(整理)华东师大数学分析

华东师大数学分析2001年试卷

一、（30分）简单计算题

（1）

（2） 验证当x →∞时，202x

t x e dt ⎰与2

x e 为等价无穷大量. （3） 求不定积分

2ln(1)x dx x +⎰.

（4） （5） 求曲线积分2

(cos )sin OA I y y dx x ydy =

-+⎰,其中有向曲线OA 为沿着正弦曲线sin y x =从O （0,0）到点A (,0)π.

（6） 设f 为可微函数，222()u f x y z =++，并有方程 23326x y z xyz ++=，试对以下两种情形分别计算

u x

∂∂在点0(1,1,1)P 处的值； 1)

2)

3)

4) 由方程确定了隐函数(,)z z x y =;

6)

7) 由方程确定了隐函数(,)z z z x =;

二、（12分）求椭球2222221x y z a b c ++=与锥面222

2220x y z a b c

+-=(0)z ≥所围成的立体.

三、（12分）证明：若函数()f x 在有限区域(,)a b 内可导，但无界，则其导函数'()f x 在(,)a b 内必无界.

四、（12分）证明：若1n n a

∞=∑绝对收敛，则121()n n n a a a a ∞=+++∑亦必绝对收敛。

五、（17分）设()f x 在[0,1]上连续，(1)0f =，证明：

1.

2.

3. {}n

x 在[0,1]上不一致收敛； 5.

6.

7.

8. {}()n

f x x 在[0,1]上一致收敛； 六、（17分）设函数()f x 在闭区间[],a b 上无界，证明：

1.

2.

{}[],n x a b ∃⊂，使得lim ();n n f x →∞=∞ 3. {}[],c a b ∃⊂，使得0,(),f x c δδδ∀>+在(c-)[a,b]上无界.（此题鼓励多

种证法）