大学高等数学经典课件10-630页PPT文档
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高等数学上册PPT课件
R( x)
1 q
,
0 ,
x p ( p, q Z , p 为 既 约 真 分 数 ,）
q
q
x 0 ，1 和 (0 ，1) 内 的 无 理 数.
y
1 2
1 3 1 4 1 8 o
y R( x)
1 1 1 3 1 5 2 3 7 1
x
8 4 38 2 8 3 4 8
三. 函数的初等性质
显然，x R, 有
称为非负小数部分函数
0 {x} 1 , x [x] {x} .
y
y {x}
1
4 3 2 1 o 1 2 3 4
x
例3 符号函数 x x sgn x ,
1,
sgn
x
0
,
1 ,
当 x 0, 当 x 0, 当 x 0.
sgn x 起 了 x 的 符 号 的 作 用.
否 则 ，f ( x) 称 为 非 奇 非 偶 函 数.
例7 设 f ( x) 为定义在(l , l ) (l 0) 内的任意函数, 证明 f ( x) 在(l , l ) 内能表成奇函数与偶函数的和.
证 令 F ( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 偶函数
2
G( x) 1 [ f ( x) f ( x)] , 奇函数 2
f (x2 )
o
o x
D
x
D
当 f ( x)在 D 上单调递增或单调递减 时，则称 f ( x)
在 D 上是单调的; f ( x) 为D 上的单调函数.
如果 x1 , x2 D, 当 x1 x2时,
恒有: f ( x1 ) ( ) f ( x2 ), 则称函数f ( x)在区间D 上是单调不减( 增 ) .
完整高数一PPT课件
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
第8页/共133页
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
第16页/共133页
当 t (,) 时, U 0.
U
( , E)
2 E
U U(t)是一个分段函数,
其表达式为
o
(,0) t
2
2E t,
U
(t)
2E (t
0,
),
t [0, ] 2
t ( ,] 2
t (,)
第17页/共133页
例2
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
第46页/共133页
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsinu, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
第28页/共133页
练习题
一、填空题:
1、若 f 1 5 2t 2 ,则 f (t ) __________ , t t
f (t 2 1) __________ .
2、若(t )
1, x sin x ,
3
x
,
《高等数学》PPT课件
因dyx, 故有 dx y
fxfyxy 0
记
f x f y Байду номын сангаас
x y
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极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足:
fxx0
fyy0 (x,y)0
F f ( x , y ) ( x , y )
F x fx x 0
F y fyy 0
F 0
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如, zxy有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.
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推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
所 以 z f ( 1 , 1 ) 2 为 极 小 值 ；
当 z2 6 时 ， A 1 4 0 ,
所 以 z f ( 1 , 1 ) 6 为 极 大 值 .
例3. 讨论函 数
zx3y3及 z(x2y2)2在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点并,且在 (0,0) 都有
A<0 时取极大值;
则: 1) A C B 20时, 具有极值
当
A>0 时取极小值.
2) 当 A C B 20时, 没有极值.
3) 当 A C B 20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P65) .
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
全版高等数学上册课件.ppt
f ( x nl) . nl (n N ) 也是 f ( x) 的周 期.
若 在周期函数 f (x)的所有周期中存在 最小的正 周期T ，则称这个最小正周期T 为 f ( x)的 基本周期 .
通常我们所说的函数的周期都是指基本周期.
.精品课件.
27
f ( x) sin x,cos x 的周期为T 2 , 常 f ( x) tan x,cot x 的周期为T , 用 F ( x) Asin(x B) C 的 周 期 为T 2 ,
业成绩以10％ 记入期末总评成绩。
4. 辅导答疑：
时间：待定；地点：南堂 112 答疑室。
电话：15020063032
.精品课件.
6
《高等数学练习册》 发放时间、地点及相关要求：
时 间：星期二、三、五（9月20、21、23日）
下午 3：00 — 5：00 地 点：文理楼 237 室 《高等数学练习册》每本售价：17元
定理 函数 f ( x) 在 D 上有界 函数 f ( x) 在 D 上既有上界又有下界.
(3) 若 M 0,xM D f ( xM ) M , 则称 f ( x) 在 D 上无界 .
.精品课件.
21
例6 证明：f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界，
x
在任何不包含原点的闭区间 [a, b] 上有界 .
16
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 f ，
并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”.
记作：y [x] , x R . 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
当n x n 1 (n Z) 时，
若 在周期函数 f (x)的所有周期中存在 最小的正 周期T ，则称这个最小正周期T 为 f ( x)的 基本周期 .
通常我们所说的函数的周期都是指基本周期.
.精品课件.
27
f ( x) sin x,cos x 的周期为T 2 , 常 f ( x) tan x,cot x 的周期为T , 用 F ( x) Asin(x B) C 的 周 期 为T 2 ,
业成绩以10％ 记入期末总评成绩。
4. 辅导答疑：
时间：待定；地点：南堂 112 答疑室。
电话：15020063032
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时 间：星期二、三、五（9月20、21、23日）
下午 3：00 — 5：00 地 点：文理楼 237 室 《高等数学练习册》每本售价：17元
定理 函数 f ( x) 在 D 上有界 函数 f ( x) 在 D 上既有上界又有下界.
(3) 若 M 0,xM D f ( xM ) M , 则称 f ( x) 在 D 上无界 .
.精品课件.
21
例6 证明：f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界，
x
在任何不包含原点的闭区间 [a, b] 上有界 .
16
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 f ，
并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”.
记作：y [x] , x R . 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
当n x n 1 (n Z) 时，
高等数学(完整版)详细(课堂PPT)
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数 uk n
n1
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
由于n 时, n 与Sk n 极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
将各项依
n1
un u1 u2 u3
n1
un
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
S un
1 n (n 1)n
34
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数 u1 u2 u3 (1)n1un
称为交错级数 .
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
高等数学电子课件第十章 10.1精品文档
lim n
1q
即级数发散；
（3） 若q=-1，则级数成为： a a a a ( 1 )n 1a
由于
sn
0,
a
,
当n为偶数 当n为奇数
所以
lim
n
sn
不存在，故级数发散．
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
(3) 若q=1，则级数成为：
a a a a
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
例如：下列各式均为常数项级数
1 1 1
1
2n
n1
24
2n
；
n12 n ；
n1
( 1 )n 1 1 1 1 1 ( 1 )n 1 ；
n 1
cosncos1cos2 cosn .
第一节 数项级数的概念与性质
二、数项级数的基本性质
性质1. 若级数
un
n1
收敛于 S 即, S u n , 则各项
n1
乘以常数
k
所得级数
k un
也收敛 ,其和为 kS .
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
第十章 无穷级数
第一节 数项级数的概念与性质
由于 sn
na
所以
lim
n
sn
不存在，
所以级数也发散．
综上
aqnBiblioteka q1时,收敛其和a为 1-q
n0 当q 1时,发散
第十章 无穷级数
1
例如：
2n
n0
高等数学大学课件 10-6
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
例3. 求解
解:
(1 x2 ) y 2x y
y x0 1, y x0 3
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
两t2 2
t3 6T
) C2
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
x F0 ( t 2 t3 ) 2m 3T
二、 y f ( x, y)型的微分方程（特点：不显含y ）
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
1 2
e2x
sin
x
C1
y
（1 2
e2x
sin
x
C1 )dx
1 4
e2x
cos
x
C1 x
C2
y
1 ( 4
e2x
cos
x
C1 x
C2
)dx
1 8
e2x
1 2
C1 x2
sin
x
C2 x
C3
例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线
运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
例5. 求解
解:
代入方程得
则 y d p d p dy p d p dx dy dx dy
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
-高等数学-课件完整版
高等数学-课件完整版
2020/10/17
一、 基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2020/10/17
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(
a
).
U (a) { x 0 x a }.
2020/10/17
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2020/10/17
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
2020/10/17
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
2020/10/17
一、 基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2020/10/17
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 .
U (a) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域,
记作
U
0
(
a
).
U (a) { x 0 x a }.
2020/10/17
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
2020/10/17
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
y
y f (x)
2020/10/17
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
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子 例1 利用高斯公式计算曲面积分:
案
z
(xy)dxd(yyz)xdydz
其中Σ为柱面x2+y2=1及平面
武 汉
z=0,z=3所围成的空间闭区域
科
技 学
Ω的整个边界曲面的外侧面.
院 数
解:因为由已知:P=(y-z)x, Q=0,
理
系
R=x-y
o
y
x
高 等 数
Pyz, Q0 R0
x
y z
学
电 子
Ò(xy)dxdy(yz)xdydz[(yz)00]dv
)
以上三式相加,有
R (x,y,z)dx d { R [y x,y,z2(x,y) ]R [x,y,z1 (x,y)d ]} xd
武
D x y
汉
科 技 学 院 数
故(3)式成立,有
R zdvR(x,y,z)dxdy
理
系
高
等
对于(1)与(2)式,同样可得:
数 学
如果穿过Ω内部,且平行于x轴的直线与Ω的边界曲面
学
1 1
电
子
,cos cos 0,cos 1
案
2
( x 2 co y 2 s co z 2 s co ) d s s h 4 h 4 h 4
2
2
所以
武
汉
科
技
学 院
(x2cosy2cosz2cos)dsz2dsh2dxdyh4
数
1
1
Dxy
理
系
高 等
二. 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
高
等
数
学
此时,Σ是Ω的整个边界曲面的外侧,cosα,cosβ
电 子
,cosγ是Σ上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦,以
案
上二式称为高斯公式.注意: 高斯公式表达了空间
区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之
间的关系.证明:现在我们只要证第一式即可,因为
一,二式右端相等,把第一式分为三式:
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
电
子 部分的下侧,cosα,cosβ,cosγ是Σ在点(x,y,z)处的法向
案 量的方向余弦.
解:加辅助面Σ1:z = h(x2+y2≤h2) 的上侧面
Σ+Σ1构成一个封闭曲面,才能应用高斯公式.
武
记Σ+Σ1围成的空间闭区域为Ω.
z
汉 科
用高斯公式:
技 学
y
院
x
数
理
系
高 等
Px2, Qy2 Rz2
数
学 电
P 2x, Q 2 y R 2z
子
x
y
z
案
Ò (x2cosy2cosz2cos)ds2(xyz)dv
1
武 汉 科 技
h
h
h
2 dxdy (xyz)dz2 dxdy[ (xy)dz zdz]
x2y2
x2y2
x2y2
Dxy
Dxy
学
院
数
理
系
高
等 数
h
h
h
2d x d y ( x y z ) d z 2d x d y [ ( x y ) d z z d z ]
高 等 数
(1) P x d
vP
d
yd
z
Q
学 电 子 案
( 2 )
y
dv
Qdzdx
(3)
R dv z
Rdxdy
z
现在证(3)
武 汉
R
z
dvRdxdy
x
科
技
学
院
数
理
系
Σ2:z=z2(x,y)
Σ3 Ω
Σ1:z=z1(x,y) y
Dxy
高
等 数
条件:
学 电
(1)设闭区域Ω在xoy平面上的投影区域为Dxy:
数
理
系
高 则(3)式左边:
等 数 学
Rdv {z2(x,y)Rd}zdxdy
z
z Dxy z1(x,y)
z
电 子 案
{R[x, y, z2(x, y)]R[x, y, z1(x, y)]}dxdy
Dxy
(3)式右边: (简写) 1 2 3
x
Σ2:z=z2(x,y)
Σ3 Ω
Σ1:z=z1(x,y) y
x 2 y 2
x 2 y 2
x 2 y 2
D x y
D x y
学
电 子
(其中Dxy{(x,y)|x2y2h2})
(注意到dxdy h (xy)dz0) x2y2
案
Dxy
h
2 dxdy[
zdz (h2 x2 y2)dxdy1h4
x2y2
Dxy
Dxy
2
武 汉
所以
科
技
学
院
数
理
系
高
等
数
而 Ò (简 写 )
电
Σ的交点恰好为两个.有:
子 案
P xdvP(x,y,z)dydz成立
如果穿过Ω内部,且平行于y轴的直线与Ω的边界曲面Σ
的交点恰好为两个.有:
武
汉
科 技 学 院 数 理
Q ydvQ(x,y,z)dzdx成立
系
高
等
(1),(2),(3)式两端分别相加,即:
数
学 电 子
( P x Q y R z)d vP d y Qdd zR zd dxxdy
案
即高斯公式
2. 对Ω不作限制时高斯公式仍然成立:
武 汉
即穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Ω的边界
科
技 学
曲面交点多于两个,可引辅助面把Ω分成有限个闭区域,
院 数
使得每个闭区域满足条件
理
系
高 等
并可见沿辅助面相反两侧面的两个曲面积分
数 的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消,
学 电
因而高斯公式仍然成立.
子
(2)设穿过Ω内部且平行于z轴的直线与Ω的案Biblioteka 边界曲面Σ的交点恰好是两个;
(3)Σ=Σ1+ Σ2+ Σ3Σ1方程 z=z1(x,y)
Σ2方程 z=z2(x,y) z1(x,y)≤z2(x,y)
武
(4) Σ1取下侧, Σ2取上侧面, Σ3是以Dxy
汉 科
的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面
技
学 院
上的一部分,取外侧面.
案
2
1
3
(r sin z)rdrd dz 0 d 0 rdr0 (r sin z)dz
武
2d1r[3rsin9]dr 2[sin9]d9
0
0
2
0
4
2
汉
科
技 学
柱面坐
院 数
标计算
理
系
高 例2 利用高斯公式计算曲面积分
等 数
(x2co sy2co sz2co )d ss
学
其中Σ为锥面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h(h>0)之间的
学
院 数
空间二维单连通区域:如果G内任一闭曲线总可以张一
Dxy
武 汉
R (x,y,z)dx dyR [x,y,z1(x,y)d ] xdy
科
1
D xy
技
学
院 数
R(x, y, z)dxdyR[x, y, z2(x, y)]dxdy
理
2
Dxy
系
高
等
数
(曲面积分的计算
)
学
电 子
R ( x , y , z ) dxdy 0
3
案
(因为 3 在 xoy 平面上的投影为零
数 现在我们研究在怎样的条件下,曲面积分
学 电
PdydQz dzdRxdx.dy
子
与曲面Σ无关而取决于Σ的边界曲线?这问题
案
相当于在怎样
的条件下,沿任意闭曲面的曲面积分为零?这问题可用 高斯公式来解决.
先介绍空间二维单连通区域及一维单连通区域
武
的概念.对空间区域G
汉
科 技
如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是