8.6_二元函数的极值
二元函数的极值及其应用解读
郑州航空工业管理学院毕业论文（设计）2015 届数学与应用数学专业 1111061 班级题目二元函数的极值及其应用姓名XXX学号XXXXXXX指导教师XXX 职称XXX二О一五年四月三十日内容摘要二元函数理论是其他学科的基础，其中极值是函数中的重要内容，对极值也有很多研究方法，并且函数极值的理论有很多在生活中都有实际意义。
无论是在科学研究，还是在物流，实际规划工程，通常要解决如何使投资量输出最大，产出最多，最高效率优化。
这些实际问题都可以转化为一个数学问题来研究，进而转化为函数的极大值、极小值问题的解决。
在本文中，首先给出的是二元函数的研究背景及现实意义，之后给出二元函数的非条件极值理论，二元函数条件极值理论，二元函数极值的判定，以及二元函数极值的理论应用举例。
通过实例中的极值问题，说明所利用知识在求解二元函数极值问题中的重要应用。
关键词二元函数；无条件极值；条件极值；判定；应用the Extreme Value of Binary Function and ItsApplicationXXXXXX By:XXXX Tutor: XXXXXAbstractDual function theory is the foundation of other disciplines, including extreme value is an important content in function, the extreme value also has a lot of research methods, and the function extreme value theory has a lot in life has practical significance. Both in scientific research, and in the logistics, the actual planning engineering, often need to solve how to make the investment to maximum output, output the most, the highest efficiency optimization.The actual problem can be transformed into a math problem research capabilities, And then into the function of the maximum and minimum value problem to solve. Is first of all, the paper proposes the research background and practical significance of binary function, then give the unconditional extreme value of binary function theory, the conditions of binary function extreme value theory, extreme value of binary function determination, as well as the extreme value of binary function theory application, for example. Illustrated by an example of extreme value problem, using the knowledge in solving the important application of binary function extremum problems.Key wordsDual function；unconditional extremum；conditional extreme value,；judgement；application目录第一章引言 (1)第二章二元函数无条件极值理论 (2)2.1 二元函数无条件极值的定义 (2)2.2 二元函数无条件极值存在的必要条件 (2)2.3 二元函数无条件极值存在的充分条件 (3)2.4 二元函数极值的求解方法 (4)第三章二元函数条件极值理论 (6)3.1 二元函数条件极值的定义 (6)3.2 二元函数条件极值的求解方法 (6)第四章二元函数极值的判定 (13)4.1 一阶偏导数判定极值 (13)4.2 二元函数条件极值的简单判别法 (14)4.3 极值判定的改进 (17)第五章二元函数极值的理论应用举例 (19)5.1 二元函数极值的理论应用 (19)5.2 极值的实际应用 (21)总结 (24)致谢 (25)参考文献 (26)第一章引言极值是函数的一个重要特征，而且在解决实际问题中是非常有现实意义的。
二元函数的极值
对于驻点 (0,0)，
A z xx
x 0 y 0
0，B z xy
x 0 y 0
3，C z yy
x 0 y 0
0.
所以
B 2 AC 0.
根据定理6.3，点 (0,0) 不是极值点. 对于驻点 (1,1)，
其中λ称为拉格朗日乘数. 求解方程组：
L f ( x, y ) g ( x, y ) 0， x x x Ly ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱf y( x, y ) g ( x, y ) 0 y L g ( x, y ) 0.
此方程组的解 ( x0 , y0 ) 就是可能的极值点. 最后判 别 ( x0 , y0 )是否为极值点.
解
L 4 x 8 x 13 0， 1 2 x1 Lx2 8 x1 20 x2 31 0， Lx3 x1 x2 1.5 0.
得 x1 0，x2 1.5 . 根据问题的实际意义，在点
(0, 1.5) 处 f ( x1 , x2 ) 有条件极值. 即将广告费全部用
定理6.3 (极值存在的充分条件) 如果函数 f (x, y) 在 点(x0, y0)的某一邻域内有二阶连续偏导数，且
f x(x0, y0) = 0， f y(x0, y0) = 0. 记
A f xx ( x0，y0 )，B f xy ( x0，y0 )，C f yy ( x0，y0 )，
令
z x 13 8 x2 4 x1 0， 1 z 31 8 x1 20 x2 0. x2
得驻点x1 = 0.75 (百万元)，x2 = 1.25 (百万元).
求二元函数极值的一般步骤
求二元函数极值的一般步骤
嘿，咱今儿个就来唠唠求二元函数极值的一般步骤。
你说这求极值，就像是在一片数字的海洋里找宝藏一样刺激呢！
先呢，咱得找到这个二元函数，就好比要认清咱要探索的那片海域。
然后仔细观察它的模样，看看它都有啥特点。
接下来，可重要啦！得求出它的偏导数。
这偏导数就像是在这片海
域里找方向的指南针。
咱得知道往哪儿走才能找到极值这个宝贝呀。
求出偏导数后，就得让它们都等于零。
这就好比在茫茫大海中找到
了几个关键的坐标点。
嘿，这些点可就有可能藏着极值呢！
但是，别高兴得太早哟！这还不一定就是极值呢。
还得进一步判断。
这就好像找到宝藏的线索后，还得仔细甄别是不是真的宝藏。
咱可以用二阶偏导数来判断。
如果满足一定的条件，那恭喜啦，这
很可能就是极值啦！
你想想看，这像不像一场刺激的探险？在数字的世界里穿梭，寻找
那隐藏的极值宝藏。
有时候可能会走些弯路，但别灰心，只要坚持找
下去，总会有收获的。
你说要是没找到极值，那是不是就白忙活啦？那可不一定哟！这过
程本身不也是一种乐趣嘛。
就像你去爬山，不一定非要爬到山顶才开
心呀，沿途的风景也很美的嘛。
而且，通过求二元函数极值，咱还能锻炼自己的思维能力呢。
让咱的大脑像个灵活的小猴子，在数字的树林里跳来跳去。
所以呀，别小瞧了求二元函数极值这事儿。
它可不只是一堆数学公式和计算，它里面藏着好多乐趣和惊喜呢！你准备好了吗？跟着我一起去探索这神奇的二元函数极值世界吧！。
8.6-3条件极值
第八章 多元函数微分学 条件极值条件极值一、拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条件极值 :对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制.实例： 小王有2000元钱，他决定用来购买两种急需物品：优盘和移动硬盘，设他购买 个优盘， 盒移动硬盘达到最佳效果，效果函数为．设每个优盘80元，每个移动硬盘100元，问他如何分配这2000元以达到最佳效果．x y y x y x U ln ln ),(+=问题的实质：求 在条件下的极值．y x y x U ln ln ),(+=801002000x y += 条件极值 拉格朗日乘数法方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题.例如 ,转化,0),(下在条件=y x ϕ的极值求函数),(y x f z =)(0),(x y y x ψϕ==中解出从条件))(,(x x f z ψ=方法2 拉格朗日乘数法.方法2 拉格朗日乘数法x y,,x y,条件极值二、拉格朗日乘数法求条件极值解：利润函数)1(22212121211028311315)(x x x x x x x x R L ---++=+-=12112248130820310L x x x L x x x ∂⎧=--+=⎪∂⎪⎨∂⎪=--+=⎪∂⎩由)(25.1)(75.021万元，万元解得==x x2222211224,8,20L L L A B C x x x x ∂∂∂==-==-==-∂∂∂∂又28064160,40,AC B A -=-=>=-<且(0.75,1.25)故点为极大值点，由问题的实际意义可知：它为最大值点..25.175.0万元作报纸广告用万元作电台广告，用即此时最优广告策略是22121212121513318210( 1.5)x x x x x x x x λ=++---++-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+--=∂∂=+--=∂∂5.10208310481321212121x x x x x F x x x F λλ由5.1,021==x x 解得.5.1，可使利润最大万元全部用于报纸广告即广告费做拉格朗日函数)2()5.1(),(),,(212121-++=x x x x L x x F λλ解yx y x S 2005.0),(=按题意，即求函数作拉格朗日函数)1502(005.0),,(2-++=y x y x y x F λλ2150x y +=下的最大值.在条件20.0100.0052021500F xy x F x y x y λλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪+-=⎪⎩由25,100==y x 解得.12502510012525100005.0)25,100()25,100(2吨值大吨，可使生产量达到最原料吨，原料即购进吨，为最大值，最大值大值一定存在，故驻点因仅有一个驻点，且最B A S =⨯⨯=拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数),,,(t z y x f u =在条件0),,,(=t z y x ϕ，0),,,(=t z y x ψ下的极值，先构造函数+=),,,(),,,(t z y x f t z y x F ),,,(),,,(21t z y x t z y x ψλϕλ+其中21,λλ均为常数，可由 偏导数为零及条件解出t z y x ,,,，即得极值点的坐标.拉格朗日乘数法的推广条件极值四、小结与思考题小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值拉格朗日乘数法思考题若),(0y x f 及),(0y x f 在),(00y x 点均取得极值，则),(y x f 在点),(00y x 是否也取得极值？思考题解答例如 22),(y x y x f -=,当0=x 时，2),0(y y f -=在)0,0(取极大值;当0=y 时，2)0,(x x f =在)0,0(取极小值;但22),(y x y x f -=在)0,0(不取极值.思考题2(1,1)(,)(1,1)2(,)[(),(,)].f u v f f u v z z f x y f x y x y =∂=+∂∂已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，，求思考题解答(1,1)2(,)f f u v = 是的极值，''12(1,1)0,(1,1)0.f f ==故'''121[(),(,)][(),(,)](,)z f x y f x y f x y f x y f x y x∂=+++∂又2'''''11122[(),(,)][(),(,)](,)z f x y f x y f x y f x y f x y x y∂=+++∂∂''''''212221'''212+[[(),(,)][(),(,)](,)](,)+[(),(,)](,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y +++⋅+⋅2'''''11212(1,1)(2,2)(2,2)(1,1).z f f f x y ∂∴=+∂∂THANK YOU。
二元函数求极值步骤
二元函数求极值步骤英文回答：To find the extreme values of a bivariate function, we can follow a few steps. Let's say we have a function f(x, y) and we want to find its extreme values.Step 1: Find the critical points.First, we need to find the critical points of the function. These are the points where the partialderivatives of the function with respect to x and y are equal to zero. Mathematically, we can express this as:∂f/∂x = 0。
∂f/∂y = 0。
For example, let's consider the function f(x, y) = x^2+ y^2. The partial derivatives would be:∂f/∂x = 2x.∂f/∂y = 2y.Setting these equal to zero, we get:2x = 0。
2y = 0。
Solving these equations, we find that the critical point is (0, 0).Step 2: Classify the critical points.Once we have the critical points, we need to classify them as either maximum, minimum, or saddle points. To do this, we can use the second partial derivative test. The second partial derivatives are:∂^2f/∂x^2 = 2。
高等数学 8-8.多元函数的极值及求法
条件最值的求法：找出Langrange函数的所有驻点 与不可导点，及边界上的驻点与不可导点.
例7
将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 3 2 u = x y z 为最大.
2
′ 由 f x = 4 x ( x − 6) + 2 x = 0 ,
2
得 x1 = 0, x2 = 4
f (4,2) = −64,
为最大值, 比较后可知 f (2,1) = 4为最大值
y
x+ y=6
D
为最小值. f (4,2) = −64为最小值
o
x
x+ y 的最大值和最小值. 例 6 求z = 2 的最大值和最小值 2 x + y +1
仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时 为零的点，均称为函数的驻点 驻点. 为零的点，均称为函数的驻点 注 意： 驻点 (可导的 极值点 可导的)极值点 可导的
例如, 点( 0,0) 是函数 z = xy 的驻点, 例如 的驻点 但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
由此构造三元函数
F ( x , y , λ ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y ) )为 易知点(x0 ,y0 ,λ0 )为F ( x, y, λ )的驻点.
称F ( x, y, λ )为条件极值的Langrange函数.
拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件ϕ ( x , y ) = 0 下的 可能极值点， 可能极值点，先构造函数
二元函数无条件极值
二元函数无条件极值
对于求解二元函数无条件极值，我们要考虑几个重要的问题：梯度、不
定值定理和二阶导数判别定理。
首先，我们要求出函数的梯度，了解其变化
趋势，如果梯度为零，我们就能推断出极点可能在这里。
然后，用不定值定
理来证明极值的存在性。
简而言之，不定值定理告诉我们，如果梯度在一个
点为零，那么函数在这个点可能存在极值。
最后，使用二阶导数判断定理来
决定极值点的性质。
该定理告诉我们，如果极值点存在，那么其二阶导数的
大小可以决定该点为局部最小值还是局部最大值。
因此，要求解二元函数无
条件极值，需要我们用梯度、不定值定理和二阶导数判断定理一起进行求解。
在求解无条件极值的过程中，有一点需要大家注意，即函数的梯度中需
要同时考虑其一阶导数和二阶导数，只有同时考虑这两个数据，才能得出准
确的结果。
另外，求解无条件极值也可以使用图像法，图像法的原理即当极
值点存在时，函数的曲线在极值点处呈现出平局变化的状态。
最后，在进行
求解极值点时，一定要特别注意，一元函数和二元函数的求解理论不同，如
果搞错，将得出错误的答案。
总而言之，求解二元函数无条件极值，需要用到梯度、不定值定理和二
阶导数判断定理，需要同时考虑其一阶导数和二阶导数，也可以使用图像法，而一元函数和二元函数的求解理论又有所不同，必须正确分析，才能得出正
确的结果。
人大微积分课件88多元函数的极值与最值
22
因为
lim x y 0
x y
x2
y2
1
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，
并无其他条件.
例7 某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方 体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能 使用料最省？
x 3 2, y 3 2 时，A取得最小值，
就是说，当水箱的长、宽、高均为 3 2, 3 2, 3 2 时， 水箱所用的材料最省。
二、条件极值、拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他
购买 x 张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x, y) ln x ln y
求最值的一般方法：
1）将函数在D内的所有驻点处的函数值 2）求D的边界上的最大值和最小值
3）相互比较函数值的大小，其中最大者 即为最大值，最小者即为最小值.
例 5 求二元函数 z f (x, y) x2 y(4 x y) 在直线 x y 6，x轴和 y轴所围成的闭区域 D
上的最大值与最小值.
设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何 分配这200元以达到最佳效果．
问题的实质：求 U ( x, y) ln x ln y 在条件 8x 10 y 200 下的极值点．
无条件极值：对自变量除有定义域限制外， 无任何其它条件限制的极值．
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
一类二元函数极值的判别
一类二元函数极值的判别
1 什么是二元函数极值
二元函数极值，或简称为极值，是指在满足某些约束条件下，使
函数值取得最大（最小）值的变量值所组成的集合。
也就是说，极值
是某函数中满足某特定条件的单个值集合，即求函数最值问题。
极值
问题有多个解，其中极大值是函数值最大的变量值，极小值是函数值
最小的变量值；本质上，极值就是对函数求解最值的问题。
2 极值的判别
求一元函数的极值，一般常用的方法有：求导法、步骤法和图像法。
而二元函数极值的判别，又有几种方法。
（1）拉格朗日乘数法：也叫拉格朗日最优化法，它是一种求二元
函数极值的常用方法，它的基本公式为L（x，y）=f（x，y）-λP（x，y），只要给定一定约束条件，用最优化技术求新函数L（x，y）的极值，就可以得到原函数f（x，y）的极值。
（2）全微分的方法：也叫求导极值法，它的主要思想是求解两个
变量的偏导数相等时，函数值取得最大（最小）值的变量值所组成的
集合，即求得极大值（极小值）。
（3）凸集理论：它是一种极大极小值判定的有效方法，解决优化
问题的关键是，要成功完成一个二元函数的极值判别，就必须先确定
函数在定义域中给定约束条件下是否具有极大极小值，而凸集理论就
是从这个角度进行分析，对于此类问题，凸集理论的可靠性也得到了
充分的证明。
3 结尾
二元函数极值的判别，可以采用拉格朗日乘数法、全微分的方法、凸集理论等多种方法，各有优劣，可以根据需要进行选择，每种方法
可以根据实际情况选取合适的方案，不断优化完善以达到最佳效果。
第六节 多元函数的极值及其求法PPT课件
说 明 一 元 函 数 f ( x , y 0 ) 在 x x 0 处 有 极 大 值 , 必 有 f x ( x 0 ,y 0 ) 0 ; 类 似 地 可 证 f y ( x 0 ,y 0 ) 0 .
推广：如果三元函数u f (x, y,z) 在点P(x0, y0,z0) 具有偏导数，则它在P(x0, y0,z0)有极值的必 要条件为 fx(x0, y0,z0) 0， fy(x0, y0,z0) 0， fz(x0, y0,z0) 0.
12
例 5*
求
z
x y x2 y2 1
的最大值和最小值.
解 令 zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0,
zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
因为xl i mx2xy2y10
y
即边界上的值为零.
13
5
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.
注意： 偏导数存在的极值点
驻点
例 如 ， 点 ( 0 , 0 ) 是 函 数 z x 的 驻 y 点 ， z x y ,z x (0 ,0 ) 0 ; zyx , zy(0 ,0 )0 .
但 点 (0 ,0 )不 是 极 值 点 .
Lx Ly
f x ( x, y) x ( x, y) 0, f y ( x, y) y ( x, y) 0,
L ( x, y) 0.
解出 x, y, ，其中 x, y就是可能的极值点的坐标.
17
拉 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 自 变 量 多 于 两 个 的 情 况 ：
当A0时有极大值，当A0时有极小值； (2) ACB2 0时没有极值； (3) ACB2 0时可能有极值,也可能没有极值，