博弈论各章节课后习题答案 (5)

第五章合作博弈

1.设三人联盟博弈的特征函数v 的值是：v({i})=0,i=1,2,3;v({1,2})=2/3,v({1,3})=7/12,v({2,3})=1/2,v({1,2,3})=1。求出该联盟博弈的核心，并用图形表示出来。解：

博弈G 的核心C(v)。博弈G 的转归集I[N,v]为:

123123123[,]{(,,)0,0,0,1}

I N v x x x x x x x x x x ==≥≥≥++=若，则的充分条件为：

],[),,(321v N I x x x x ∈=)(v C x ∈x 1≥0;x 2≥0;x 3≥0;

x 1+x 2≥2/3;x 1+x 3≥7/12;x 2+x 3≥1/2;x 1+x 2+x 3=1

由后面几个不等式得到x 1≤1/2;x 2≤5/12,x 3≤1/3.

该联盟博弈的核心C(v)={(x 1,x 2,x 3)|0≤x 1≤1/2,0≤x 2≤5/12,0≤x 3≤1/3,x 1+x 2+x 3=1}

核心C(v)是图中阴影区域（含边界）。

2.假设有一3人合作博弈，其特征函数为：v({1,2,3})=200,v({1,2})=150,v({1,3})=110,

v({2,3})=20,v({1})=100,v({2})=10,v({3})=0。计算该合作博弈的Shapley 值，核心，最小ε-核心，稳定集，内核和核仁。1、Shapley 值

φ1(v)＝1/3（100-0）＋1/6（150－10）＋1/6（110-0）＋1/3（200-20）＝135φ2(v)＝1/3（10-0）＋1/6（150－100）＋1/6（20-0）＋1/3（200-110）＝45φ3(v)＝1/3（0-0）＋1/6（20－10）＋1/6（110-100）＋1/3（200-150）＝20所以该博弈的Shapley 值

φ(v)＝（135，45，20）

2、博弈G 的核心C(v)。

博弈G 的转归集I[N,v]为:

}

200,0,10,100),,({],[321321321=++≥≥≥==x x x x x x x x x x v N I 若，则的充分条件为：

],[),,(321v N I x x x x ∈=)(v C x ∈x 1≥100;x 2≥10;x 3≥0;

x 1+x 2≥150;x 1+x 3≥110;x 2+x 3≥20;x 1+x 2+x 3＝200

对此可作高为200的重心三角形Δ123。并在此重心三角形内绘制核心为多边形)(v C ABCDEF 。

3、定义强核心为

ε'

[,]C N v ε*(){|()(),,,(,)}

C v x v S x S S S N S x I N v εεφ=≤+∀⊂≠∈并记LC`为最小强核心，即，其中是使的最小值。ε0'

'

[,]LC C N v ε=0ε'

[,]C N v ε≠∅ε解线性规划为：

Z ＝minε

x 1+ε≥100;x 2+ε≥10;x 3+ε≥0;

x 1+x 2+2ε≥150;x 1+x 3+2ε≥110;x 2+x 3+2ε≥20;x 1+x 2+x 3＝200x i ≥0，i ＝1，2，3，4

解得：minε＝ε0＝-16.6667，那么LC`＝（133.5953，49.7381，16.6667）

3、稳定集V(v)

由定理可知，，核心是稳定集中的子集，即上图中多边形ABCDEF 为稳定()()C v V v ⊆集的子集，C`为BG 上的点，D`为LK 上的点，E`为HJ 上的点，F`为OA 上的点,

如图所示：

稳定集````)(FF EE DD CC ABCDEF v V ∪∪∪∪为：多边形4、内核K(v)

首先考虑。1{|(,),()(),ij ji K x x I N v S x S x =∈=,}i j N ∀∈（1）时

1331()()s x s x =5050

100150)

150,100max()}),2,1((),),1((max{)(2212121113≥≤⎩⎨

⎧−−−=−−−==x x x x x x x x x e x e x S 20

2020)

20,0max()}),3,2((),),3((max{)(2233232331≥≤⎩

⎨

⎧−−−=−−−==x x x x x x x x x e x e x S 因此，当时，等价于：

2002≤≤x 1331()()s x s x =3

22120150x x x x −−=−−解得：

130

13=−x x

当时，等价于：

50202≤≤x 1331()()s x s x =3

21150x x x −=−−解得：150321=−+x x x 即：

25

3=x 当时，等价于：

200502≤≤x 1331()()s x s x =3

1100x x −=−解得：

100

31=−x x （2）时

1221()()s x s x =1010100110)

110,100max()}),3,1((),),1((max{)(3313131112≥≤⎩⎨

⎧−−−=−−−==x x x x x x x x x e x e x S 10

101020)

20,10max()}),3,2((),),2((max{)(332

3232221≥≤⎩⎨

⎧−−−=−−−==x x x x x x x x x e x e x S 因此，当时，等价于：

1003≤≤x 1221()()s x s x =3

23120110x x x x −−=−−解得：

90

21=−x x 当时，等价于：

200103≤≤x 1221()()s x s x =2

110100x x −=−解得：

90

21=−x x （3）时

2332()()s x s x =140

14010150)

150,10max()}),2,1((),),2((max{)(112

2121223≥≤⎩⎨

⎧−−−=−−−==x x x x x x x x x e x e x S