椭圆焦点三角形面积公式
课题1焦点三角形性质总结
课题1：焦点三角形的性质12F PF S=12F PF S=2（△ABF 2，AB |AB|=4a得证特别地，当＝时，②当P 为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。
得证性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线2222x y 1a b-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质三：双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆θ︒90a cb S PF F 221=∆2211||,||r PF r PF ==21r r >a r r a r r 2,21221-==-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(cos 44211221a r c r c r -=-+θa c b r -=θcos 21a c c b c a c b F F r S PF F -=⋅-⋅==∆θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121线于点B，则|BA |e |AP |=证明：由角平分线性质得12121212|FB||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P |2a -=====- 性质四：双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2csin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅-分子分母同除以cossin 22αβ，得【2014•广西理】已知椭圆C 1a x 2222=+b y （a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．123x 22=+yB ．1y 3x 22=+C ．1812x 22=+y D ．1412x 22=+y 【答案】 A 【解析】 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a=43， ∴a=3，∵离心率为33， ∴c=1， ∴b=22a c -=2， ∴椭圆C 的方程为123x 22=+y ． 【2011新课标理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。
圆锥曲线系统班12、椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式
第12讲椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式知识与方法1.如图1所示，1F 、2F 是椭圆的焦点，设P 为椭圆上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2S b θ=.2.如图2所示，1F 、2F 是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2b S θ=.典型例题【例1】设1F 、2F 是椭圆22184x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，122tan 4tan 302PF F S b θ==⨯︒=【答案】变式1设1F 、2F 是椭圆22218x y b+=(0b <<的两个焦点，点P 在椭圆上，1260F PF ∠=︒，且12F PF 的面积为433，则b =________.【解析】由焦点三角形面积公式，1222tan tan 30223F PF S b b b θ==︒== .【答案】2变式2设1F 、2F 是椭圆22184x y +=的焦点，点P 在椭圆上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】设12F PF θ∠=，则21221tan 12cos cos 31tan 2F PF θθθ-∠===+，所以21tan 22θ=，由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而2tan 22θ=，故1222tan 422PF F S b θ==⨯=【答案】变式3设1F 、2F 是椭圆22214x y a +=()2a >的焦点，点P 在椭圆上，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=________.【解析】记12F PF θ∠=，则60θ=︒，12243tan4tan 3023PF F S b θ==⨯︒=，又1212121sin 2PF F S PF PF PF θ=⋅⋅=⋅ ，12433PF ⋅=，故12163PF PF ⋅=.【答案】163变式4设1F 、2F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123PF PF =，则12PF F 的面积为________.【解析】解法1：如图，由题意，1211223341PF PF PF PF PF PF ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，易求得12F F =，由余弦定理，222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以1222sin 3F PF ∠=，故1212121122sin 31223PF F S PF PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 解法2：设()00,P x y ，由焦半径公式，123PF PF =即为002223222x x ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，解得：0x =又2200142x y +=，所以22002114x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而01y =，易求得12F F =1212012PF F S F F y =⋅= .【答案】【反思】不是每一道题都能很方便地代公式计算焦点三角形面积，所以掌握焦点三角形面积公式的推导方法也是有必要的.【例2】已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，1223tan 30tan2PF F b S θ===︒.【答案】变式1已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】记12F PF θ∠=，则22212222cos sin 1tan 1222cos cos 3cos sin 1tan 222F PF θθθθθθθ--∠====++，所以21tan 22θ=，由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而tan 22θ=，故122tan 2PF F b S θ== .【答案】变式2已知1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上的一点，12120F PF ∠=︒，则1PF =________.【解析】由焦点三角形面积公式，1223tan 60tan2PF F b S θ===︒，又121212121sin 2PF F S PF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅，所以12PF ⋅=故124PF PF ⋅=，由双曲线定义，122PF PF -=，解得：11PF =+【答案】1变式3（2020·新课标Ⅲ卷）双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，12F P F P ⊥，若12PF F 的面积为4，则a =（）A.1B.2C.4D.8【解析】解法1：22222552ce c c a a b a b a a===⇒=⇒+=⇒=，不妨设P 在双曲线C 的右支上，则122PF PF a -=，因为12F P F P ⊥，所以2221212PF PF F F +=，故()221212122PF PF PF PF F F -+⋅=，从而2212424a PF PF c +⋅=，故22212222PF PF c a b ⋅=-=，所以12212142PF F S PF PF b =⋅== ，解得：2b =，故1a =.解法2：1222242tan 45tan2PF F b b S b b θ====⇒=︒ ，222225512c be c c a a b a a a ===⇒=⇒+=⇒==.【答案】A强化训练1.（★★★）设1F 、2F 是椭圆22154x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且1230F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】()122tan 60tan 45tan 4tan154tan 604548421tan 60tan 45PF F S b θ︒-︒==⨯︒=⨯︒-︒=⨯=-+︒︒【答案】8-2.（★★★）设1F 、2F 是双曲线22:145x y C -=的左、右焦点，P 为C 上一点，若12PF PF ⊥，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，12255tan 45tan2PF F b S θ===︒.【答案】53.（★★★）设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且121cos 3F PF ∠=-，则12PF F 的面积为________.【解析】记12F PF θ∠=，则221221tan 112cos cos tan 23321tan 2F PF θθθθ-∠==-⇒=-⇒=+，由1cos 03θ=-<知2παπ<<，所以422πθπ<<，从而tan 2θ=，故121PF F S == .【答案】4.（★★★）设1F 、2F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是椭圆在第一象限上的一点，且1260F PF ∠=︒，则点P 的坐标为________.【解析】设()00,P x y ()000,0x y >>，一方面，122tan 2233PF F S b θ==⨯=，另一方面，12120001122PF F S F F y =⋅=⋅=0=0y =,又2200142x y +=，结合00x >可得03x =，所以点P的坐标为33⎛ ⎝⎭.【答案】26633⎛ ⎝⎭5.（★★★）已知双曲线22:163x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且123cos 4F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】设12F PF θ∠=，则2221tan 312cos tan 4271tan 2θθθθ-==⇒=+，因为0θπ<<，所以022θπ<<，故tan 27θ=，从而122tan 2PF F b S θ== .【答案】6.（★★★）已知双曲线22142x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上一点P 满足12PF F 的面积为2，则12PF F 的周长为________.【解析】122222121222tan190242tantan22PF F b S PF PF F F θθθθ===⇒=⇒=︒⇒+== ，又124PF PF -=，所以22212121212122242164PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=-⋅=⇒⋅=，从而12PF PF +=，故12PF F的周长1212L PF PF F F =++=.【答案】+7.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线22:12x C y -=的左、右焦点，P 为C 在第一象限上的一点，若12120F PF ∠=︒，则点P 的坐标为________.【解析】设()00,P x y ()000,0x y >>，一方面，12120001122PF F S F F y =⋅=⋅=，另一方面，1221tan 60tan2PF F b S θ===︒0=013y =，代入双曲线方程结合00x >可解得：0253x =，所以点P 的坐标为25133⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭.【答案】13⎫⎪⎪⎝⎭8.（2020·新课标Ⅰ卷·★★★）设1F 、2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 上且2OP =，则12PF F 的面积为（）A.7B.3C.52D.2【解析】如图，设(),P x y ，则222243213x y y y x ⎧+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩,由题意，124F F =，所以12134322PF F S =⨯⨯= .解法2：如图，由题意，124F F =，12212121329032tan 45tan 2PF F b OP F F F PF S θ==⇒∠=︒⇒===︒ .【答案】B9.（2010·全国Ⅰ卷·★★★）已知1F 、2F 是双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则|12PF PF ⋅=（）A.2B.4C.6D.8【解析】一方面，1221tan 30tan2PF F b S θ===︒，另一方面，121212121sin 2PF F S PF PF F PF PF =⋅⋅∠=⋅ ，12PF ⋅=124PF PF ⋅=.【答案】B10.（★★★）设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123PF PF =，则12PF F 的面积为________.【解析】如图，由题意，1211223341PF PF PF PF PF PF ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，易求得12F F =，由余弦定理，222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==-⋅，所以12sin 3F PF ∠=，故12121211sin 3122PF F S PF PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯ 解法2：设()00,P x y ，由焦半径公式，123PF PF =即为0023222x x ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，解得：0x =又220014x y +=，所以22002143x y =-=，从而0y =，易求得12F F =，如图，1212012PF F S F F y =⋅= .【答案】。
椭圆的焦点三角形面积公式推导过程
椭圆的焦点三角形面积公式推导过程好嘞，今天咱们来聊聊椭圆的焦点三角形面积公式的推导过程。
说实话，听起来可能有点高深，但其实也没那么复杂，慢慢来就好了。
咱们先说说椭圆。
想象一下，一个完美的椭圆，就像一个被压扁的圆，边缘光滑，形状优雅。
椭圆有两个焦点，听起来是不是很神秘？其实这两个焦点就像是一对小伙伴，默默地在椭圆内部守护着，构成了椭圆的灵魂。
要想理解焦点三角形的面积，咱们得先搞清楚这个三角形是怎么来的。
椭圆的每一个点都和这两个焦点有关系，啥意思呢？举个例子，当你在椭圆上选一个点，连接这个点和两个焦点，形成的那个三角形就出现了。
想象一下，就像你在海滩上挖沙子，两个小伙伴在一边帮你拿水桶，而你在开心地挖沙。
这个三角形的面积可大可小，完全取决于你选择的那个点。
咱们得了解一下如何计算这个三角形的面积。
最常见的三角形面积公式是底乘高再除以二。
这里的底，就是两个焦点之间的距离，哎呀，距离可不小哦，咱们用个符号“2c”表示。
而高呢，咱们用“h”来代表，它就是从选择的那个点到这条底边的垂直距离。
想象一下，站在一个大树下，你伸直手臂，试图把手放到地上，这就是你和树之间的高度。
咱们得把这些元素结合起来。
把底和高代入面积公式，得出的结果就是：面积等于（2c乘以h）除以2，这简直就是数学界的“简化王”嘛！结果得出是：c乘以h，哇，这个公式看上去简单得多了，是不是有种“水到渠成”的感觉？但咱们还没完呢。
现在，咱们再深入一点，来看看这个高h是如何得到的。
想象一下，如果你在椭圆上找那个点的时候，你其实是在考量两个焦点到这个点的距离。
记得吗？椭圆的定义就是到两个焦点的距离之和是个定值。
这样一来，咱们可以通过几何关系，把h转化成其他的变量，这就是数学的美妙之处了。
经过一番推理，咱们会发现，h其实可以用椭圆的标准方程来表示。
椭圆的标准方程是这样的：(frac{x^2{a^2 + frac{y^2{b^2 = 1)，其中a和b分别是椭圆的长短轴半径。
椭圆焦点三角形的面积
综上所述，点 P 到 x 轴的距离 9 或 9
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课堂总结
椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）的焦点三角形的面积为：
S△PF1F2
1 2
PF1
PF2
sin
S△PF1F2
b2
tan
2
S△PF1F2 c y0 .（ y0 为 P 点的纵坐标）
作业：
椭圆的焦点三角形练习（二）
谢 谢！
椭圆焦点三角形的面积：
在椭圆
C： x2
a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）中，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
P 是椭圆上任意一点， F1PF2 ，则焦点三角形的面积为
S△PF1F2
b2
tan
2
证明：
记 | PF1 | m, | PF2 | n
m
n
在 F1PF2 中，由余弦定理有：
m2 n2 2mn cos | F1F2 |2 4c2
|
1 2
,求
F1PF2 的面积。
PF1 . PF2 | PF1 | . | PF2
|
cos
1 2
60
,
tan
2
tan 30
3 3
SPF1F2
b2
tan
2
3
3
例 3：已知椭圆 x2 y2 1的左、右焦点分别是
25 9
F1, F2 ，点 P 在椭圆上，若 P、F1、F2 是一个直
角三角形的三个顶点，求点 P 到 x 轴的距离。
椭圆的焦点三角形
(第二课时）
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
利用二级结论秒杀椭圆双曲线(解析版)
利用二级结论秒杀椭圆双曲线【考点目录】考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为b考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠0).考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式【考点分类】考点一：椭圆焦点三角形的面积为S =b 2⋅tan θ2(θ为焦距对应的张角)证明：设PF 1=m ,PF 2=nm +n =2a 1 2c 2=m 2+n 2-2mn cos θ2 S △F 1PF 2=12mn sin θ3 ，1 2-2 ：mn =2b 21+cos θ⇒S △F 1PF 2=b 2⋅sin θ1+cos θ=b 2⋅2sin θ2cos θ22cos 2θ2=b 2tanθ2．双曲线中焦点三角形的面积为S =b 2tan θ2(θ为焦距对应的张角)【精选例题】1(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知F 1,F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ =F 1F 2 ，则四边形PF 1QF 2的面积为．【答案】8【解析】因为P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |=|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形，设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ，则m +n =8,m 2+n 2=48，所以64=(m +n )2=m 2+2mn +n 2=48+2mn ，mn =8，即四边形PF 1QF 2面积等于8.故答案为：8.2设F 1，F 2是双曲线C :x 2-y 23=1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |=2，则△PF 1F 2的面积为()A.72B.3C.52D.2【答案】B 【解析】由已知，不妨设F 1(-2,0),F 2(2,0)，则a =1,c =2，∵|OP |=1=12|F 1F 2|，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上]即△F 1F 2P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即|PF 1|2+|PF 2|2=16，又|PF 1|-|PF 2| =2a =2，∴4=|PF 1|-|PF 2| 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16-2|PF 1||PF 2|，解得|PF 1||PF 2|=6，∴S △F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|=3，故选B ．【跟踪训练】1设P 为椭圆x 225+y 29=1上一点，F 1,F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则P 点的纵坐标为()A.334B.±334C.934D.±934【答案】B【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式S =b 2tan θ2求解即可.【详解】由题知S △F 1PF 2=9×tan60°2=3 3.设P 点的纵坐标为h ，则12⋅F 1F 2 ⋅h =33⇒h =±334.故选：B2设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =()A.1B.2C.4D.8【答案】A 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为S PF 1F 2=b 2tan θ2．∴b 2tan45°=4，则b =2，又∵e =ca=5，∴a =1．考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且k AB 与k OM 斜率存在时，则k AB ⋅K OM =−b 2a 2；(焦点在x 轴上时)，当焦点在y 轴上时，k AB ⋅K OM =−a 2b2若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，k PA ⋅K PB =−b 2a 2(焦点在x 轴上时)，当焦点在y轴上时，k PA ⋅K PB =−a 2b2下述证明均选择焦点在x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．直径问题证明：设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，因为AB 过原点，由对称性可知，点B (-x 1，-y 1)，所以k PA ⋅k PB=y 0−y 1x 0−x 1⋅y 0+y 1x 0+x 1=y 02−y 12x 02−x 12．又因为点P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)在椭圆上，所以有x 02a 2+y 02b 2=1(1)x 12a 2+y 12b 2=1(2)．两式相减得y 02−y 12x 02−x 12=−b 2a 2，所以k PA ⋅k PB =−b 2a2．中点弦问题证明：设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，M x 0，y 0 则椭圆x 12a 2+y 12b 2=11x 22a 2+y 22b 2=12两式相减得y 22-y 12x 22-x 12=-b 2a2k AB ⋅k OM =y 2-y 1x 2-x 1⋅y 0x 0=y 2-y 1x 2-x 1⋅y 1+y 22x 1+x 22=y 22-y 12x 22-x 12=-b 2a2=e 2-1．双曲线中焦点在x 轴上为k OM ⋅k AB =b 2a 2，焦点在y 轴上为k OM ⋅k AB =a 2b 2，【精选例题】3已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，-1)，则G 的方程为A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=1【答案】D【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2，y 1+y 2=-2，x 21a 2+y 21b 2=1， ① x 22a 2+y 22b 2=1， ②①-②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0，所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=b 2a2，又k AB =0+13-1=12，所以b 2a 2=12，又9=c 2=a 2-b 2，解得b 2=9，a 2=18，所以椭圆方程为x 218+y 29=1，故选D4过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若k AB ⋅k OD =12，则C 的离心率为()A.6B.2C.3D.62【答案】D【分析】先设出直线AB 的方程，并与双曲线C 的方程联立，利用设而不求的方法及条件k AB ⋅k OD =12得到关于a 、c 的关系，进而求得双曲线C 的离心率【详解】不妨设过双曲线C 的焦点且斜率不为0的直线为y =k (x -c ),k ≠0，令A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)由x 2a 2-y 2b 2=1y =k (x -c )，整理得b 2-a 2k 2x 2+2a 2k 2cx -a 2k 2c 2+a 2b 2=0则x 1+x 2=2a 2k 2c a 2k 2-b 2，x 1x 2=a 2k 2c 2+a 2b 2a 2k 2-b 2，D a 2k 2c a 2k 2-b 2，kb 2ca 2k 2-b2则k OD =kb 2c a 2k 2c =b 2a 2k ，由k AB ⋅k OD =12，可得b 2a 2k ⋅k =12则有a 2=2b 2，即3a 2=2c 2，则双曲线C 的离心率e =c a =62，故选：D 5已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2．点M为C 上不在坐标轴上的任意一点，且MA 1，MA 2，MB 1，MB 2四条直线的斜率之积大于19，则C 的离心率可以是A.33B.63C.23D.73【答案】AC【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质，结合题意即可求解.【详解】设M x 0,y 0 ，依题意可得x 20a 2+y 20b 2=1，则y 20=b 2a 2a 2-x 20 ，x 20=a 2b2b 2-y 20 ，又A 1-a ,0 ,A 2a ,0 ,B 10,b ,B 20,-b ，所以k MA 1⋅k MA 2⋅k MB 1⋅k MB 2=y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a ⋅y 0-b x 0⋅y 0+b x 0=y 20x 20-a 2⋅y 20-b2x 20=b 2a 22>19，b 2a 2>13，从而e =1-b 2a2∈0,63 .故选：AC .【跟踪训练】3已知M 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点A 关于双曲线中心O 的对称点为B ，设直线MA 、MB 的倾斜角分别为α、β，且tan α⋅tan β=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3C.62D.52【答案】D【分析】设出A,B坐标，根据题意得k MA⋅k MB=14，代入斜率公式，由A点在双曲线上，消元整理得到a,b的关系，进一步求得双曲线的离心率.【详解】设A x0,y0，则B-x0,-y0，因为tanαtanβ=14，即k MA⋅k MB=14，由M(a,0)，所以y0-0x0-a⋅-y0-0 -x0-a =y20x20-a2=14，因为x20a2-y20b2=1，所以y20=b2a2x20-a2，即b2a2x20-a2x20-a2=14，得b2a2=14，所以b a =12，即b=12a，又c2=a2+b2，所以c2=a2+14a2，即c2=54a2，所以e=ca=52，故双曲线的离心率为e=52．故选：D.4已知A，B，P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为()A.52B.62C.2D.213【答案】D【分析】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，然后表示出k PA⋅k PB，又由于点A，P在双曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得k PA⋅k PB=b2a2=43，化简可求出离心率【详解】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，所以k PA⋅k PB=y2-y1x2-x1⋅y2+y1x2+x1=y22-y21x22-x21．因为点A，P在双曲线上，所以x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x22-x12a2=y22-y12b2，所以b2a2=y22-y12x22-x12所以k PA⋅k PB=b2a2=43，所以e2=a2+b2a2=73，所以e=213．故选：D5已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为14，则双曲线的离心率是()A.62B.2 C.32D.2【答案】A【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，P(m,n)，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出b2，从而可求出c，进而可求出离心率【详解】A(x1,y1),B(x2,y2)，P(m,n)，则x124-y12b2=1，x224-y22b2=1，两式相减得14(x1-x2)(x1+x2)-1b2(y1-y2)(y1+y2)=0，所以(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)=b24，因为P是AB的中点，所以x1+x2=2m，y1+y2=2n，因为直线OP的斜率为14，所以nm=14，因为过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以k AB=y1-y2x1-x2=2，所以y1-y2x1-x2⋅2n2m=b24，2×14=b24，得b2=2，所以c=a2+b2=4+2=6，所以离心率为e=ca=62故选：A考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b 【精选例题】1若双曲线x2a2-y2b2=1的焦点F2,0到其渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为()A.y=±3xB.y=±3xC.y=±13x D.y=±33x【答案】B【分析】由题可得b=3，a=1，即得.【详解】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦点c,0到渐近线：y=bax，即bx-ay=0的距离为：d=bca2+b2=bcc=b=3，而c=2，从而a=1，故渐近线y=±bax即y=±3x.故选：B.2已知F是双曲线C：x2-my2=3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m【答案】A【解析】双曲线方程为x23m-y23=1，焦点F到一条渐近线的距离为b=3，故选A．【跟踪训练】1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为()A.x 24-y 212=1B.x 212-y 24=1C.x 23-y 29=1D.x 29-y 23=1【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为F c ,0 c >0 ，则x A =x B =c ，由c 2a 2-y 2b2=1可得：y =±b 2a ，不妨设：A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，双曲线的一条渐近线方程为：bx -ay =0，据此可得：d 1=bc -b 2 a 2+b 2=bc -b 2c ，d 2=bc +b 2a 2+b 2=bc +b 2c ，则d 1+d 2=2bc c =2b =6，则b =3,b 2=9，双曲线的离心率：e =c a =1+b 2a2=1+9a2=2，据此可得：a 2=3，则双曲线的方程为x 23-y 29=1，故选C ．2已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A.x 25-y 24=1B.x 24-y 25=1C.x 23-y 26=1D.x 26-y 23=1【答案】A 【解析】圆C :(x -3)2+y 2=4，c =3,而3bc=2，则b =2,a 2=5，故选A ．考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠0).【精选例题】3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【答案】D【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =c a=1+b 2a 2=1+6a2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463.故选：D .4(多选题)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点分别F 1、F 2，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，双曲线和椭圆的离心率分别为e 1,e 2,△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为D ，则()A.I 到y 轴的距离为aB.点D 的轨迹是双曲线C.若OP =F 1F 2 ，则1e 21+1e 22=5 D.若S △IPF 1-S △IPF 2≥12S △IF 1F2，则1<e 1≤2【答案】ACD【详解】设圆I 与△PF 1F 2三边PF 1,PF 2,F 1F 2的切点为A ,B ,C ，F 1C =F 1A =PF 1 -PB =PF 1 -PF 2 -F 2B =2a +F 2C ，又F 1C +F 2C =2c ，故F 2C =c -a ，故OC =a ，所以I到y轴的距离为a ，故A 正确；过F 2作直线PI 的垂线，垂足为D ，延长F 2I 交PF 1于点E ，因为△PED ≅△PF 2D ，则D 为F 2E 的中点且PF 2 =PE ，于是OD =12F 1E =12PF 1 -PE =12PF 1 -PF 2 =a ，故点D 的轨迹是在以O 为圆心，半径为a 的圆上，故B 不正确；设椭圆的长半轴长为a 1，它们的半焦距为c ，并设PF 1 =m ,PF 2=n，根据椭圆和双曲线的定义可得：m+n=2a1,m-n=2a，所以m=a1+a,n=a1-a，在△POF1中，由余弦定理得：PF12=OF12+OP2-2OF1OPcos∠POF1，即m2=c2+4c2-2×c×2c cos∠POF1，在△POF2中，由余弦定理得：PF22=OF22+OP2-2OF2OPcos∠POF2，即n2=c2+4c2-2×c×2c cos∠POF2，由∠POF2=π-∠POF1，两式相加，则n2+m2=10c2，又n2+m2=2a21+2a2，所以2a21 +2a2=10c2，所以a21+a2=5c2，所以a21c2+a2c2=5，即1e21+1e22=5，故C正确；S△IPF1-S△IPF2≥12S△IF1F2，即PF1-PF2≥c，所以2a≥c，即1<e1≤2，故D正确.故选：ACD.5(多选题)已知F1,F2分别为双曲线x2-y23=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，记△AF1F2的内切圆O1的面积为S1，△BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则()A.圆O1和圆O2外切B.圆心O1在直线AO上C.S1⋅S2=π2D.S1+S2的取值范围是2π,3π【答案】AC【详解】双曲线x2-y23=1的a=1,b=3,c=2，渐近线方程为y=3x、y=-3x，两渐近线倾斜角分别为π3和2π3，设圆O1与x轴切点为G过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，可知直线AB的倾斜角取值范围为π3,2π3，O1、O2的的横坐标为x，则由双曲线定义AF1-AF2=2a，所以由圆的切线长定理知x-(-c)-c-x=2a，所以x=a.O1、O2的横坐标均为a，即O1O2与x轴垂直.故圆O1和圆O2均与x轴相切于G1,0，圆O1和圆O2两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知，△AF1F2中，AF1>AF2，则AO只能是△AF1F2的中线，不能成为∠F1AF2的角平分线，则圆心O1一定不在直线AO上.选项B错误；在△O1O2F2中，∠O1F2O2=90°，O1O2⊥F2G，则由直角三角形的射影定理可知F2G2=O1G⋅O2G，即(c-a)2=r1⋅r2则r1⋅r2=1，故S1⋅S2=πr21⋅πr22=π2.选项C正确；由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1的取值范围为π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=tan ∠O 1F 2F 1∈33,3 ，又r 1⋅r 2=1，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+1r 21,r 1∈33,3 令f x =x +1x ,x ∈13,3 ，则f x 在13,1 单调递减，在1,3 单调递增.f 1 =2,f 13 =103,f 3 =103,f x =x +1x ,x ∈13,3 值域为2,103 故S 1+S 2=πr 21+1r 21,r 1∈33,3 的值域为2π,103π .选项D 错误.故选：AC .【跟踪训练】3已知双曲线方程是x 2-y 23=1，过F 2的直线与双曲线右支交于C ，D 两点(其中C 点在第一象限)，设点M 、N 分别为△CF 1F 2、△DF 1F 2的内心，则MN 的范围是.【答案】2,433【详解】 因x 2-y 23=1，故a =1，b =3，c =a 2+b 2=2，如图，过M 点分别作MA ⊥F 1F 2，MP ⊥F 2C ，MQ ⊥F 1C ，垂足分别为A ,P ,Q ，因M 为△CF 1F 2的内心，所以AF 1 -AF 2 =QF 1 -PF 2 =CF 1 -CF 2 =2a =2，故A 点也在双曲线上，即A 为双曲线的右顶点，同理NA ⊥F 1F 2，所以M ,A ,N 三点共线，设直线CD 的倾斜角为θ，因双曲线的渐近线方程为y =±3x ，倾斜角为π3，根双曲线的对称性，不妨设π3<θ≤π2，因AF 2 =c-a =2-1=1，所以MA =MA AF 1=tan ∠MF 2A =tanπ-θ2，NA =NA NF 1=tan ∠NF 2A =tan θ2,所以MN =MA +NA =tan π-θ2+tan θ2=sin π-θ2cos π-θ2+sin θ2cos θ2=cos θ2sin θ2+sin θ2cos θ2=1sin θ2cos θ2=2sin θ，因π3<θ≤π2，所以sin θ∈32,1 ，所以2sin θ∈2,433，故答案为：2,4334(多选题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，若H 、G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则()A.C 的渐近线方程为y =±3xB.点H 与点G 均在同一条定直线上C.直线HG 不可能与l 平行D.HG 的取值范围为22,463【答案】ABD【详解】设双曲线C 半焦距为c ，双曲线C 的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，双曲线C 的右焦点F 2c ,0 到渐近线的距离为bcb 2+a 2=b =6，由题意知e =ca=1+b 2a2=1+6a2=2，所以a 2=2，所以c =b 2+a 2=22，故双曲线C 的方程为x 22-y 26=1，故渐近线方程为y =±3x ，故A 正确；对于B 选项，记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ， 由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴，即H 、G 均在直线x =a 上，故B 正确；对于C 选项，当l 与x 轴垂直时，HG ⎳l ，故C 错误；对于D 选项，设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(O 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =EG +HE =c -a tan θ2+tan 90°-θ2=c -asin θ2cos θ2+sin 90°-θ2 cos 90°-θ2 .c -a sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=c -a 1sin θ2cos θ2=c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为b a =3，倾斜角为60°，结合图形可知60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，所以，HG =22sin θ∈22,463，故D 正确.故选：ABD .考点五：已知具有公共焦点F 1,F 2的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则有sin θe 12+cos θe 22=1.【精选例题】6已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为()A.43B.433C.4D.463【答案】B【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1a >a 1 ，半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1=c a ，e 2=ca 1，因P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则由余弦定理可得：4c 2=m 2+n 2-2mn cosπ3⋯⋯①在椭圆中，由定义知m +n =2a ，①式化简为：4c 2=4a 2-3mn ⋯⋯②在双曲线中，由定义知m -n =2a 1，①式化简为：4c 2=4a 21+mn ⋯⋯③由②③两式消去mn 得：16c 2=4a 2+12a 21，等式两边同除c 2得4=a 2c 2+3a 21c2，即4=1e 21+3e 22，由柯西不等式得1e 21+3e 221+13 ≥1e 1+3e 2⋅132，∴1e 1+1e 2≤433.故选：B7已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1(左焦点)，F 2(右焦点)，且两条曲线在第一象限的交点为P ，若△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，C 1，C 2的离心率分别为e 1和e 2，且e 2=2，则()A.a 21-b 21=a 22+b 22B.1e 1+1e 2=2 C.e 1=25D.cos ∠F 1PF 2=34【答案】ACD【分析】A 由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B 、C 由椭圆、双曲线的定义可得|PF 1|=2a 1-|PF 2|=2a 2+|PF 2|，而|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，即可判定；D 记∠F 1PF 2=θ，应用余弦定理可得cos θ=e 21+e 22-2e 21e 22e 22-e 21，由已知及B 、C 分析，即可判断.【详解】设C 1，C 2的焦距为2c ，由C 1，C 2共焦点知：a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，故A 正确；△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形知|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，由P 在第一象限知：|PF 1|=2a 1-|PF 2|=2a 2+|PF 2|，即2a 1-2c =2a 2+2c ，即a 1-a 2=2c ，即1e 1-1e 2=2，故B 错；由e 2=2且1e 1-1e 2=2，易得e 1=25，故C 正确；在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=θ，根据定义PF 1+PF 2=2a 1PF 1-PF 2=2a 2⇒PF 1=a 1+a 2PF 2=a 1-a 2 ．由余弦定理有(2c )2=(a 1+a 2)2+(a 1-a 2)2-2(a 1+a 2)(a 1-a 2)cos θ．整理得2c 2=a 21+a 22-(a 21-a 22)cos θ，两边同时除以c 2，可得2=1e 21+1e 22-1e 21-1e 22cos θ，故cos θ=e 21+e 22-2e 21e 22e 22-e 21．将e 1=25,e 2=2代入，得cos θ=34．故D 正确故选：ACD ．【跟踪训练】5已知F 是椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 1的下顶点，双曲线C 2：x 2m 2-y 2n 2=1(m >0，n >0)与椭圆C 1共焦点，若直线AF 与双曲线C 2的一条渐近线平行，C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则1e 1+2e 2的最小值为．【答案】22【分析】根据直线AF 与C 2的一条渐近线平行，得到b c =nm，再结合双曲线与椭圆共焦点得到e 1e 2=1，再利用基本不等式求解.【详解】解：设C 1的半焦距为c (c >0)，则F c ,0 ，又A 0,-b ，所以k AF =b c，又直线AF 与C 2的一条渐近线平行，所以b c =n m ，所以b 2c 2=n 2m 2，所以a 2-c 2c 2=c 2-m 2m 2，所以a 2c 2=c 2m 2，所以e 1e 2=1，又1e 1+2e 2=e 2+2e 1e 1e 2=e 2+2e 1≥22e 1e 2=22，当且仅当e 2=2e 1，即e 1=22，e 2=2时等号成立，即1e 1+1e 2的最小值为22．故答案为：22考点六：设圆锥曲线C 的焦点F 在x 轴上，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A ,B 两点，若AF =λFB(λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1，即e cos θ =λ-1λ+1．【精选例题】8已知椭圆C :x 24+y 23=1过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF=2FB ，则直线l 的斜率k 的值为．【答案】±52【详解】由题，点A 位于x 轴上方且AF =2FB，则直线l 的斜率存在且不为0，F 1,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则可得-y 1=2y 2，设直线l 方程为x =ty +1，联立直线与椭圆x 24+y 23=1x =ty +1可得3t 2+4 y 2+6ty -9=0，∴y 1+y 2=-6t3t 2+4y 1y 2=-93t 2+4，∴y 2=6t 3t 2+4,-2y 22=-93t 2+4，∴-26t 3t 2+42=-93t 2+4，解得t =±255，则直线的斜率为±52.故答案为：±52.9已知F 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l 经过点F 且与双曲线相交于A ,B 两点，记该双曲线的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若AF =2FB，则()A.8e 2-k 2=1B.e 2-8k 2=1C.9e 2-k 2=1D.k 2-9e 2=1【答案】C【详解】由题意，设直线l 的方程为x =my +c ，联立方程组x =my +cx 2a2+y 2b 2=1，整理得(b 2m 2-a 2)y 2+2b 2mcy +b 4=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得y 1+y 2=-2b 2mc b 2m 2-a 2,y 1y 2=b 4b 2m 2-a 2，因为AF =2FB ，即(c -x 1,-y 1)=2(x 2-c ,y 2)，可得-y 1=2y 2，代入上式，可得y 2=2b 2mcb 2m 2-a 2-2y 22=b 4b 2m 2-a2，可得-22b 2mcb 2m 2-a22=b 4b 2m 2-a2，整理得-8m 2c 2=b 2m 2-a 2，即(8c 2+b 2)m 2-a 2=0，又由c 2=a 2+b 2，可得(9c 2-a 2)m 2-a 2=0，即(9e 2-1)m 2-1=0，所以(9e 2-1)⋅1k2-1=0，可得9e 2-1-k 2=0，即9e 2-k 2=1.故选：C .10已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 1倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B .若AF 2 =BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】A【详解】设AF 1 =t ，则AF 2 =t +2a =BF 2 ，从而BF 1 =t +4a ，进而BA =4a .过F 2作F 2H ⊥AB =H ，则AH =2a .如图：在Rt △F 1F 2H 中，F 2H =2c sin30°=c ，F 1H =2c cos θ=3c =AF 2 ；在Rt △AF 2H 中，3c 2-c 2=2a2，即2c 2=4a 2，所以e = 2.故选：A 【跟踪训练】6斜率为12的直线l 过椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的焦点F ，交椭圆于A ,B 两点，若AF =23AB ，则该椭圆的离心率为．【答案】53【详解】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由AF =23AB 得：AF =2FB ，∴x 1=-2x 2，即x1x 2=-2；不妨令F 0,c ，则直线l :y =12x +c ，由y =12x +c y 2a 2+x 2b2=1得：b 2+4a 2 x 2+4b 2cx -4b 4=0，∴x 1+x 2=-4b 2cb 2+4a 2x 1x 2=-4b 4b 2+4a2，∴x 1+x 22x 1x 2=x1x 2+x 2x 1+2=-16b 4c 2b 2+4a 2 24b 4b 2+4a 2=-4c 2b 2+4a2=-12，即8c 2=b 2+4a 2=a 2-c 2+4a 2=5a 2-c 2，∴9c 2=5a 2，∴e =c 2a 2=59=53；由椭圆对称性可知：当F 0,-c 时，e =53；∴椭圆的离心率为53.故答案为：53.7已知双曲线x 2a 2-y2b 2=1a ,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且倾斜角为π6的直线l 与双曲线的左､右支分别交于点A ，B ，且AF 2 =BF 2 ，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.22D.23【答案】A【详解】解：过F 2作F 2N ⊥AB 于点N ，设AF 2 =BF 2 =m ，因为直线l 的倾斜角为π6，所以在直角三角形F 1F 2N 中，NF 2 =c ，NF 1 =3c ，由双曲线的定义可得BF 1 -BF 2 =2a ，所以BF 1 =2a +m ，同理可得AF 1 =m -2a ，所以AB =BF 1 -AF 1 =4a ，即AN =2a ，所以AF 1 =3c -2a ，因此m =3c ，在直角三角形ANF 2中，AF 2 2=NF 2 2+AN 2，所以3c 2=4a 2+c 2，所以c =2a ，则e =ca= 2.故选：A .考点七：已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过点F 且与渐近线y =ba x 垂直的直线分别交两条渐近线于P ,Q 两点.情形1.如图1.若FP =λFQ λ>0,λ≠1 ,则e 2=2λλ−1(*)图1图2如图2.若QF =λFP(0<λ<1)，则e 2=2λ+1【精选例题】11过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为A ，与双曲线的另一条渐近线交于点B ，若FB =2FA，则此双曲线的离心率为【答案】满足情形1，即λ=2，故e 2=2λλ−1，则e =212已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1，(a >0,b >0)过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A 、B 两点A 、B 两点分别在一、四象限，若AF BF =12，则双曲线C 的离心率为()A.233B.2C.3D.5【答案】A【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点F c ,0 ，渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，如下图所示:由点到直线距离公式可知：FA =bcb 2+a2=b ，又∵c 2=a 2+b 2，∴OA =a ，∵AF BF=12，即BF =2b ，设∠AOF =α，由双曲线对称性可知∠AOB =2α，而tan α=b a ，tan2α=AB OA=3ba ，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tan α1-tan 2α=2×b a 1-b a2=2ab a 2-b 2，即3b a =2ab a 2-b 2，化简可得：a 2=3b 2，即b 2a2=13，由双曲线离心率公式可知：e =ca =1+b 2a2=1+13=233.故选：A .【跟踪训练】8已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别为直线l 1，l 2，经过右焦点F 且垂直于l 1的直线l 分别交l 1，l 2于A ,B 两点，且FB =2AF，则该双曲线的离心率为()A.233B.3C.43D.433【答案】满足情形2，即λ=2，e 2=2λ+1⇒e =233.9F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ,B 两点，若AB =2BF 1，则双曲线的离心率为A.52B.5C.103D.10【答案】B【详解】设直线方程为y =x +c ，与渐近线方程y =±b a x 联立方程组解得y B =bc a +b ,y A =bc b -a,因为AB =2BF 1 ，所以y B -y A =2(0-y B )y A =3y B ∴3bc a +b =bc b -a,∴b =2a ,∴c =5a ,e =5，选B .1已知点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1 ⋅PF 2 =3，且△PF 1F 2的面积为2，则b 2=()A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】画出图形，结合解三角形知识、数量积的定义、椭圆的定义以及平方关系即可求解.【详解】PF 1 +PF 2=2a 如图所示：设∠F 1PF 2=θ，由题意PF 1 ⋅PF 2 =PF 1 ⋅PF 2 cos θ=3，S △PF 1F 2=12PF 1⋅PF 2 sin θ=2，两式相比得tan θ=sin θcos θ=43，又θ∈0,π ，且cos 2θ+sin 2θ=1，所以cos θ=35,sin θ=45,PF 1⋅PF 2 =5，而由余弦定理有2c 2=F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2cos θ=PF 1 2+PF 2 2-6，即2c 2+6=PF 1 2+PF 2 2，且由椭圆定义有2a 2=PF 1 +PF 2 2=PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2=2c 2+6+10，所以4b 2=4a 2-4c 2=16，解得b 2=4.故选：C .2椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ，N 两点，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327【答案】A【分析】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，利用点差法可推出y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-mn，设线段MN 中点为(x 0,y 0)，结合题意推出y 0x 0=22，y 1-y 2x 1-x 2=-1，代入y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-mn化简，即可得答案.【详解】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则mx 21+ny 21=1,mx 22+ny 22=1，两式相减得m (x 21-x 22)+n (y 21-y 22)=0，由已知椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ，N 两点，可知x 1≠x 2，故y 21-y 22x 21-x 22=-m n ，即y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-m n ，设线段MN 中点为(x 0,y 0)，则x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0，而y 1-y 2x 1-x 2=k MN =-1，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为22，即y 0x 0=22，故22⋅(-1)=-m n ，即m n =22，故选：A3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b >0)的离心率为2，焦点到渐近线距离为3，则双曲线C 实轴长()A.3B.3C.23D.6【答案】D【解析】由双曲线的性质可得双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式可得b =3，再结合离心率即可得解.【详解】由题意，双曲线的一个渐近线为y =-ba x 即bx +ay =0，设双曲线的的右焦点为F c ,0 ,c >0，则c 2=a 2+b 2，所以焦点到渐近线的距离d =bca 2+b 2=bcc=b =3，又离心率e =ca=2，所以a =3，所以双曲线C 实轴长2a =6.故选：D .4(多选题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为12，且经过点3,32,P 在椭圆上，则()A.PF 1 的最大值为3B.△PF 2F 1的周长为4C.若∠F 2PF 1=60°，则△PF 2F 1的面积为3D.若PF 1 PF 2 =4，则∠F 2PF 1=60°【答案】ACD【分析】先求出椭圆方程，然后根据椭圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题意，椭圆离心率为12，则a :b :c =2:3:1⇒a =23b ，则x 2a 2+y 2b 2=1⇒3x 24b 2+y 2b 2=1，代入3,32 ，得b 2=3⇒a 2=4，所以C :x 24+y 23=1，对A ，由题意PF 1 max =a +c =3，故A 正确；对B ,△PF 2F 1的周长为2a +2c =6，故B 错误；对C ，若∠F 2PF 1=60°，则由余弦定理得：F 2F 12=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos60°=PF 1 +PF 2 2-3PF 1 ⋅PF 2 .即(2c )2=(2a )2-3PF 1 ⋅PF 2 ，故PF 1 ⋅PF 2 =4，故S △PF 2F 1=12PF 1 ⋅PF 2 sin60°=3，故C 正确；对D ，由余弦定理F 2F 12=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 cos ∠F 2PF 1=PF 1 +PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅1+cos ∠F 2PF 1 ，即4=16-2×41+cos ∠F 2PF 1 ，解得cos ∠F 2PF 1=12，故∠F 2PF 1=60°，故D 正确，故选:ACD5(多选题)设椭圆的方程为x 22+y 24=1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论不正确的是()A.直线AB 与OM 垂直B.若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为2x +y -3=0C.若直线方程为y =x +1，则点M 坐标为13,43D.若直线方程为y =2x +2，则|AB |=432【答案】AC【分析】根据椭圆中点弦的性质k AB ∙k OM =-42=-2，可以判断ABC ，对于D ,直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得|AB |，从而判断正误．【详解】对于A ：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 222+y 224=1x 212+y 214=1，相减可得x 21-x 222+y 21-y 224=0，所以y 1-y 2x 1-x 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-42=-2≠-1，故A 错误；对于B ：根据k AB ∙k OM =-2，k OM =1，所以k AB =-2，所以直线方程为y -1=-2(x -1)，即2x +y -3=0，故B 正确；对于C ：若直线方程为y =x +1，点M 13,43，则k AB ∙k OM =1×4=4≠-2，所以C 错误；对于D ：若直线方程为y =2x +2，与椭圆方程x 22+y 24=1联立，得到2x 2+(2x +2)2-4=0，整理得：3x 2+4x =0，解得x 1=0,x 2=-43，所以|AB |=1+12∙-43-0 =423，故D 正确；故选：AC ．6(多选题)设A ，B 是双曲线x 2-y 24=1上的两点，下列四个点中可以为线段AB 中点的是()A.0,2B.-1,2C.1,1D.1,4【分析】A选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D选项，首先根据点差法分析可得k AB⋅k=4，结合双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断.【详解】对于选项A：因为双曲线关于y轴对称，所以当直线AB的方程为y=2时，线段AB的中点为(0,2)，故A正确；当直线AB的斜率存在且不为0时，设A x1,y1,B x2,y2，则AB的中点Mx1+x22,y1+y22，可得k AB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2，因为A,B在双曲线上，则x21-y214=1x22-y224=1，两式相减得x21-x22-y21-y224=0，所以k AB⋅k=y21-y22x21-x22=4.对于选项B：可得k=-2,k AB=-2，则AB:y-2=2(x+1)，即y=2x+4，双曲线的渐近线方程为y=±2x，由于y=2x+4与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B 错误；对于选项C：可得k=1,k AB=4，则AB:y-1=4(x-1)，即y=4x-3，联立方程y=4x-3x2-y24=1，消去y得12x2-24x+13=0，此时Δ=242-4×12×13=-48<0，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4,k AB=1，则AB:y-4=x-1，即y=x+3，联立方程y=x+3x2-y24=1，消去y得3x2-6x-13=0，此时Δ=-62+4×3×13>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：AD.7(多选题)若P是椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2:x2m2-y2n2=1m>0,n>0在第一象限的交点，且C1，C2共焦点F1，F2，∠F1PF2=θ，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列结论中正确的是()A.PF1=m+a，PF2=m-a B.cosθ=b2-n2 b2+n2C.若θ=120°，则3e21+1e22=4 D.若θ=90°，则e21+e22的最小值为2【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ；再结合B ，基本不等式等讨论CD 选项即可.【详解】解：依题意，PF 1+ PF 2 =2aPF 1- PF 2 =2m ，解得PF 1 =a +m ,PF 2 =a -m ，A 不正确；令|F 1F 2|=2c ，由余弦定理得：cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(a +m )2+(a -m )2-4c 22(a +m )(a -m )=a 2+m 2-2c 2a 2-m 2，因为在椭圆C 1中a 2-c 2=b 2，在双曲线C 2中，m 2-c 2=-n 2，所以cos θ=a 2+m 2-2c 2a 2-m 2=b 2-n 2b 2+n 2，故B 选项正确；当θ=120°时，cos θ=b 2-n 2b 2+n 2=-12，即3b 2=n 2，所以3a 2+m 2=4c 2，即3a c2+m c2=4，所以，3e 21+1e 22=4，故C 选项正确；当θ=90°时，b 2=n 2，即a 2+m 2=2c 2，所以，a c2+m c 2=2，有1e 21+1e 22=2，因为0<e 21<1<e 22，所以，e 21+e 22=2e 21e 22<2e 21+e 2222，解得e 21+e 22>2，D 不正确；故选：BC8(多选题)如图，P 是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2m 2-y 2n 2=1(m >0,n >0)在第一象限的交点，且C 1,C 2共焦点F 1,F 2,∠F 1PF 2=θ,C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2，则下列结论正确的是()A.PF 1 =a +m ,PF 2 =a -mB.若θ=60°，则1e 21+3e 22=4C.若θ=90°，则e 21+e 22的最小值为2D.tanθ2=nb【答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：PF 1 +PF 2 =2aPF 1 -PF 2 =2m ，解得PF 1 =a +m ，PF 2 =a -m ，A 正确；在△F 1PF 2中，由余弦定理得：a -m 2+a +m 2-2a -m a +m cos θ=2c 2，整理得a 21-cos θ +m 21+cos θ =2c 2，a 21-cos θ c 2+m 21+cos θ c 2=2，即1-cos θe 21+1+cos θe 22=2，当θ=60°时，12e 21+32e 22=2，即1e 21+3e 22=4，B 正确；当θ=90°时，1e 21+1e 22=2，e 21+e 22=121e 21+1e 22(e 21+e 22)=1+12e 22e 21+e 21e 22≥1+e 22e 21⋅e 21e 22=2，当且仅当e 1=e 2=1时取“=”，而0<e 1<1,e 2>1，C 不正确；在椭圆中，2|PF 1||PF 2|cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=4a 2-4c 2-2|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=2b 21+cos θ，在双曲线中，2|PF 1||PF 2|cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=4m 2-4c 2+2|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=2n 21-cos θ，于是得2n 21-cos θ=2b 21+cos θ⇔n 2b 2=1-cos θ1+cos θ=2sin 2θ22cos 2θ2=tan 2θ2，而0<θ2<π2，则tan θ2=n b ，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.9己知椭圆C :x 2m 2+y 26=1的焦点分别为F 10,2 ，F 20,-2 ，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P 12,12为线段MN 的中点，则直线l 的方程为．【答案】3x +y -2=0【分析】先由题意求出m 2，再由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可求解.【详解】根据题意，因为焦点在y 轴上，所以6-m 2=4，则m 2=2，即椭圆C :x 22+y 26=1，所以P 点为椭圆内一点，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则x 212+y 216=1，x 222+y 226=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 22=-y 1+y 2 y 1-y 26，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-3×x 1+x2y 1+y 2，因为点P 12,12 为线段MN 的中点，所以x 1+x 2y 1+y 2=x 1+x 22y 1+y 22=x P y P=1212=1，所以直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=-3×x 1+x2y 1+y 2=-3×1=-3，所以直线l 的方程为y -12=-3x -12，即3x +y -2=0.故答案为：3x +y -2=0.10已知点A ,B ,C 是离心率为2的双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上的三点, 直线AB ,AC ,BC 的斜率分别是k 1,k 2,k 3,点D ,E ,F 分别是线段AB ,AC ,BC 的中点,O 为坐标原点，直线OD ,OE ,OF 的斜率分别是k '1,k '2,k '3.若1k '1+1k '2+1k '3=3,则k 1+k 2+k 3=【答案】3【分析】本题考查点差法，根据点差法的内容，设点，作差，计算得出y 0y 1-y 2 x 0x 1-x 2 =b 2a 2,结合离心率为2，求得k 1k '1=1.同理求得k 2k '2=1,k 3k '3=1.代入问题计算即可.【详解】因为双曲线Γ的离心率为2, 所以ba=1.不妨设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,D x 0,y 0 ,因为点A ,B 在Γ上，所以x 21a 2-y 21b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式相减,得x 1+x 2 x 1-x 2a 2=y 1+y 2 y 1-y 2b 2,因为点D 是AB 的中点，所以x 1+x 2=2x 0, y 1+y 2=2y 0,。
椭圆焦点三角形的面积
椭圆焦点三角形的面积椭圆焦点三角形的面积是数学中比较复杂的概念，需要一定的几何基础和计算技巧才能理解和运用。
下面将介绍有关椭圆焦点三角形面积的概念、定义、性质及其计算方法。
一、椭圆焦点三角形的定义和性质1. 椭圆焦点三角形是指在椭圆上任取三点，分别作为一个焦点和两个椭圆上的点，连接这两个点与另一个焦点所在的直线的三角形称为椭圆焦点三角形。
2. 椭圆焦点三角形的三条边与椭圆的三条轴互相垂直。
3. 椭圆焦点三角形的三个顶点在椭圆上，其中有一个顶点位于凸部，另外两个顶点位于凹部。
二、椭圆焦点三角形面积的求解方法1. 利用两个焦点和椭圆上的一个点，求出椭圆离心率e的值。
2. 根据椭圆的半长轴a和半短轴b以及离心率e的值，求出椭圆的焦距c和焦点的坐标。
3. 利用椭圆的焦距和焦点的坐标，求出椭圆的方程。
4. 求出椭圆焦点三角形的三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * e。
5. 根据已知的椭圆焦点三角形上的两个点和一个焦点的坐标，求出三角形的边长公式。
6. 利用得到的椭圆焦点三角形的边长和三角形面积公式，求出三角形的面积。
三、椭圆焦点三角形面积计算实例1. 已知椭圆的半长轴a = 3，半短轴b = 2，一个焦点坐标为(-2,0)，另一个焦点坐标为(2,0)，并且椭圆上的一个点坐标为(0,2)。
求椭圆焦点三角形的面积。
解：根据公式，可计算出椭圆的离心率为e = 0.866。
然后，可以求出椭圆的焦距c = 2.449，焦点坐标为(-2.449,0)和(2.449,0)，椭圆的方程为(x^2/9) + (y^2/4) = 1。
接着，可以求出椭圆焦点三角形边长：AB = 5.303，AC = 3.606，BC = 4.043。
最后，利用面积公式S = 1/2 * a * b * e = 2.598 ，可得出椭圆焦点三角形的面积为2.598。
焦点三角形面积公式cy0的推导过程
焦点三角形面积公式cy0的推导过程先来介绍一下焦点三角形的定义。
焦点三角形是指一个三角形，其每个顶点位于一个给定焦点上，并且三角形的内部角度之和等于180度。
下面我们从焦点三角形的椭圆定义开始推导焦点三角形面积公式。
一个椭圆可以通过焦点F和直线上的一个点A定义。
对于任意点P（P不是F或A），我们定义矢量FP和AP的夹角为φ。
首先，我们需要了解一些椭圆的性质。
对于一个给定的焦点F和参考直线上的一个点A，椭圆上的点P满足：，PF，+，PA，=常数。
我们可以通过这个性质进行推导。
我们以焦点F为原点建立直角坐标系，令焦点A在参考直线上的坐标为(x,0)。
则焦点F的坐标为(-c,0)，椭圆上的点P的坐标为(x',y')。
由于P位于椭圆上，根据椭圆方程的定义，我们有：(x'+c)^2+y'^2=r^2------(1)其中，r是椭圆的半径。
根据椭圆性质可以得到：PF，+，PA，=，PF，+，x'-x，=常数------(2)结合直角坐标系定义，我们可以得到：PF，=√((x'+c)^2+y'^2)------(3)将(3)代入(2)，并进行平方运算，得到：[(x'+c)^2+y'^2]+(x'-x)^2+2√((x'+c)^2+y'^2)(x'-x)=常数------(4)将(1)展开，并将其代入(4)，可以得到：2x'^2 - 2xx' + 2cx' = 常数 ------ (5)由于P不是F或A，所以x'不等于0。
我们可以将(5)进一步化简：x'^2 - xx' + cx' = 常数/2 ------ (6)由于常数是固定的，我们可以约定常数'常数/2'为K，并将(6)改写为：x'^2 - xx' + cx' = K ------ (7)整理(7)可得到：x'^2+(c-x)x'-K=0------(8)考虑到P是椭圆上的点，在椭圆方程中替代x'然后进行计算可得到：[(x+c)^2+K-r^2]+(x-x')^2=0------(9)由于等式的左边是平方和的形式，所以等式左边必然大于等于0。
焦点三角形的面积公式推导
焦点三角形的面积公式推导《焦点三角形的面积公式推导》同学们，今天咱们来一起探索一个有趣的数学问题——焦点三角形的面积公式推导。
想象一下，有一个椭圆，它就像一个被压扁的圆。
在这个椭圆里，有两个特别重要的点，叫做焦点。
从这两个焦点向椭圆上的任意一点连线，就形成了一个三角形，这就是焦点三角形。
那怎么求出这个三角形的面积呢？咱们先来看个例子。
假设椭圆的方程是\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)，两个焦点之间的距离是\(2c\)，其中\(c = \sqrt{5}\)。
我们设椭圆上的一点坐标为\((x_0, y_0)\)，然后通过一些神奇的数学运算，就可以得到焦点三角形的面积公式是 \(S = b^2\tan\frac{\theta}{2}\) ，这里的\(b\)是椭圆短半轴的长，\(\theta\)是两个焦点和椭圆上一点形成的夹角。
是不是很神奇？大家多做几道题，就能熟练掌握啦！《焦点三角形的面积公式推导》亲爱的小伙伴们，今天咱们要攻克一个数学难题——焦点三角形的面积公式推导。
比如说，我们有一个操场，形状就像一个椭圆。
在操场的两端，有两个特别的地方，这就是焦点。
如果从这两个焦点拉一条线到操场上的某个同学，这样就构成了一个焦点三角形。
那怎么算出这个三角形的面积呢？咱们来举个具体的例子。
假设这个椭圆操场的长半轴是\(3\)，短半轴是\(2\)。
经过一番复杂但有趣的计算，我们发现焦点三角形的面积可以用一个简单的公式来表示，就是 \(S = b^2\tan\frac{\theta}{2}\) 。
这里的\(b\)就是短半轴的长度，\(\theta\)是两个焦点和操场上那个同学形成的夹角。
大家是不是觉得数学也没那么难啦？《焦点三角形的面积公式推导》朋友们，咱们一起来聊聊焦点三角形的面积公式推导。
想象一下，你正在画一个椭圆，画完后，在椭圆里面标上两个焦点。
这时候，从焦点到椭圆上随便一点连线，这个三角形就是焦点三角形。
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求解
运用公式
设P为椭圆上的任意一点，
角F1F2P=α ，F2F1P=β， F1PF2=θ，
则有离心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，
焦点三角形面积S=b^2*tan(θ/2)。
证明方法一
设F1P=m ，F2P=n ，2a=m+n，
由射影定理得2c=mcosβ+ncosα，
e=c/a=2c/2a=mcosβ+ncosα / (m+n)，
由正弦定理e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ）。
证明方法二
对于焦点△F1PF2，设PF1=m,PF2=n
则m+n=2a
在△F1PF2中,由余弦定理:
(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ
即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)
所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2
所以mn=2b^2/(1+cosθ)
例题
F1，F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点，PQ是过F1的一条弦，求三角形
PQF2面积的最大值
【解】S△PQF2=S△QF1F2+S△QF1F2=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1|
△QF1F2与△QF1F2底边均为F1F2=2c，之后是联立直线方程与椭圆方程，利用韦
达定理表示出|y2-y1|进行分析即可【|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 】
请你看下面的一个具体例题，会对你有所启发的。
设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积
的最大值。
【解】a^2=3,b^2=2,c^2=3-2=1→→c=1 ∴F1F2=2c=2
假设A在x上方，B在下方直线过(1,0)
设直线是x-1=m(y-0)x=my+1
代入
2x^2+3y^2=6(2m^2+3)y^2+4my-4=0→→y1+y2=-4m/(2m^2+3),y1y2=-4/(2m^2+3)
△F1AB=△F1F2A+△F1F2B 他们底边都是F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小
（即 |y1|+|y2|最小[1]）
∵AB在x轴两侧,∴一正一负→→|y1|+|y2|=|y1-y2|
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2/(2m^2+3)2+16/(2m^2+3)
→→|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)=4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)
令√(m^2+1)=p^2m^2+3=2p^2+1且p>=1则p/(2p^2+1)=1/(2p+1/p) (分母是对勾函数)
∴p=√(1/2)=√2/2时最小这里p>=1→→p=1,2p+1/p最小=3
此时p/(2p2+1)最大=1/3→→|y1-y2|最大=4√3*1/3∴最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3
在椭圆中，我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形，类
似地，我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形．在椭圆
的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特征，蕴涵着椭圆很多几何性质，
在全国各地的高考模拟试卷及高考试题中，都曾出现过以“顶焦点三角形”为载体的问题．本
文对椭圆的顶焦点三角形的性质加以归纳与剖析．