常数项级数的审敛法-交错级数的审敛法,条件收敛与绝对收敛

|
n 1
un
|
发散,

则可以断定级数 un 必定发散.因为从 1 可推知
n 1

lim
n
| un
|
0
,
从而
lim
n
un

0 ,因此级数
un
n 1
是发散的.
例
判定级数

1n
n1
1 2n
1
1 n2
n
的收敛性.
解
记 un

(1)n
1 2n
2n
n1 2n
所以级数
n 1
(1) n 1
n n2 1
是条件收敛的.


一般说来,如果级数 | un | 发散,不能断定级数 un
n 1
n1
也发散.但是,如果用比值审敛法或根值审敛法根据
lim un1
u n n



1或
lim
n
n
| un
|


1判定级数
n 1


如果正项级数 | un | 收敛,则称级数 un 绝对收敛;
n 1
n 1


如果级数 un 收敛, 而级数 | un | 发散,
n 1
n 1

则称级数 un 条件收敛.
n 1
例
级数

(1)n1
n 1
1 n2
是绝对收敛级数,
因为正项级数
n 1
0
0
0
s2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n ,
从而有 0 s2n u1 ,即数列{s2n} 有界.
lim
n
s2n

s

u1 .
(1) un un1 (n 1, 2, 3, ) ;
再证明
lim
(1) un un1 (n 1, 2, 3, ) ;
(2)
lim
n
un

0,
那么级数收敛,且其和 s u1 ,余项 rn 的绝对值 | rn | un1 .
证 先证明前 2n 项的和 s2n 的极限存在.
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n ) , {s2n} ;
例 判定交错级数
(1)n1 1 1 1 1 1 (1)n1 1
n 1
n 234
n
的收敛性.
解
(1) un

1 n

n
1
1

un1
(n 1, 2,
),
(2)
lim
n
un

lim
n
1 n

0,
所以它是收敛的,且其和 s

1
.|
rn
|
1 n+1
(

un1
).

注：判别交错级数 (1)n1un ( un 0 )的收敛性时, n 1
记 un f (n) , 如果数列{ f (n)} 单调减少不容易判断,
可通过验证当 x 充分大时 f (x) 0 来判断当 n 充分大时
数列 { f (n)} 的单调减少; 如果直接求极限 lim f (n) 有困难, n
例
(1)n1 1 1 1 1 1 (1)n1 1
n 1
n 234
n
(1)n-1 ln n ln 2 ln 3 ln 4 (1)n1 ln n
n1
n
234
n
都是交错级数.
定理(莱布尼茨定理)

如果交错级数 (1)n1un 满足条件: n 1
n
s2 n 1

s
.
s2n1 s2n u2n+1 ,
lim
n
u2n+1

0
,
因此
(2)
lim
n
un

0
,
lim
n
s2
n 1

lim(
n
s2
n
u2n1)

s
.故 lim n
sn

s
,且 s

u1 .
rn (un1 un2 ) , | rn | un1 un2 un1 .
n2

1 n2
,

而级数
1
n1 n 2
收敛,

所以级数
sin n
也收敛.即级数 sin n 绝对收敛,
n2
n 1
n2
n1
从而收敛.
例
判定级数
n1
(1)n1
n 的收敛性. n2 1
解
记 un

n n2 1
,
un1 un

(n
n 1 1)2 1

n2 1 n
ln x x
,
从而
lim
f (x)
ln x

1 ln x 0 (x 3) .于是
x2
lim 1 0 , 从而 lim ln
n
n
3 时,
0.

ln n n

,
x x
x x
n n
绝对收敛 与条件收敛

un u1 u2 un ,它的各项为任意实数.
交错级数 及其审敛法
交错级数: 各项是正负交错的级数.
可以写成下面的形式:
u1 u2 u3 u4 或 u1 u2 u3 u4 ,
其中 u1 , u2 , 都是正数.

(1)n1un (un 0) ,
n1

(1)n un (un 0) .
n 1
亦可通过求 lim f (x) (假定它存在)来求 lim f (n) .
x
n
例 判定交错级数的收敛性.
(1)n-1 ln n ln 2 ln 3 ln 4 (1)n1 ln n
n 1
n
234
n
解
记
f
(n)

un

ln n n
0 ,则
f (x)
(1)n1
1 n2

n 1
1 n2
收敛.
级数 (1)n1 1 是条件收敛级数,
n 1
n
(1)n1 1 收敛, (1)n1 1 1 是发散的.
n1
n
n 1
n n1 n


定理 如果级数 un 绝对收敛,则级数 un 必定收敛.
n 1
n 1
证
令 vn

1 2
(un
|
un
|)
(n
1, 2,
),

vn 0 且 vn | un | (n 1, 2, ) .级数 | un | 收敛,
n 1




所以级数 vn 收敛, 级数 un 2vn | un |也收敛.
n 1
n 1
n 1
Leabharlann Baidu
1
1
n2

n

1 2n
1
1 n
n2

,
有
n
un

1 2
1

1 n n

1e 2
(n ) ,
而 1 e 1, 2
可知
lim
n
un

0,
因此所给级数发散.
1,
即 un1 u n (n 1, 2,
)
,
且
lim
n
un

lim
n
n n2 1

0
,
由莱布尼茨定理知原交错级数收敛.
另一方面,

un
n 1

n 1
(1)n1
n n2 1

n1
n, n2 1
而 un

n n2 1

n2
n
n2
1 , 级数 1 发散,
n 1

根据这个结论，对于一般的级数 un , 如果我们用 n 1
正项级数的审敛法判定级数 | un | 收敛,则此级数收敛. n 1
这就使得一大类级数的收敛性判定问题, 转化为正项级数
的收敛性判定问题.
例 判定级数 sin n 的收敛性.
n2
n 1
解 因为 sin n