2016年苍南县“姜立夫杯”高二数学竞赛

2016年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知集合2{|3100},{|121}A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-．当AB =∅时，实数m 的取值范围是（ ）． A ．24m << B ．2m <或4m > C ．142m -<< D ．12m <-或4m > 2．函数()f x 对于任意实数x 满足：()()13f x f x +=-，若()02f =，则()2016f =（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2- 3．已知O 为ABC ∆内一点，若对任意k R ∈，有||||OA OB kBC AC --≥，则ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25235S a =，453325S a =，则6543Sa 的值是（ ） A ．125 B ．85 C ．45 D ．35 5．已知1sin cos 63π⎛⎫α+-α= ⎪⎝⎭，则2sin cos 6π⎛⎫αα+= ⎪⎝⎭（ ）A ．518-B. 518C. 79-D. 796．已知三个不同的平面,,αβγ和两条不重合的直线,m n ，有下列4个命题： ①m n m n ααβ=，，则②m m n n ⊥α⊂βα⊥β，，，则 ③α⊥βγ⊥βαγ，，则 ④m m αβ=⊥γα⊥γ，，则其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设,x y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，若02ax by ≤+≤恒成立，则22a b +的最大值是（ ）A ．1B ．89 C ．209D ．4 8．已知函数()22030x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩，，的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围为（ ） A ．17(,2)8-- B ．17,28⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C ．171,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．171,16⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．若正实数,a b 满足284log log 5a b +=和284log log 7b a +=，则48log log a b +的值是 ▲10．已知点P 是直线:40l kx y ++=()0k >上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则实数k 的值为 ▲ ．11．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，DA 与平面ABC 所成的角为45，则二面角A DB C --的平面角的余弦值为▲ ．12.已知函数()2sin f x x =ω()0ω>其中常数，若存在12,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭π，204x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，π，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为 ▲ ．13．已知()2()2x f x m n x nx =-⋅++，若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则m n +的取值范围为 ▲ ．14．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，．平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+ （1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，组成的区域。

若区域D 的面积为8，则a b + 的最小值为 ▲2016年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知向量(3sin cos )m x x =ωω，，(cos cos )n x x =ω-ω，()0ω>，函数()f x m n =∙的最小正周期为23π. (1)求ω的值；(2)设三角形ABC 的三边c b a 、、满足：2b ac =，且边b 所对的角为x ，若关于x 的方程()f x k =恰好只有1个实数解，求实数k 的取值范围.16．已知二次函数()21f x ax bx =++(),,0a b R a ∈>，设()f x x =的两根为1x ，2x ． （1）如果1224x x <<<，设()f x 的图象的对称轴方程为0x x =，求证：01x >-； （2）如果102x <<，212x x -=，求实数b 的取值范围．17．设n T 是数列{}n a 的前n 项之积，满足1n n T a =-，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22212n n S T T T =+++，求证：111123n n n a S a ++-<<-．2016年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）9. 4 10. 2 11. 12-12.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭13. [)0,8 14. 4 三、 解答题（本大题共3小题，满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知向量(3sin cos )m x x =ωω，，(cos cos )n x x =ω-ω，()0ω>，函数()f x m n =∙的最小正周期为23π. (1)求ω的值；(2)设三角形ABC 的三边c b a 、、满足：2b ac =，且边b 所对的角为x ，若关于x 的方程()f x k =恰好只有1个实数解，求实数k 的取值范围.解：(1)因为()2sin 2cos 2f x x x =ω-ω1cos 2sin 222x x +ω=ω- 1sin 262x π⎛⎫=ω-- ⎪⎝⎭，所以，2223T ππ==ω，即32ω=. (2)由于2222221cos 2222a cb ac ac ac ac x ac ac ac +-+--==≥=，()0,x ∈π，得03x π<≤. 所以53,666x ππ⎛⎤-∈-π ⎥⎝⎦.而()f x k =等价于1sin 362x k π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，令36t x π=-，则由函数sin y t =的图象知，要恰好只有1个实数解，需111222k -<+<或112k += 即10k -<<或12k =.16．已知二次函数()21f x ax bx =++(),,0a b R a ∈>，设()f x x =的两根为1x ，2x ． （1）如果1224x x <<<，设()f x 的图象的对称轴方程为0x x =，求证：01x >-； （2）如果102x <<，212x x -=，求实数b 的取值范围．解：(1)证明：令()()()211g x f x x ax b x =-=+-+，则()20(4)0g g ⎧<⎨>⎩得4210164300a b a b a +-<⎧⎪+->⎨⎪>⎩，法一：线性规划的方法可得斜率()4,2b a ∈-，所以012bx a=->-. 法二：（消常数法）由421016430a b a b +-<⎧⎨+->⎩得12631643a b a b +<⎧⎨+>⎩得126164a b a b +<+所以012bx a=->- (2) 121211b x x a x x a -⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，得12121x x b x x +-=⋅，且12,x x 同号。

①当()10,2x ∈时，212x x =+，所以()()()()11221211121231141111x x x b x x x x x ++-===>⋅+-+-+得14b <.②当()22,0x ∈-时，212x x =-，所以()()()()11221211121231141111x x x b x x x x x -+-===<-⋅-----得74b >.综上可得，14b <或74b >17．设n T 是数列{}n a 的前n 项之积，满足1,n n T a n N *=-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22212n n S T T T =+++，求证：111123n n n a S a ++-<<-． 解 （1）易知1112T a ==，0,1n n T a ≠≠，且由111,1n n n n T a T a ++=-=-，得 11111n n n n n T a a T a +++-==-，即11111n n n a a a ++=--，即111111n n a a +-=--． 所以111111111112n n n n a a =+-=+-=+---，故1111n na n n =-=++． （2）由（1）得1211n n T a a a n ==+． 一方面，22211123(1)n S n =++++11111112334(1)(2)222n a n n n +>+++=-=-⋅⋅+++；另一方面， 22211111123(1)444n S n <+++--+-1112135571323()()2222223n n n =+++=-⋅⋅+++． 又1212111123322333n n a n n n ++-<-=-=-+++． 所以 111123n n n a S a ++-<<-．。