八年级上四边形证明题复习
八年级初二数学数学平行四边形试题含答案
（3）连接AF、DF，当△ADF是等腰三角形时，求t的值．
8．已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转 （ ），得到线段CE，联结BE、CE、DE. 过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F．
（1）如图，当BE=CE时，求旋转角 的度数；
（1）求证：CG平分∠DCB；
（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，求线段HG、OH、BG之间的数量关系；
（3）连结BD、DA、AE、EB，在旋转的过程中，四边形AEBD是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线DE的解析式；若不能，请说明理由．
5．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．
10．如图1，点 为正方形 的边 上一点， ，且 ，连接 ，过点 作 垂直于 的延长线于点 ．
（1）求 的度数；
（2）如图2，连接 交 于 ，交 于 ，试证明： ．
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一、解答题
1．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，证明△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.
中考数学四边形经典证明题含答案
1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中．（1）四边形OECF 的面积如何变化．（2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积．解：在梯形ABCD 中由题设易得到：△ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．过点D 作DE ⊥BC ，则DE=12BD=23，BE=6．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4．故S 梯形ABCD =12+43．2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．解：四边形AFCE 是菱形．∵四边形ABCD 是平行四边形．∴OA=OC ，CE ∥AF ．∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ．∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ．而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF 是垂直平分线，∴AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形．3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DFAC BED CFD BC 是的中点△BDE ≌△CDF ．（2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知：AEDF BEDCFE DE DF 四边形是矩形矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？解：四边形EBFD 是平行四边形．在ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ．∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3．由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长．【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ，由折叠过程可知，OA ＝OC ，∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称．∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，。
2020年中考数学压轴题-专题28几何证明综合复习(判定四边形形状)(解析版)
专题28 几何证明综合复习（判定四边形形状）教学重难点1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；3.体会用“分析综合法”探求解题思路；4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。
【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概 5-8 分钟左右。
【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的" 因为"、"所以 " 逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。
这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。
所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。
一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；7.相似三角形的对应角相等；8.等于同一角的两个角相等。
八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)
八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析． （2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5． （2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形． （2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析． （2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ． 同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是 ．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形 的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为 ．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（ ）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ． （2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为 ．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13． （2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ． 证明：连接AC ，如图． 在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。
南昌市中考数学专题题型复习06：四边形有关的计算与证明
南昌市中考数学专题题型复习06：四边形有关的计算与证明姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共12题；共71分)1. （10分）如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，求证：△ABE≌△ACD．2. （5分）(2017·绿园模拟) 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC 的延长线于点E．若点F是AE的中点，求证：BF⊥AF．3. （5分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．（1）求∠ABC的度数；（2）如果AC=4，求DE的长．4. （6分） (2018八下·瑶海期中) 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．5. （5分）如图，已知△ABC和直线m ，画出与△ABC关于直线m对称的图形（不要求写出画法，但应保留作图痕迹）6. （5分） (2020九上·岐山期末) 如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF=AE，连接BE、CF求证：BE=CF。
7. （5分）在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．8. （5分）(2017·吴忠模拟) 如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AF，AE，CE，CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．9. （10分） (2015八下·嵊州期中) 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD 的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？10. （5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．11. （5分）(2016·鄞州模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD并于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．（1）求证：OE=OF．（2）连接DE，BF，则EF与BD满足什么条件时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．12. （5分） (2016九上·长春期中) 如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，P为上一点，连接AP，CP，求∠P的度数．二、综合题 (共27题；共278分)13. （10分）(2018·沧州模拟) 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．14. （10分）(2015·宁波模拟) 【试题背景】已知:l ∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3 ，且d1 =d3 = 1，d2 = 2 ．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）【探究1】如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE L于点E,BE的反向延长线交直线k于点F．求正方形ABCD的边长．（2）【探究2】矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽 = 2 ：1 ，求矩形ABCD的宽（3）【探究3】如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、M．求证：EC=DF．（4）【拓展】如图3，l ∥k，等边三角形ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，于点B，且AB=4 ，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、M，点D、E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，于点H．猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？直接写出结论。
2022年中考数学：几何专题复习之特殊四边形专题(较难)
2022年中考数学：几何专题复习之特殊四边形专题（较难）一．选择题1．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，则下列说法正确的是（）A．当∠B＝90°时，则EF＝2B．当F恰好为BC的中点时，则▱ABCD的面积为12C．在折叠的过程中，△ABF的周长有可能是△CEF的2倍D．当AE⊥BC时，连接BE，四边形ABEC是菱形2．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，连接BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，则AB＝（）A．B．C．D．3．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连接AB、MN．若△CMN和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（）A．4 B．4C．D．64．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB 的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．①③④D．②③④5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，P为BD的一个动点，则PC+PE 的最小值是（）A．B．C．D．6．已知点M是平行四边形ABCD内一点（不含边界），设∠MAD＝θ1，∠MBA＝θ2，∠MCB＝θ3，∠MDC＝θ4．若∠AMB＝110°，∠CMD＝90°，∠BCD＝60°．则（）A．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝10°B．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝30°C．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝30°D．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．188．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．B．C．2 D．二．填空题9．如图，▱ABCD的面积为32，E，F分别为AB、AD的中点，则△CEF的面积为．10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为；（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为．11．如图，菱形ABCD的边长为2，点E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF ＝BD＝2，设△BEF的面积为S，则S的取值范围是．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点．连接EF，FM，则FM＝；线段EF的最大值为．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝7，连接BD，把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ．在BC边上取点P，使BP＝2，连接PQ交DC延长线于点E，则线段DE长为．14．在三角形ABC中，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，AH⊥BC于点H，若∠DEF＝50°，则∠CFH＝．15．如图是一张三角形纸片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，从纸片上裁出一矩形，要求裁出的矩形的四个顶点都在三角形的边上，其面积为2，则该矩形周长的最小值＝．16．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为．17．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为．18．直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为．19．如图，矩形ABCD中，E为CD上一点，F为AB上一点，分别沿AE，CF折叠，D，B两点刚好都落在矩形内一点P，且∠APC＝120°，则AB：AD＝．20．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥CG交AB于E，BE＝BC，连接CE 交BG于F，则∠BFC等于．三．解答题21．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE＝DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH．（2）若AB＝2，AE＝2，试求线段PH的长．（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求的值．22．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．（1）证明：PD＝PE．（2）连接PC，求PC的最小值．（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO＝90°？若存在，请直接写出AP的长．23．当k值相同时，我们把正比例函数y＝x与反比例函数y＝叫做“关联函数”．（1）如图，若k＞0，这两个函数图象的交点分别为A，B，求点A，B的坐标（用k表示）；（2）若k＝1，点P是函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），设点P的坐标为（m，），其中m＞0且m≠2．作直线PA，PB分别与x轴交于点C，D，则△PCD是等腰三角形，请说明理由；（3）在（2）的基础上，是否存在点P使△PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE上的点F处．（1）求证：CF＝DE．（2）设＝m．①若m＝，试求∠ABE的度数；②设＝k，试求m与k满足的关系．25．如图，正方形ABCD中，G是对角线BD上一个动点，连接AG，过G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足（1）求证：GE+GF＝AB；（2）①写出GE、GF、AG三条线段满足的等量关系，并证明；②求当AB＝6，AG＝时，BG的长．26．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D两点重合），连接AE，作EF⊥AE于E，交直线CB于F．（1）如图1，当点F在线段CB上时，通过观察或测量，猜想△AEF的形状，并证明你的猜想；（2）如图2，当点F在线段CB的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，求AF：CF的值．27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点E，连接BE，作EF⊥BE交AD于点F．过点E作直线CD的对称点G，连接CG，DG，EG．（1）求证：△BEC≌△DGC；（2）求证：四边形FEGD为平行四边形；（3）若AB＝4，▱FEGD有可能成为菱形吗？如果可能，此时CE长；如果不可能，请说明理由．28．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．（1）如图1，若AE＝CF＝1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2，若AE＝CF＝0.5，AM＝CN＝x（0＜x＜2），且四边形EMFN为矩形，求x的值．29．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AC上一点，点E，点F关于CD对称．（1）若ED∥CF，①求证：四边形ECFD是菱形．②若点E为AC的中点，求证：AD＝EF．（2）连接BD，BE，BF，若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，求的值．30．（1）如图1，将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．①判断EG与EH是否相等，并说明理由．②判断GH是否平分∠AGE，并说明理由．（2）如图2，如果将（1）中的已知条件改为折叠三角形纸片ABC，其它条件不变．①判断EG与EH是否相等，并说明理由．②判断GH是否平分∠AGE，如果平分，请说明理由；如果不平分，请用等式表示∠EGH，∠AGH与∠C的数量关系，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、如图1中，∵∠B＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠DAC＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，在Rt△ABF中，则有x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，∴EF＝8﹣＝，故选项A不符合题意．B、如图2中，当BF＝CF时，∵AF＝CF＝BF，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴S平行四边形ABCD＝AB•AC＝6×2＝12，故选项B符合题意．C、在折叠过程中，△ABF与△EFC的周长相等，选项C不符合题意．D、如图3中，当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，选项D不符合题意．故选：B．2．解：如图，AC，BE交于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∵2∠ABE＝3∠ACB，∴∠ABE＝＝67.5°，∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠ABE＝∠AFB，∴AB＝AF，∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠CEF＝67.5°，∵∠CFE＝∠AFB＝67.5°，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，设AB＝x，则AC＝x+1，在Rt△ABC中，AC＝，∴x+1＝，解得x＝+1，故选：B．3．解：设点M（a，0），N（0，b）∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，∴点A的坐标为（a，），BN⊥y轴，同理可得：B（，b）则点C（a，b）s△CMN＝＝ab＝1∴ab＝2∵AC＝，BC＝＝＝4即，且ab＝2（k﹣2）2＝16解得：k＝6，k＝﹣2（舍去）故选：D．4．解：连接FC，如图所示：∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，∴FA＝FB＝FC，∵△ACE是等边三角形，∴EA＝EC，∵FA＝FC，EA＝EC，∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠EAF＝90°，∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，∴DF∥AE，DA∥EF，∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；∵四边形ADFE为平行四边形，∴DA＝EF，AF＝2AG，∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；在△DBF和△EFA中，，∴△DBF≌△EFA（SAS）；综上所述：①③④正确，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴点A和点C关于BD对称，BC＝AB＝4，∵E为边BC的中点，∴BE＝BC＝2，连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，PC+PE的最小值＝AE，∵AE＝＝＝2，∴PC+PE的最小值是2，故选：A．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∴∠BAM＝60°﹣θ1，∠DCM＝60°﹣θ3，∴△ABM中，60°﹣θ1+θ2+110°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°①，△DCM中，60°﹣θ3+θ4+90°＝180°，即θ4﹣θ3＝30°②，由②+①，可得（θ4﹣θ3）+（θ2﹣θ1）＝40°，即θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40°，故选：D．7．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）故选：C．8．解：延长GH交AD于M点，如图所示：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，∵AF的中点H，∴AH＝FH，在△AMH和△FGH中，，∴△AMH≌△FGH（ASA）．∴AM＝FG＝1，MH＝GH，∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，在Rt△MDG中，GM＝＝＝2，∴GH＝GM＝，故选：A．二．填空题（共12小题）9．解：连接AC、DE、BD，如图：∵E为AB中点，∴S△BCE＝S△ABC＝S平行四边形ABCD＝8，同理可得：S△CDF＝8，∵F为AD中点，∴S AEF＝S△AED＝S△ABD＝S平行四边形ABCD＝4，∴S△CEF＝S平行四边形ABCD﹣S△AEF﹣S△BCE﹣S△CDF＝32﹣8﹣8﹣4＝12；故答案为：12．10．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，∵BE＝5，∴AE＝＝＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．故答案为17．（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．故答案为6．11．解：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2，∴△ABD和△BCD都为正三角形，∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC，∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2，∴DE＝CF，∴△BDE≌△BCF（SAS）；∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，∴△BEF为正三角形；设BE＝BF＝EF＝x，则S＝•x•x•sin60°＝x2，当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝，∴S最小＝×（）2＝，当BE与AB重合时，x最大＝2，∴S最大＝×22＝，∴≤S≤．故答案为：≤S≤．12．解：连接EM，∵E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点，∴FM＝，EM＝，当EF＝EM+MF时，线段EF最大，即EF＝1+3＝4，故答案为：1；4．13．解：如图，过点Q作QH⊥CD于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝7，∵BP＝2，∴CP＝5，∵把线段BD绕点D逆时针方向旋转90°得线段DQ，∴BD＝DQ，∠BDQ＝90°，∴∠BDC+∠QDC＝90°，且∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠QDC＝∠DBC，且BD＝DQ，∠BCD＝∠DHQ＝90°，∴△BDC≌△DQH（AAS）∴DC＝HQ＝5，BC＝DH＝7，∴CH＝DH﹣CD＝2，∵CP＝HQ＝5，∠PEC＝∠QEH，∠PCE＝∠QHE，∴△PCE≌△QHE（AAS）∴CE＝EH，且CH＝2，∴CE＝EH＝1，∴DE＝DC+CE＝5+1＝6，故答案为：6．14．解：∵点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，∴EF∥BC，DE∥AC（三角形的中位线的性质）又∵EF∥BC，∠DEF＝50°，∴∠DEF＝∠EDB＝50°（两直线平行，内错角相等），∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠FCH＝50°（两直线平行，同位角相等），又∵AH⊥BC，∴△AHC是直角三角形，∵HF是斜边上的中线，∴HF＝AC＝FC，∴∠FHC＝∠FCH＝50°．∴∠CFH＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故答案为：80°．15．解：①当矩形的其中一边在AC上时，如图1所示：设CE＝x，则BE＝3﹣x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴DE＝（3﹣x），∴S矩形DECF＝CE•DE＝x（3﹣x）＝2，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，当x＝1时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝（1+2）×2＝4+2，当x＝2时，该矩形周长＝（CE+DE）×2＝2+4，∵（4+2）﹣（2+4）＝2﹣2＝2（﹣1）＞0，∴矩形的周长最小值为2+4；②当矩形的其中一边在AB上时，如图2所示：设CF＝x，则BF＝3﹣x，∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴FG＝2x，EF＝（3﹣x），∴S矩形DECF＝FG•EF＝2x•（3﹣x）＝2，整理得：x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以和（1）的结果一致，综上所述：矩形周长的最小值为2+4．故答案为：2+4．16．解：连接BN、CM，作NP⊥BC于P，如图所示：∵△ABM和△ACN是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠NAB，在△CAM和△NAB中，，∴△CAM≌△NAB（SAS），∴CM＝NB，∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线，∴DG∥BN，DG＝BN，EF∥BN，EF＝BN，DE＝CM，∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，∴四边形DEFG是平行四边形，又∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形，∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN，∵∠BAC＝60°，∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，∵NP⊥BC，∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°，∴PC＝CN＝，PN＝PC＝，∴BP＝BC+PC＝5+＝，∴BN＝＝＝7，∴DE＝DG＝EF＝FG＝BN＝，∴四边形DEFG的周长＝4×＝14，故答案为：14．17．解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝500°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，故答案为：40°．18．解：∵直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于点D、A，∴A（，a），D（2a，a），当直线在x轴的正半轴时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，即2a﹣＝a，解得a＝﹣1或a＝1．当直线在x轴的负半轴时，同理可得，2a﹣＝﹣a，解得a＝±．故答案为：±1或±．19．解：如图，设AD＝BC＝x．过点P作PH⊥AC于H．由翻折的性质可知，PA＝PC＝BC＝x，∵∠APC＝120°，PH⊥AC，∴AH＝CH，∠APH＝∠CPH＝60°，∴AC＝2AH＝2•PA•sin60°＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴CD＝AB＝＝＝x，∴＝＝，故答案为：1．20．解：∵BE＝BC，∠ABC＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵GE⊥CG，∴∠AGE+∠CGD＝90°，∵∠DCG+∠CGD＝90°，∴∠AGE＝∠DCG，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AGE∽△DCG，∴，∵G是AD的中点，∴AG＝DG，∴，∵∠D＝∠CGE＝90°，∴△CDG∽△CGE，∴∠DCG＝∠GCE＝（90°﹣45°）＝22.5°，∵G是AD的中点，∴由矩形的对称性可知∠ABG＝∠DCG＝22.5°，由三角形的外角性质得，∠BFC＝∠ABG+∠BEC＝22.5°+45°＝67.5°．故答案为：67.5°．三．解答题（共10小题）21．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝DA，∠EAB＝∠D＝90°，又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，又∵∠DAF+∠FAB＝∠EAB＝90°，∴∠ABE+∠FAB＝90°，∴∠APB＝90°，∴AF⊥BE，又∵CH⊥BE，∴AF∥CH；（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB＝90°，AB＝2，AE＝2，∴BE＝＝＝4，∵S△ABE＝AB•AE＝BE•AP，∴AP＝＝，在Rt△ABP中，BP＝＝＝3，∵∠APB＝∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠HBC＝90°，∠HCB+∠HBC＝90°，∴∠ABP＝∠HCB，∵CH⊥BE，∴∠HCB＝90°，又∵AB＝BC，∴△ABP≌△BCH（AAS），∴BH＝AP＝，∴PH＝BP﹣BH＝BP﹣AP＝3﹣．（3）解：在正方形ABCD中，AB＝BC，AD∥BC，∵CH⊥BP，PH＝BH，∴CP＝BC，∴∠CBP＝∠CPB，∵∠CPB＝∠QPE，∠CBP＝∠QEP，∴∠QPE＝∠QEP，在Rt△APE中，∠QAP＝∠QPA，∴QE＝QP＝QA，在四边形QABC中，设QP＝a，CP＝b，则AB＝BC＝b，AQ＝a，QC＝a+b，∵DC2+DQ2＝CQ2，∴b2+（b﹣a）2＝（a+b）2，∴b2＝4ab，即b＝4a，∴＝4．22．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝90°，∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠EAP＝45°，在△DAP和△EAP中，，∴△DAP≌△EAP（SAS）∴PD＝PE；（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′，则P′C最小，∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠EAP，∵∠DAP＝∠EAP，∴∠DAP＝∠DFA＝45°，∴FC＝DF＝AD＝2，∠P′FC＝45°，∴P′C＝FC×＝，∴PC的最小值为；（3）解：如图2，∵DF＝FC，OA＝OC，∴OF∥AD，∴∠DFO＝180°﹣∠ADF＝90°，∴当点P与点F重合时，∠DPO＝90°，此时，AP＝＝2，当点P在AF上时，作PG⊥AD于G，PH⊥AB于H，∵AP平分∠DAB，PG⊥AD，PH⊥AB，∴PG＝PH，设PG＝PH＝a，由勾股定理得，DP2＝（2﹣a）2+a2，OP2＝（2﹣a）2+（1﹣a）2，OD2＝5，当∠DPO＝90°时，DP2+OP2＝OD2，即（2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5，解得，a1＝2（舍去），a2＝，当a＝时，AP＝，综上所述，∠DPO＝90°时，AP＝2或．23．解：（1）∵两个函数图象的交点分别为A，B，∴，∴x2＝k2，∴x＝±k，∴点A坐标为（﹣k，﹣1），点B坐标（k，1），（2）∵k＝1，∴点A坐标为（﹣1，﹣1），点B坐标（1，1），∵点P的坐标为（m，），∴直线PA解析式为：y＝+，当y＝0时，x＝m﹣1，∴点C（m﹣1，0）同理可求直线PB解析式为：y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴点D（m+1，0）∴PD＝＝，PC＝＝，∴PC＝PD，∴△PCD是等腰三角形；（3）如图，过点P作PH⊥CD于H，∵△PCD为直角三角形，PH⊥CD，∴CD＝2PH，∴m+1﹣（m﹣1）＝2×∴m＝1，∴点P（1，1），∵点B（1，1），且点P是函数y＝在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B 重合），∴不存在点P使△PCD为直角三角形．24．（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EBC，∠BCF＝∠CED，∴∠BEF＝∠EBC，∴BC＝CE，∵∠BFC＝∠D＝90°，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴CF＝DE．（2）解：①由翻折可知BA＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，在Rt△BFC中，sin∠BCF＝＝＝＝，∴∠BCF＝60°，∴∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°﹣30°＝60°，∵∠ABE＝∠FBE，∴∠ABE＝∠ABF＝30°．②∵＝k，＝m，∴AE＝kAD，AB＝mAD，∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，整理得，m2＝2k﹣k2．25．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴△DGE和△BGF是等腰直角三角形，∴GE＝DG，GF＝BG，∴GE+GF＝（DG+BG）＝BD，∴GE+GF＝AB；（2）解：GE2+GF2＝AG2，理由如下：连接CG，如图所示：在△ABG和△CBG中，，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CE＝GF，∴GE2+CE2＝CG2，∴GE2+GF2＝AG2；设GE＝x＝CF，则GF＝6﹣x＝BF，由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（）2，∴x＝1或x＝5当x＝1时，∴BF＝GF＝5，∴BG＝＝＝5，当x＝5时，∴BF＝GF＝1，∴BG＝＝＝，26．解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：过点E作直线MN∥AB，交AD于M，交BC于N，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且MN∥AB，∴四边形ABNM和四边形MNCD都是矩形，△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，∴AM＝BN，∠AME＝∠ENF＝90°，EN＝BN，∴AM＝EN，∵EF⊥AE，∴∠AEM+∠FEN＝∠AEM+∠EAM＝90°，∴∠EAM＝∠FEN，在△AME和△ENF中，，∴△AME≌△ENF（ASA），∴AE＝EF，∵AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）（1）中的结论还成立，理由如下：过点E作直线MN∥DC，交AD于M，交BC于N，如图2所示：由（1）同理可得：AM＝BN＝EN，∠EAM＝∠FEN，∵∠AME＝∠ENF＝90°，在△AME和△ENF中，，∴△AME≌△ENF（ASA）；∴AE＝EF，∵AE⊥EF，∴△AEF是等腰直角三角形；（3）分两种情况：①△ADE的面积：△ABE的面积＝1：2时，如图1所示：则BE＝2DE，设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3a，由（1）得：AE＝EF，ME＝NF，DM＝CN，△AEF、△NEB和△MDE都是等腰直角三角形，∴AF＝AE，BE＝BN＝2a，DE＝ME＝a，∴AM＝BN＝2a，CN＝NF＝DM＝ME＝a，∴CF＝NF+CN＝2a，AE＝＝＝a，∴AF＝AE＝a，∴＝＝；②△ADE的面积：△ABE的面积＝2：1时，如图2所示：则DE＝2BE，设正方形ABCD的边长为3a，则BD＝3a，同（1）得：AF＝AE，BE＝BN＝a，DE＝ME＝2a，∴AM＝BN＝a，CN＝NF＝DM＝ME＝2a，∴CF＝NF+CN＝4a，AE＝＝＝a，∴AF＝AE＝a，∴＝＝；综上所述，若AE将△ABD的面积分成1：2的两部分，则AF：CF的值为或．27．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCA＝∠DCA＝45°，AD∥DC，∵点E与点G关于直线CD对称，∴EC＝GC，∠DCG＝∠DCA＝45°，EG⊥CD，∴∠BCE＝∠DCG，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS）；（2）证明：∵EG⊥CD，AD⊥DC，AD∥BC，∴EG∥DF∥BC，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝45°，∴∠DGE＝∠DGC﹣45°，∵BE⊥EF，∴∠FEG＝360°﹣90°﹣45°﹣∠BEC＝225°﹣∠BEC，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGE+∠FEG＝∠DGC﹣45°+225°﹣∠BEC＝180°，∴EF∥DG，∴四边形FEGD为平行四边形；（3）解：过E作MN⊥AD于N，MN⊥BC于M，如图所示：则∠EBM+∠BEM＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEM+∠FEN＝90°，∴∠EBM＝∠FEN，∵BM＝AN，AN＝EN，∴BM＝EN，在△BME和△ENF中，，∴△BME≌△ENF（ASA），∴BE＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴BE＝DE，∴DE＝EF，当四边形GD为菱形时，DF＝EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠EBM＝∠FEN＝∠FED＝30°，设CM＝x，则EM＝x，∵∠EBM＝30°，∴BM＝x，∵四边形ABCD为正方形，AB＝4，∴BC＝BM+EM＝（+1）x＝4，解得：x＝2（﹣1），∴CE＝x＝2﹣2．28．（1）证明：连接MN，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝90°，∴∠EAM＝∠FCN，AC＝＝＝5，∵M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝DM＝BN＝CN，AM∥BN，∴四边形ABNM是平行四边形，又∵∠B＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝3，在△AME和△CNF中，，∴△AME≌△CNF（SAS），∴EM＝FN，∠AEM＝∠CFN，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵AE＝CF＝1，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3，∴MN＝EF，∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN，作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB＝3，BH＝AM＝x，∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x，∵四边形EMFN为矩形，AE＝CF＝0.5，∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4，在Rt△MHN中，由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42，解得：x＝2±，∵0＜x＜2，∴x＝2﹣．29．（1）证明：①如解图1，∵点E，点F关于CD对称．∴DE＝DF；CE＝CF，OE＝OF，CD⊥EF，∴∠ECO＝∠FCO，∵ED∥CF，∴∠FCO＝∠EDO，∴∠ECO＝∠EDO，∴DE＝EC，∴DE＝DE＝EC＝CF，∴四边形ECFD是菱形．②由得①得四边形ECFD是菱形，∴EO＝OF＝，OD＝OC，又∵AE＝EC，∴OF＝．∴AD＝EF（2）解：四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，则有以下情况：Ⅰ．第一种情况：若∠BFD＝90°时，E、F、C三点重合，BF＝BE，即．Ⅱ．第二种情况：若∠BDF＝90°时，如解2，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝∠DBC＝45°，BE＝DE，∴∠FDC＝45°，∵E，点F关于CD对称，∴∠EDC＝45°，即E为AC与BD的交点，EF⊥CD，∴EF∥BC，∴∠DEF＝∠BDC＝45°，∴△EFD为等腰直角三角形，∴DF＝DE＝BE，在Rt△BDF中，BF＝＝，∴即＝．Ⅲ．点E为AC上一点，所以∠DBF＝90°不存在．综上所述：若四边形ABCD是正方形，△BDF是直角三角形，的值为1或．30．解：（1）①EG＝EH，理由如下：如图，∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴AF∥BE，且GH∥EF∴四边形GHEF是平行四边形∴∠GHE＝∠GFE∵将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，∴∠1＝∠GEF∵AF∥BE，GH∥EF∴∠1＝∠GFE，∠HGE＝∠GEF∴∠GEF＝∠HGE∴∠GHE＝∠HGE∴HE＝GE②GH平分∠AGE理由如下：∵AF∥BE∴∠AGH＝∠GHE，且∠GHE＝∠HGE ∴∠AGH＝∠HGE∴GH平分∠AGE（2）①EG＝GH理由如下，如图，∵将△ABC沿EF折叠∴∠CEF＝∠C'EF，∠C＝∠C'∵GH∥EF∴∠GEF＝∠HGE，∠FEC'＝∠GHE ∴∠GHE＝∠HGE∴EG＝EH②∠AGH＝∠HGE+∠C理由如下：∵∠AGH＝∠GHE+∠C'∴∠AGH＝∠HGE+∠C。
八年级几何证明题集锦及解答值得收藏(最新整理)
八年级几何全等证明题归纳1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB 于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．求证：CF=AB+AF．证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°，∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．2.如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G．判断CF与ED的位置关系，并说明理由．解：垂直．理由：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠CBD，AB=BC，∵BF=BF，∴△ABF≌△CBF，∴∠BAF=∠BCF，∵在RT△ABE和△DCE中，AE=DE，AB=DC，∴RT△ABE≌△DCE，∴∠BAE=∠CDE，∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠BCF+∠DEC=90°，∴DE ⊥CF ．3.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90º，AB ＝AD ，DE ⊥CD 交AB 于E ，DF 平分∠CDE 交BC 于F ，连接EF ．证明：CF ＝EF解：过D 作DG ⊥BC 于G ．由已知可得四边形ABGD 为正方形，∵DE ⊥DC∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG ，∴∠ADE=∠GDC ．又∵∠A=∠DGC 且AD=GD ，∴△ADE ≌△GDC ，∴DE=DC 且AE=GC ．在△EDF 和△CDF 中∠EDF=∠CDF ，DE=DC ，DF 为公共边，∴△EDF ≌△CDF ，∴EF=CF4.已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，A E ⊥BD ，A E延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC 。
中考二轮复习 数学 题型七 与四边形有关的证明与计算 课件
7．(2020·荆州)如图，在矩形ABCD中，AB＝20， 点E是BC边上的一点．将△ABE沿着AE折叠， 点B刚好落在CD边上点G处．点F在DG上， 将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处， 此时S△GFH∶S△AFH＝2∶3. (1)求证：△EGC∽△GFH； (2)求AD的长； (3)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF. 又∵DE＝BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)； (2)解：当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形． 理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，∴AC⊥EF. ∵DE＝BF，OB＝OD，∴OE＝OF.又∵OA＝OC， ∴四边形AFCE是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．
4．(2020·云南)如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点， 点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为点E， 点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为点F. (1)若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形； (2)若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF， ∵H 为对角线 AC 的中点，∴EH＝FH＝12 AC.∵∠CAE＝30°，
5．(2020·内江节选)如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个 动点(不与 A，C 重合)，连接 BP.将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BQ， 连接 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边 AD 交于点 F. (1)连接 CQ，求证：CQ＝AP；
(完整版)平行四边形典型证明题(已分类)
平行四边形证明题1.在□ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交DC 于E ，若∠DAE ＝25o，求□ABCD 各角度数.2.如图，把一张长方形ABCD 的纸片沿EF 折叠后，ED 与BC 的交点为G ，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG 度数．3.如图在□ABCD 中，E ，F 为BD 上的点，BE =DF ，那么四边形AECF 是什么图形？并证明.4.如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 上的两点，且∠DAE=∠BCF ． （1）求证：AE=CF ． （2）求证：AE ∥CF5.如图，□ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，CF 平分∠BCD 交AD 于点F ，求证：四边形AECF 是平行四边形.DA CBE6. 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边中点. （1）求证：四边形ADEF 是平行四边形.（2）若AB=AC=10，BC=12，求四边形ADEF 的周长和面积.7.如图，在ABC △中，点D E ，分别是AB AC ，边的中点，若把ADE △绕着点E 顺时针旋转180°得到CFE △． 求证：四边形DBCF 是平行四边形。
8.如图，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G .(1)求证：AG ＝C′G ．(2) 求△BDG 的面积9.如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O.若 AO=3， ∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。
10.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°．(1)求∠2的度数．(2)求证：BO＝BE．11. 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状，并证明(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．12.在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F，求证：（1）EO=FO（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？13.如图,BD是菱形ABCD的对角线,点E,F分别在边CD,DA上,且CE=AF.求证:∠DBF=∠DBE.14.如图，在菱形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥AC 交CB 的延长线于F.求证：AB 与EF 互相平分.15.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形AFCE 是菱形．16.在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF ． 四边形AECF 是什么形状？并证明.17.已知：如图所示，△ABC 中，E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥AC ，DF ∥AB ，要使四边形AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是____＿ 试证明：这个多边形是菱形. ABDCF EDCFEBA HG18.如图，在正方形ABCD 中，点G 是BC 上任意一点，连接AG ，过B ，D 两点分别作BE ⊥AG ，DF ⊥AG ， 垂足分别为E ，F 两点，求证：△ADF ≌△BAE .19.如图，已知点E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，过点D 作DG ⊥AE ，垂足为G ，延长DG 交AB 于点F ．求证：①BF =CE ．②DF ⊥AE20.如图, 在正方形ABCD 中, M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．试说明：MD=MN ．21.在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 平分∠ACB ，过点D 分别作DE ⊥BC,DF ⊥AC ，垂足分别为E,F.求证：四边形DECF 为正方形AF BE CDG 图6A M DBCEN22.在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D,将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处，将△ADC沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB,FC使其交于点M,判断四边形AEMF的形状并证明.23.如图,△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.(1)求证:四边形AEBD是矩形.(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并证明.24.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为多少？25.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上的一个动点，当PC+PD的值最小时，最小值为 .。
鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题4(附答案)
鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题4（附答案）一．选择题（共10小题）1．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A．10和34B．18和20C．14和10D．10和122．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、BF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．3．如图，▱ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠EAD＝35°，则∠B的度数为（）A．35°B．55C．65°D．125°4．如图，把一等腰梯形ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′处，若∠AED'＝20°，则∠EFB的度数等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD＝a，BC＝b，则四边形AEFD的周长是（）A．3a+b B．2（a+b）C．2b+a D．4a+b6．如图，四边形ABCD中，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，则添加下列一个条件后，不能判定该四边形为平行四边形的是（）A．AD＝BC B．OA＝OC C．OD＝OB D．AB＝DC7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠D＝∠C B．BC＝AD C．∠A＝∠B D．AB＝CD8．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD10．有如下命题：（1）有两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）有两条边相等的梯形是等腰梯形；（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；（4）等腰梯形上，下底边中点的连线把等腰梯形分成面积相等的两部分．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，同样长度m为半径作弧，交于点G，连结AG并延长交BC于点E，若BF＝6，AB ＝4，则AE的长为．12．如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，若∠A＝120°，AD＝2，则CE＝．13．如图，已知平行四边形ABCD的面积为84cm2，且，则S△ACE＝cm2．14．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝8cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是．15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是cm．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为．18．已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为．19．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．20．阅读下列证明过程：已知，如图：四边形ABCD中，AB＝DC，AC＝BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．读后完成下列各小题．（1）证明过程是否有错误如有，错在第几步上，答：．（2）作DE∥AB的目的是：．（3）判断四边形ABED为平行四边形的依据是：．（4）判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是．（5）若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？答．三．解答题（共8小题）21．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．求证：AE＝FE．23．如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝DC，AD∥BC，AD＝4，点P为梯形内部一点，若PB＝PC，且P A⊥PD．（1）求证：P A＝PD；（2）求P A的长．24．已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC⊥BD，相交于点O，AD＝3cm，BC＝7cm，求梯形的面积S．25．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．26．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．27．如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，分别过点B作直线BE∥AD，过点A作直线EA⊥AC于点A，两直线交于点E．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果∠ABE＝∠ABD＝60°，AD＝2，求AC的长．28．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形（2）若CD＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A．10和34B．18和20C．14和10D．10和12【解答】解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，∵AB＝CD，DC∥AB∴四边形BECD是平行四边形，∴CE＝BD，BE＝CD＝AB，∴在△ACE中，AE＝2AB＝24＜AC+CE，∴四个选项中只有A，B符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，故选：B．2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，∠BAD与∠CDA的角平分线AE、BF相交于点G，且交BC于点E、F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：过G作GH⊥AD于点H，反向延长，交BC于点I．则HI＝AB•sin B＝6×＝3，S平行四边形ABCD＝8×3＝24．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，又∵∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝6，同理，CF＝CD＝AB＝6，∴EF＝BE+CF﹣BC＝6+6﹣8＝4，∵AD∥BC，∴△ADG∽△EFG，∴＝2，∴HG＝2，GI＝，则S△ADG＝AD•HG＝×8×2＝8，S△EFG＝EF•GI＝×4×＝2，∴S阴影＝S平行四边形ABCD﹣S△ADG﹣S△EFG＝24﹣8﹣2＝14．故选：A．3．如图，▱ABCD中，AE⊥CD于点E，若∠EAD＝35°，则∠B的度数为（）A．35°B．55C．65°D．125°【解答】解：∵∠EAD＝35°，AE⊥CD，∴∠D＝55°，∵▱ABCD，∴∠B＝55°，故选：B．4．如图，把一等腰梯形ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′处，若∠AED'＝20°，则∠EFB的度数等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【解答】解：由已知得∠DEF＝∠D'EF．又因为∠AED＝180度，∠AED'＝20°，所以∠DEF＝80度．又因为AD∥BC，所以∠EFB＝∠DEF＝80°．故选：D．5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD＝a，BC＝b，则四边形AEFD的周长是（）A．3a+b B．2（a+b）C．2b+a D．4a+b【解答】解：根据题意，先作如图所示的辅助线，由四边形ABCD是等腰梯形，可得AC＝BD，且AD＝EF＝a，BE＝FC＝＝；作DG∥AC，交BC的延长线于G．∵AD∥BC，AC∥DG∴四边形ACGD是平行四边形∴AD＝CG＝a，DG＝AC＝BD∵BD⊥AC，AC∥DG∴BD⊥DG在△BDG中，BD⊥DG，BD＝DG∴△BDG是等腰直角三角形∴∠G＝45°在△DFG中，∠G＝45°，∠DFG＝90°∴△DFG是等腰直角三角形∴DF＝FG＝FC+CG＝+a由题意易得四边形AEFD是矩形，故其周长为2（AD+DF）＝2（a++a）＝3a+b．故选：A．6．如图，四边形ABCD中，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，则添加下列一个条件后，不能判定该四边形为平行四边形的是（）A．AD＝BC B．OA＝OC C．OD＝OB D．AB＝DC【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形；选项A正确；B．∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴OD＝OB，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形；选项B正确；C..∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴OA＝OC，又∵OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形；选项C正确；D．∵AD∥BC，AB＝CD，∴四边形ABCD可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，选项D不正确；故选：D．7．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠D＝∠C B．BC＝AD C．∠A＝∠B D．AB＝CD【解答】解：A、AB∥CD，∠D＝∠C时；不能判定四边形ABCD是平行四边形；B、AB∥CD，BC＝AD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形；C、AB∥CD，∠A＝∠B时，不能判定四边形ABCD是平行四边形；D、AB∥CD，AB＝CD时，能判定四边形ABCD是平行四边形；故选：D．8．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H．∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，∵EF∥BC，∴∠EFC＝∠ACB＝60°，∴△EFC是等边三角形，CH＝，∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，∴△ABD≌△BCF，故①正确，∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝，故③正确，S△AEF＝S△AEC＝•S△ABD＝故④错误，故选：C．9．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CDB，∴BD∥CE，∴BCED为平行四边形，故A正确；∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠CBF，在△DEF与△CBF中，，∴△DEF≌△CBF（AAS），∴EF＝BF，∵DF＝CF，∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BCD，∴∠CBF＝∠BCD，∴CF＝BF，同理，EF＝DF，∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，∵∠AEC＝∠CBD，∴∠BDE＝∠BCE，∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，故选：C．10．有如下命题：（1）有两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）有两条边相等的梯形是等腰梯形；（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形；（4）等腰梯形上，下底边中点的连线把等腰梯形分成面积相等的两部分．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：根据等腰梯形的性质和判定可判断：1，错误，直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形．2，错误，一腰与一底相等时，不是等腰梯形．3，正确．4，正确，等腰梯形是轴对称图形故选：B．二．填空题（共10小题）11．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，同样长度m为半径作弧，交于点G，连结AG并延长交BC于点E，若BF＝6，AB ＝4，则AE的长为2．【解答】解：如图，连接FE，设AE交BF于点O．由作图可知：AB＝AF，AE平分∠BAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F AE＝∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，∴AO＝OE＝AE，BO＝OF＝3，在Rt△AOB中，AO＝＝＝，∴AE＝2OA＝2．故答案是：2．12．如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，若∠A＝120°，AD＝2，则CE＝．【解答】解：∵在▱ABCD中，∠A＝120°，AD＝2，∴AD＝BC＝2，∠B＝60°，∵CE⊥AB，∴CE＝，故答案为：13．如图，已知平行四边形ABCD的面积为84cm2，且，则S△ACE＝21cm2．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∵，平行四边形ABCD的面积为84cm2，∴S△ACE＝cm2．故答案为：2114．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝8cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是40cm．【解答】解：∵AB∥CD，AD＝BC＝8cm，∴∠ABC＝∠A＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠CBD＝30°，∴∠BDC＝∠CBD，∴CD＝BC＝8cm，∵∠A＝60°，∠ABD＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AB＝2AD＝16cm，∴这个梯形的周长＝CD+AD+BC+AB＝8+8+8+16＝40（cm）．故答案为40cm．15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是15cm．【解答】解：已知BD平分∠ABC，∠A＝60°⇒∠CBD＝∠CDB＝30°，∠BDA＝90°，∠DBA＝30°故CD＝BC＝AD＝3cm，AB＝2AD＝6cm．所以梯形的周长为CD+AD+BC+AB＝15cm．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12cm．点P从点A出发，以3cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝3或6秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．【解答】解：由运动知，AP＝3t，CQ＝t，∴DP＝AD﹣AP＝12﹣3t，∵四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，∴12﹣3t＝t，∴t＝3秒；当P运动到AD线段以外时，AP＝3t，CQ＝t，∴DP＝3t﹣12，∵四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝CQ，∴3t﹣12＝t，∴t＝6秒，故答案为：3或617．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为2秒或3.5秒．【解答】解：∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝9，∵AD∥BC，∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9﹣3t＝5﹣t，解得：t＝2，②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t﹣9＝5﹣t，解得：t＝3.5；∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：2秒或3.5秒．18．已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为8．【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝AD＝10，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC．由（1）得∠BAE＝∠AEB，∠CDF＝∠DFC．∵AB＝DC＝6，∴BE＝AB＝6，FC＝CD＝6．∴EC＝BC﹣BE＝4．∴EF＝FC﹣EC＝2．∵AD∥BC，∴∠DAG＝∠FEG，∠ADG＝∠EFG．∴△AGD∽△EGF，∴＝＝＝，∵AE＝4，∴AG＝×4＝，EG＝，在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°．∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．∴∠AGD＝90°．∴DG＝＝，EG＝＝，∴DF＝DG+FG＝8，故答案为8．19．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/s秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动3或5秒时，以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠FBM＝∠CBM，∴∠FBD＝∠FDB，∴FB＝FD＝12cm，∵AF＝6cm，∴AD＝18cm，∵点E是BC的中点，∴CE＝BC＝AD＝9cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF＝EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，解得：t＝3或t＝5．故答案为：3或5．20．阅读下列证明过程：已知，如图：四边形ABCD中，AB＝DC，AC＝BD，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．读后完成下列各小题．（1）证明过程是否有错误如有，错在第几步上，答：没有错误．（2）作DE∥AB的目的是：为了证明AD∥BC．（3）判断四边形ABED为平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）判断四边形ABCD是等腰梯形的依据是梯形及等腰梯形的定义．（5）若题设中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？为什么？答不一定，因为当AD＝BC时，四边形ABCD是矩形．【解答】解：（1）没有错误（2）为了证明AD∥BC（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）梯形及等腰梯形的定义（5）不一定，因为当AD＝BC时，四边形ABCD是矩形．三．解答题（共8小题）21．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．22．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．求证：AE＝FE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAE＝∠F，∠B＝∠ECF，又∵E是BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE．23．如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝DC，AD∥BC，AD＝4，点P为梯形内部一点，若PB＝PC，且P A⊥PD．（1）求证：P A＝PD；（2）求P A的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB，又PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∴∠ABP＝∠DCP，∴在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP．∴P A＝PD．（2）在Rt△P AD中，P A2+PD2＝AD2即：2P A2＝42P A＝2．24．已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC⊥BD，相交于点O，AD＝3cm，BC＝7cm，求梯形的面积S．【解答】解：做OE⊥AD并反向延长OE交BC于点F，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴点O在梯形ABCD的对称轴上，∴OA＝OD，OB＝OC，设对称轴与AD、BC分别交于E、F，则OE＝AD＝，OF＝BC＝，∴EF＝OE+OF＝5，∴S梯形＝（AD+BC）•EF＝×（3+7）×5＝25．25．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．26．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD＝BC，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，分别过点B作直线BE∥AD，过点A作直线EA⊥AC于点A，两直线交于点E．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果∠ABE＝∠ABD＝60°，AD＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：∵BD垂直平分AC，EA⊥AC，∴AE∥BD，∵BE∥AD，∴四边形AEBD是平行四边形；（2）∵AD∥BE，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∵∠ABD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵BD垂直平分AC，∴∠AFD＝90°，AC＝2AF，∵AD＝2，∴AF＝，∴AC＝2．28．如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形（2）若CD＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC．∵F是AD的中点，∴DF＝．又∵CE＝BC，∴DF＝CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．在▱ABCD中，∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°．∵CD＝AB＝4，∴CH＝CD＝2，DH＝2．在▱CEDF中，CE＝DF＝AD＝3，则EH＝1．∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE＝＝．。
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如图，E、F是□ABCD的对角线AC上两点，AE＝CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF.（2）BE∥DF．
F
E
D
C
B
A
如图，在□ ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作
AC
的垂线与边AC、BD分别交于E、F，求证：四边形
AFCE
是菱形．
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中
点，E、F分别是BM、CM的中点．
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的
高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．
如图，在ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，BCDE//，ABEF//，
且F是BC的中点．求证：CFDE
FEDC
B
A
A
B
C
D
E
F
O
1
2
已知：如图，AD∥BC，ED∥BF，且AF＝CE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，
求证：四边形BFDE是平行四边形。
如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD
上的点C’处，折痕DE交BC于点E，连结。
求证：四边形是菱形