解三角形常见题型及技巧

解三角形常见题型及技巧

1．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C

＝2R 其中2R 为△ABC 外接圆直径。

变式1：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 。 变式2：sin 2a A R =

，sin 2b B R =，sin 2c C R

= 变式3：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 。

变式4：

R C

B A c

b a C A

c a C B c b B A b a A a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin =++++=++=++=++= 2．余弦定理

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 （边换角后）sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A 。

变式1：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

。

变式2：a 2＝（b ＋c ）2－2b c （1+cos A ）（题目已知b ＋c ，bc 或可求时常用） 3．解三角形（知道三个元素，且含有边）

(1)已知三边a ，b ，c 或两边a ，b 及夹角C 都用余弦定理

(2)已知两边a ，b 及一边对角A,一般先用正弦定理，求sin B ，sin B ＝b sin A

a 。

(3)已知一边a 及两角A ，B (或B ，C )用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。 4．三角形常用面积公式

(1)S ＝12a ·h (2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)

5.在△ABC 中，常有以下结论： 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π。

2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；

sin

A ＋

B 2＝cos

C 2；cos A ＋B 2＝sin C

2

。 4.大边对大角，大角对大边（若A 不是最大角，则A 一定是锐角） 5.中线定理、角平分线定理

1)中线定理：指的是三角形一条中线两侧所对的边平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的两倍的和。 2)角平分线定理一：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

角平分线定理二：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

【解题技巧】

1、题目中给出等式时：先观察是否存在边的齐次、角正弦的齐次，然后进行边、角互化

如“a b =”可转化为“sin sin A B =”等（也可角化边），如“22a b =”不可转化为“2sin 2sin A B =”. 2、等式中同时出现A,B,C 三个角时，一定是会把一个角化掉（或另两个角合并成一个角），用另外两角代替，再展开，例：sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，则把B 化掉，sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，展开后sin C (sin A ＋cos A )＝0，sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，

3、题目中出现化简时，①出现同角正余弦相乘、半角2A

，用二倍角公式化简，例如A A A 2sin 21cos sin =,2

cos 12cos 2A

A +=

，②出现sinAcosC ＋sinCcosA 时，可以合并为sin(A+C) 4、求两个角倍数的加减运算的正余弦值时，一般展开计算，把每个角的正余弦算出来，例如：求sin(2A －B )=sin2A cos B －cos2A sin B ，然后把算出的B,2A 的正余弦值代入，即可求得。 5、代换思想

①边之比与角之比可以互化，即

B

A

sin sin b a =

，注意题目求值时可以互化求值 ②等式中出现平方项（2

a ）或两边乘积（bc ）时，一般用余弦定理代换或求解，例：出现2

b +2

c -2

a 时，用2bc cos 替换

③当等式中出现同角的正余弦且求其中一个值时，考虑平方，然后用平方和等于1代换调，用解方程的方法解出。例()

sin 41cos B B =-，

两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =，

15cos 17

B =

6、第三边上一点与顶点连线，经常用到以这个点为顶点的角的正弦值相等，余弦值相反列等式。

7、面积、范围问题：①建立如“2

2

,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，可以通过均值不等式、三角函数有界性求出，②全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ω?=++，从而求出范围。

【例题讲解】

【例1】

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin B 2－cos B 2＝1

4。

(1)求cos B 的值； (2)若b 2－a 2＝314ac ，求sin C sin A

的值。

【例2】

（2018新课标全国Ⅱ理科）在ABC △中，cos 2C =

1BC =，5AC =，则AB = A

． B C

D ．【例3】

（2019新课标全国Ⅲ理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A b C

A a sin 2

sin =+ （1）求B ；

（2）若△ABC 为锐角三角形，且c=1，求△ABC 面积的取值范围。 【例4】

（2017新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为

2

3sin a A

. （1）求sin B sin C ;

（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长. 【例5】

（2017新课标全国Ⅱ理科）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2

sin 8sin 2

B

A C +=． （1）求cos

B ；

（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 【例6】

（2016新课标全国Ⅰ理科）ABC △的内角A ，

B ，

C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；

（II ）若c ABC △=

的面积为

2

，求ABC △的周长． （2020新课标全国Ⅰ文科）.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.

（1）若a ，b ，求ABC 面积；

（2）若sin A C =

2

，求C .

练习

1．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知31c =+，2b =，π

3

A =，则

B = A ．

3π4

B ．

π6

C ．

π4

D ．

π4或3π4

2．已知ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()2cos cos cos .C a B b A c += 1,3a b ==,则c = A ．3

B ．22

C ．7

D ．6

3．已知A B C ，，是ABC △的内角，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边.若

222cos sin sin sin cos B A A B C --=,

（1）求角C 的大小； （2）若π

6

A =，ABC △的面积为3，M 为BC 的中点，求AM .

4．ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos sin a B b A =.

（1）求角B ；

（2）若D 为BC 的中点，2,7AB AD ==ABC △的面积.

5．已知ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC △的面积23S =7b a =，120B =.

（1）求b 、c 的值； （2）证明：tan 10

S A =.