大一数学分析(下)期中考试试题

数学分析(下)期中考试试题
一、填空题 (每小题5分,共20分)
1． 求22
2
2
lim
x x y x y →∞+＝
2． 设()2
1010x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则其以2π为周期的Fourier 级数在点x π=处收敛
于
3． 'tan cos +=y y x x 的通解为 4． 设()f x =则此函数在
()1,1,1的梯度为
二、单项选择(每小题5分,共20分) 1. 对二元函数
(),f x y 的如下四个命题：
1) (),f x y 在点()00,x y 连续
2) (),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数连续
3) (),f x y 在点()00,x y 可微
4)
(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数存在
则下列逻辑推理关系正确的是： 【 】
Ａ．3)2)1)⇒⇒ Ｂ. 2)3)1)⇒⇒ Ｃ．3)4)1)⇒⇒ D . 3)1)4)⇒⇒
2. 设线性无关的函数 (),1,2,3=i y x i 都是微分方程
()()()
'''++=y p x y q x y f x 的特解，则方程的通解为 【 】 A ．()()()
112233c y x c y x c y x ++ B .
()()()112223()()++-c y x c y x y x y x
C .
()()()()
11221231c y x c y x c c y x ++-- D .
()()()
11223c y x c y x y x ++
3. 已知反常积分 20sin m x
dx x +∞
⎰ 收敛，则m 的取值范围是 【 】
A ． 12≤≤m
B ． 23<≤m
C . 02<<m
D . 13<<m
4. 若
()()
00
00
lim lim ,,lim lim ,x x y y y y x x f x y f x y →→→→存在但是不相等，则 【 】
A ．
()
00
lim ,x x y y f x y →→一定不存在 B .
()
00
lim ,x x y y f x y →→一定存在
C . ()
00
lim ,x x y y f x y →→存在性无法判断 D .
()00
lim ,0
x x y y f x y →→=
三、计算题（本题30分）
(1) 将函数
()2
f x x =+在
[]2,6上展为正弦级数.
(2) 求下列常微分方程的通解：''3'23-++=x
y y y e
(3) 设
,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，其中(,),()f u v g t 有连续二阶导数或偏导数，求2z x y ∂∂∂
四、问题分析（15分）
设函数()()()()()
222
,0,0,0,0,0x y
x y x y f x y x y ⎧≠⎪
+=⎨⎪=⎩
讨论此函数在原点的连续性、偏导数的存在性、可微性。

五、证明题（15分）
设,:n
E R f E R ⊂→，f 在E 上一致连续，证明：
若{}n
k P R ⊂是柯西序列，则(){}
()k f P f E ⊂也是一个柯西序列。

六、加选题（10分）
设
(),f x y 在[][],,a b c d ⨯上连续，函数序列(){}k x φ在[],a b 上一致收敛，且
(),1,2,3,....k c x d k φ≤≤=，试证：(){}()(){},k k F x f x x φ=在[],a b 上一致收敛。