分形与迭代

实验三迭代与分形

一、实验目的与要求

1．了解分形几何的基本情况；

2．了解通过迭代方式产生分形图的方法；

3．了解matlab软件中简单的程序结构；

4．掌握matlab软件中plot, fill等函数的基本用法；

二、问题描述

1．对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch

雪花的面积，以及它的分形维数。

2．自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。

三、问题分析

1．第一题要求我们利用一个等边三角形然后在三角形的基础上利用

理论课上的Koch曲线的画法，产生一朵Koch雪花，由于Koch

雪花的产生相当于将三条等长的直线分别产生的Koch曲线按照

等边三角形的坐标形式组合起来然后在同一个坐标系中表示出来，

这就形成了Koch雪花图案。

四、背景知识介绍

1．什么是迭代

迭代法是常用的一种数学方法，就是将一种规则反复作用在某个对象上，它可以产生非常复杂的行为。我们这里介绍图形迭代和函数迭代两种方式。

(1)图形迭代。给定初始图形F0，以及一个替换规则R,将R反复作用在初始图形F0上,产生一个图形序列：

R（F0）＝F1，R（F1）＝F2，R（F2）＝F3，…

(2)函数迭代。给定初始值x0，以及一个函数f(x),将f(x)反复作用在初始值x0上，产生一个数列：

f（x

）＝x1，f（x1）＝x2，f（x2）＝x3，…

2．p lot函数介绍

plot是最重要最基本的二维曲线绘图指令，基本功能是画折线和曲线。基本调用格式如下：

(1)plot(Y,LineSpec)。其中，Y一般是数组；而LineSpec是用来指定线型、色彩等的选项字符串，可省略。本功能是以数组Y作为竖坐标，以数组元素的下标为横坐标，画出一条折线。当数组元素很多时，就出现连续曲线的效果。

(2) plot(X,Y)。其中，X、Y一般是相同长度的数组。本功能是以数组Y作为

竖坐标，以数组X 为横坐标，画出一条折线。当数组元素很多时，就出现连续曲线的效果。

五、实验过程

迭代次数k 线段数目k a 每一段的长k l 面积k S

0 3 10 2/1*60sin *10*10

1 3x4 13/10 2/60sin *)3/10(4*32100 +S

2 24*

3 23/10 2/60sin *)3/10(*4*32211

+S •

••

k k 4*3 k 3/10 60sin *)(*211k k k l a S --+ 所以4/)9/4(*3751k k k

S S +=- 所以k=0时，325=k S ；k>0时，

])94(1[*315325k k S -+= 有一条直线的koch 曲线可知，我们可以分别对等边三角形的每一条边进行koch 迭代，然后再把每一次迭代的结果进行重叠，就可以得到等边三角形的koch 迭代结果。

对于每一次迭代后所得的图形的面积计算，我们可以分析其中的规律，分析过程

迭代次数k 线段数目k a 每一段的长k l 面积k S

0 3 10 2/1*60sin *10*10

1 3x4 13/10 2/60sin *)3/10(4*32100 +S

2 24*

3 23/10 2/60sin *)3/10(*4*32211

+S •

••

k k 4*3 k 3/10 60sin *)(*211k k k l a S --+

所以

4/)9/4(*3751k k k S S +=- 所以k=0时，325=k

S ；k>0时，])94(1[*315325k k S -+=

程序代码如下：

function plotkochsnow(k)

for a=0:2

if a==0; p=[0 0;10 0]; %存放等边三角形底边直线的坐标，初始值为底边的坐标

elseif a==1; p=[10 0;5 5*3.^1/2] ; %存放等边三角形右腰的坐标，初始值为底边的坐标 µãµÄ×ø±ê

else a==2; p=[5 5*3.^1/2;0 0]; %存放等边三角形左腰的坐标，初始值为底边的坐标 end

n=1; %存放线段的数量，初始值为1 A=[cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3)]; %用于计算新的结点

for s=1:k %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标

j=0; % 结点的编号，不能取为1

%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个

%结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到r 中

for i=1:n %每条边计算一次

q1=p(i,:); %目前线段的起点坐标

q2=p(i+1,:); %目前线段的终点坐标

d=(q2-q1)/3; %迭代后每条边的长度

j=j+1;r(j,:)=q1; %原起点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+d; %新1点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A; %新2点存入r

j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; %新3点存入r

end %原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入r

n=4*n; %全部线段迭代一次后，线段数量乘4

clear p %清空p ，注意：最后一个终点q2不在r 中

p=[r;q2]; %重新装载本次迭代后的全部结点

clear r

end

hold on ;

plot(p(:,1),p(:,2)) %在直角坐标系中分别显示出三条koch 曲线，并在同一直角坐标系中表示出来

axis equal %各坐标同比例，使坐标的长度单位设成相等

end

if k==0;S=25*sqrt(3),%求面积

else S=sqrt(3)*25+15*sqrt(3)*[1-(4/9)^k];

S

end