函数方程就变为3f(t)＋4f(－t)＝5t，对此式中以－t 代t得，由两式消去f(－t)可得－7f(t)＝35t，故f(t)＝－5t，即f(x)＝－5x.11、2原函数的定义域为(－∞,0]∪[2,＋∞)，且在(－∞,0]上为增函数，在[2,＋∞)为减函数，又f(0)＝2, f(2)＝>2，所以原函数的最小值为2.12、6可以计算出1＋2＋3＋…＋62＝1953, 1＋2＋3＋…＋63＝2016，这样看来，2005最多可表示为62个连续正整数的和。
下面分3种情况说明：（1）若n表示为62个连续正整数的和，则满足要求的n 只有一个为1953（因为2＋3＋4＋…＋63＝2015>2005)；（2）若n 表示61个连续正整数的和，设其中最小的正整数为m ，则由m ＋(m ＋1)＋…＋(m ＋60)＝＝61(m ＋30)≤2005可得m ≤2，从而满足要求的n 有两个：1＋2＋…＋61＝1891和2＋3＋…＋62＝1952；（3）若n 表示60个连续正整数的和，设其中最小的正整数为m ，则由m ＋(m ＋1)＋…＋(m ＋59)＝＝30(2m ＋59)≤2005可得m ≤3，从而满足要求的n 有三个为：1＋2＋…＋60＝1830，2＋3＋…＋61＝1890及3＋4＋…＋62＝1950.综合（1）（2）（3）得满足要的正整数n 共有6个，它们为：1953、1891、1952、1830、1890和1950.13、（1）显然，当sinx ＝1，时y ＝1（2）由（1）知，函数值中必有1，从而问题就是求使对任意x ，总有sinx ＋asin2xcosx ≤1，即g ＝sinx ＋asin2xcosx －1≤0成立的a 的取值范围。
令t ＝sinx (t ]1,1[-∈), 则g ＝sinx ＋a(2sinxcos 2x)－1＝sinx ＋2asinx(1－sin 2x)－1＝－2at 3＋(1＋2a)t －1＝(t －1)(－2at 2－2at ＋1)由t －10≤恒成立知，问题即要求使－2at 2－2at ＋10≥，即2at 2＋2at －10≤在t ]1,1[-∈时恒成立的a 的取值范围。
1）当a ＝0时，－10≤显然满足题意2）当a>0时，即为t 2＋t a 21-＝(t 21-)2)2141(a+-0≤在t ]1,1[-∈时恒成立，故有 (－121-)2)2141(a+-0≤ 结合a>0得，410≤<a 3）当a<0时，即为t 2＋t －＝－≥0在t ∈[－1,1]时恒成立，故有－≥0结合a<0得，－2≤a ＜0综合上述1）、2）、3），得所求a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,2 14、设第一行数的公差为d ，各列的公比为q ，则第二行的公差是dq ，第四行的公差为dq 3, 于是，由题设得出方程组⇒因为n 2个数均为正数，可知只能有a 11＝d ＝q ＝21 从而，对于任意n k ≤≤1，有a kk ＝a 1k q k －1＝[a 11＋(k －1)d]q k －1＝k k 2故S ＝n n 21...21321221132⋅++⋅+⋅+⋅（1） 这类数列的求和，我们通常用错位相减法，给（1）两边乘以21可得 143221...21321221121+⋅+⋅+⋅+⋅=n n S （2） (1)－(2), 得1322121...21212121+⋅-++++=n n n S ＝12211)211(21+---n n n 故可求得nn n S 22121--=- 15、把出发地称为A ，车站称为B 。
显然，职员必须分为3批乘车，每批4人，按乘车先后分别称他们为甲组、乙组、丙组。
不在车上的职员让他们在到达火车站之前保持步行前进。
假定轿车把甲组送到离A 的x 千M 处，然后返回接乙组。
当轿车接到乙组后，把乙组送y 千M ，再返回接丙组，显然整个过程决定于x 和y 的值。
1）设在3小时内从公司到火车站至少须乘车z 千M ，则有344052≤-+z z ， 解得391≥z 。
这说明乙，丙两组至少乘车距离为391千M 。
为了使甲组极早赶到火车站，应使乙、丙两组尽量减少乘车距离，所以，乙、丙两组乘车距离均为y ＝391千M 。
2）当轿车送出甲组x 千M 之后返回，当接到乙组时，已耗时284522x x =+。
此时，乙、丙两组离A 是7428x x =⨯千M ，离B 地是)740(x -千M 。
从此时开始，轿车送乙组391千M 后返回接丙组。
接到丙组已耗时84914522391=+⨯小时，这也是丙组从此时之后的步行时间。
所以在)740(x -千M 这段时间内，丙组步行距离为219148491=⨯千M ，乘车距离为391千M ，从而有7403912191x -=+ 解得x ＝3112 3）由上述1）和2）知，甲组抵达车站共耗时13184311240523112=-+小时，比3小时提前1321小时，约为1小时37分钟。