椭圆面积计算方法

一个横放的椭圆截面的圆柱容器，里面有液体，液体高度如果为任意值H ，怎么算其中液体体积？？容器外部尺寸都可以测量

设椭圆方程为：22

221x y a b

+= （1）当H b >时，只算第一象限的阴影部分面积，然后根据对称性可得体积

则阴影部分面积为（其中h H b =-）：

4b

h ab S π=-⎰ 令cos y b θ=，可得

4b

h ab S π=-⎰ 0

arccos(/)sin (sin )4h b ab

a b d πθθθ=--⎰

arccos(/)

20sin 4h b ab

ab d πθθ=-⎰

arccos(/)01cos 242

11(arccos(/)sin(2arccos(/)))4241(arccos(/)42h b ab

ab d ab ab h b h b ab

ab h b πθθππ-=-=--=--⎰ 此时液体体积为：

(2)2ab

V S m π=+

其中m 表示容器的长度

（2）当H b ≤时，只算第一象限的阴影部分面积，然后根据对称性可得体积

图中两个阴影部分面积相等，因此需算上面那部分的面积即可得知下面那部分的面积。 此时令h b H =-，

此部分面积为：

0b

h S =⎰ 1(arccos(/)2ab h b = 此时液体体积为：

02V S m =

其中m 表示容器的长度