第04讲 (2010)迭代 混沌 分形 综合
00F混沌分形波浪理论
3、 各波浪详细情况： A. 第一波： a、第一波特性：第一波必然是一个五波序列，产生於反向五波结束或 c 波或 e 波结束（波浪零点）， b、第一波的目标区域：最佳的方法是分析内部较低级数的波浪与结构。 B. 第二波： a、第二波特性特性：是由先前未进场的买方（卖方）迫不及待的入场造成，与第四波不同，第四波来自于先前已经进场的获利了结压力 （多头平仓或空头平仓）。 b、第二波的目标区域由以下 2 者决定： ①非波纳奇系数：第二波目标终点，大约会折返至第一波幅度的 38%与 62%之间。大约有 3/4 会终止与这个区域，1/6 的可能性折返 幅度会超过 62%，如果第二波的折返幅度不满 38%，他通常是不规则的修正。（见下图） ②第二波的内部波浪计数。
G混沌分形波浪理论 page8 of 10
b、复杂型修正（以下三种修正，a 波都只有 3 个波浪）： ①平坦型修正：每一波几乎都有相同的价格长度，如果 b 波超过前一个推动波的终点，则可能发展成不规则型修正； ②不规则型修正：见下图
③三角形修正：是一种五波浪（a-b-c-d-e）的修正模式，通常都发生在某一个波浪序列的倒数第二波（即第四波或第 b 波）。 如果三角形修正发生在第四波，则在修正之后，价格通常会第三波的方向突破。 如果三角形修正发生在第 b 波，则在修正之后，价格通常会第 a 波的方向突破。
上图列出一些初始分形的排列。在判定分形时，需留意下列情况： A. 如果某支条形图的最高价（最低价）等于中间条形图的最高价（最低价），则它不被计入分形排列的五支条形图中，因为其最高价（最低
价）并不低于（高于）中间条形图的最高价（最低价）（参考上图 D）； B. 相邻的分形可以彼此共用条形图（参考上图 C）； C. 在一个分形中，先前与随后必须分别出现至少 2 支条形图，它们的最高价都比较低（向上分形），或它们的最低价都比较高（向下分
混沌迭代
x ( t + 1 ) − x ( t ) = kx ( t )( x m − x ( t ))
α
)
点由稳定变为不稳定。 A 点由稳定变为不稳定。经
过考察可以发现不久之后分岔出了一对新的 * * x 稳定的不动点 x 1 和 x 。 n 将在这两个点 2 上来回跳动。 上来回跳动。例如当α = 3.2 时，可写出联 * * 的两个方程， 系 x x 的两个方程，并得到 解 0.513
{
x = 3 .2 x (1 − x ) x = 3 .2 x (1 − x )
f (1 −
'
1
) = 2 −α <1
= 3 时，对 A 点，由于 f (A) = 2−α =−1 ，再次发生叉型分岔。 再次发生叉型分岔。
'
f (5)当 3<α≤1+ 6 =α2 时，对 O 点， (O) =α >1 当
'
，它仍是不稳定点。对于 A 点， f (1 − 它仍是不稳定点。
'
1
2 −α >1 则 ，
k x ( n ) ，则有 1 + kx m
x n+ 1 = ( 1 + kx m ) x n ( 1 − x n )
= 1 + kxm ，可得 x n + 1 = α x n ( 1 − x n )
(2)
第四章 分形041019105835
Df ： 显然，D 即为相应图形的维数。对上式取对 数，并将 D 记为 D f log log K L (4-1-2)
可以见到，对于正规的几何图形，(4-1-2)式的分子刚好可以为分母所整除， D f 为整数，这就是我们所熟悉的欧几里德维数。但对于不规则的几何图形， (4-1-2) 式不总是可以整除的，于是在一般情况下，一个几何图形的维数是个分数， 简称 为分维。这就是说，规则几何图形是一般几何图形的特殊情况，与此相对应 f 常称为豪斯道夫维数。 的分数维概念， 的整 数维数也只是一种特例。这就是 1919 年由法国数学家豪斯道夫(Hausdorff) 我们还可以从另外角度来讨论图形维数的定义。例如，一个具有单位面积的 引进 正方形，现在把它等分成九个小正方形，即九个小正方形相加等于原来的面积， D 而这时小正方形的边长缩小为原来长度的 1/3 倍。上述关系为： 9×(1/3)2＝1 (4-1-3)
2. 规则分形
现在来看一些比较特殊的几何图形，它们是在曼德布罗特提出分形理论之前， 由许多数学家构造出来的一批具有自相似的几何图形，如康托尔(Cantor)点集， 科赫(Koch)曲线，谢尔宾斯基(Serpinski)地毯等。这些数学家当时是从纯数学兴 趣来构造这些图形，并称之为“病态图形”。现在采用分形理论去研究它们时， 可以看到这些图形与正规几何图形之间存在着直接的联系。
图 4-1 布朗微粒运动的径迹
基于测量对象体形上的自相似性与标度不变性，曼德布罗特提出了分形理论。 首先，他在 1973 年在法兰商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想，接 着在 1977 年他出版了第一本著作：《分形对象：形、机遇与维数》，而在 1982 年出版了第二本著作：《自然界的形几何学》，从而奠定了这门新科学的基础。 分形的英文词是“fractal”，是曼德布罗特创造的，用以表征某些不规则的几何形 体。他给出的分形定义为： A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way”，即“分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形”，或者说， 分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。与人们熟悉的整规体 形的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称 之为分形维数，或简称分维。根据分形体的不同特征，有多种分形维数的定义， 而且由不同分形维数定义计算出的维数也有一些差别。 目前，分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴，它不仅广泛用于 处理自然科学中相关问题，象雷电、相变、聚合物生长等等，而且在扩展到生态、 生命、经济、人文的许多领域。在地震、气象的预报预测、石油的多次开采等应 用领域，甚至在股票涨落分析等方面，分形也都得到了广泛的应用。由此可见， 分形为人们处理复杂对象提供了一个强有力的工具。尤其值得一提的是虽然从表 面上看来，分形似乎和前面讨论过的非线性动力学无多大关系，但是深入研究发 现，分形与系统的混沌运动是密切相关的，它是非线性科学中的另一个重要分支。
非线性动力学混沌和分形
非线性动力学混沌和分形非线性动力学是研究非线性系统行为的学科，其中混沌和分形是两个重要的概念。
本文将从混沌和分形的定义、产生原因以及在自然界和科学领域的应用等方面，探讨非线性动力学中的混沌和分形现象。
一、混沌的定义和产生原因混沌是指在非线性系统中表现出的随机、不可预测的行为。
它与线性系统中稳定、可预测的行为形成对比。
混沌的产生是由于非线性系统的敏感依赖性和非周期性。
非线性系统中存在着参数的微小变化对系统行为的剧烈改变的敏感依赖性。
也就是说，微小的输入扰动会在系统中产生指数级的放大效应，导致系统行为出现不可预测的、随机的演化轨迹。
非周期性是混沌的另一个重要特征。
与周期行为不同，混沌系统的演化轨迹不会重复，而是具有无限多的轨迹。
这种非周期性导致了混沌系统的随机性和不可预测性。
二、分形的定义和产生原因分形是指具有自相似性质的几何结构。
这种自相似性是指无论在何种尺度上观察，都能看到相似的图形形态。
分形在数学上可以通过重复迭代、自身放缩等方式来构造。
分形的产生原因与非线性动力学中的迭代过程密切相关。
在迭代过程中，每一次迭代都会根据某种规则对前一次结果进行变换或修改。
这种迭代的特性导致了分形的自相似性质。
三、混沌和分形在自然界中的应用混沌和分形不仅存在于数学和物理领域，也广泛存在于自然界中的各种系统中。
1. 混沌天气模型气象系统是典型的非线性系统，其中存在着许多复杂的变量相互作用。
应用混沌理论来模拟天气系统，可以更好地理解和预测天气变化。
例如，洛伦茨模型是一个典型的混沌系统，通过该模型可以模拟大气环流的混沌行为。
2. 分形地貌自然界中的许多地貌形状具有分形的特征。
例如，河流的分岔结构、山脉的起伏形态都展现了自相似的分形结构。
分形地貌的研究有助于了解地壳运动和地表形态的演化机制。
3. 植物生长模型植物生长是一个既复杂又多变的过程，涉及到生理、环境和遗传等多个因素的交互作用。
应用非线性动力学的方法，可以通过建立植物生长模型，研究植物生长的混沌行为以及其对环境的响应。
ppt02迭代分形图形
%程序1 u=2.6:0.001:4; x=0.6; for j=1:150, x=u.*(x-x.^2); end for i=1:100 x=u.*(x-x.^2); plot(u,x,’r.’) hold on; end 程序运行时间 0.28秒。不保留旧 的X 值，而是直接用它画图。
%程序2 u=2.6:0.001:4; X=ones(250,1401); X(1,:)=0.6*X(1,:); for j=1:250 X(j+1,:)=u.*(X(j,:)-X(j,:).^2); end plot(u,X(150:end,:),’r.’) 运行时间0.15秒，比程序1快。 保 留 所 有 X 值 ， 每 次 计 算 的X 值 生成矩阵的一行元素，最后用矩 阵X 的后150行作图，程序可读性 强。
u=uuu; subplot(3,3,n+1); end
plot(u)， axis([-0.5,0.5,0,1])
3.1.3 树程序3 以矩阵元素赋值的方法计算新点坐标，减少一重循环。 new=[0,i]; subplot(3,3,1); plot(new); axis([-0.5,0.5,0,1 ]); for k=1:8 old=new; n=length(old)/2-1; diff=(old(2:2:end)-old(1:2:end-1))/3; p1=old(1:2:end-1)+diff; p2=p1+diff; lp=p1+diff*(sqrt(3)/2+1/2*i); rp=p2+diff*(sqrt(3)/2-1/2*i); new(2:10:10*n+2)=p1; %第一次循环计算第2,12,22,...点 new(3:10:10*n+3)=p1; %第一次循环计算第3,13...点 new(4:10:10*n+4)=lp; new(5:10:10*n+5)=p1; new(6:10:10*n+6)=p2; new(7:10:10*n+7)=p2; new(8:10:10*n+8)=rp; new(9:10:10*n+9)=p2; new(10:10:10*(n+1))=old(2:2:end); %10,20,... new(1:10:10*n+1)=old(1:2:end-1); %1,11,21.... subplot(3,3,k+1)， plot(new) axis([-0.5,0.5,0,1 ]); end 3.1.4 树程序4(运行时间0.21秒) 每个图形缩小为原来的1/3,再移动位置, 添加到原图形。参看右边的电影。 u=[0,i]; subplot(3,3,1); plot(u) for k=2:8 m=u/3;
几何画板迭代详解之：迭代与分形几何
几何画板迭代详解之：迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。
分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。
欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。
分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。
人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。
分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。
1.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。
2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)⇒表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。
【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。
如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。
它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。
不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。
Sierpinski 三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。
2.新建参数n＝33.顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。
数字混沌理论——分形操作
数字混沌理论——分形操作数字混沌理论是一种全新的哲学与经济行为理论，提供一种一致性获利的方法，这种方法源自混沌理论。
混沌理论让我们从新的角度观察市场，它使我们能更清楚的控制市场行为的根本架构，从而使我们脱离传统理论的束缚，脱离那瞹味不清的传统技术分析。
混沌虽远早于人类文明，但至到电脑的使用混沌才发挥效用，让我们能有效分析市场的根本架构与行为模式。
形结构为混沌理论的分支，它提供一种技巧可以使你分析任何市场，其此数字混沌理论包括了价、量、空间、基准、黄金数字混沌式实战应用。
市场价格的每秒钟变化都属于一种理想状态，而不可以预测的——奇异的——换言之一个随机的形态被包括至此，事实上系统呈现的不规则形为仍然是在某特定范围或者基准内。
数字混沌理论技术分析让你抽象的观察市场，摸清市场结构。
市场交易——或者现称为投机形为——已经被提升至半学术形为，交易者认为它必须绞尽脑汁才能获利，然而交易既不是学术题。
事实上，愈动脑你会发现你越亏损。
理想的交易基本上来自于勇气与心灵。
不需过度的思考、你需要的是直觉，对于自身需求与市场需求的敏感直觉、以及扎扎实实的普通常识。
数字混沌理论让你带领你回归交易的普通常识。
认为：市场的根本架构，以及你的根本架构。
头脑的运作方式将决定你是羸家还是输家，首先了解自已，在了解市场。
行情是不可以预测，这几乎成为市场铁的定律，我们做的只是用操作来迎合市场波动。
数字混沌理论技术分析规则：1、三日为一顶，三日为一低。
2、市场呈现规律运行，市场会重复，但市场未来便不同于过去。
3、以突破为方向确认遵守分析规则，才能有效、准确发挥数字混沌理论的最大效用。
数字混沌理论技术分析实战规则1、不追求爆利，用操作化解风险。
2、以有效锁定利润为基准，副合高抛低吸。
3、利用波动配置资金。
第一、分形分形分析中并不着重于长期的预测。
而在于以持续获利为原则，用预测来迎合波段。
分形理论便是市场中的“我目前将如何做”。
分形分析可以就目前市场活动提供一种更清晰的市场景观。
第四讲函数的迭代
第四讲 函数迭代一、函数迭代的定义函数迭代：对于函数)(x f ，令))(()(,)),(()(),()()1()()1()2()1(x ff x f x f f x f x f x f n n -=== ),2(N n n ∈≥，我 们将)()(x f n 称为函数)(x f 的n 次迭代。
思考：设)()(x f a n n =，则)(1-=n n a f a ，x a =0，)(1x f a =，转化为数列递推。
若()f x x c =+，则()n f x =若3()f x x =，则()()n f x =若()f x ax b =+，则()()n fx = 例1 已知()f x 为一次函数，且 (10)10241023f x x =+，求()f x 的解析式例2 ()f n 是定义在N +上的函数，并且满足（1）(())49f f n n =+,n N +∈;（2）{}1(2)23,0k k f k N ++=+∈⋃求(1789)f 的值例3 ()32,f x x =+证明：存在m N +∈，使(100)()fm 也能被2005整除例4 设n 是不小于3的正整数，以()f n 表示不是n 的因数的最小正整数（例如(12)5f =）.如果()3,f n ≥又可作(())f f n ，类似的如果(())3f f n ≥，又可作((()))f f f n 等等.如果()()2k f n =,就将k 称为n 的“长度”，记为n l .试对任意,3,n N n +∈≥求n l ，并证明二、()()n f x 的求法（1）数学归纳法步骤：①当0n n =时，命题成立；②设0()n k k n =≥时命题成立，可推出1n k =+命题仍然成立，则对于一切 0n n ≥的任何整数，都有命题成立例5 若()f x ax b =+，用数学归纳法求()()n f x例6 已知(),x f x a bx=+求()()n f x（2）递归法递归法：设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知且0,a D ∈1(),1n n a f a n -=≥.一方面，若已求得()()()n f x g x =，则(2)12()()n n n a f a f a --===…()0()n f a =，即{}n a 的通项公式；另一方面，如果如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =，则取0,(),n a x a g x ==而1()n n a f a -==…()()0()()n n f a f x =，从而()()(),n f x g x =即()()n f x 的表达式由上述原理知，可通过构造数列的方法求函数的n 次迭代，其步骤为①设()0,();n n a x a f x ==②由()1()(),n n n a f x f a -==求出0()n a g a =；③()0()()()n f x g a g x ==尝试用递归法解答例1、例2例7设()1)1f x x =++，求()()n f x（3）相似法若存在一个函数()x ϕ以及它的反函数1()x ϕ-，使得 1()((()))f x g x ϕϕ-=，我们称()f x 与()g x 相似，记~f g ϕ，其中()x ϕ称为桥函数.相似关系是一个等价关系，满足①~f f (自身性)；②若~f g ，则~g f （对称性）；③若~,~f g g h ，则~f h若1()((()))f x g x ϕϕ-=，则()1()()((()))n n f x g x ϕϕ-=（自己证明）例8若()f x ax b =+，用相似法求()()n f x例9设()1x f x ax=+，求()()n f x例10 设2()21,[1,1]f x x x =-∈-求()()n f x （提示：2cos 22cos 1x x =-，且cos y x =的反函数为arccos y x =）例11 求一个函数()p x ，使得82()2p x x x =+.（4）不动点法定义：方程()f x x =的根称为()f x 的不动点.性质：（1）若0x 是()f x 的不动点，则()00()n f x x =，即0x 也是()()n f x 的不动点;（2）设1()((()))f x g x ϕϕ-=，因此有(())(())f x g x ϕϕ=.若00()f x x =，则有00()(())x g x ϕϕ=，0()x ϕ是()g x 的不动点小提示：利用不动点，把一些简单的函数先变形再迭代，最后用数学归纳法证之.例12 设()f x =()()n f x利用不动点寻找桥函数的方法：由不动点的性质知，桥函数ϕ具有下列性质：它将f 的不动点0x 映射成g 的不动点0()x ϕ.通常为了求()()n g x ，()g x 通常取23,,,ax x a ax ax +等，这时()g x 的不动点为0或∞，此时若()f x 只有唯一不动点α，则可考虑取()x x ϕα=-或1x α-，这时()0(ϕα=或∞)；若()f x 有两个不动点α、β，则可考虑取()x x x αϕβ-=-，此时()0ϕα=，()ϕβ=∞. 例13 设2()21x f x x =-，求()()n f x .三、函数迭代在竞赛中的应用例14 M 是形如()(,)f x ax b a b R =+∈的实变量x 的非零函数集，且具有下列相纸：（1）若(),(),f x g x M ∈则(())g f x M ∈；（2）若,f M ∈则1(0)f M a -∈≠；（3）对M 中每一个f ，存在一个,i x R ∈使()i i f x x =；求证：总存在一个k ∈R ，对所有的,f M ∈均有()f k k =例15 设:f N N ++→，且对每个n N +∈，均有(1)(())f n f f n +>求证：每个正整数均为f 的不动点.。
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取其它的初值做试验 初值
-40000 -500
收敛性
收敛于17 收敛于17
得到收敛点的迭代次数
16 16
-20
0 4
收敛于17
收敛于17 收敛于17
16
17 17
4.9
5 5.1
收敛于17
收敛于5 收敛于17
19
0 19
6
20 100 1000
收敛于17
收敛于17 收敛于17 收敛于17
17
12 14 14
将上述映射反复作用可得序列：
x0 , x1 Ax0 , x2 Ax1 ,, xn1 Axn ,
我们将这一过程称为线性映射的迭代，其中矩 阵A称为迭代矩阵 。
26
(2)天气问题
问题1 某地区的天气可分为两种状态：晴、阴雨. 若今天的天气为晴，则明天晴的概率为3/4，阴雨的 概率为1/4；如果今天为阴雨天，则明天晴的概率为 7/18，阴雨的概率为11/18。我们可以用一矩阵来表 示这种变化，矩阵称为转移矩阵（这些概率可以通 过观察该地区以往几年每天天气变化的测量数据来 确定）。 1 0
20
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
21
8.二维迭代与分形
由两个二元函数f ( x, y ),g ( x, y ), 取初值 (x0 , y0 )构成的迭代 xn 1 f ( xn , yn ) yn 1 g ( xn , yn ) 称为一个二维迭代
(1)对任意的x (a, b), f ( x) (a, b)
(2) f ( x)在(a, b)内可导, 且存在L使得 f ( x) L 1
则当初值x0 (a, b)时,由f ( x)所生成的迭代序列收敛
问题1：如果迭代序列收敛，收敛点会满足怎样的 条件？
2
3.分式线性函数的迭代 25 x 85 例1 函数f ( x) , 先取初值x0 5.5 x3 判断由f(x)所生成的迭代序列是否收敛 ？ f=inline('(25*x-85)/(x+3)'); %先定义函数 syms x; x0=5.5; for i=1:1:20 x0=f(x0); fprintf('%g,%g\n',i,x0); end
14
plot(x,y,'r'); hold on; syms x y; y=x; ezplot(x,[-3.5,0]); ezplot(f(x),[-3.5,0]); axis([-3.5,0,-3.5,0]); hold off
迭代出现了混沌
15
6.人口增长的Logistic模型
xn1 xn (1 xn )
17
plot(x,y,'r'); hold on; syms x y; y=x; ezplot(x,[-3.5,0]); ezplot(f(x),[-3.5,0]); axis([-3.5,0,-3.5,0]); hold off
18
7. Feigenbaum图 对于Logistic 映射，取若干个值，我们通过离 散图形观察迭代的收敛情况。 一个试验：首先取的值为3，在(0，1)中随机 取一数x0作为初值进行迭代，共迭代300次左右， 丢弃起始的100次迭代的数据，在图上绘出所有的 点( , xn )) (>100)。 然后慢慢地增加值，每增加一次，都重复前 面的步骤，一直增加到 = 4为止，这样得到的图 形，称为Feigenbaum图。
第四讲
迭代、混沌与分形
综合实验
一
1、 定义
函数的迭代、混沌与分形
给定某个初值，反复作用以同一个函数的过程 称为迭代 ，一般形式为
x0 , x1 f ( x0 ), x2 f ( x1 ),, xn f ( xn1 ), .
它生成了一个序列{ x n }，称为迭代序列。
1
2、迭代序列的收敛性
f ( x) x(1 x) (0 x 1)
11
3x 例2 函数f ( x) 2 sin , 取初值x0 0 2 判断由f(x)所生成的迭代序列是否收敛 ？
f=inline('(-2+sin((3*x)/2))'); x=linspace(1,202,202);y=linspace(1,202,202); x(1)=0; y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=x(1); for i=1:100 x(1+2*i)=x(2*i); x(2+2*i)=f(x(1+2*i)); y(1+2*i)=x(2+2*i); y(2+2*i)=y(1+2*i); end
22
例3 函数f ( x, y) y sin x与g ( x, a) a x
取a =3.1、初值为(1.2,0)
a=3.1;xn=1.2;yn=0; for n=1:100 xN=xn; yN=yn; xn=yN-sin(xN);yn=a-xN; plot(xn,yn,'k*'); axis([-5,7,-5,7]); hold on; pause(0.1); end; hold off
f=inline('(25*x-85)/(x+3)'); x=linspace(1,202,202);y=linspace(1,202,202); x(1)=5.5; y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=x(1); for i=1:100 x(1+2*i)=x(2*i); x(2+2*i)=f(x(1+2*i)); y(1+2*i)=x(2+2*i); y(2+2*i)=y(1+2*i); end
5
结论：只要初值不取为3，迭代序列都收敛，并 且收敛速度较快；只要初值不取为5，迭代序列总 收敛于17。 易知，f(x)的不动点恰好是17与5。5称为排斥点， 17称为吸引点。 问题2 为何17是吸引点，5是排斥点？
6
4.迭代的可视化（蜘蛛网图） 对函数的迭代过程,我们可以用几何图像来 直观的显示它。 在xoy平面上，先作出函数y=f(x)与y=x的图 形，对初值x0，在曲线y=f(x)上可确定一点P0， 它以x0为横坐标，过P0引平行于x轴的直线，设 该直线与y=x交于Q1 点。 。 过Q1 点作平行于y 轴的直线，它与曲线 y=f(x)的交点交于P1点。 重复上面的过程，就在曲线y=f(x)上得到点列 P1，P2，P3…。 。
13 4
试根据这些数据来判断该 地区的天气变化情况。
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(0) 设某天晴天的概率为p1(0) , 下雨的概率p2 ,
这天的天气状态用向量p
(0)
( p , p ) 来表示
(0) 1 (0) T 2
( k 天之后的天气状态用向量p ( k ) ( p1( k ) , p2k ) )T 来表示
则由全概率公式可以得到：
( k ) 3 ( k 1) 7 ( k 1) p1 4 p1 18 p2 p ( k ) 1 p ( k 1) 11 p ( k 1) 1 2 2 4 18 (k 1, 2,)
判断由f(x)所生成的迭代序列是否收敛 ？
f=inline('(-2+sin(5*x))'); x=linspace(1,202,202);y=linspace(1,202,202); x(1)=-0.7; y(1)=0;x(2)=x(1);y(2)=x(1); for i=1:100 x(1+2*i)=x(2*i); x(2+2*i)=f(x(1+2*i)); y(1+2*i)=x(2+2*i); y(2+2*i)=y(1+2*i); end
2
4
6
8
10 x
12
14
16
18
20
10
5. 认识混沌
迭代序列如果不收敛，会出现什么情况？ 1. 迭代次数充分大时，迭代序列出现周期性重复
x0 , x1 ,, x N , x N 1 ,, x N k 1 x N , x N 1 ,, x N k 1
k称为该序列的周期 2. 序列没有规律、杂乱无章，称之为混沌。 例
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6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
24
9.线性映射的迭代
(1)定义 关系式
( ( x1( n 1) a11 x1( n ) a12 x2n ) a1m xmn) ( n 1) ( ( x2 a21 x1( n ) a22 x2n ) a2 m xmn) ( ( ( xmn 1) am1 x1( n ) am 2 x2n ) amm xmn) ( ( 将向量xn ( x1( n ) , x2n ) , , xmn ) )T ( ( 映射为向量xn 1 ( x1( n 1) , x2n 1) , , xmn 1) )T
3
迭代次数 n 迭代序列 x n 1 6.17647 2 7.5641 3 9.85437 4 12.5529 5 14.7125 6 15.9668 7 16.5642 8 16.8218 9 16.9281 10 16.9711
迭代次数 n 迭代序列 x n 11 16.9884 12 16.9954 13 16.9981 14 16.9993 15 16.9997 16 16.9999 17 17. 18 17. 19 17. 20 17.