电磁感应中的单杆和双杆问题(习题,答案)

电磁感应中“滑轨”问题归类例析

一、“单杆”滑切割磁感线型 1、杆与电阻连接组成回路

例1、如图所示，MN 、PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感强度为B 、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R ／2的金属导线ab 垂直导轨放置 （1）若在外力作用下以速度v 向右匀速滑动，试求ab 两点间的电势差。

（2）若无外力作用，以初速度v 向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab 电量以及ab 发生的位移x 。

例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m ，上、下两端各有一个电阻R 0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B ＝2T.ab 为金属杆，其长度为L ＝0.4 m ，质量m ＝0.8 kg ，电阻r ＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R 0产生的热量Q 0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g 取10m ／s2)求： (1)杆ab 的最大速度；

(2)从开始到速度最大的过程中ab 杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab 的电荷量.关键：在于能量观，通过做功求位移。

2、杆与电容器连接组成回路

例3、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距L , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m 的金属棒ab 可紧贴导轨自由滑动. 现让ab 从高h 处由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用.求金属棒下落的时间？ 问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？

例4、光滑U 型金属框架宽为L ，足够长，其上放一质量为m 的金属棒ab ，左端连接有一电容为C 的电容器，现给棒一个初速v 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。

3、杆与电源连接组成回路

例5、如图所示，长平行导轨PQ 、MN 光滑，相距5.0 l

m ，处在同一水平面中，磁感应强度B =0.8T 的匀强磁场竖直向下

穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab 的质量m =0.1kg 、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S 将电动势E =1.5V 、内电阻r =0.2Ω的电池接在M 、P 两端，试计算分析：

（1）在开关S 刚闭合的初始时刻，导线ab 的加速度多大？随后ab 的加速度、速度如何变化？

（2）在闭合开关S 后，怎样才能使ab 以恒定的速度υ =7.5m/s 沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．

二、“双杆”滑切割磁感线型

1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度

例6、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L 。导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的加速度是多少？

例7、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B =0.50T

的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m 。两根质量均为m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R =0.50Ω。在t =0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N 的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过

t =5.0s ，金属杆甲的加速度为a =1.37m/s 2，问此时两金属杆的速度各为多少？

2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系

例8.如图所示，光滑导轨、

等高平行放置，

间宽度为间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。、

是质量均为

的金属棒，现让

从离水平轨道

高处由静止下滑，设导轨足够

长。试求： (1)

、

棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

例9、如图所示，abcd 和a /

b /

c /

d /

为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab 、a /b /

间的宽度是cd 、

c /

d /间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef 的质量是棒gh 的质量的2倍。现给导体棒ef 一个初速度v 0，沿导轨向左

运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？

a /

例10.图中

1111a b c d 和2222a b c d 为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨

所在的平面(纸面)向里。导轨的11a b 段与22a b 段是竖直的．距离为小1l ，11c d 段与22c d 段也是竖直的，距离为2l 。11

x y 与

22x y 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为1m 和2m ，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。

两杆与导轨构成的回路的总电阻为R 。F 为作用于金属杆11x y

上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

3、磁场方向与导轨平面不垂直

例11、如图所示，ab 和cd 是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，ae 和cf 是平行的

足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。在水平导轨上有与导轨垂直的导体棒1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度为B ，导轨间距为L ，倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m ，电阻均为R 。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力F 作用在棒1上，从静止开始拉动棒1，同时由静止开始释放棒2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间的作用，试求：

（1）水平拉力F 的大小；

（2）棒1最终匀速运动的速度v 1的大小。

三、轨道滑模型

例12、如图所示，abcd 为质量m 的U 形导轨，ab 与cd 平行，放在光滑绝缘的水平面上，

另有一根质量为m 的金属棒PQ 平行bc 放在水平导轨上，PQ 棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱e 、f,U 形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e 、f 的O 1O 2为界，右侧磁场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左，磁感应强度大小都为B ，导轨的bc 段长度为L ,金属棒PQ 的电阻R ，其余电阻均可不计，金属棒PQ 与导轨间的动摩擦因数为μ，在导轨上作用一个方向向右，大小F ==mg 的水平拉力，让U 形导轨从静止开始运动．设导轨足够长．求： (1)导轨在运动过程中的最大速度υm

(2)若导轨从开始运动到达到最大速度υm 的过程中，流过PQ 棒的总电量为q ，则系统增加的内能为多少?

四、绳连的“双杆滑动”问题

例13.两金属杆ab 和cd 长均为l ，电阻均为R ，质量分别为M 和m ，M >m ，用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平光滑不导电的圆棒两侧，两金属杆处在水平位置，如图4所示，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感强度为B ，若金属杆ab 正好匀速向下运动，求运动速度。

例14（2006年高考重庆卷第21题）两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。整个装置处于磁感应强度大小为B,方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度V1沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速度V2向下匀速运动。重力加速度为g。以下说法正确的是（）

A．ab杆所受拉力F的大小为μmg +

B．cd杆所受摩擦力为零

C ．回路中的电流强度为

D．μ与V1大小的关系为μ=

例15（2006年高考广东卷第20题）如图所示，在磁感应强度大小为B，方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层

均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为

的匀质金属杆和，开始时两根

金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r 。现有一质量为的不带电小球以水平向右的速度撞击杆的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点。

C 点与杆初始位置相距为S。求：（1）回路内感应电流的最大值；（2）整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量；（3）当杆与杆的速度比为时，受到的安培力大小。

答案

例1 解析：（1）ab 运动切割磁感线产生感应电动势E ，所以ab 相当于电源，与外电阻R 构成回路。

∴U ab =

232

R BLv BLv

R

R =+

（2）若无外力作用则ab 在安培力作用下做减速运动，最终静止。

动能全部转化为电热,2

2

1mv Q =。 由动量定理得：mv Ft

=即mv BILt =，It q =∴BL

mv q =

。 3322

BLx mv q BL R R φ?===

，

得 2

223L B mvR x

=

。

例2， 解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。

(1) 杆ab 达到平衡时的速度即为最大速度v ，

220

cos 0

2

B L v

mg R r θμθ--=+mgsin

解得022

(sin cos )()

2 2.5

R

mg r m v s B L θμθ-+== (2)

22

0000(2)(2)22

ab R ab Q I r I Q ===导线产生热量

克服安培力等于产生的总电能即，J Q Q Q W

5.12200=+==，

由动能定理：

21

sin cos 02

mgs W mgs mv θμθ--=-

得)

cos (sin 212

θμθ-+=mg W mv s 通过ab 的电荷量

R

BLs

t I q =

?=，代入数据得q ＝2 C 例3， 解析：I=0,安培力为0

，自由下落

21,,2a g h gt t v ==

= 请问解答是否正确？

正确解析：棒加速下落过程，电容器有充电电流，安培力不为0.

电容器充电电流

Q C U CBL v

I CBla t t t

???=

===??? 由牛顿运动定律 mg BIL ma -=

加速度

22

mg a m cB L =

+为定值，杆匀加速下落，

21,2h at t ===

解得落地速度为

例4 解析：当金属棒ab 做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C 将被充电，ab 棒中有充电电流存在，ab 棒受到安培力的作用而减速，临界为当ab 棒电动势等于电容器的电压时以稳定速度v 匀速运动时，有：

BLv=q/C

而对导体棒ab 利用动量定理可得：-BILt=-BLq=mv-mv 0 由上述二式可求得： C

L B m mv v

220

+=

例5 解析（1）在S 刚闭合的瞬间，导线ab 速度为零，没有电磁感应现象，由a 到b 的电流A r

R E

I 5.10

=+=

，ab 受安培力水平向右，此时瞬时加速度2000

/6s m m

L BI m F a ===

ab 运动起来且将发生电磁感应现象．ab 向右运动的速度为υ时，感应电动势Blv E ='

，根据右手定则，ab 上的感

应电动势（a 端电势比b 端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，r

R E E I +-=

'

）将减小（小

于I 0=1.5A ），ab 所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E 随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势'

E 与电池电动势E 相等时，电路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．

设最终达到的最大速度为υm ，根据上述分析可知：0m E Bl υ-=

所以 1.5

0.80.5

m

E Bl υ=

=?m/s=3.75m/s ． （2）如果ab 以恒定速度7.5υ=m/s 向右沿导轨运动，则ab 中感应电动势

5.75.08.0'??==Blv E V=3V

由于'

E ＞E ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：2

.08.05

.13''

+-=+-=r R E E I A=1.5A

直导线ab 中的电流由b 到a ，根据左手定则，磁场对ab 有水平向左的安培力作用，大小为

2

222l CB m mgh

ah v +=

=

5.15.08.0''??==BlI F N=0.6N

所以要使ab 以恒定速度5.7=v

m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力6.0=F N 作用于ab ．

上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点： ①作用于ab 的恒力（F ）的功率：5.76.0?==Fv P W=4.5W

②电阻（R +r ）产生焦耳热的功率：

)2.08.0(5.1)(22'+?=+=r R I P W=2.25W

③逆时针方向的电流'

I ，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：'

' 1.5 1.5P I E ==?W=2.25W

由上看出，'''P P P

+=，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）

． 例6 解析：ab 棒向cd 棒运动时，磁通量变小，产生感应电流．ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd 棒则在安培力作用下作加速运动．在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速．临界状态下：两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v 作匀速运动．

（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv mv 20=

根据能量守恒，整个过程中产生

的总热量2

2204

1)2(2121mv v m mv Q

=-=

（2）设ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的速度为v 1，则由动量守恒可知：

10043mv v m mv +=。此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：BL v v E )43(10-=，R

E

I 2=

。此时cd 棒所

受的安培力：IBL F =，所以cd 棒的加速度为 m

F

a =

由以上各式，可得

mR

v L B a 4022=

。

例7解析：设任一时刻t 两金属杆甲、乙之间的距离为x ，速度分别为v 1和v 2，经过很短的时间△t ，杆甲移动距离v 1△t ，杆乙移动距离v 2△t ，回路面积改变

t l v v lx t t v t v x S ?-=-+?+?-=?)(])[(2112

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势t

S B

E

??=

回路中的电流 R

E

i 2=

，杆甲的运动方程ma Bli F =- 由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反， 所以两杆的动量0(=t 时为0）等于外力F 的冲量

21mv mv Ft +=。

联立以上各式解得)](2[21211

ma F F

B R

m F v -+= )](2[212212ma F I

B R

m F v --=，

代入数据得s m v s

m v /85.1/15.821

==

例8【解析】下滑进入磁场后切割磁感线，在

电路中产生感应电流，

、

各受不同的磁场力作用而分别作

变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，、

不再受磁场力作用，各自以不同的速度匀

速滑动。

(1)自由下滑，机械能守恒： ①

由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度

，故它们的磁场力为：

②

在磁场力作用下，

、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当

时，电路中感应电流为零

(

)，安培力为零，

、

运动趋于稳定，此时有：

所以 ③

、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：

④

⑤

联立以上各式解得：，

(2)根据系统的总能量守恒可得：

例9解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒

ef 的速度减小到v 1， 导体棒gh 的速度增大到v 2，

则有2BLv 1-BLv 2=0，即v 2=2v 1。 对导体棒ef 由动量定理得：01222mv mv t I

BL -=?--

对导体棒gh 由动量定理得：02-=?-mv t I

BL 。

由以上各式可得：0201

3

2

,31v v v v ==。 例10. 【解析】设杆向上运动的速度为v ，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面

积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动 势的大小

21()E B l l v =- ①

回路中的电流

E

I R =

②

电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆11x y 的安

培力为

11f Bl I = ③

方向向上，作用于杆

22x y 的安培力

2

2f Bl I

= 方向向下。当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有

12120F m g m g f f --+-= ⑤

解以上各式，得

1221()()

F m m g I B l l -+=

- ⑥

1222

21()()F m m g

v R B l l -+=

- ⑦

作用于两杆的重力的功率的大小

12()P m m gv =+ ⑧

电阻上的热功率

2Q I R = ⑨

由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得

121222

21()()()F m m g

P R m m g

B l l -+=

+-

2

1221()()F m m g Q R

B l l ??-+=??-??

例11 解析（1）1棒匀速：BIL F =2棒匀速：θtan mg BIL =

解得：θtan mg F =

（2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t ，过程中平 均感应电流为I ，据动量定理，

对1棒：01-=-mv Lt I B Ft ；对2棒：0cos sin 2-=?-?mv t L I B t mg θθ 联立解得：θcos 12v v =

匀速运动后，有：θcos 21BLv BLv E +=，R E I 2=

解得：)

cos 1(tan 222

21θθ+=L B mgR v

例12。 解析：(1)当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为υm 。导轨在水平方向上受到外力F 、水平向左的安培力F 1和滑动摩擦力F 2，则

021=--F F F ，m BLv E R

E

I BIL F ===,,1，即R v L B F m 221=

以PQ 棒为研究对象，PQ 静止，在竖直方向上受重力mg 、竖直向上的支持力N 和安培力F 3，则

N F F F mg F N μ===+2133,,，得)(222R

v L B mg F m

-=μ，将F 1

和F 2

代入解得

))(1(022mR v L B g m --=μ，得2

2L

B mgR

v m =

(2)设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中，移动的距离为S ，在这段过程中，经过的时间为t,PQ 棒中的平均电流强度为I 1，QPbC 回路中的平均感应电动势为E 1，则

t I q R

E I SLB t E 1111,,,===??=

??

，得

BL

qR

S =

。设系统增加的内能为

E

?，由功能关系得：

E mv FS m ?+=2

21，则4

42232L B R g m BL mgqR E -=

?

例13 【解析】设磁场垂直纸面向里，ab 杆匀速向下运动时，cd 杆匀速向上运动，这时两杆切割磁感线运动产生同方向的感应电动势和电流，两棒都受到与运动方向相反的安培力，如图5所示，速度越大，电流越大，安培力也越大，最后ab 和cd 达到力的平衡时作匀速直线运动。 回路中的感应电动势：122E E E Blv =+=

回路中的电流为：2E Blv

I

R R

=

= ab 受安培力向上，cd 受安培力向下，大小都为：22B l v

F BIl R

==

设软导线对两杆的拉力为T ，由力的平衡条件： 对ab 有：T + F = Mg 对cd 有：T = mg ＋ F

所以有：222()B l v M m g R =-，解得：22

()2M m gR

v B l -=

电磁感应中的双杆运动问题

例14 【解析】因4个选项提出的问题皆不同，要逐一选项判断。

因为ab杆做匀速运动，所以受力平衡，有，其中, ,，,

所以，所以F=μmg+,A正确；

因为cd杆在竖直方向做匀速运动，受力平衡，所以cd杆受摩擦力大小为，或者，因为cd杆所受安培力作为

对轨道的压力，所以cd杆受摩擦力大小为,总之，B错误；

因为只有ab杆产生动生电动势（cd杆运动不切割磁感线），所以回路中的电流强度为，C错误；

根据B中和，得μ=，所以D正确。

本题答案为AD。

【点评】ab杆和cd杆两杆在同一个金属直角导轨上都做匀速运动，因为ab杆切割磁感线而cd杆不切割磁感线，所以

感应电动势是其中一个杆产生的电动势，即，而不是，电流是，而不是

。

例15【解析】设撞击后小球反弹的速度为，金属杆的速度为，根据动量守恒定律，

，①

根据平抛运动的分解，有

由以上2式解得②

②代入①得③

回路内感应电动势的最大值为，电阻为，所以回路内感应电流的最大值为

。④

（2）因为在安培力的作用下，金属杆做减速运动，金属杆做加速运动，当两杆速度大小相等时，回路内感应电流为0，根据能量守恒定律，⑤

其中是两杆速度大小相等时的速度，根据动量守恒定律，，所以，代入⑤式得Q=

⑥

（3）设金属杆、速度大小分别为、，根据动量守恒定律，，又，所以

，。

金属杆、速度方向都向右，根据右手定则判断、产生的感应电动势在回路中方向相反，所以感应电动势

为，电流为，安培力为,所以受到的安培力大小为F=。

当然受到的安培力大小也如此，只不过方向相反。

答案：（1）；（2）Q=；（3）F=。

【点评】金属杆、两杆在同一个金属U形导轨上都做变速运动，运动方向相同（都向右），同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势，两个感应电动势在空间中的方向相同（都向外），但两个感应电动势在回路中的方向相反，所以总

电动势是这两个电动势之差，即，电流是，方向为金属杆中感应电流的方向，

因为比产生的感应电动势大，安培力是，方向都和速度方向相反（都向左）。