微分几何练习题库及参考答案(已修改)..

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限．

2

32

lim[(31)i j k]t t t →+-+= 138i j k -+ 2．设，，求 0 ．

f ()(sin )i j t t t =+ 2

g()(1)i j t t t e =++ 0

lim(()())t f t g t →⋅= 3．已知 ，，，则

{}4

2

r()d =1,2,3t t -⎰

，{}64

r()d =2,1,2t t -⎰ {}2,1,1a =

{}1,1,0b =- .

4

62

2

()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰

⎰

{}3,9,5-4．已知（为常向量），则．

()r t a '= a ()r t = ta c +

5．已知，（为常向量），则 ．

()r t ta '= a ()r t = 212

t a c +

6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.

7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .

8. 挠率恒等于零的曲线是_____

平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .

10. 曲线在t = 2处有，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .

()r r t = 3αβ= 11. 若在点处则为曲面的_ 正常______点.

00(,)u v v 0u r r ⨯≠

，00(,)u v 12． 已知，，，

()(2)(ln )f t t j t k =++ ()(sin )(cos )g t t i t j =-

0t >则．

4

()d f g dt dt ⋅=⎰

4cos 62-13．曲线在任意点的切向量为．{

}3()2,,t r t t t e =

{}22,3,t t e 14．曲线在点的切向量为．

{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =

0t ={}0,,a a 15．曲线在点的切向量为．

{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =

0t ={}0,,a b 16．设曲线，当时的切线方程为

．2:,,t t C x e y e z t -===1t =2111

-=--

=-z e

e y e e x 17．设曲线，当时的切线方程为.t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 0t =11-==-z y x 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________.19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__.20. 在欧拉公式中，是 方向(d) 与u －曲线 的夹角.

2212cos sin n k k k θθ=+θ21. 曲面的三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间的关系是 .

,,I II III K H 20H K III -II +I =22．已知，其中，{}r(,),,u v u v u v uv =+-

2,sin u t v t ==则．dr

= {}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+

e 23．已知，其中，，则

{}r(,)cos cos ,

cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=

t =ϕ2t =θdr(,)

d t

ϕθ= ．

{}sin cos 2cos sin ,

sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+24．设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果(,)r r u v = 0u v r r ⨯≠

是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．

:()r G r G →

25．如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．

u -v -26．平面的第一基本形式为，面积微元为．

{}r(,),,0u v u v =

22d d u v +d d u v 27．悬链面第一基本量是．

{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =

22cosh 0,cosh E u F G u ===，28．曲面上坐标曲线，z axy =0x x =0y y =29．正螺面的第一基本形式是．

{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =

2222d ()d u u b v ++30．双曲抛物面的第一基本形式是

{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-

．

2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++31．正螺面的平均曲率为 0 ．

{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =

32．方向是渐近方向的充要条件是．

(d)d :d u v =22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或33. 方向和共轭的充要条件是

(d)d :d u v =(δ)δ:δu v =．

(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II

或34.是主曲率的充要条件是

．

λ0E L F M

F M

G N

λλλλ--=--35.是主方向的充要条件是

．(d)d :d u v =2

2

d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M v

E F G F u G v M u N v

L

M N

-++==++或36. 根据罗德里格斯定理，如果方向是主方向，则

(d)(d :d )u v =．n n dn k dr k =-

，其中是沿方向(d)的法曲率37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．

38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面∏上的正投影曲线(C*)的曲率．

39．之间的关系是．

,,g n k k k 222g n k k k =+40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为