【全国百强校word】湖南师范大学附属中学2017届高三上学期月考(四)数学(文)试题
湖南师范大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学理试题Word版含答案
第一次月考数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 集合{}{}2|03,|4A x x B x x =<≤=<，则集合AB =（ ）A ．(),2-∞-B ．(]2,3-C ．()0,+∞D ．(),3-∞ 2. 已知命题:p “0a ∀>，有1xe ≥成立”，则p ⌝为（ ）A ．0a ∃≤，有1xe ≤成立 B ．0a ∃≤，有1xe ≥成立 C ．0a ∃>，有1xe <成立 D ．0a ∃>，有1xe ≤成立3. 有一长、宽分别为50,30m m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域) 的概率是（ ）A ．34 B ．38 C ．316π D ．12332π+ 4. 设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上, 则该抛物线的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．3x =- C ． 2x =- D ．1x =- 5. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列, n S 为数列{}n a 的前n 和，则3253S S S S --的值为（ ） A ． 2 B ．3 C ．2- D ．3- 6. 执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（ ）A ． 8n ≤B ．8n ≥C ．9n ≤D ．9n ≥ 7. 如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象, 则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．()5cos 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 已知1122log log a b <,則下列不等式一定成立的是（ ）A ．()ln 0a b ->B ．11a b> C ．1143ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31a b-<9. 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ． 221xy x =-- B ．2sin 41x xy x =+C ．ln xy x=D ．()22x y x x e =- 10. 已知函数()221x f x x =+,函数()()sin 2206g x a x a a π⎛⎫=-+>⎪⎝⎭,若存在[]12,0,1x x ∈,使得()()12f x g x =成立, 则实数a 的取值范围是（ ）A ． 14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点,A O 为坐标原点, 以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =,则双曲线C 的离心率为（ ）A B ． C D 12. 如图, 网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是其个多面体的三视图, 若该多面体的所有顶点都在球O 表面上，則球O 的表面积是（ ）A ．36πB ． 48πC ．56πD ．64π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 由曲线2y y x ==所围成图形的面积为 ．14. 已知函数()2log f x x =在区间[]2,2m m -内有定义且不是单调函数, 则m 的取值范围为 ．15. 如图所示,1260,,xOy e e ∠= 分别是与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，若12m xe ye =+，记(),m x y =，设(),a p q =，若a 的模长为1，则p q +的最大值是 ．16. 如图，已知ABCD 是边长为1的正方形，1Q 为CD 的中点，()1,2...,i P i n =为1AQ 的交点，过i P 作CD 的垂线，垂足为1i Q +，则101i ii S DQ P =∆=∑ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的取值范围;（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知A 为锐角,()2,3f A b c ===, 求BC 边上的中线长. 18. （本小题满分12分）如图, 在多面体ABCDEF 中, 四边形ABCD 为矩形,,ADE BCF ∆∆ 均为等边三角形,1,,2EF AB EF AD AB N ==为线段PC 的中点. （1）求证:AF 平面BDN ;（2）求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）某超市为了了解顾客结算时间的信息, 安排一名工作人员收集, 整理了该超市时.（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率;（2）X 表示至第2分钟末已结算完的顾客人数, 求X 的分布列及数学期望. (注: 将频率为概率)20. （本小题满分12分）如图, 设,A B 两点的坐标分别为()),.直线,AP BP相交于点P ,且它们的斜率之积为12-. （1）求点P 的轨迹C 的方程;（2）若直线MN 与轨迹C 相交于,M N 两点, 且2MN =,求坐标原点O 到直线MN 距离的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数()()21ln 1x f x k x x x-=-≥. （1）若()0f x ≥恒成立, 求k 的取值范围;（2 2.2361=,试估计5ln4的值.( 精确到0.001) 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线,PAB C 为切点,OD BC ⊥, 垂足为D .（1）求证:2AC CP AP BD =;（2）若,,AP AB BC 依次成公差为1的等差数列, 且PC =求AC 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线6:3cos 4sin l ρθθ=-+,曲线35cos :(55sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数).（1）将直线l 化成直角坐标方程, 将曲线C 化成极坐标方程; （2）若将直线l 向上平移m 个单位后与曲线C 相切, 求m 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈. （1）求证: 当12a =-时, 不等式()ln 1f x >成立;（2）关于x 的不等式()f x a ≥在R 恒成立, 求实数a 的最大值.（炎德·英才大联考）湖南师范大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学（理）参与答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.BCBAA 6-10.ABCDA 二、填空题（每小题5分，共20分）13.13 14.()2,3 16.524三、解答题17.解：（1）()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==（2）由()sin 2322f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,得sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又A 为锐角,3A π∴=. 设BC 的中点为D ,则()()222111119,24922324424AD AB AC AD AB AC AB AC ⎛⎫=+∴=++=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,192AD ∴=,BC ∴边的中线长为2.18. 解：（1）连结AC 交BD 于M ,连结,MN 四边形ABCD 是矩形,M ∴是AC 的中点,N 是CF 的中点,MN AF ∴, 又AF ⊄平面,BDN MN ⊂平面,BDN AF ∴平面BDN .（2）取BC 的中点,P AD 的中点Q ，连结PQ ,过F 作FO PQ ⊥交PQ 于点O ,,,,BC FP BC PQ PQ FP P BC ⊥⊥=∴⊥面,EFPQ FO ⊂面EFPQ ,BC FO ∴⊥,又,,FO PQ PQBC P FO ⊥=∴⊥平面ABCD.如图, 以O 为坐标原点,x 轴AB ⊥,y 轴BC ⊥建立空间直角坐标系,,ADE FBC ∆∆ 为等边三角形,∴ 梯形EFPQ 为等腰梯形,()11131111,,,0,,,0,,,022*******OP AB EF OF A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=∴=∴-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭110,0,,,,2444F N ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. ()132310,2,0,,,,,2244AB AF BN ⎛⎫⎛∴==-=-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =,则200,1300222y n AB x y z n AF =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩,令z =()32,0,2,1,6,2n n BN n BN =∴=-==,cos 3n BN n BN n BN∴==-,∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为2cos 3n BN =. 19. 解：设Y 表示顾客结算所需的时间.用頻率估计概率,得Y 的分布如下：（1）表示事件“第三个顾客恰好等待分钟开始结算”, 则时间A 对应三种情形: ①第一个顾客结算所需的时间为1分钟, 且第二个顾客结算所需的时间为3分钟; ②第一个顾客结算所需的时间为3分钟, 且第二个顾客结算所需的时间为1分钟; ③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟. 所以()0.10.30.30.10.40.40.22P A =⨯+⨯+⨯=. （2）X 所有可能的取值为:0,1,2.① 0X =对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟, 所以()()020.5P X P Y ==>=; ② 1X =对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟, 且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟, 或第一个顾客结算所需的时间为2分钟,所以()10.10.90.40.49P X ==⨯+=; ③2X =对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟, 所以()20.10.10.01P X ==⨯=; 所以X 的分布列为00.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）设点M 的坐标为(),x y ,则,AM BM k x k x =≠=≠.(122x x =-≠-,化简得P 的轨迹方程为(2212x y x +=≠. （2）① 若MN 垂直于x 轴, 此时MN 为椭圆的短轴,∴原点到直线MN 的的距离为0. ②若MN 与x 轴不垂直, 设直线MN 的方程为y kx b =+,原点O 到直线MN 的距离为h ,由2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得:()()()2222222124220,1681210k x kbx b k b k b +++-=∆=-+->,()2221,...b k ∴<+*设()()1122,,,M x y N x y ,则()2121222214,.1212b kbx x x x k k --+==++()()222228142,141212b kb MN k k k ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥==∴+--= ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 整理得()22221121,11,0111b k k k =-+≥∴<≤++, 即()20211b <-≤,即2112b ≤<,满足()*式()222222221111,2122122b b h b b b k ⎛⎫∴≤<==-=--+ ⎪+⎝⎭,∴当212b =时,2h 取得最大值为12, 即h 的最大值为2. 21. 解：（1）()221'x kx f x x-+=. ①当22k -≤≤时,2240,10k x kx -≤-+≥ 恒成立, 所以[)1,x ∈+∞时,()()'0,f x f x ≥ 单调递增,()()10fx f ≥= 恒成立.②当22k k <->或时,()'0f x =, 解得1222k k x x ==,且1212,1x x k x x +==.(ⅰ) 若2k <-,则120,0x x <<,[)1,x ∴∈+∞时,()()'0,f x f x ≥ 单调递增,()()10f x f ≥= 恒成立.(ⅱ) 若2k >,则121,1x x <>,当()21,x x ∈时,()()'0,f x f x < 单调递减,()()10f x f <=, 这与()0f x ≥恒成立矛盾, 综上所述,k 的取值范围为(],2-∞.（2）由得212ln x x x-≥在[)1,+∞上恒成立, 取14x =>得<即5ln 0.223614<==,由（1）得2k >时,21ln x k x x -< 在1,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时恒成立,=,解得10k =取210k =>,则有2110x x x -<在⎛ ⎝上恒成立,取x =52ln 0.222249-<∴>≈,50.2222ln 0.223614<<(精确到0.001). 取5ln 0.2234=. 22. 解：（1）PC ∴为圆O 的切线,,PCA CBP ∴∠=∠ 又CPA CPB ∠=∠,故CAP BCP ∠∆，AC AP BC PC∴= 即AP BC AC CP =, 又2,2BC BD AC CP AP BD =∴=.（2）设()0AP x x =>,则1,2AB x BC x =+=+,由切割定理可得()2,2121,0,3,5PA PB PC x x x x BC =∴+=>∴=∴=,由（1）知,35,7AP BC AC CP AC =∴⨯=∴=. 23. 解：（1）直线l 的参数方程化为3cos 4sin 60ρθρθ++=,则由cos ,sin x y ρθρθ==,得直线l 的直角坐标方程为3460x y ++=,由35cos 55sin x y αα=+⎧⎨=+⎩,消去参数α,得()()223525x y -+-=,即()2261090x y x y +--+=*,由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==,代入()*可得曲线C 的极坐标方程为26cos 10sin 90ρρθρθ--+=.（2）设直线':340l x y t ++=与曲线C 相切, 由（1）知曲线C 的圆心为()3,5半径为5,5=,解得4t =-或54t =-,所以'l 的方程为3440x y +-=或34540x y +-=, 即314y x =-+或32742y x =-+,又将直线l 的方程化为3342y x =--,所以35122m ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭或2731522m ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 24. 解：（1）由()122,251153,2222522,2x x f x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩,得函数()f x 的最小值为3,从而()()3,ln 1f x e f x ≥>∴>成立.（2）由绝对值的性质得()()555222f x x x a x x a a ⎛⎫=-+-≥---=- ⎪⎝⎭, 所以()f x 的最小值为52a -,从而52a a -≥,解得54a ≤,因此a 的最大值为54.。
湖南师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期第一次月考数学理试题 Word版含答案
2017-2018学年 第一次月考数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 集合{}{}2|03,|4A x x B x x =<≤=<，则集合AB =（ ）A ．(),2-∞-B ．(]2,3-C ．()0,+∞D ．(),3-∞2. 已知:p “0a ∀>，有1xe ≥成立”，则p ⌝为（ ）A ．0a ∃≤，有1x e ≤成立B ．0a ∃≤，有1xe ≥成立 C ．0a ∃>，有1xe <成立 D ．0a ∃>，有1xe ≤成立3. 有一长、宽分别为50,30m m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域) 的概率是（ ）A ．34B ．38C ．316πD ．12332π+4. 设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上, 则该抛物线的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．3x =- C ． 2x =- D ．1x =- 5. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列, n S 为数列{}n a 的前n 和，则3253S S S S --的值为（ ） A ． 2 B ．3 C ．2- D ．3- 6. 执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（ ）A ． 8n ≤B ．8n ≥C ．9n ≤D ．9n ≥ 7. 如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象, 则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．()5cos 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 已知1122log log a b <,則下列不等式一定成立的是（ ）A ．()ln 0a b ->B ．11a b> C ．1143ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31a b-<9. 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ． 221xy x =-- B ．2sin 41x xy x =+C ．ln x y x=D ．()22xy x x e =- 10. 已知函数()221x f x x =+,函数()()sin 2206g x a x a a π⎛⎫=-+>⎪⎝⎭,若存在[]12,0,1x x ∈,使得()()12f x g x =成立, 则实数a 的取值范围是（ ）A ． 14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点,A O 为坐标原点, 以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=,且3OQ OP =,则双曲线C 的离心率为（ ）A B ． C D 12. 如图, 网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是其个多面体的三视图, 若该多面体的所有顶点都在球O 表面上，則球O 的表面积是（ ）A ．36πB ． 48πC ．56πD ．64π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 由曲线2y y x ==所围成图形的面积为 ．14. 已知函数()2log f x x =在区间[]2,2m m -内有定义且不是单调函数, 则m 的取值范围为 ．15. 如图所示,1260,,xOy e e ∠= 分别是与x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，若12m xe ye =+，记(),m x y =，设(),a p q =，若a 的模长为1，则p q +的最大值是 ．16. 如图，已知ABCD 是边长为1的正方形，1Q 为CD 的中点，()1,2...,i P i n =为1AQ 的交点，过i P 作CD 的垂线，垂足为1i Q +，则101i ii S DQ P =∆=∑ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的取值范围;（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知A 为锐角,()2,32f A b c ===, 求BC 边上的中线长. 18. （本小题满分12分）如图, 在多面体ABCDEF 中, 四边形ABCD 为矩形,,ADE BCF ∆∆ 均为等边三角形,1,,2EF AB EF AD AB N ==为线段PC 的中点. （1）求证:AF 平面BDN ;（2）求直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）某超市为了了解顾客结算时间的信息, 安排一名工作人员收集, 整理了该超市时.（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率;（2）X 表示至第2分钟末已结算完的顾客人数, 求X 的分布列及数学期望. (注: 将频率为概率)20. （本小题满分12分）如图, 设,A B 两点的坐标分别为()),.直线,AP BP相交于点P ,且它们的斜率之积为12-. （1）求点P 的轨迹C 的方程;（2）若直线MN 与轨迹C 相交于,M N 两点, 且2MN =,求坐标原点O 到直线MN 距离的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数()()21ln 1x f x k x x x-=-≥. （1）若()0f x ≥恒成立, 求k 的取值范围;（2 2.2361=,试估计5ln4的值.( 精确到0.001) 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线,PAB C 为切点,OD BC ⊥, 垂足为D .（1）求证:2AC CP AP BD =;（2）若,,AP AB BC 依次成公差为1的等差数列, 且PC =求AC 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线6:3cos 4sin l ρθθ=-+,曲线35cos :(55sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数).（1）将直线l 化成直角坐标方程, 将曲线C 化成极坐标方程; （2）若将直线l 向上平移m 个单位后与曲线C 相切, 求m 的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5,2f x x x a x R =-+-∈. （1）求证: 当12a =-时, 不等式()ln 1f x >成立;（2）关于x 的不等式()f x a ≥在R 恒成立, 求实数a 的最大值.（炎德·英才大联考）湖南师范大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学（理）参与答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.BCBAA 6-10.ABCDA 二、填空题（每小题5分，共20分）13.13 14.()2,3 15.316.524 三、解答题17.解：（1）()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==（2）由()sin 23f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,得sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又A 为锐角,3A π∴=. 设BC 的中点为D ,则()()222111119,24922324424AD AB AC AD AB AC AB AC ⎛⎫=+∴=++=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,19AD ∴=BC ∴18. 解：（1）连结AC 交BD 于M ,连结,MN 四边形ABCD 是矩形,M ∴是AC 的中点,N 是CF 的中点,MN AF ∴, 又AF ⊄平面,BDN MN ⊂平面,BDN AF ∴平面BDN .（2）取BC 的中点,P AD 的中点Q ，连结PQ ,过F 作FO PQ ⊥交PQ 于点O ,,,,BC FP BC PQ PQ FP P BC ⊥⊥=∴⊥面,EFPQ FO ⊂面EFPQ ,BC FO ∴⊥,又,,FO PQ PQBC P FO ⊥=∴⊥平面ABCD.如图, 以O 为坐标原点,x 轴AB ⊥,y 轴BC ⊥建立空间直角坐标系,,ADE FBC ∆∆ 为等边三角形,∴ 梯形EFPQ 为等腰梯形,()11131111,,,0,,,0,,,022*******OP AB EF OF A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=∴=∴-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11,,44F N ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭. ()132310,2,0,,,,,2244AB AF BN ⎛⎫⎛∴==-=-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =,则200,130022y n AB x y z n AF =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨-+==⎪⎪⎩⎩,令z =()32,0,2,1,6,n n BN n BN =∴=-==,cos n BN n BN n BN∴==-,∴直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为2cos n BN =. 19. 解：设Y 表示顾客结算所需的时间.用頻率估计概率,得Y 的分布如下：（1）表示事件“第三个顾客恰好等待分钟开始结算”, 则时间A 对应三种情形: ①第一个顾客结算所需的时间为1分钟, 且第二个顾客结算所需的时间为3分钟; ②第一个顾客结算所需的时间为3分钟, 且第二个顾客结算所需的时间为1分钟; ③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟. 所以()0.10.30.30.10.40.40.22P A =⨯+⨯+⨯=. （2）X 所有可能的取值为:0,1,2.① 0X =对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟, 所以()()020.5P X P Y ==>=; ② 1X =对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟, 且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟, 或第一个顾客结算所需的时间为2分钟,所以()10.10.90.40.49P X ==⨯+=; ③2X =对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟, 所以()20.10.10.01P X ==⨯=; 所以X 的分布列为00.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）设点M 的坐标为(),x y ,则,AM BM k x k x =≠=≠.(122x x =-≠-,化简得P 的轨迹方程为(2212x y x +=≠. （2）① 若MN 垂直于x 轴, 此时MN 为椭圆的短轴,∴原点到直线MN 的的距离为0. ②若MN 与x 轴不垂直, 设直线MN 的方程为y kx b =+,原点O 到直线MN 的距离为h ,由2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得:()()()2222222124220,1681210k x kbx b k b k b +++-=∆=-+->,()2221,...b k ∴<+*设()()1122,,,M x y N x y ,则()2121222214,.1212b kbx x x x k k --+==++()()222228142,141212b kb MN k k k ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥==∴+--= ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 整理得()22221121,11,0111b k k k =-+≥∴<≤++, 即()20211b <-≤,即2112b ≤<,满足()*式()222222221111,2122122b b h b b b k ⎛⎫∴≤<==-=--+ ⎪+⎝⎭,∴当212b =时,2h 取得最大值为12, 即h 的最大值为2. 21. 解：（1）()221'x kx f x x-+=. ①当22k -≤≤时,2240,10k x kx -≤-+≥ 恒成立, 所以[)1,x ∈+∞时,()()'0,f x f x ≥ 单调递增,()()10fx f ≥= 恒成立.②当22k k <->或时,()'0f x =, 解得12x x ==,且1212,1x x k x x +==.(ⅰ) 若2k <-,则120,0x x <<,[)1,x ∴∈+∞时,()()'0,f x f x ≥ 单调递增,()()10f x f ≥= 恒成立.(ⅱ) 若2k >,则121,1x x <>,当()21,x x ∈时,()()'0,f x f x < 单调递减,()()10f x f <=, 这与()0f x ≥恒成立矛盾, 综上所述,k 的取值范围为(],2-∞.（2）由得212ln x x x -≥在[)1,+∞上恒成立, 取1x =>得即5ln 0.223614<==,由（1）得2k >时,21ln x k x x -< 在⎛ ⎝⎭时恒成立,=,解得k =取2k =>,则有21x x x -<在⎛ ⎝上恒成立,取x =52ln 0.22221049∴>≈,50.2222ln 0.223614<<(精确到0.001). 取5ln 0.2234=. 22. 解：（1）PC ∴为圆O 的切线,,PCA CBP ∴∠=∠ 又CPA CPB ∠=∠,故CAP BCP ∠∆，AC AP BC PC∴= 即AP BC AC CP =, 又2,2BC BD AC CP AP BD =∴=.（2）设()0AP x x =>,则1,2AB x BC x =+=+,由切割定理可得()2,2121,0,3,5PA PB PC x x x x BC =∴+=>∴=∴=,由（1）知,35,AP BC AC CP AC =∴⨯=∴=. 23. 解：（1）直线l 的参数方程化为3cos 4sin 60ρθρθ++=,则由cos ,sin x y ρθρθ==,得直线l 的直角坐标方程为3460x y ++=,由35cos 55sin x y αα=+⎧⎨=+⎩,消去参数α,得()()223525x y -+-=,即()2261090x y x y +--+=*,由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==,代入()*可得曲线C 的极坐标方程为26cos 10sin 90ρρθρθ--+=.（2）设直线':340l x y t ++=与曲线C 相切, 由（1）知曲线C 的圆心为()3,5半径为5,5=,解得4t =-或54t =-,所以'l 的方程为3440x y +-=或34540x y +-=, 即314y x =-+或32742y x =-+,又将直线l 的方程化为3342y x =--,所以35122m ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭或2731522m ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 24. 解：（1）由()122,251153,2222522,2x x f x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩,得函数()f x 的最小值为3,从而()()3,ln 1f x e f x ≥>∴>成立.（2）由绝对值的性质得()()555222f x x x a x x a a ⎛⎫=-+-≥---=- ⎪⎝⎭, 所以()f x 的最小值为52a -,从而52a a -≥,解得54a ≤,因此a 的最大值为54.。
湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期月考(四)文数试题 含答案
数学（文）试题第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1.已知全集{}|16,U x x x Z =≤≤∈，集合{}1,3,4A =，集合{}2,4B =,则()UA B =( ）A ．{}1,2,4,6B ．{}2,3,4,6C ．{}2,4,5,6D ．{}2,62.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病,得到22⨯列联表,经计算得2 5.231K =，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下,2( 3.841)0.05P K≥=,2( 6.635)0.01P K ≥=，则该研究所可以（ ）A ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”B ．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”C ．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关"D ．有99％以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 3。
“0x <”是“20xx +<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知a R ∈，i 是虚数单位，命题p :在复平面内,复数121z a i=+-对应的点位于第二象限；命题q ：复数2z a i =-的模等于2，若p q ∧是真命题，则实数a 的值等于（ ） A ．1-或1B ．3-3C ．5-D ．3-5.在△ABC 中,角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知22ab bc -=,sin 2sin C B =，则A =（ ） A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π6.若0a b >>，1c >，则( ） A ．loglog ab c c > B ．logca log cb >C ．cc ab < D ．a bc c <7。
已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>,||2πϕ<）的周期为π,其图像向右平移23π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象，则ϕ等于( ） A ．6π-B ．6πC ．3π-D ．3π8。
湖南师大附中2024高三月考数学试卷四
1、设集合A = {x | x是小于8的正整数}，B = {x | x是3的倍数}，则A ∩ B =A. {3, 6}B. {1, 3, 6}C. {3, 6, 9}D. {1, 2, 3, 6}解析：集合A包含小于8的正整数，即A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。
集合B包含所有3的倍数。
取两集合的交集，即找出同时满足小于8且为3的倍数的数，得到A ∩B = {3, 6}。
（答案：A）2、若复数z满足(1 - i)z = 2i，则z等于A. 1 + iB. -1 + iC. 1 - iD. -1 - i解析：由(1 - i)z = 2i，得z = 2i / (1 - i)。
为了消去分母中的虚部，分子分母同时乘以共轭复数(1 + i)，得到z = (2i(1 + i)) / ((1 - i)(1 + i)) = (2i + 2i2) / (1 - i2) = (2i - 2) / 2 = -1 + i。
（答案：B）3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，S3 = -3，则a4 =A. -3B. -5C. -6D. -7解析：等差数列前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
由S3 = -3，代入a1 = 1，n = 3，得-3 = 3/2 * (21 + 2d)，解得公差d = -2。
因此，a4 = a1 + 3d = 1 + 3(-2) = -5。
（答案：B）4、下列命题中正确的是A. 若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB. 若直线l在平面α外，则l//αC. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面D. 若直线l与平面α平行，且l⊂平面β，则平面α//平面β解析：A选项错误，因为直线l也可能在平面α内；B选项错误，直线l也可能与平面α相交；C选项正确，根据线面平行的性质定理，直线l与平面α平行意味着l与平面α内的任意直线要么平行，要么异面；D选项错误，平面α与平面β可能相交。
【全国百强校】湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第四次月考理数试题解析01(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数z 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i ·z ＝1＋i(其中i 为虚数单位)，则|z |为（ ）A ．2 B. 2 C ．2(3＋1) D ．2(3－1) 【答案】B考点：复数的运算，复数的模. 2．“cos α＝32”是“cos 2α＝12”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由倍角公式可知当211cos 22cos 23cos 2=-=⇒=ααα所以“cos α=”是“1cos 22α=”的充分条件，同理可得2312cos 22cos ±=+⨯±=αα，可见“cos α=1cos 22α=”的不必要条件，故本题的正确选项为A. 考点：充要条件与必要条件.3．已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x ＋1)＝f (1－x )，且函数f (x )在[1，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 20)，则{a n }的前25项之和为（ ） A ．0 B.252C ．25D ．50【答案】C考点：等差数列的性质，周期函数.4．为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（ ）A.110B.325C.115D.130 【答案】C 【解析】试题分析：将连续的10天编号为10,9,8,7,6,5,4,3,2,1，任意选择3天的选择方法为310C ，能连续的3天分别是(1,2,3)(2,3,4)(3,4,5)(4,5,6)(5,6,7)(6,7,8,)(7,8,9)(8,9,10)共8种选择方法，所以选择的3天恰好为连续3天的概率是1518310=C ，故本题的正确选项为C. 考点：组合的概率计算.5．如图，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是（ ）A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．四边形EFGH 可能为梯形【答案】D 【解析】试题分析：假设平面EFGH 的法向量为，则有FG n EH n ⊥⊥,，又因为1111////C B D A EH ，所以11C B ⊥，GF C B GF GF C B C B 111111面，面∈∈，且n 不是面GF C B 11的法向量，由11C B ⊥，FGn ⊥可知，11//C B FG ，则EH FG EH FG =,//，可见四边形FG E H 是矩形，所以A ，B ，C 选项都正确，正确的选项为D.考点：法向量的运用，线线平行的判定.【方法点睛】本题主要利用横截面来证明线线平行，充分利用法向量的性质来证明线线平行；本题也可根据四个选项的共同点来进行筛选答案，A ，B ，C 选项中，FG EH //，EFGH 是矩形，Ω是棱柱，都有共同的结论：FG EH //，而D 项中，EFGH 可能为梯形可得出EH 与FG 不平行，假如D 是正确的结论，那么A ，B ，C 都是错误的，很显然这不合理，所以错误的结论是D.6．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数A ，男生平均分M ，女生平均分W ；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数(负数)，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入（ ） A ．T >0？，A ＝M ＋W 50B ．T <0？，A ＝M ＋W 50C ．T <0？，A ＝M －W 50D ．T >0？，A ＝M －W50【答案】D 【解析】试题分析：因为男生平均分为M ，所以条件应该为0>T ，即当0>T 时，执行T M M +=，否则执行T W W +=，对于输出结果，处理结果中已有男生平均分以及女生平均分，缺少全班平均分，因为女生成绩记为负数，所以全班总成绩为W M -，则平均分为50WM -，故本题正确选项为D. 考点：循环结构，条件结构.7．如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A ．16πB ．π12C ．8πD ．4π【答案】B考点：三视图，球体表面积.8．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是（ ）A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，103B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103【答案】D 【解析】试题分析：本题可先求得x y 的范围，在求z 的范围。
湖南师范大学附属中学2017届高三上学期第一次月考理数试题 含解析
第一次月考数学（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合{}{}2|03,|4A x x B x x =<≤=<，则集合AB =( )A ．(),2-∞-B ．(]2,3-C ．()0,+∞D ．(),3-∞ 【试题解析】本题考查并集概念及不等式求解.解一元二次不等式得，在数轴上将集合集合表示的区域表示出来，是集合和集合中元素的合并,即,故而正确选项为B.【答案】B2。
已知命题:p “0a ∀>，有1xe ≥成立”，则p ⌝为（ )A ．0a ∃≤，有1x e ≤成立B ．0a ∃≤，有1xe ≥成立 C ．0a ∃>，有1xe <成立 D ．0a ∃>,有1xe ≤成立 【试题解析】解析：本题考查命题的否定.全称命题的否定为.因此选C 。
【答案】C3。
有一长、宽分别为50,30m m 的游泳池,一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同,一人在池中心（对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出 152m ，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域） 的概率是（ ） A ．34 B ．38 C ．316π D ．12332π+ 【试题解析】解析：本题考查几何概率.如右图，工作人员的巡视路线是A —B-C-D —A ，呼救者的声音传播区域是以为圆心半径为的圆.因此工作人员仅在在圆与矩形相交的弦和上能听到呼救，概率为。
如图，过圆心做于,，勾股定理可求得， ，，所求概率为,选B【答案】B4。
设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上, 则该抛物线的准线方程为（ ) A ．4x =- B ．3x =- C ． 2x =- D ．1x =- 【试题解析】解析：本题考查抛物线基本性质。
焦点坐标为，准线方程为。
将点代入直线方程可求得，从而准线方程为，选A【答案】A5。
湖南师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期月考(三)数学(文)试题 Word版含答案
炎德·英才大联考湖南师大附中2017-2018学年高三月考试卷(三)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)集合M ＝{x |log 2(1－x )<0}，集合N ＝{x |－1≤x ≤1}，则M ∩N 等于(D)(A)1－1，1) (B)10，1) (C)1－1，1] (D)(0，1)(2)若复数z 满足(3＋3i)z ＝3i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为(C) (A)32－32i (B)32＋32i (C)34－34i (D)34＋34i (3)在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝(C) (A)12 (B)18 (C)24 (D)30(4)设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log x ()x 2＋0.3(x >1)，则a ，b ，c 的大小关系是(B)(A)a <b <c (B)b <a <c (C)c <b <a (D)b <c <a(5)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为(A)(A)13 (B)14 (C)15 (D)16(6)右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点(D)(A)向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(B)向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变(C)向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(D)向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变(7)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5（x ≤1）a x （x >1）是R 上的增函数，则a 的取值范围是(C)(A)－3≤a <0 (B)a ≤－2 (C)－3≤a ≤－2 (D)a <0(8)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于(C)(A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (9)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是(B)【解析】由题意得，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝1－e x1＋e x ·cos x ，所以f (－x )＝1－e －x1＋e －x ·cos(－x )＝e x－11＋e x ·cos x ＝－f (x )，所以函数f ()x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令x ＝1，则f ()1＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e 1－1cos 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 1＋e cos 1<0，故选B.(10)执行如图所示的程序框图，输入p ＝10，则输出的A 为(C)(A)－12 (B)10 (C)16 (D)32【解析】第1次执行循环体：S ＝S －2n ＋10＝0－2＋10＝8>A ＝0，是，A ＝S ＝8，n ＝1≥p ＝10，否，n ＝2n ＝2；第2次执行循环体：S ＝S －2n ＋10＝8－4＋10＝14>A ＝8，是，A ＝S ＝14，n ＝2≥p ＝10，否，n ＝2n ＝4；第3次执行循环体：S ＝S －2n ＋10＝14－8＋10＝16>A ＝14，是，A ＝S ＝16，n ＝4≥p ＝10，否， n ＝2n ＝8；第4次执行循环体：S ＝S －2n ＋10＝16－16＋10＝10>A ＝16，否，n ＝8≥p ＝10，否， n＝2n ＝16；第5次执行循环体：S ＝S －2n ＋10＝10－32＋10＝－12>A ＝16，否，n ＝16≥p ＝10，是，输出A ＝16，故选C.(11)在体积为43的三棱锥S －ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，SA ＝SC ，且平面SAC ⊥平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是(B)(A)823π (B)92π (C)272π (D)12π【解析】△ABC 外接圆圆心为AC 中点D ，连接SD ，则由平面SAC ⊥平面ABC 及SA ＝SC ，知SD ⊥平面ABC ，且球心O 在SD 上，则13S △ABC ×SD ＝43，解得SD ＝2.设三棱锥S －ABC 外接球半径为R ，则R ＝OS ＝OB ，所以在Rt △ODB 中，OB 2＝BD 2＋OD 2，即R 2＝(2)2＋(2－R )2，解得R ＝32， 故所求球的体积为V ＝43πR 3＝92π，故选B.(12)设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0ax ＋y －1≤03x －2y －2≤0，若z ＝x 2－10x ＋y 2的最小值为－12，则实数a 的取值范围是(D)(A)a <32 (B)a <－32(C)a ≥12 (D)a ≤－12【解析】由题意作平面区域如下，∵z ＝x 2－10x ＋y 2＝(x －5)2＋y 2－25的最小值为－12，∴(x －5)2＋y 2的最小值为13，直线ax ＋y －1＝0恒过点A (0，1)， 直线y ＝32x －1与圆(x －5)2＋y 2＝13相切于点B (2，2)；∵ax ＋y －1＝0可化为y ＝－ax ＋1，故－a ≥k AB ＝12，故a ≤－12，故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若|a |＝1，||b ＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，那么a 与b 的夹角为__120°__． (14)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是__－1__．【解析】圆的半径是4，△ABC 是直角三角形，则圆心C 到直线AB 的距离为22， 所以||a ＋a －2a 2＋1＝22，解得a ＝－1.(15)如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为__4＋2π3__．【解析】相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为13π·2＋2·2·1＝4＋2π3.(16)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是__⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1__．【解析】f (x )<0⇔e x(2x －1)<ax －a ，记g (x )＝e x(2x －1)，则题意说明存在唯一的整数x 0，使g (x )的图象在直线y ＝ax －a 下方，g ′(x )＝e x(2x ＋1)，当x <－12时，g ′(x )<0；当x >－12时，g ′(x )>0，因此当x ＝－12时，g (x )取得极小值也是最小值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2e －12，又g (0)＝－1，g (1)＝e>0，直线y ＝ax －a 过点(1，0)且斜率为a ，故⎩⎪⎨⎪⎧－a >g （0）＝－1g （－1）＝－3e －1≥－a －a ，解得32e ≤a <1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m·n.(Ⅰ)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值；(Ⅱ)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足 (2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (2A )的取值范围．【解析】(Ⅰ)f (x )＝m·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， 由f (x )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.(5分)(Ⅱ)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，又0<B <π2，所以B ＝π3，则A ＋C ＝23π，A ＝23π－C ，又0<C <π2，0<A <π2，则π6<A <π2，得π3<A ＋π6<2π3，所以32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤1，又因为f (2A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12，故函数f (2A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12，32.(12分) (18)(本小题满分12分)如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成60°的二面角B －AD －C ，如图2.(Ⅰ)证明：平面ABD ⊥平面BCD ；(Ⅱ)设E 为BC 的中点，求异面直线AE 与BD 所成的角．【解析】(Ⅰ)因为折起前AD 是BC 边上的高，则当△ABD 折起后，AD ⊥CD ，AD ⊥BD .(2分)又CD ∩BD ＝D ，则AD ⊥平面BCD .(3分)因为AD ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD .(4分)(Ⅱ)取CD 的中点F ，连结EF ，则EF ∥BD ， 所以∠AEF 为异面直线AE 与BD 所成的角．(6分)连结AF 、DE .设BD ＝2，则EF ＝1，AD ＝23，CD ＝6，DF ＝3.在Rt △ADF 中，AF ＝AD 2＋DF 2＝21.(8分) 在△BCD 中，由题设∠BDC ＝60°，则BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ＝28，即BC ＝27， 从而BE ＝12BC ＝7，cos ∠CBD ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝－127.在△BDE 中，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos ∠CBD ＝13. 在Rt △ADE 中，AE ＝AD 2＋DE 2＝5.(11分)在△AEF 中，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22AE ·EF ＝12.所以异面直线AE 与BD 所成的角为60°.(12分) (19) (本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝32(a n －1)．(Ⅰ)求a 1的值，并求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }为等差数列，且b 3＋b 5＝－8，2b 1＋b 4＝0.设c n ＝a n ·b n ，数列{c n }的前n项和为T n ，证明：对任意n ∈N *，T n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －52·3n ＋1是一个与n 无关的常数．【解析】(Ⅰ)当n ＝1时，S 1＝32(a 1－1)，即2a 1＝3a 1－3，所以a 1＝3.(1分)因为S n ＝32(a n －1)，则S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2)．两式相减，得a n ＝32(a n －a n －1)，即a n ＝3a n －1(n ≥2)．(4分)所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，故a n ＝a 1·qn －1＝3·3n －1＝3n.(5分)(Ⅱ)因为b 3＋b 5＝2b 4＝－8，则b 4＝－4.又2b 1＋b 4＝0，则b 1＝2.(7分)设{b n }的公差为d ，则b 4－b 1＝3d ，所以d ＝－2，所以b n ＝2＋(n －1)×(－2)＝4－2n .(8分)由题设，c n ＝(4－2n )·3n ，则T n ＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n )·3n. 3T n ＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n )·3n ＋(4－2n )·3n ＋1.(9分)两式相减，得－2T n ＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n－(4－2n )·3n ＋1＝6－2(32＋33＋…＋3n )－(4－2n )·3n ＋1.所以T n ＝－3＋9（1－3n －1）1－3＋(2－n )·3n ＋1＝－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－n ·3n ＋1.(11分)故T n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －52·3n ＋1＝－152为常数．(12分)(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M 、N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1， 因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝||AF 1＋||AF 2＝22， 因此a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(5分)(Ⅱ)椭圆C 上不存在这样的点Q ，证明如下：设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t x 22＋y 2＝1消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t 9且－3<t <3，(8分)由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159，又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，因此点Q 不在椭圆上．(12分)(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2，g ()x ＝a ln x .(Ⅰ)若曲线y ＝f (x )－g (x )在x ＝1处的切线的方程为6x －2y －5＝0，求实数a 的值； (Ⅱ)设h (x )＝f (x )＋g (x )，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>2恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若在[]1，e 上存在一点x 0，使得f ′(x 0)＋1f ′（x 0）<g (x 0)－g ′(x 0)成立，求实数a的取值范围．【解析】(Ⅰ)由y ＝f ()x －g ()x ＝12x 2－a ln x ，得y ′＝x －ax ，由题意，1－a ＝3，所以a ＝－2.(2分) (Ⅱ)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12x 2＋a ln x ，因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）x 1－x 2>2，设x 1>x 2，则h (x 1)－h (x 2)>2(x 1－x 2)，即h (x 1)－2x 1>h (x 2)－2x 2恒成立，问题等价于函数F (x )＝h (x )－2x ，即F (x )＝12x 2＋a ln x －2x 在(0，＋∞)为增函数．(4分)所以F ′(x )＝x ＋a x－2≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －x 2在(0，＋∞)上恒成立， 所以a ≥(2x －x 2)max ＝1，即实数a 的取值范围是[)1，＋∞.(6分)(Ⅲ)不等式f ′(x 0)＋1f ′（x 0）<g (x 0)－g ′(x 0)等价于x 0＋1x 0<a ln x 0－ax 0，整理得x 0－a ln x 0＋1＋ax 0<0.设m (x )＝x －a ln x ＋1＋a x，由题意知，在[]1，e 上存在一点x 0，使得m ()x 0<0.(8分)由m ′(x )＝1－a x －1＋a x 2＝x 2－ax －（1＋a ）x 2＝（x －1－a ）（x ＋1）x 2.因为x >0，所以x ＋1>0，令m ′(x )＝0，得x ＝1＋a . ① 当1＋a ≤1，即a ≤0时，m (x )在11，e]上单调递增， 只需m (1)＝2＋a <0，解得a <－2.(10分)② 当1<1＋a ≤e ，即0<a ≤e －1时，m (x )在x ＝1＋a 处取最小值． 令m (1＋a )＝1＋a －a ln(1＋a )＋1<0，即a ＋1＋1<a ln(a ＋1)，可得a ＋1＋1a<ln(a ＋1)． 考查式子t ＋1t －1<ln t ，因为1<t ≤e ，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．(11分)③ 当1＋a >e ，即a >e －1时，m (x )在11，e]上单调递减， 只需m (e)＝e －a ＋1＋a e <0，解得a >e 2＋1e －1.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.(12分)请考生在(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π4 (ρ∈R )，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝sin θ.(Ⅰ)写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若||MA ·||MB ＝83，求点M 轨迹的直角坐标方程．【解析】(Ⅰ)直线l ：y ＝x ，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1，(4分)(Ⅱ)设点M (x 0，y 0)，过点M 的直线为l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22t y ＝y 0＋22t (t 为参数)由直线l 1与曲线C 相交可得32t 2＋2(x 0＋2y 0)t ＋x 20＋2y 20－2＝0，由||MA ·||MB ＝83得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋2y 20－232＝83，即x 206＋y 203＝1表示椭圆．取y ＝x ＋m 代入x 22＋y 2＝1得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，由Δ>0⇒－3<m <3，故点M 的轨迹是椭圆x 26＋y 23＝1夹在平行直线y ＝x ±3之间的两段椭圆弧．(10分)(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|－a . (Ⅰ)若a ＝1，求不等式f (x )>x ＋2的解集；(Ⅱ)若不等式f (x )≤a (x ＋2)的解集为非空集合，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当a ＝1，不等式|x ＋1|＋2|x －1|－1>x ＋2，即为|x ＋1|＋2|x －1|>x ＋3，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－11－3x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤13－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x >13x －1>x ＋3⇒x <－1或－1≤x <0或x >2， 所以所求不等式的解集为{x |x <0或x >2}．(5分)(Ⅱ)由f (x )≤a (x ＋2)⇒|x ＋1|＋2|x －1|－a ≤a (x ＋2)，即|x ＋1|＋2|x －1|≤a (x ＋3)． 设g (x )＝|x ＋1|＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ，x <－1，3－x ，－1≤x ≤1，3x －1，x >1.如图，P (－3，0)，k PA ＝12，k PD ＝k BC ＝－3.故由题可知a <－3或a ≥12，即a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(10分)。
精品解析：【全国百强校】湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(理)试题(解析版)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求得集合，进而得到集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，可知，则，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数，给出下列四个结论：①；②；③的共轭复数；④的虚部为.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意，根据复数，利用模的公式和复数的运算、及共轭复数的概念等，即可逐一判定，得到答案. 【详解】由已知，则，，，的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模、共轭复数的概念及复数的运算法则，其中熟记复数的相关概念和复数的运算法则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3.若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. -1 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再由向量在方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案. 【详解】利用向量垂直的充要条件有：，∴，则向量在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把进制数（共有位）化为十进制数的程序框图，执行该程序框图，若输入的，，分别为5，1203，4，则输出的（）A. 178B. 386C. 890D. 14303【答案】A【解析】【分析】根据题设的程序框图，得到该程序的计算功能，即可求解，得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出.故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.若，则（）A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．6.若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数过点时取得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得.故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．7.气象意义上，从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据的中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区的有（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①【答案】B【解析】试题分析：由统计知识①甲地：个数据的中位数为，众数为可知①符合题意；而②乙地：个数据的中位数为，总体均值为中有可能某一天的气温低于，故不符合题意，③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．若由有某一天的气温低于则总体方差就大于，故满足题意，选C考点：统计初步8.平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，得到，在根据正方形的性质，即可求解.【详解】如图所示，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，平面平面，∴，又∵，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角为为.故选D.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了.9.对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）A. 2022B. 1011C. 2020D. 1010【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.【详解】由，得，①，②①-②得，即，，所以.故选B.【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】。
【全国百强校】湖南师范大学附属中学2017届高三下学期高考模拟卷(一)数学(理)试题答案(PDF版)
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湖南师大附中2017届高三月考试卷(七)文数试题_word版有答案-(数学)AKnAlU
炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1M x x =<，{}2,x N y y x M ==∈，则集合()R C M N I 等于（ ） A.[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦UB.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.[)1,+∞2.已知复数()41biz b R i+=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列说法中正确的是（ ）A.若分类变量X 和Y 的随机变量2K 的观测值k 越大，则“X 与Y 相关”的可信程度越小B.对于自变量x 和因变量y ，当x 取值一定时，y 的取值具有一定的随机性，x ，y 之间的这种非确定关系叫做函数关系C.相关系数2r 越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱D.若分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小4.下图是2016年某市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字.这些数据的中位数是 ，去掉一个最低分和一个最高分后所剩数据的平均数是（ ） A.86.5，86.7B.88；86.7C.88；86.8D.86.5；86.85.在如图所示的知识结构图中：“求简单函数的导数”的“上位”要素有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ）A.因为函数()sin y x x R =∈的值域为[]1,1-，21x R -∈，所以()()sin 21y x x R =-∈的值域也为[]1,1-B.昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C.在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a b ∥，b c ∥，则a c ∥，将此结论放到空间中也是如此D.如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距离地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论7.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ）A.310B.10 C.5 D.5 8.已知()f x 满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=，且0x ≥时，()x f x e m =+（m 为常数），则()ln5f -的值为（ ） A.4B.4-C.6D.6-9.若实数数列：1－，1a ，2a ，3a ，81-成等比数列，则圆锥曲线2221y x a +=的离心率是（ ） A.13或10 B 砑10或22C.22D.1010.四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E ，F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为（ ）A.12πB.24πC.36πD.48π11.设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A.0B.1C.94D.312.已知,a b 是实数，1和1-是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点，设()()()h x f f x c =-，其中()2,2c ∈-，函数()y h x =的零点个数为（ ） A.8B.11C.10D.9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．14.已知ABC △的外接圆的半径为8，且sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC △的面积为 ． 15.已知O 为三角形ABC 的外心，2AB a =，2AC a=，120BAC ∠=︒，若AO xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则36x y +的最小值为 ．16.设函数3,ln ,x x x e y a x x e 2⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点P ，Q ，使得POQ △是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在等比数列{}n a 中，已知418a a =，且1a ，21a +，3a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}4n a -的前n 项和n S . 18.已知二次函数()242f x ax bx =-+.（1）任取()(){},,460,0,0a b a b a b a b ∈+-≤>>，记“关于x 的方程()0f x =有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B ，求B 发生的概率.19.如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R 分别在线段DH ，HB 上，且DG BRGH RH=，将AED △，CFD △，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示.（1）求证：GR ⊥平面PEF ；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P DEF -的内切球的半径.20.如图，设双曲线()22122:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为F ，上顶点为A ，点B 为双曲线虚轴的左端点，已知1C 的离心率为23，且ABF △的面积31S =-.（1）求双曲线1C 的方程；（2）设抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F ，动直线l 与2C 相切于点P ，与2C 的准线相交于点Q ，试推断以线段PQ 为直径的圆是否恒经过y 轴上的某个定点M ？若是，求出定点M 的坐标；若不是，请说明理由.21.已知()x f x e =，()22g x x x a =-++，a R ∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =的单调性；（2）记()()(),0,0f x x xg x x ϕ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，设()()11,A x x ϕ，()()22,B x x ϕ为函数()x ϕ图象上的两点，且12x x <.（i ）当0x >时，若()x ϕ在A ，B 处的切线相互垂直，求证：211x x -≥； （ii ）若在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围.22.已知直线l 的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上. （1）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求FA FB ⋅的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值. 23.设()11f x x x =-++. （1）求()2f x x ≤+的解集； (2)若不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷（七）数学（文科）参考答案一、选择题1-5:ABDCC 6-10:CBBDA 11、12：BD二、填空题13.1和 15.6+10,1e ⎛⎤ ⎥+⎝⎦三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则34118a a q a =⋅=，∴2q =， 又123,1,a a a +成等差数列，即()21321a a a +=+，∴12a =， ∴2n n a =.（2）当1n =时，1420a -=-<，∴12S =， 当2n ≥时，40n a -≥，∴()()()2224422241n n n S a a n =+-++-=+++--…… ()()12124124212n n n n +-=--=-+-，又当1n =时，上式也满足. ∴当*n N ∈时，1242n n S n +=-+.18.解：（1）因为a 有3种取法，b 有5种取法，则对应的函数有3515⨯=个， 因为函数()f x 的图象关于直线2b x a=对称，若事件A 发生，则0a >且21ba ≤，数对(),a b 的取值为()1,1-，()2,1-，()2,1，()3,1-，()3,1共5种. 所以()51153P A ==. （2）集合(){},460,0,0a b a b a b +-≤>>对应的平面区域为Rt AOB △，如图，其中点()6,0A ，30,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AOB △的面积为1396222⨯⨯=，若事件B 发生，则()10f <，即420a b -+<. 所以事件B 对应的平面区域为BCD △. 由460420a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为()2,1D .又10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，则BCD △的面积为13121222⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以()29BCD AOB S P B S ==△△.19.解：（1）在正方形ABCD 中，A ∠，B ∠，C ∠为直角， ∴在三棱锥P DEF -中，PE ，PF ，PD 三条线段两两垂直， ∴PD ⊥平面PEF ， ∵DG BR GH RH =，即DG PRGH RH=，∴在PDH △中，RG PD ∥， ∴GR ⊥平面PEF .（2）正方形ABCD 边长为4，由题意，2PE PF ==，4PD =，EF =DF =，∴2PEF S =△，4DPF DPE S S ==△△，162DEF S =⨯=△.设三棱锥P DEF -内切球半径为r ，则三棱锥的体积()11224263P DEF PEF DPF DEF V S S S r -=⨯⨯⨯=++⋅△△△，∴12r =，即三棱锥P DEF -的内切球的半径为12. 20.解：（1）由已知c a =2a =，则2243a c =，即()22243a a b =+，得a =，2cb =， 又()112c a b -=()22bb =1b =. 从而a 2c =，所以双曲线1C 的方程为2213y x -=.（2）由题设，抛物线2C 的方程为28x y =，准线方程为2y =-，由218y x =，得1'4y x =，设点2001,8P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线l 的方程为()20001184y x x x x -=-，即2001148y x x x =-，联立2y =-，得20016,22x Q x ⎛⎫--⎪⎝⎭， 假设存在定点()0,M m 满足题设条件，则0MP MQ ⋅=u u u r u u u u r对任意点P 恒成立，因为2001,8MP x x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，20016,22x MQ m x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭u u u ur ，则()22001612028x m x m -⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即()2022808m x m m -++-=对任意实数0x 恒成立， 所以()20280m m m -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，即2m =，故以PQ 为直径的圆恒经过y 轴上的定点()0,2M .21.解：（1）()()22x h x e x x a =-++，则()()2'2x h x e x a ⎡⎤=--+⎣⎦，当20a +≤即2a ≤-时，()'0h x ≤，()h x 在R 上单调递减，当20a +>时即2a >-时，()()(2'2x x h x e x a e x x ⎡⎤=--+=-⎣⎦，此时()h x在(,-∞和)+∞上都是单调递减的，在(上是单调递增的；（2）（i ）()'22g x x =-+，据题意有()()1222221x x -+-+=-，又120x x <<， 则1220x -+>且2220x -+<，()()1222221x x ⇒-+-=， 法1：()()21121222212x x x x -=-++-≥=⎡⎤⎣⎦，当且仅当()()1222221x x -+=-=即112x =，232x =时取等号. 法2：()211141x x =+-，()1211110111141x x x x x <-<⇒-=-+≥=-， 当且仅当()111111412x x x -=⇒=-时取等号.（ii ）要在点A B ，处的切线重合，首先需要在点A B ，处的切线的斜率相等，而0x <时，()()()''0,1x x f x e ϕ==∈，则必有1201x x <<<，即()11,x A x e ，()2222,2B x x x a -++，A 处的切线方程是：()()1111111x x x x y e e x x y e e x -=-⇒=+-B 处的切线方程是：()()()22222222y x x a x x x --++=-+-， 即()22222y x x x a =-+++， 据题意则()()1111212122244481x x x x e x a e e x e x x a⎧=-+⎪⇒+=-+-⎨-=+⎪⎩，()1,0x ∈-∞， 设()()48x x p x e e x =-+-，0x <，()()'222x x p x e e x =-+-， 设()22x q x e x =+-，()0'20x x q x e <⇒=+>在(),0-∞上恒成立， 则()q x 在(),0-∞上单调递增()()010q x q ⇒<=-<，则()()'2220x x p x e e x =-+->，()p x ⇒在(),0-∞上单调递增， 则()()07p x p <=，再设()48x r x e x =+-，0x <，()'40x r x e =+>，()r x ⇒在(),0-∞上单调递增，()()070r x r ⇒<=-<，则()()480x x p x e e x =-+->在(),0-∞恒成立， 即当(),0x ∈-∞时，()p x 的值域是()0,7， 故()3440,714a a +∈⇒-<<，即为所求. 22.解：（1）易知曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-，则m =-将直线l的参数方程2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t --=，则122FA FB t t ⋅==.（2）由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C上的动点(),2sin P θθ，则以P为顶点的内接矩形周长为()42sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因此该内接矩形周长的最大值为16. 23.解：（1）由()2f x x ≤+得：201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩，解得02x ≤≤， ∴()2f x x ≤+的解集为{}02x x ≤≤. （2）121111112123a a aa a a a+--=+--≤++-=， 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号，由不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得113x x -++≥，解得：32x ≤-或32x ≥，故实数x 的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .。
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数学（文） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 2.已知命题p：若ab，则22ab；q：“1x”是“2230xx”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是（ ） A．pq B．()pq C．()()pq D．()pq 3.已知等差数列na的前n项和为nS，若27a，686aa，则nS取最大值时，n的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
4.函数2ln||xyx的图象大致为（ ）
5.过抛物线22(0)ypxp的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且||4AB，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是（ ） A．0,4 B．(0,4] C．(0,2] D．(0,2)
6.已知1log(2)nnan（*nN），观察下列算式：1223lg3lg4log3log4lg2lg3aa2；
123456aaaaaa237log3log4log8…lg3lg4lg83lg2lg3lg7…；若122016maaa…
（*mN），则m的
值为（ ） A．201622 B．20162 C．201622 D．201624 7.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）
A．3k B．4k C．5k D．6k 8.已知()fx是奇函数并且是R上的单调函数，若函数2(2)(2)yfxfxm只有一个零点，则函数4()(1)1gxmxxx
的最小值是（ ）
A．5 B．3 C．3 D．5 9.三棱锥PABC中，15ABBC，6AC，PC平面ABC，2PC，则这该三棱锥的外接球表面积为（ ） A．253 B．252 C．833 D．832
10.O为ABC内一点，且20OAOBOC，ADtAC，若B，O，D三点共线，则t的值为（ ） A．13 B．14 C．12 D．23
11.如图，1F，2F是双曲线222124xya（0a）的左、右焦点，过1F的直线l与双曲线交于点A、B，若2ABF为等边三角形，则12BFF的面积为（ ） A．8 B．82 C．83 D．16 12.定义在R上的函数()fx对任意1x，2x（12xx）都有1212()()0fxfxxx，且函数(1)yfx的图象关于(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式22(2)(2)fssftt，则当14s时，2tsst的取值范围是（ ）
A．1[3,)2 B．13,2 C．1[5,)2 D．15,2 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若01a，则关于x的不等式1()()0axxa的解集是 ． 14.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得15DAC，沿山坡前进50m到达B处，又测得45DBC，根据以上数据得cos ．
15.如图，在ABC中，30CABCBA，AC、BC边上的高分别为BD、AE，若以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，则1211ee的值为 ．
16.某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息： ①题目：“在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2221xy的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，„” ②解：“设AB的斜率为k，„点B222122(,)1212kkkk，5(,0)3D，„” 据此，请你写出直线CD的斜率为 ．（用k表示） 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2cos22sin()sin()33CACC．
（1）求角A的值； （2）若3a，ba，求2bc的取值范围． 18.设数列na满足11a，点1(,)nnaa（*nN）均在直线21yx上． （1）证明数列1na为等比数列，并求出数列na的通项公式； （2）若2log(1)nnba，求数列(1)nnab的前n项和nT． 19.如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCDABCD中，60ABC，12AAAC，
1122ABAD，点E在1AD上．
（1）求证：1AA平面ABCD； （2）当1AEED为何值时，1//AB平面EAC，并求出此时直线1AB与平面EAC之间的距离．
20.已知椭圆C的中心在原点，离心率为22，其右焦点是圆E：22(1)1xy的圆心． （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线，分别交y轴于点M、N．试推断是否存在点P，使14||3MN？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21.已知函数21()2ln2fxaxaxx有两个不同的极值点1x，2x，且1212xx． （1）求实数a的取值范围；
（2）设上述a的取值范围为M，若存在021,22x，使对任意aM，不等式20()ln(1)(1)(1)2ln2fxamaa恒成立，求实数m的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是16cos2sin0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy，直线l经过点(3,3)P，倾斜角3． （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （2）设l与曲线C相交于A，B两点，求||AB的值．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|fxx，()2|5|gxmx，若2()(2)fxgx恒成立，实数m的最大值为t． （1）求实数t； （2）已知实数x、y、z满足222236xyza（0a），且xyz的最大值是8t，求a的值． 湖南师大附中2017届高三月考试卷（四）数学（文）答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C B D C B A D A C D 二、填空题 13.1(,)aa 14.31 15.3 16.2324kk 三、解答题 17.解：（1）由已知得2222312sin2sin2(cossin)44ACCC．
化简得3sin2A，故3A或23A． 所以223sin()[3,23)6bcB． 18.（1）证明：由点1(,)(*)nnaanN均在直线21yx上可知121nnaa， 则11(21)12(1)nnnaaa，
于是1121nnaa（*nN）， 即数列1na是以2为公比的等比数列． 因为111(1)2nnaa2n，所以21nna． （2）22log(1)log2nnnban，所以(1)2nnnabn， ∴1231222322nnTn…，① 2312 1222(1)22nnnTnn…，②
①②得
1211212122nnnTn…112(12)22(1)212nnnnn
，
故1(1)22nnTn． 19.（1）证明：因为底面ABCD为菱形，60ABC，所以2ABADAC， 在1AAB中，由22211AAABAB知1AAAB， 同理1AAAD， 又因为ABADA，所以1AA平面ABCD． （2）解：当11AEED时，1//AB平面EAC．证明如下： 连结BD交AC于O，当11AEED时，即点E为1AD的中点时，连结OE，则1//OEAB， 所以1//AB平面EAC， 所以直线1AB与平面EAC之间的距离等于点1A到平面EAC的距离． 因为点E为1AD的中点，可转化为D到平面EAC的距离，DEACEACDVV， 设AD的中点为F，连结EF，则1//EFAA， 所以EF平面ACD，且1EF，可求得3ACDS，
所以131333EACDV， 又2AE，2AC，2CE，72ABCS， 所以1333ABCSd（d表示点D到平面EAC的距离），2217d， 所以直线1AB与平面EAC之间的距离为2217．
20.解：（1）设椭圆方程22221(0)xyabab，半焦距为c， 因为椭圆的右焦点是圆E的圆心，则1c， 因为椭圆的离心率为22，则22ca，即22ac，
从而2221bac，故椭圆C的方程为2212xy．