质点的角动量定理和角动量守恒定律
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3-4
质点的角动量定理和角动量守恒定律
一、矢量的点矩和轴矩 力矩 角动量 (即动量矩) 1. 矢量的点矩. 矢量 A 的矢尾对 O 点的位置矢量为 r , 则矢量 A 对 O 点的点矩定义为
矢量 A 对 O 点的点矩与 O 点的选取有关 . 若
r // A , 则 GO = 0 . = M r 力 F 对 O 点的力矩 O × F
点对 O 点的角动量守恒, 角动量积分.
LO = r × mv = 常矢量
质点对 固 定点 O 角动量 守恒 的条件为 M O ≡ 0 , 包括以下两种情况: (1) F = 0 , (2) F // r .
例题 6 关于角运动和角动量守恒的理解. 已
知 质点对 固 定点 O 的角动量 守恒 , LO = r × mv = C ,
已经丢失了 质点 沿径 向 运 动的 信息 , 因此质点对 固定点 O 的角动量定理仅能描述质点沿与 r 垂直方 向上的角运动. 作为推论, 可得到质点对固定点 O 的角动量守 恒定律: 若在某一过程中, 质点所受的合力对固定点 O
的力矩恒 为零 , 即 M O = r × F ≡ 0 , 则在 该过程 中质
物理力矩定义相一致 , 只是要注意 M l 为可正可 负 的标量. 二、质点对固定点 O 的角动量定理 和角动量守恒定律 由牛顿第二定律
d( mv ) r× =r×F dt d dr d ( mv ) ( r × m v ) = × m v +r× 注意到 dt dt dt . dr 因为 O 为固定点, 所以 dt = v , 所以 d dLO ( r × mv ) = r × F 即 = MO dt dt
因 为 Gl = el ⋅ (r × A) = r ⋅ ( A × el ) , 若 A // el , 则
A × el = 0 , 故 G l = 0 . e 因 此 矢 量 A 对 l 轴 的 轴 矩 Gl = 0 的 条 件 为 : e A // e (1) l ; (2) A 的延长线与 l 轴相交. e 两个条件可合并表示为矢量 A 与 l 轴共面. 力 F 对 el 轴的力矩 M l = el ⋅ M 0 . 比如力 F 对 x
2
k
mrθ 0 mr
Байду номын сангаас
即 r 2θ = 常量. 掠面速度为
1 r ⋅ r∆θ dA ∆A 1 = lim = lim 2 = r 2θ dt ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t 2
1 2 故 LO = C 时掠面速度 2 r θ 为常量.
角运动: 即使质点做直线运动, 只要 O 点在直 线之外, 角运动就存在. 动量 是 质点线 运 动的 度 量 , 角动量则 是 质点 角运动的度量. v 显然质点的径向运动( || )对质点的角运动没有 贡献. 三、质点对固定轴的角动量定理和角动量守恒定律 e e 设 O 点为固定轴上一点, l 为常矢量, 以 l 点 乘则
e 于 l 的平面上的分矢量, 则 M l = el ⋅ (r × F ) = el ⋅ [(r|| + r⊥ ) × ( F|| + F⊥ )]
e 可 见我们现在定义的力 F 对 l 轴的力矩 M l 与中 学
= el ⋅ [(r|| × F|| ) + (r|| × F⊥ ) + (r⊥ × F|| ) + (r⊥ × F⊥ )] M l = el ⋅ (r⊥ × F⊥ ) = ± F⊥ d
LO = r × mv
GO = r × A
质点的角动量即为质点动量 p = mv 的矩 在直角坐标系 Oxyz 中
i MO = r × F = x Fx
j k y z Fy Fz
= ( yFz − zFy )i + ( zFx − xFz ) j + ( xFy − yFx )k
以质点的位置矢量 r 从左方叉乘上式, 得
dv m =F dt
上式即为质点对固定点的角动量定理. 在固定的直角坐标系 Oxyz 中,
d ) = yFz − zFy − mzy dt ( myz d − mxz ) = zFx − xFz ( mzx dt d − myx ) = xFy − yFx dt ( mxy
只需第一式乘 x 与第二式乘 y 相加, 即可导出第三
式 , 说明只 有两个 独立 的标量方 程 ; 而当 质点在 Oxy 平面内 做二维运 动 时 , 仅 一个标量方 程 , 即 第 三式 , 所以对 固 定点的角动量定 理 不 能 与 牛顿第 二定律等价.
L = r × m ( v + v ) = r × m v r × v = 0 由于 , 所以 O || || ⊥ ⊥ ,
例题 7 质量为 m 的质点受重力作用, 在一 光 滑的、 半径为 R 的球面上运动. 采用球坐标系, 设 0 已知, 又知 t 时 t 0 时刻质点位置为( R,θ 0 , ϕ 0 ), 且 ϕ . 刻质点位置为( R,θ , ϕ ). 求 t 时刻的 ϕ 解 如 图 , 以质点 m 为 研究 对 象 , O 为球 心 , 建 立 直 角 坐 标 系 Oxyz 和 球 坐 标 系 . 质 点 受 重 力 W = mg = − mgk , 约 束 力
试证明: (1) 质点做平面曲线运动; (2) 质点运动 中掠面速度守恒.
证明 (1) r 和 v 必始终与 LO 垂直, 质点必在
过 O 点且与 LO 垂直的平面内运动.
(2)
LO = r eρ
以 LO 方向为 z
轴建立柱坐标系, 则
eθ 0
0 = mr θk = C
sin θ Lz = R sin θ ⋅ mRϕ sin θ 的“臂”). 则 ( R sin θ 为分动量 mRϕ
0 sin 2 θ 0 sin 2 θ = mR 2ϕ L z = mR 2ϕ
sin 2 θ 0 = 0 . ϕ 2 故 ϕ sin θ
面积之两倍 , 其方向垂直于 ∆OAB ; 同样 , 对 O1 点
的点矩 M1 = r1 × F 的大小为 ∆O1 AB 面积的两倍 , 其方
向垂直于 ∆O1 AB .
显然, M 0 和 M 1 在
el 轴上的投影的大小
等于 ∆ OAB 和 ∆O1 AB 在 e 与 l 垂直的平面上的 投影面积 (均为 ∆O2 A′B′ 面积 ) 的两倍 , 均为 M l , 与轴上 O 点的选取无关. 把 r 和 F 沿平行于 el 方向和垂直于 el 方向分解, r = r|| + r⊥ , F = F|| + F⊥ , r⊥ 和 F⊥ 即为 r 和 F 在垂直
Ll = el ⋅ LO = el ⋅ (r × mv ) = 常量
角动量积分. e 质点对固定 l 轴的角动量守恒的条件为 M l ≡ 0 , 包括以下两种情况: (1) F = 0 ; (2) 力 F 作用线与
el 轴平行或相交. 即 F 与 el 轴共面.
在球坐标系中
LO = r × mv = r er
eθ 0
eϕ 0
sin θ mrϕ mrθ mr
e sin θeθ + mr 2θ = −mr 2ϕ ϕ
2. 矢量的轴矩. e 定义轴为有方向的直线, 其方向用单位矢量 l
表示, 称为 el 轴. 设 O 点为 el 轴上任 e 点, 则矢量 A 对 l 轴的轴矩定义为 Gl = el ⋅ GO = el ⋅ (r × A) Gl = el ⋅ (r × A) = A ⋅ (el × r ) . 由于
dLO d el ⋅ = (el ⋅ LO ) = el ⋅ M O , dt dt
dLl = Ml dt
e 即质点对固定 l 轴的角动量定理.
作为其 推论 , 质点对 固 定轴的角动量 守恒 定 律表述为: e 若在 某 一过 程 中 , 质点所 受 合力对 固 定 l 轴 e M ≡ 0 , 则在该过程中质点对 l 的力矩恒为零, 即 l 轴的角动量守恒,
轴的力矩 M x = yFz − zF y .
e e 质点对 l 轴的角动量 ( 即质点对 l 轴的动量
矩 ) Ll = el ⋅ LO . 比 如 质 点 对
− myx . Lz = mxy
以力 F
z 轴的角动量
的力矩为例对点矩和轴矩作进一步的
分析 . 对 O 点的点矩 M O = r × F 的大小等于 ∆OAB 的
el × r = r sin α , el × r 垂直纸面
一
e 向内, 均与 O 点选取无关, 所以矢量 A 对 l 轴的轴
矩与轴上 O 点选取无关. 显然, 矢量 A 对过同一 O 点、 方向不同的轴的 轴矩不同.
由于 Gl = el ⋅ GO , 若 A 的延长线与轴相交 , 以 交点为 O 点, 则 GO = 0 ，故 Gl = 0 .
FN = FN er . 因 W 与 z 轴平行, FN
的作用线与 z 轴相交, 故 质点所受的对 z 轴的合力 矩为零, 因此运动过程中
质点对 z 轴的角动量守恒. 因为
e + sin mv = mRθ mR ϕ θ e θ ϕ
mR θ e 而 θ 与 z 轴共面, 对 z 轴的矩为零, 所以
质点的角动量定理和角动量守恒定律
一、矢量的点矩和轴矩 力矩 角动量 (即动量矩) 1. 矢量的点矩. 矢量 A 的矢尾对 O 点的位置矢量为 r , 则矢量 A 对 O 点的点矩定义为
矢量 A 对 O 点的点矩与 O 点的选取有关 . 若
r // A , 则 GO = 0 . = M r 力 F 对 O 点的力矩 O × F
点对 O 点的角动量守恒, 角动量积分.
LO = r × mv = 常矢量
质点对 固 定点 O 角动量 守恒 的条件为 M O ≡ 0 , 包括以下两种情况: (1) F = 0 , (2) F // r .
例题 6 关于角运动和角动量守恒的理解. 已
知 质点对 固 定点 O 的角动量 守恒 , LO = r × mv = C ,
已经丢失了 质点 沿径 向 运 动的 信息 , 因此质点对 固定点 O 的角动量定理仅能描述质点沿与 r 垂直方 向上的角运动. 作为推论, 可得到质点对固定点 O 的角动量守 恒定律: 若在某一过程中, 质点所受的合力对固定点 O
的力矩恒 为零 , 即 M O = r × F ≡ 0 , 则在 该过程 中质
物理力矩定义相一致 , 只是要注意 M l 为可正可 负 的标量. 二、质点对固定点 O 的角动量定理 和角动量守恒定律 由牛顿第二定律
d( mv ) r× =r×F dt d dr d ( mv ) ( r × m v ) = × m v +r× 注意到 dt dt dt . dr 因为 O 为固定点, 所以 dt = v , 所以 d dLO ( r × mv ) = r × F 即 = MO dt dt
因 为 Gl = el ⋅ (r × A) = r ⋅ ( A × el ) , 若 A // el , 则
A × el = 0 , 故 G l = 0 . e 因 此 矢 量 A 对 l 轴 的 轴 矩 Gl = 0 的 条 件 为 : e A // e (1) l ; (2) A 的延长线与 l 轴相交. e 两个条件可合并表示为矢量 A 与 l 轴共面. 力 F 对 el 轴的力矩 M l = el ⋅ M 0 . 比如力 F 对 x
2
k
mrθ 0 mr
Байду номын сангаас
即 r 2θ = 常量. 掠面速度为
1 r ⋅ r∆θ dA ∆A 1 = lim = lim 2 = r 2θ dt ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t 2
1 2 故 LO = C 时掠面速度 2 r θ 为常量.
角运动: 即使质点做直线运动, 只要 O 点在直 线之外, 角运动就存在. 动量 是 质点线 运 动的 度 量 , 角动量则 是 质点 角运动的度量. v 显然质点的径向运动( || )对质点的角运动没有 贡献. 三、质点对固定轴的角动量定理和角动量守恒定律 e e 设 O 点为固定轴上一点, l 为常矢量, 以 l 点 乘则
e 于 l 的平面上的分矢量, 则 M l = el ⋅ (r × F ) = el ⋅ [(r|| + r⊥ ) × ( F|| + F⊥ )]
e 可 见我们现在定义的力 F 对 l 轴的力矩 M l 与中 学
= el ⋅ [(r|| × F|| ) + (r|| × F⊥ ) + (r⊥ × F|| ) + (r⊥ × F⊥ )] M l = el ⋅ (r⊥ × F⊥ ) = ± F⊥ d
LO = r × mv
GO = r × A
质点的角动量即为质点动量 p = mv 的矩 在直角坐标系 Oxyz 中
i MO = r × F = x Fx
j k y z Fy Fz
= ( yFz − zFy )i + ( zFx − xFz ) j + ( xFy − yFx )k
以质点的位置矢量 r 从左方叉乘上式, 得
dv m =F dt
上式即为质点对固定点的角动量定理. 在固定的直角坐标系 Oxyz 中,
d ) = yFz − zFy − mzy dt ( myz d − mxz ) = zFx − xFz ( mzx dt d − myx ) = xFy − yFx dt ( mxy
只需第一式乘 x 与第二式乘 y 相加, 即可导出第三
式 , 说明只 有两个 独立 的标量方 程 ; 而当 质点在 Oxy 平面内 做二维运 动 时 , 仅 一个标量方 程 , 即 第 三式 , 所以对 固 定点的角动量定 理 不 能 与 牛顿第 二定律等价.
L = r × m ( v + v ) = r × m v r × v = 0 由于 , 所以 O || || ⊥ ⊥ ,
例题 7 质量为 m 的质点受重力作用, 在一 光 滑的、 半径为 R 的球面上运动. 采用球坐标系, 设 0 已知, 又知 t 时 t 0 时刻质点位置为( R,θ 0 , ϕ 0 ), 且 ϕ . 刻质点位置为( R,θ , ϕ ). 求 t 时刻的 ϕ 解 如 图 , 以质点 m 为 研究 对 象 , O 为球 心 , 建 立 直 角 坐 标 系 Oxyz 和 球 坐 标 系 . 质 点 受 重 力 W = mg = − mgk , 约 束 力
试证明: (1) 质点做平面曲线运动; (2) 质点运动 中掠面速度守恒.
证明 (1) r 和 v 必始终与 LO 垂直, 质点必在
过 O 点且与 LO 垂直的平面内运动.
(2)
LO = r eρ
以 LO 方向为 z
轴建立柱坐标系, 则
eθ 0
0 = mr θk = C
sin θ Lz = R sin θ ⋅ mRϕ sin θ 的“臂”). 则 ( R sin θ 为分动量 mRϕ
0 sin 2 θ 0 sin 2 θ = mR 2ϕ L z = mR 2ϕ
sin 2 θ 0 = 0 . ϕ 2 故 ϕ sin θ
面积之两倍 , 其方向垂直于 ∆OAB ; 同样 , 对 O1 点
的点矩 M1 = r1 × F 的大小为 ∆O1 AB 面积的两倍 , 其方
向垂直于 ∆O1 AB .
显然, M 0 和 M 1 在
el 轴上的投影的大小
等于 ∆ OAB 和 ∆O1 AB 在 e 与 l 垂直的平面上的 投影面积 (均为 ∆O2 A′B′ 面积 ) 的两倍 , 均为 M l , 与轴上 O 点的选取无关. 把 r 和 F 沿平行于 el 方向和垂直于 el 方向分解, r = r|| + r⊥ , F = F|| + F⊥ , r⊥ 和 F⊥ 即为 r 和 F 在垂直
Ll = el ⋅ LO = el ⋅ (r × mv ) = 常量
角动量积分. e 质点对固定 l 轴的角动量守恒的条件为 M l ≡ 0 , 包括以下两种情况: (1) F = 0 ; (2) 力 F 作用线与
el 轴平行或相交. 即 F 与 el 轴共面.
在球坐标系中
LO = r × mv = r er
eθ 0
eϕ 0
sin θ mrϕ mrθ mr
e sin θeθ + mr 2θ = −mr 2ϕ ϕ
2. 矢量的轴矩. e 定义轴为有方向的直线, 其方向用单位矢量 l
表示, 称为 el 轴. 设 O 点为 el 轴上任 e 点, 则矢量 A 对 l 轴的轴矩定义为 Gl = el ⋅ GO = el ⋅ (r × A) Gl = el ⋅ (r × A) = A ⋅ (el × r ) . 由于
dLO d el ⋅ = (el ⋅ LO ) = el ⋅ M O , dt dt
dLl = Ml dt
e 即质点对固定 l 轴的角动量定理.
作为其 推论 , 质点对 固 定轴的角动量 守恒 定 律表述为: e 若在 某 一过 程 中 , 质点所 受 合力对 固 定 l 轴 e M ≡ 0 , 则在该过程中质点对 l 的力矩恒为零, 即 l 轴的角动量守恒,
轴的力矩 M x = yFz − zF y .
e e 质点对 l 轴的角动量 ( 即质点对 l 轴的动量
矩 ) Ll = el ⋅ LO . 比 如 质 点 对
− myx . Lz = mxy
以力 F
z 轴的角动量
的力矩为例对点矩和轴矩作进一步的
分析 . 对 O 点的点矩 M O = r × F 的大小等于 ∆OAB 的
el × r = r sin α , el × r 垂直纸面
一
e 向内, 均与 O 点选取无关, 所以矢量 A 对 l 轴的轴
矩与轴上 O 点选取无关. 显然, 矢量 A 对过同一 O 点、 方向不同的轴的 轴矩不同.
由于 Gl = el ⋅ GO , 若 A 的延长线与轴相交 , 以 交点为 O 点, 则 GO = 0 ，故 Gl = 0 .
FN = FN er . 因 W 与 z 轴平行, FN
的作用线与 z 轴相交, 故 质点所受的对 z 轴的合力 矩为零, 因此运动过程中
质点对 z 轴的角动量守恒. 因为
e + sin mv = mRθ mR ϕ θ e θ ϕ
mR θ e 而 θ 与 z 轴共面, 对 z 轴的矩为零, 所以