2016-2017学年新人教A版必修3高中数学 1.3.1 辗转相除法与更相减损术教案 (1)(精品)
高三数学教案 辗转相除法与更相减损术
课题：§1.3 辗转相除法与更相减损术一．教学任务分析:（1）在理解了算法的三种不同表示方式的基础上，结合算法案例----辗转相除法与更相减损术，让学生经历设计算法解决问题的过程，体验算法在解决问题中的作用.(2)通过对具体实例的算法分析，画程序框图，编制程序，上机验证的方法理解掌握辗转相除法与更相减损术.(3)通过转相除法与更相减损术所蕴涵的算法思想,培养学生利用算法解决问题的意识.提高逻辑思维能力.发展有条理的思考与数学表达的能力.二．教学重点与难点：教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.↓↓↓↓1．创设情景，揭示课题1.在小学,2.当公约数比较大(比如求8251与6105的最大公约数？)，我们利用上述方法求解就比第1页共5页较困难,那么应该怎样求它们的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容.2.辗转相除法(1) 例1:求两个正数8251和6105的最大公约数.（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数,可以考虑用两数中的较大的数除以较小的数求商和余数）.解：8251＝6105×1＋2146显然6105与2146的公约数也必是8251与6105的公约数，反过来, 8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数.所以它们的最大公约数相等.6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数.以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法.也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的. 欧几里德<原本>一书记录了这个算法.其算法的核心步骤是做带余除法.练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）(2)利用辗转相除法求最大公约数的算法步骤如下：第一步：给定两个正整数m，n.第二步：用较大的数m除以较小的数n所得余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r=0，则m,n的最大公约数等于m;否则,返回到第二步.……依次计算直至r n＝0，此时所得到的r n－1即为所求的最大公约数.练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）3.辗转相除法的程序框图及程序语言利用辗转相除法的计算算法，我们可以设计出程序框图,并根据程序框图设计出程序语言在计算机上实现辗转相除法求最大公约数.第2页共5页第3页 共5页辗转相除法的程序框图及程序程序框图：思考;你能用当型循环结构构造算法,求这两个正整数的最大公约数?否r=0 ?是4.更相减损术(1)<九章算术>是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以用来求最大公约数，其步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母，子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.即为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.(2) 例2 :用更相减损术求196与126的最大公约数.解：（1）由于196和126是偶数，用2约之，得98和63。
1.3.1 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法(共32张PPT)
（2）算法步骤
第一步,输入两个正整数a,b(a>b);
第二步,若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步； 第三步,把a-b的差赋予r; 第四步,如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a， 执行第二步； 第五步,输出最大公约数b.
（3）程序框图
开始 输入a，b
a=r
否
a≠b？ 是 r=a-b
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108 v4=v3x-6=108×5-6=534 v5=v4x+7=534×5+7=2 677 所以,当x=5时,多项式的值是2 677.
1.比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除
法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除
49 7
63 9
所以，25和35的最大公 约数为5.
所以，49和63的最大公
约数为7.
辗转相除法 （欧几里得算法）
为什么？
思考：算出8 251和6 105的最大公约数. 第一步,用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余 数8 251=6 105×1+2 146. 结论：8 251和6 105的公约数就是6 105和2 146的公 约数，求8 251和6 105的最大公约数，只要求出6 105 和2 146的最大公约数就可以了.
1.3 算法案例
第1课时 辗转相除法与更相减损 术、秦九韶算法
1.通过辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法的学习,进
一步体会算法思想;
2.通过古代著名的算法,理解掌握辗转相除法与更相减损 术、秦九韶算法的含义;(重点)
3.了解其计算过程;(重点)
1-3-1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
版
数
学
必
修
３
第一章 算法初步
求三个数168,56,264的最大公约数． 【思路点拨】应用更相减损术或辗转相除法，先求前两 个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大 公约数．
人 教 Ａ 版 数 学 必 修 ３
第一章 算法初步
解：方法一：(更相减损术)
先求168与56的最大公约数：
168－56＝112,112－56＝56，
＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6而x＝2，
所以有：v0＝1，
v1＝v0x＋a4＝1×2＋2＝4，
v2＝v1x＋a3＝4×2＋3＝11，
人
v3＝v2x＋a2＝11×2＋4＝26，
教 Ａ
v4＝v3x＋a1＝26×2＋5＝57，
版 数 学
v5＝v4x＋a0＝57×2＋6＝120，
必
即当x＝2时，f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6的值为120.
第五步，判断i是否大 于或等于0.若是，则 返回第三步，否则， 输出多项式的值v
第一章 算法初步
程序框图
程序
INPUT “n＝”；n
INPUT “an＝”；a
INPUT “x＝”；x
v＝an
i＝n－1
WHILE i＞＝0
INPUT “ai＝”；a
人
v＝v*x＋ai
教 Ａ
i＝i－1
版 数
WEND
学
PRINT v
版 数
法的步骤是解题关键；
学
必 修
(2)辗转相除的运算要仔细认真，不要出现运算错误．
３
第一章 算法初步
1．用辗转相除法求5 280与12 155的最大公约数．
高中数学 1.3.2 辗转相除法与更相减损术教案 新人教A版必修3
我的思考：使学生更好的把握好字的结构，同时在教师的指导下提高学生辨别能力。激励学生更好的书写。
第（5）课时
课题：怎样写好字
课型：复习课
教学目标：1、让学生能够正确认识，端正态度。
教学过程：
一、正确的学书之路
1．临帖
临帖是学习书法的最根本的方法。古往今来，没有一个书法家是不经临习而成功的，没有一个字写得好的人是不经过临帖的。只有临帖，取法唐楷、晋行、汉隶、秦篆等传统的东西，才会有所获。
春：上部三横都是短横，收笔处不要顿；撇画最长，捺画从哪里起笔？从第三横下面起笔，不能碰到撇；下面“日”的两竖要竖直，不能斜。
雨：旁边两竖要内斜，上横短，中竖写在竖中线上；从下面看，哪一笔最低？钩最低，中竖最短；四个点都是斜点。
江：左右结构，左窄右宽左边三点水第二点略向外展；右边“工”字上横是短横，下横是长横；中竖略斜。
二、教学新课
1.讲解以宝盖头、穴字头等作为字头的字
（1）教师讲解字头的书写。（2）学生练习书写，教师指导书写。（3教师根据实际情况小结，提出要求。
2.指导书写例字
（1）出示例字：“宝”：首先要控制好字头，摆正位置，下面的“玉”字占格子的一半以上，特别是最后一横宜稍长，使整个字立正。“穷”：下面的力字宜正，不宜写得太小。（其余字略）（2）学生练习，师巡回指导。3、提出注意点三、讲评：收上学生的作业ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖☆符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。
总第（2）课时
课题：书写练习1
课型：新授课
教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
人教版高中数学必修3-1.3《算法案例：辗转相除法与更相减损术》教学教案
辗转相除法与更相减损术学习目标1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
学习重难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
学法与学习用具学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
学习用具：电脑，计算器，图形计算器学习设想（一）创设情景，揭示课题1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
（二）研探新知1.辗转相除法例1求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解：8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。
也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0q 和一个余数0r ； 第二步：若0r ＝0，则n 为m ，n 的最大公约数；若0r ≠0，则用除数n 除以余数0r 得到一个商1q 和一个余数1r ；第三步：若1r ＝0，则1r 为m ，n 的最大公约数；若1r ≠0，则用除数0r 除以余数1r 得到一个商2q 和一个余数2r ；……依次计算直至n r ＝0，此时所得到的1n r 即为所求的最大公约数。
高中数学人教A版必修三第一章1.3.1辗转相除法、更相减损术-算法案例精品课件
所以，98和63的最大公约数等于7
练习
用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．
先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的因数4
21－18＝3
6105=2146×2+1813
18－3＝15 思考：当两个数较大时，除了用这种方法外还有没有其它方法？
利用更相减损术求下列两数的最大公约数.
15－3＝12 所以，25和35的最大公约数为5
6105=2146×2+1813
12－3＝9 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.
1、回顾算法的三种表述： 318=265×1+53;
9－3＝6 用“更相减损术”求225与135的最大公约数为( ) 6－3＝3
试求8251和6105的最大公约数
（1）5 25 35 57
所以，25和35的最大 公约数为5
（2）7 49 63 79
思考：当两个数较大时，除了用这 种方法外还有没有其它方法？
所以，49和63的最大 公约数为7
一、辗转相除法（欧几里得算法）
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除 以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一 对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的 数就是原来两个数的最大公约数。
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是 否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则 执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所 得的差与较小的数比较，并以大数减小数。 继续这个操作，直到所得的减数和差相等为 止，则这个等数就是所求的最大公约数。
1.3.1辗转相除法与更相减损术
长江中学高二数学导学案二十六班级：组别：姓名：编写人：周智勇审核人：龙子勇时间：2017年11月7<<1.3.1辗转相除法与更相减损术>>导学案学习目标：1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
3. 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
4.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
【重点】辗转相除法和更相减损术的算法思想【难点】根据辗转相除法和更相减损术设计算法程序学习过程：【自主学习】1．辗转相除法：古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是 ______ ：用______除以______所得______和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。
2．辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数，若把较大的数用变量a表示，把较小的数用变量b表示，则可反复执行式子 ______ 实现循环结构的算法。
3．更相减损术：用两数中______ 减去______，再用______和______ 构成新的一对数，再用______减______，以同样的操作一直做下去，直到所得的两数______为止。
4. 更相减损术算法中，若把大数赋给a，小数赋给b，则当a﹥b时，将______ 赋给 a，b=b;当a﹤b时，a=a,将______ 赋给b，然后再进行比较，依次类推用循环结构实现。
【合作探究】探究1 用辗转相除法求两个正数8251和6105的最大公约数，画出程序框图并把它编成一个计算机程序。
高中数学人教版必修三《1.3.1辗转相除法与更相减损术》课件
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Байду номын сангаас
二级 •为三主级，更相减损术以减法为主，运算次数上辗转相除法运算
次数• 相四级对较少，特别当两个数比较大时更合适用辗转相除法。
• 五级
（2）从结果体现情势来看，辗转相除法体现结果是以相除
余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到的。
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1.3.1 • 单击此处编辑母版文本样式 • 二级 • 三级
• 二级
结• 论三：级8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和 6105•的四最级大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。
• 五级 (8251 , 6105 )=(6105 , 2146 )
第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2 + 1813
（答案：12）
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单击〖此辗转处相编除法辑与母更相版减损标术题的区样分式〗
• 单击（此1处）编都是辑求母最版大文公本约样数的式方法，运算上辗转相除法以除法
• 二•为次级三主数级，相更对相 较减少损，术特以别减当法两为个主数，比运较算大次时数更上合辗适转用相辗除转法相运除算法。
• 四级
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148=37×4+0
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• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级课后必做作业： • 三级 请同• 四学级们课后阅读教材，理解并掌控辗转相除法的程序设计 • 五级
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单击此〖更处相减编损辑术〗母版标题样式
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
1.3案例1辗转相除法与更相减损术
用更相减损术求98和 的最大公约数 的最大公约数. 例1 用更相减损术求 和63的最大公约数 解： 63不是偶数 不是偶数 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=14 14-7=7
所以7是最大公约数 所以 是最大公约数. 是最大公约数 练习： 练习：求（142，585）= _______ ， ）
2.更相减损术: 2.更相减损术: 更相减损术 原理：以较大的数减去较小的数， 原理：以较大的数减去较小的数，接 着把所得的差与较小的数比较， 着把所得的差与较小的数比较，并以大 数减小数.继续这个操作 继续这个操作， 数减小数 继续这个操作，直到所得的 数相等为止，则这个数（等数） 数相等为止，则这个数（等数）就是所 求的最大公约数
今天我们来学习一种求最大公约数 的新方法——辗转相除法。也叫欧几里 辗转相除法。 的新方法 辗转相除法 德算法，它是由欧几里德在公元前300 德算法，它是由欧几里德在公元前300 年左右首先提出的。 年左右首先提出的。
〖研探新知〗
1.辗转相除法: 1.辗转相除法: 辗转相除法 求两个正数8251 6105的最大公约数 8251和 的最大公约数。 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解：8251＝6105×1＋2146; 8251＝6105× 6105＝2146×2＋1813; ＝ × ＋ 2146＝1813×1＋333; ＝ × ＋ 1813＝333×5＋148; ＝ × ＋ 333＝148×2＋37; ＝ × ＋ 148＝37×4＋0. ＝ × ＋ 37为8251与6105的最大公约数 的最大公约数。 则37为8251与6105的最大公约数。
辗转相除法的程序框图及程序
开始
输入两个正数m,n 输入两个正数
r=m MOD n m=n n=r r=0? 是
人教A版高中数学必修三蓝山二中辗转相除法与更相减损术教案
一教材分析1 教材背景算法是新课标教材新增加的内容，从古至今算法思想都能在解决问题中得到体现，他不仅是数学及应用的重要组成部分，也是信息技术的重要基础。
随着信息技术的发展，算法思想已成为数学素养的一部分,所以学习算法是非常必要的。
2 本节课的地位及作用本节课是1.3的第1节课,这部分的学习是算法语句的综合应用.二重点难点重点:理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
．三目标分析教学目标知识与技能1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
过程与方法在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
情态与价值1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
四学法分析在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
五教法分析采用“问题探究式”教学法，以多媒体为辅助手段，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力。
六教学设计1创设情景问题1:在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？问题2:如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？2研探新知(一).辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
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课
题
更相减损术与辗转相除法
授课时间 课型 新授
教
学
目
标
知识与技能 1．理解算法案例的算法步骤和程序框图.
过程与方法 2．引导学生得出自己设计的算法程序.
情感态度价值观 3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力
教
材
分
析
重难点 教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序. 教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.
教
学
设
想
教法 引导探究
学法 自学探究
教具 多媒体
课
堂
设
计
目标展示
前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.
预习检测
1）怎样用短除法求最大公约数？
（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？
（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？
（4）怎样用更相减损术求最大公约数？
质疑探究
用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序.
精讲点拨
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
当堂检测
1 已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，如果在一种算法中，计算kx0（k=2，3，4，…，n）的值需要
k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要__________次运
算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计
算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要___________次运算.
2 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值.
作业布置
教材 48 页 1,2, 3 题
板
书
设
计
一 更相减损术与辗转相除法 三 结论 二 例题 1,2 四 小结 教学反思