2018年苍南县姜立夫杯数学竞赛高二试卷精品

合集下载

2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题含答案

2 f (1) 1 a b f (0) b ，所以 f (1) 1 a b 1，
解得 a 1 . （2）当 0 a 1 时，即 1 a 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对
22 b 0 有 f (1) 1 a 1， f ( a ) a2 1 .
24 （3）当 1 a 1时，即 2 a 1，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对
22 b 0 有 f (0) b 1 ， f ( a ) a2 1 .
24 （4）当 a 1 时，即 a 2 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 b 1有
2018
13.设实数
x1
，
x2
，…，
x2018
满足
x2 n1

xn xn2 (n

1,
2, ,
2016)
和
xn 1，证明： x x 1009 1010 1.
n1
14.将 2n(n 2) 个不同整数分成两组 a1 ， a2 ，…， an ； b1 ， b2 ，…， bn .证明
．
8.设 f (x) x 1 x x 2 ，则 f ( f (x)) 1 0 有
个不同的解．
9.设 x, y R 满足 x 6 y 4 x y 12 0 ，则 x 的取值范围为
．
10.四面体 P ABC ， PA BC 6 ， PB AC 8 ， PC AB 10 ，则该四面体外接球的半径
2 f (0) b 1 ，所以 f (1) 1 a b 1，解得 a 3 .

2018年最新湖南省2018年高中数学竞赛试卷及解答2018018 精品

2018年湖南省高中数学竞赛试卷（9月6日上午9：00-11：00）注意事项：本试卷共18题，满分150分一、选择题（将每小题的唯一正确的答案的代号填在题后的括号内。

本大题共6小题，每小题6分，满分36分）1. 设函数()log (0,1)a f x x a a =>?，若()1220038f xx x =L ，则()()2212f x f x +()22003f x ++L 的值等于（）A. 4B. 8C. 16D. 2log 8a 2. 如图，S-ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O 为底面内的一点，若OSA a ?，OSB b ?,OSC g ?，则tan tan tan a b g 的取值范围是 ( )A. )+?B.C. 轾犏臌D. (1,3. 某水池装有编号为1，2，3，…，的9 个进出口水管，有的只进水，有的只出水。

已知所开的水管号与水池装A. 1小时B. 2小时 C . 3小时 D 4小时 4. 若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无公共点，则此圆锥曲线为（） A. 双曲线 B. 椭圆C. 抛物线D. 椭圆或双曲线5. 有10个不同的球，其中有2个红球，5个黄球，3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个黄球得1 分，取到一个白球得2分，则从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A. 90B. 100 （）C. 110D. 1206. 自然数按下表的规律排列，则上起第2018行，左起第2018列的数为（） A. 22002B. 22003 C. 2018+2018 D. 2018×2018二、填空题（在每小题中的横线上填上正确答案。

本小题共6小题，每小题6分，满分36分）7. 设,,x y R Î，且满足()()()()2003200312002112200221x x y y ìï-+-=-ïïíï-+-=ïïî，则x y +=___________; 8. 满足22sin sin sin 23cos x x x x +-=的锐角x =________________;9. 记{}min ,a b 为两数,a b 的最小值，当正数x , y 变化时，22min ,yt x x y 禳镲镲=睚镲+镲铪也在变化，则t 的最大值为_____________________;10. 已知n 为自然数，多项式()()01nhh n h n h P x x x -==-åð可展开成x 的升幂排列01a a x +22n n a x a x +++L ，则012||||||||n a a a a ++++=L ________________;11. 底面边长为a 的正三棱柱，被不平行底面的平面所截，其中一块的形状如图所示，剩余的侧棱长分别为123,,h h h ，则剩余的几何体的体积为__________________; 12. 已知a 、b 是不相等的正数，在a 、b 之间插入两组数:12,,,n x x x L ;12,,,n y y y L 使 a, 12,,,n x x x L ,b 成等差数列，a, 12,,,n y y y L ，b 成等比数列，则下列不等式:① 11nk k x n =>å2桫, ② 11nk k x n =>å2a b +④22a b ++桫中成立的有_____________________.三、解答题（每题的解答要有严格的推理过程，本大题共6小题，每小题13分，共78分）13. 已知曲线21(0)xy y =>在曲线上点00(,)x y 处的切线的斜率k =-，过点()11,0P 作y 轴的平行线交曲线于1Q ，过1Q 作曲线的切线与x 轴交于点2P ，过2P 作y 轴的平行线交曲线于2Q ，仿此，不断的这样作图（如图所示），得到点列12,,;P P L 12,,Q Q L ，记||n n n l P Q =，求2003l 的值。

苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)

苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：竞赛数学情况调查测试卷〔2005年8月27日〕一、选择题（每小题6分，共36分）1、函数y ＝x 2x －1 (x ∈R, x ≠1) 的递增区间是（）（A ）[2,＋∞) （B ）(－∞,0] 或[2,＋∞) （C ）(－∞,0]（D ）(－∞,1－2]或[2,＋∞)2、方程2002x ＋2003x ＋2004x ＝2005x x －2006的实根个数为（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）至少3个3、已知f(x)＝asinx ＋b 3x ＋c •ln(x ＋x 2＋1）＋4 (a,b,c 为实数)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)的值是（）（A ）－5（B ）－3（C ）3（D ）随a,b,c 而变4、若函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a 的值等于（）（A ）2或－ 2（B ）1或－1（C ）1或－2（D ）－1或25、已知coa αcos β2cos(α－β2)＋coa βcosα2cos (β－α2)＝1，则cos α＋cos β的值等于（）（A ）1（B ）12（C ） 2（D ）226、已知在数列{a n }满足，a 1＝2＋3，a n ＋2(1－a n )＝1＋a n ，则a 2005的值为（）（A ）2＋ 3 （B ）2－ 3 （C ）3－2 （D ）－2－ 3二、填空题（每小题9分，共54分） 7、在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则∠C 的度数为 . 8、已知函数y ＝a －xx ―a ―1的反函数图象关于点(－1,4)成中心对称，则实数a ＝ .9、已知一个4元集合S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则S 的元素之和等于 .10、若3f(x －2005)＋4f(2005―x)＝5(x ―2005)，对所有实数x 成立，则f(x)的解析式是f(x) ＝ .11、函数f(x)＝2x 2－3x ＋4＋x 2－2x 的最小值是 .12、已知正整数n 不超过2005, 并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的正整数n 有个.三、解答题（每小题20分，共60分）13、已知函数y＝sinx＋asin2xcosx..（1）当sinx＝1时，求y的值；（2分）（2）若函数的最大值为1，求实数a的取值范围.（18分）14、n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列 a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n a 41 a 42 a 43 … a 4n … … … … …a n1 a n2 a n3 … a nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知a 24＝1, a 42＝18, a 43＝316，求S ＝a 11＋a 22＋…＋a nn .15、某公司离火车站40千米，有12名该公司的职员出差，须从公司出发赶到火车站，他们步行的速度为4千米／时，当时公司仅有一辆同时可送4人的轿车，其速度为52千米／时. 要求在3小时内将12名职员送到车站，还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车站买票. 试问第一批职员最早能比3小时提前多少时间赶到车站.江苏省苏州实验中学2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷（参考答案）1、B 原函数即为y ＝ (x －1)2＋2(x －1)＋1x －1 ＝ (x －1) ＋ 1x －1 ＋ 2，由对勾函数的增减性立知选B .2、B 原方程即为⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x＝x －2006，考查两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x 和y ＝x －2006，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选B .3、C 容易判断f(x)＋f(－x)＝8，且lglog 310 ＝ lg lg10lg3 ＝－lg lg3lg10 ＝－lglg3，故有f(lglog 310)＋ f(lglg3)＝8，从而f(lglg3)＝3. 选C4、C 函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则f(－π8)应取得函数的最大值或最小值。

2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题

2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1xf x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t A B -≥，则P AP B ⋅的最小值为，此时PA PB += ．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有个不同的解． 9.设,x y R ∈满足64120x y x y ---+=，则x 的取值范围为． 10.四面体P ABC -，6PA BC ==，8PB AC ==，10PC AB ==，则该四面体外接球的半径为．二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n xx x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616-3. 5665- 4. 36 5. 1- 6. 16-；6 7.728. 3 9. 1421314213x -≤≤+ 10. 3 二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为1，即211m k=+.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥，所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥，解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<. （3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<. （4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-.综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->；当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111n n n n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111n nn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！。

2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷

2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1、已知+∈∈R y R x ,，集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y yy B x x x x A ，若A=B ，则22y x +的值是（）A. 5B. 4C. 25D. 10 2、命题P ：6πα≠，命题q ：1sin 2α≠，则p 是q 的（） A. 充分且必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件3、如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（）A. A C BD '⊥B. 90BA C'∠=C. CA '与平面A BD '所成的角为30D. 四面体A BCD '-的体积为134、多面体ABCD A BC D -的直观图，正视图，俯视图，侧视图如下所示．） A ．31112a B ．312a C ．334a D ．356aABCD正视图侧视图5、设()11xf x x +=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2012f x =（） A ．11x x +- B ．11x x -+ C ．x D ．1x-6、设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +有（）A. 最小值为15 B.最大值为15 D.7、已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a c b >>二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）９、已知点(2,)P t 在不等式组40,30x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为____________．10、如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，若F 为正方形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为 .11、已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，x ，则x 的取值范围为 .12、在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则圆221x y +=上一点与直线20x y +-上一点的“折线距离”的最小值是____________________. 13、对任意x ∈R ，函数()f x 满足1(1)2f x +=，设)()]([2n f n f a n -=，数列}{n a 的前15项的和为3116-，则(15)f = ． 14、设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-；又当01x ≤≤时，1()2f x x =，则1()2x f x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭＝。

2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题Word版含答案

2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1x f x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则c o s 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t AB -≥，则PA PB ⋅的最小值为，此时PA PB += ．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有个不同的解．9.设,x y R ∈满足120x -=，则x 的取值范围为．10.四面体P ABC -，PA BC =，PB AC ==PC AB ==接球的半径为．二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n xx x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616- 3. 5665- 4. 36 5. 1-6. 16-；67.728. 39. 1414x -≤+二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为11=.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥，所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥，解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<.（3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<.（4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-. 综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->；当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111nnn n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111nnn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！。

浙江省高中数学联赛试题及参考答案

n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ T= n+1
bn+1 − ai + an+1 − bi − an+1 − ai − bn+1 − bi + bn+1 − an+1 + Tn
解得 a ≥ 1。………………………………………………………………10 分
（2）当 0 < − a ≤ 1 时，即 −1 ≤ a < 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右 22
端点取得，而对 b = 0 有 f (1) = 1 + a < 1, f (− a ) = −a2 < 1。
x≤0 x≤2
由 f ( f (x)) +1 =0 得到
x + 3, x > 2
f (x) = −2, 或 f (x) = 0 。由 f (x) = −2, 得一个解 x = −1 ；由 f (x) = 0 得两个解
x = −3, x = 1 ，共 3 个解。 3
9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ，则 x 的取值范围为 ______________。解由 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ⇒ ( x − y − 2)2 + ( y − 3)2 =1。令
−
2018 4
=5 16
(52018
− 1)
−
2018 4
=52019 16
−
8077 16
。
3.
已知α , β
∈

3π 4
,π

， cos(α

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1．本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.2．答题前，务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号． 3．本卷所有试题都必须用兰色或黑色签字笔在答题卷上书写，在试题卷上作答无效． 4．本卷解答一律不允许用计算器．一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）1．已知数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-, 若4＜k a ＜7, 则k = ( ) A.9 B.8 C.7 D.62．设集合S={x |x 2-5|x |+6=0}, T={x |(a -2)x =2}, 则满足T ⊂ ≠S 的a 的值共有 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3．已知,,a b c 为三条不同的直线, 且,,a M b N MN c ⊂⊂=平面平面(1)若a 与b 是异面直线, 则c 至少与a , b 中的一条相交；(2)若a //b , 则必有a //c ； (3)若a 不垂直于c , 则a 与b 一定不垂直； (4)若a ⊥b , a ⊥c , 则必有M N ⊥.其中正确的命题的个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.04．为使关于实数x 的不等式()2121x x a a a R -+-≤-+∈的解集是空集, 则实数a 的取值范围是 ( ) A. a ＞1 B. -1＜a ＜0 C.0＜a ＜1 D. 1＜a ＜25．在△ABC 中, 如果2228a b c +=, 则(BA tan 1tan 1+) tan C 的值等于 ( ) A.72 B.71 C.92 D.916．若点A(1,3)关于直线y kx =的对称点落在x 轴上, 则k = ( )A.33 B.22 C.33或-3 D.22或-2 7．已知x , y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3006x y x y x , 若z ax y =+的最大值为39a +, 最小值为33a -, 则a的取值范围是 ( ) A.a ≤-1或a ≥1 B.0≤a ≤1 C.-1≤a ≤0 D.-1≤a ≤1 8．若()()()s i n 2f x x x θθ=++为奇函数, 且在[0,4π]为增函数, 则θ的一个值为 ( ) A.32πB. -3πC.65πD. -6π二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9．设向量绕点O 逆时针旋转2π, 得向量, 且2+=(8, 9), 则向量=_____.10.从3名男生和n 名女生中, 任选3人参加比赛, 已知3人中至少有1名女生的概率为3534, 则n =______. 11.若sin 2(x +125π)-sin 2(x -125π)= -43, 且x ∈(43π,π), 则tan x =_______.12.设n a 是(3 +x )n的展开式中x 项的系数(n =2, 3, 4,… ), 则当n ＞100时, 223a +333a +…+nn a 3的整数部分的值为 . 13.若集合A 中的每个元素都可表为1, 2, 3,…, 8中两个不同的数之积, 则集合A 中元素个数的最大值为______14.定义: 区间[](),c d c d <的长度为d c -. 已知函数3log y x =的定义域为[],a b , 值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差等于________.2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9. 10. 11. 12. 13. 14.三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)15.设a 为实数, 且函数()2f x =()g a .(1)设t =求t 的取值范围, 并把()f x 表示为t 的函数()m t . (2)求1()8g 的值.16.直线l 过点(1,1), 交x 轴, y 轴的正半轴分别于A , B , 过A , B 作直线330x y ++=的垂线, 垂足分别为C , D .(1)当AB //CD 时, 求CD 中点M 的坐标； (2)当|CD |最小时, 求直线l 的方程.17.设函数()f x 的定义域为R , 当x ＜0时, ()f x ＞1, 且对于任意的实数,x y R ∈, 有()()()f x y f x f y +=⋅成立. 又数列{}n a 满足()10a f =, 且()()*11(2)n n f a n N f a +=∈-- (1)求证: ()f x 是R 上的减函数； (2)求2007a 的值； (3)若不等式)11()11)(11(21na a a +++≥k ·12+n 对一切*n N ∈均成立, 求k 的最大值.2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题：（共8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个正确答案）二、填空题(共6小题，每小题6分, 共36分)9. （-2,5） 10. 411. 3-12. 17 13. 24 14. 8三、解答题(第15题8分, 第16, 17题各12分, 共32分)15.设a 为实数, 且函数()2f x =()g a .(1)设t =求t 的取值范围, 并把()f x 表示为t 的函数()m t . (2)求1()8g 的值.15.解:(1)∵x x t -++=11, ∴要使t 有意义, 必须⎩⎨⎧≥-≥+0101x x , 解得-1≤x ≤1∵]4,2[12222∈-+=x t , 且t ≥0 ∴t 的取值范围是]2,2[又121122-=-t x , ∴t t a t m --=)121(2)(2a t at 22--=, ]2,2[∈t(2)由题意知g (81)即为函数m (t )41812--=t t =49)4(812--x , ]2,2[∈t 的最小值.此时, m (t )在[2,2]上是减函数, 故得g (81)=m (2)= -4716.直线l 过点(1,1), 交x 轴, y 轴的正半轴分别于A , B , 过A , B 作直线330x y ++=的垂线, 垂足分别为C , D .(1)当AB //CD 时, 求CD 中点M 的坐标； (2)当|CD |最小时, 求直线l 的方程.16.解: 依题意, 设A (a , 0), B (0, b ), a ＞0, b ＞0, 则直线AB 的方程为1=+bya x ∵点(1, 1)在AB 上, ∴111=+ba ① (1)当AB //CD 时, 则可得k AB = -3, 即-3-=ab ∴b =3a 结合①解得a =34, b =4设AB 的中点为N , 则N (31, 2). 又∵AC , BD ⊥垂直于CD , M 是CD 的中点∴MN ⊥CD ,从而直线MN 的方程为y =31(x -32)+2与方程3x +y +3=0联立, 可解得M (1013,3043-) (2)∵AC , BD ⊥垂直于直线y = -3x -3, ∴直线AC 的方程为y =31(x -a ), 即x -3y -a =0,且点B 到直线AC 的距离就等于|CD |, 故得|CD |=10331|3|2b a a b +=+--(ba 11+) =)34(101b a a b ++≥)324(101+ 等号成立当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=1113bab a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=33131b a因此, 所求的直线l 的方程为x +3y -3-1=017.设函数()f x 的定义域为R , 当x ＜0时, ()f x ＞1, 且对于任意的实数,x y R ∈, 有()()()f x y f x f y +=⋅成立. 又数列{}n a 满足()10a f =, 且()()*11(2)n n f a n N f a +=∈-- (1)求证: ()f x 是R 上的减函数； (2)求2007a 的值； (3)若不等式)11()11)(11(21na a a +++≥k ·12+n 对一切*n N ∈均成立, 求k 的最大值.17.解(1)由题设, 令x = -1, y =0, 可得f (-1)=f (-1)f (0), ∴ f (0)=1. 故a 1=f (0)=1 当x ＞0时, -x ＜0, ∴ f (-x )＞1, 且 1=f (0)=f (x )f (-x ), 故得 0＜f (x )＜1 从而可得f (x )＞0, x ∈R设x 1, x 2∈R , 且x 1＜x 2, 则x 2-x 1＞0, 故f (x 2-x 1)＜1, f (x 1)＞0从而f (x 1) -f (x 2)=f (x 1) -f (x 1+x 2-x 1)=f (x 1) -f (x 1)f (x 2-x 1)=f (x 1)[1-f (x 2-x 1)]＞0 即f (x 1)＞f (x 2), ∴函数f (x )在R 上是减函数. (2)由f (a n +1)=)2(1n a f --, 得f (a n +1)f ( -2-a n )=1, 即f (a n +1-a n -2)=f (0)由f (x )的单调性, 故a n +1-a n -2=0 即a n +1-a n =2 (n ∈N *)因此, {a n }是首项是1, 公差为2的等差数列, 从而a n =2n -1, ∴ a 2018=4013 (3)设g (n )=12)11()11)(11(21++++n a a a n, 则g (n )＞0, 且k ≤g (n )对n ∈N *恒成立.由1)1(4)1(23212)11()()1(21-++=+++=++n n n n a n g n g n ＞1, 即g (n +1)＞g (n ),∴ g (n )在N *上为单调递增函数, 故g (n )≥g (1)=323因此, k ≤323, 即k 的最大值为323。