2017-2018年甘肃省兰州四中高一(上)数学期中试卷和答案
【真题】17年甘肃省兰州一中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2016-2017学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}2．（5分）已知复数z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．﹣6 C．0 D．3．（5分）以下判断正确的是（）A．函数y=f（x）为R上可导函数，则f'（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件B．命题“”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”C．“”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数”的充要条件D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题4．（5分）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120 cm3B．80 cm3C．100 cm3D．60 cm35．（5分）由曲线y=x2+1，直线y=﹣x+3及坐标轴所围成图形的面积为（）A．B．C．D．36．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．38．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．（5分）已知函数f（x）=x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．10．（5分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（）A． B．C．D．11．（5分）椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.U13．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=．14．（5分）已知sin2α=，则cos2（α﹣）=．15．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，b=2，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值．19．（12分）随着苹果6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式，某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部苹果6，顾客分1期付款，其利润为1千元；分2期或3期付款，其利润为1.5千元；分4期或5期付款，其利润为2千元，以频率作为概率．（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一该手机的利润，求X的分布列及数学期望E（x）20．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且=m，求证：a+2b+3c≥9．2016-2017学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|}，B={x|x2＜2x}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x≤1}【解答】解：由，得，解得0≤x＜1．所以{x|}={x|0≤x＜1}，又B={x|x2＜2x}={x|0＜x＜2}，所以A∩B={x|0≤x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选：A．2．（5分）已知复数z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6 B．﹣6 C．0 D．【解答】解：∵===是实数，则6﹣b=0，∴实数b的值为6，故选：A．3．（5分）以下判断正确的是（）A．函数y=f（x）为R上可导函数，则f'（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件B．命题“”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”C．“”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数”的充要条件D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题【解答】解：对于A，函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的比要不充分条件，如f（x）=x3，f′（x）=3x2，满足f′（0）=0，但0不是函数的极值点，故A错误；对于B，命题“”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1≥0”，故B 错误；对于C，若，则f（x）=sin（ωx+φ）=sin（ωx+）=±cosωx，函数为偶函数，反之，若函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数，则ω×0+φ=，即，∴“”是“函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数”的充要条件，故C正确；对于D，在△ABC中，“若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为：“若sinA＞sinB，则A＞B”，由正弦定理可知：在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB，逆命题为真命题，故D错误．故选：C．4．（5分）一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120 cm3B．80 cm3C．100 cm3D．60 cm3【解答】解：由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，如图：所以几何体的体积为5×4×6=100cm3；故选：C．5．（5分）由曲线y=x2+1，直线y=﹣x+3及坐标轴所围成图形的面积为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图，由方程组，解得或．∴在第一象限内，曲线y=x2+1与直线y=﹣x+3交于（1，2）．∴所求围成的图形的面积S=（x2+1）dx+（﹣x+3）dx=（+x）+（3x﹣）=+1+3=．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，﹣a m=1，所以公差d=a m+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．）=﹣2，又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．7．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．8．（5分）设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=x﹣ln|x|，则f（x）的图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x﹣lnx，∴f′（x）=1﹣=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）=x﹣ln（﹣x），∴f′（x）=1﹣＞0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，故选：A．10．（5分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（）A． B．C．D．【解答】解：∵f（x）=cos（2x+φ）=sin[+（2x+φ）]=sin（2x++φ），∴f（x﹣）=sin[2（x﹣）++φ）]=sin（2x﹣+φ），又f（x﹣）=sin（2x+），∴sin（2x﹣+φ）=sin（2x+），∴φ﹣=2kπ+，∴φ=2kπ+，又﹣π≤φ＜π，∴φ=．故选：A．11．（5分）椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），作图如右图：∵椭圆的焦距为2c，∴直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），又直线y=（x+c）与椭圆交于M点，∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．设|MF1|=x，则|MF2|=x，|F1F2|=2c=2x，故x=c．∴|MF1|+|MF2|=（+1）x=（+1）c，又|MF1|+|MF2|=2a，∴2a=（+1）c，∴该椭圆的离心率e===﹣1．故选：B．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0【解答】解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的交点为A，B，C，易知点B 的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.U13．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=﹣3．【解答】解：由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×（﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案为：﹣3．14．（5分）已知sin2α=，则cos2（α﹣）=．【解答】解：∵sin2α=，∴cos2（α﹣）==（1+sin2α）=，故答案为：．15．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB，b=2，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：在△ABC中，∵a=bcosC+ccosB，又a=bcosC+csinB，b=2，∴cosB=sinB，∴tanB=1，B∈（0，π）．由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴4≥2ac﹣ac，当且仅当a=c时取等号．∴ac≤4+2．∴S=acsinB≤（4+2）×=+1．△ABC故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若x∈[﹣，]，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）∴f（x）的最小正周期为，令，则，∴f（x）的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接B1A交BA1于O，∵PB1∥平面BDA1，B1P⊂面AB1P，面AB1P∩面BA1D=OD，…（2分）∴B1P∥OD，又O为B1A的中点，∴D为AP中点，∴C1为A1P中点，…（3分）∴△ACD≌△PC1D，∴CD=C1D．…（4分）（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，∴AB⊥AC，…（5分）以A1为坐标原点，以A1B1，A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示．由（Ⅰ）知C1为A1P中点，∴A1（0，0，0），B1（1，0，0），，P（0，2，0），…（6分）∴，=（0，1，），设平面A 1B1D的法向量∵且，∴，取z=2，得y=﹣1，∴…（8分），，设平面PB1D的法向量，则，，∴，取x=2，得y=1，2，∴平面PB 1D的法向量…（10分）设二面角A1﹣B1D﹣P平面角为θ，则，…（11分）∴．…（12分）19．（12分）随着苹果6手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式，某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.15，并且店销售一部苹果6，顾客分1期付款，其利润为1千元；分2期或3期付款，其利润为1.5千元；分4期或5期付款，其利润为2千元，以频率作为概率．（Ⅰ）求事件A：“购买的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用X表示销售一该手机的利润，求X的分布列及数学期望E（x）【解答】解：（Ⅰ）由=0.15，得a=15，因为35+25+a+10+b=100，所以b=15，“购买该手机的3位顾客中至多有1位采用4期付款”的概率：P（A）=．（6分）（Ⅱ）记分期付款的期数为ξ，依题意得ξ=1，2，3，4，5，P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，…（8分）并且P（X=1）=P（ξ=1）=0.35，P（X=2）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.1+0.15=0.25．P（X=4）=1﹣0.35﹣0.25=0.4，…（10分）所以X的分布列为所以X的数学期望为E（X）=1×0.35+1.5×0.4+2×0.25=1.45（千元）．…（12分）20．（12分）已知抛物线C：y=2x2，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：设A（x 1，y1），B（x2，y2），把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，得x1+x2=．∵x N=x M==，∴N点的坐标为（，）．∵y′=4x，∴y′|=k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k．∵直线l：y=kx+2的斜率为k，∴l∥AB；（2）解：假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，∴|MN|=|AB|．由（Ⅰ）知y M=（y1+y2）=（kx1+2+kx2+2）=[k（x1+x2）+4]=（4+）=2+，由MN⊥x轴，则|MN|=|y M﹣y N|=2+﹣=，∵|AB|=•=•=•由=•∴k=±2，则存在实数k=±2，使AB为直径的圆M经过点N．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xlnx﹣x．函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx；当x＞1时，f'（x）＞0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0．所以，f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx﹣ax所以方程f'（x）=0在x＞0上有两个不同根，即：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根，转化为：函数y=lnx与函数y=ax 的图象在x＞0上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），所以k=，又k=，所以，解得：x0=e，于是k=，所以，0＜a＜．（ⅱ）由（i）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=．原不等式等价于令，则t＞1，设，，∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式成立，故所证不等式成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0…（5分）（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线C2的距离为d==，…（8分）当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R ，且=m，求证：a+2b+3c≥9．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，故f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．（Ⅱ）由a，b，c∈R ，且=1，∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（）=1++++1++++1=3++++++≥3+6=9，当且仅当======1时，等号成立．所以a+2b+3c≥9赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017-2018年甘肃省张掖市民乐一中高一(上)数学期中试卷和答案
2017-2018学年甘肃省张掖市民乐一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题中只有一个选项符合题目要求.）1．（5.00分）集合，则A∩B=（）A．{0，1}B．{1}C．{0}D．{0，1，2}2．（5.00分）下列函数中，在区间（0，1）上是增函数且是偶函数的是（）A．y=3+x B．y=|x|C．D．y=﹣x2+43．（5.00分）用二分法求函数f（x）=x3+5的零点可以取的初始区间是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[1，2]4．（5.00分）棱台不具有的性质是（）A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱延长后交于一点D．侧棱长都相等5．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．6．（5.00分）函数的定义域为（）A．（0，9） B．[0，9） C．[0，9]D．（0，9]7．（5.00分）下列判断正确的是（）A．1.72.5＞1.73B．0.90.3＞0.90.5C．D．0.82＜0.838．（5.00分）已知α、β、γ为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，下列命题中不正确的是（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．④，⑥B．②，③，⑥C．②，③，⑤，⑥ D．②，③9．（5.00分）的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于y=x对称D．关于y=﹣x对称10．（5.00分）已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么它的平面直观图△A'B'C'的面积为（）A．B．a2C．D．11．（5.00分）一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π12．（5.00分）已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1） C．[，1）D．（0，3）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，所填答案应是最简结果）13．（5.00分）函数f（x）=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点．14．（5.00分）若函数f（x）=2x2﹣ax+8只有一个零点，则实数a的值等于．15．（5.00分）幂函数f（x）=xα的图象过点（3，9），那么函数g（x）=f（x）+2的单调增区间是．16．（5.00分）用不过球心O的平面截球O，截面是一个球的小圆O1，若球的半径为4cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2cm，则小圆半径为cm．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．（10.00分）已知集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，求A∩B，A∪B，（∁R A）∩（∁R B）．18．（12.00分）如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．右面是它的正视图和侧视图（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积．19．（12.00分）已知函数f（x）是定义在R上的函数，且f（x）为偶函数，当x ≤0，f（x）=x2+2x（1）画出f（x）图象；（2）若函数y=f（x）与函数y=m的图象有四个交点，求m的取值范围．20．（12.00分）已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1），B（5，2）（1）求函数f（x）的解析式及定义域．（2）求的值．21．（12.00分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E．M．N．G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，求证：（1）MN∥B1D1．（2）AC1∥平面EB1D1．（3）平面EB1D1∥平面BDG．22．（12.00分）.已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．2017-2018学年甘肃省张掖市民乐一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题中只有一个选项符合题目要求.）1．（5.00分）集合，则A∩B=（）A．{0，1}B．{1}C．{0}D．{0，1，2}【解答】解：∵集合={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B={0}．故选：C．2．（5.00分）下列函数中，在区间（0，1）上是增函数且是偶函数的是（）A．y=3+x B．y=|x|C．D．y=﹣x2+4【解答】解：对于A，函数是非奇非偶函数，不合题意；对于B，函数是偶函数，在（0，1）递增，符合题意；对于C，函数是奇函数，不合题意；对于D，函数在（0，1）递减，不合题意；故选：B．3．（5.00分）用二分法求函数f（x）=x3+5的零点可以取的初始区间是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[1，2]【解答】解：二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，应满足使f（a）•f（b）＜0．由于本题中函数f（x）=x3+5，由于f（﹣2）=﹣3，f（1）=6，显然满足f（﹣2）•f（1）＜0，故函数f（x）=x3+5的零点可以取的初始区间是[﹣2，1]，故选：A．4．（5.00分）棱台不具有的性质是（）A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱延长后交于一点D．侧棱长都相等【解答】根据棱台的定义：用平行于底面的平面截棱台，截面与底面之间的部分叫棱台，∴棱台具有的性质是：上、下底面多边形相似；每个侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点．故选项A、B、C都是棱台具有的性质．棱台的侧棱有的相等，有的不相等，故选项D是棱台不具有的性质．故选：D．5．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．8﹣2πD．【解答】解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选：A．6．（5.00分）函数的定义域为（）A．（0，9） B．[0，9） C．[0，9]D．（0，9]【解答】解：由，解得0＜x≤9．∴函数的定义域为：（0，9]．故选：D．7．（5.00分）下列判断正确的是（）A．1.72.5＞1.73B．0.90.3＞0.90.5C．D．0.82＜0.83【解答】解：对于A，根据指数函数y=1.7x是R上的单调增函数，且2.5＜3，得1.72.5＜1.73，∴A错误；对于B，根据指数函数y=0.9x是R上的单调减函数，且0.3＜0.5，得0.90.3＞0.90.5，∴B正确；对于C，根据指数函数y=πx是R上的单调增函数，且2＞，得π2＞，∴C 错误；对于A，根据指数函数y=0.8x是R上的单调减函数，且2＜3，得0.82＞0.83，∴D错误．故选：B．8．（5.00分）已知α、β、γ为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，下列命题中不正确的是（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．④，⑥B．②，③，⑥C．②，③，⑤，⑥ D．②，③【解答】解：由α、β、γ为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，知：①，由平行公理知①正确；②、a与b相交或a与b异面，故②错误；③或α与β相交，故③错误；④，由平面与平面平行的判定定理得④正确；⑤或a⊂α，故⑤错误；⑥或a⊂α，故⑥错误．故选：C．9．（5.00分）的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于y=x对称D．关于y=﹣x对称【解答】解：∵，∴f（﹣x）=（﹣x）3﹣=﹣x3+=﹣f（x），∴f（x）是奇函数，∴的图象关于原点对称，故选：A．10．（5.00分）已知△ABC是边长为2a的正三角形，那么它的平面直观图△A'B'C'的面积为（）A．B．a2C．D．【解答】解：边长为2a的正三角形ABC的面积为：S正△ABC=•（2a）2•sin60°=a2；因为平面图形的面积与直观图的面积的比是2，所以它的平面直观图△A′B′C′的面积是：S△A′B′C′==a2．故选：D．11．（5.00分）一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π【解答】解：此三棱锥的外接球即棱长分别为3、4、5的长方体的外接球而长方体的体对角线即为球的直径∴球的直径2R==5，∴R=∴外接球的表面积S=4πR2=4π×=50π故选：C．12．（5.00分）已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1） C．[，1）D．（0，3）【解答】解：∵f（x）对任意的x1≠x2都有成立，∴f（x）=为R上的减函数，∴解得0＜a≤．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，所填答案应是最简结果）13．（5.00分）函数f（x）=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，1）．【解答】解：由于对数函数y=log a x恒过定点（1，0）而函数f（x）=log a（x﹣1）+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，1）故答案为：（2，1）14．（5.00分）若函数f（x）=2x2﹣ax+8只有一个零点，则实数a的值等于±8．【解答】解：若函数f（x）=2x2﹣ax+8仅有一个零点，则△=a2﹣64=0，解得：a=±8．故答案为：±8．15．（5.00分）幂函数f（x）=xα的图象过点（3，9），那么函数g（x）=f（x）+2的单调增区间是[0，+∞）．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，则3a=9，解得a=2，∴f（x）=x2；∴g（x）=x2+2的单调递增区间是[0，+∞），故答案为：[0，+∞）．16．（5.00分）用不过球心O的平面截球O，截面是一个球的小圆O1，若球的半径为4cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2cm，则小圆半径为cm．【解答】解：由题意，圆心，球心以及球上任一点构成直角三角形，球的半径为4cm，球心O与小圆圆心O1的距离为2cm，则R2=4+r2，解得：r=2，故答案为：．三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．（10.00分）已知集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，求A∩B，A∪B，（∁R A）∩（∁R B）．【解答】解：集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}={x|x≥3}，则A∩B={x|3≤x＜4}；A∪B={x|x≥2}；（C R A）∩（C R B）=C R（A∪B）={x|x＜2}．18．（12.00分）如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．右面是它的正视图和侧视图（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积．【解答】解：（1）由题意按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图如下图：（2）所求多面体的表面积：S=S矩形+++++ABCD=+=122（cm2）．19．（12.00分）已知函数f（x）是定义在R上的函数，且f（x）为偶函数，当x ≤0，f（x）=x2+2x（1）画出f（x）图象；（2）若函数y=f（x）与函数y=m的图象有四个交点，求m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）的图象如图所示：20．（12.00分）已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1），B（5，2）（1）求函数f（x）的解析式及定义域．（2）求的值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1），B（5，2），所以即，所以，解得，所以f（x）=log3（2x﹣1），定义域为（，+∞）；（2）f（14）÷f（）=log327÷log3=3÷=6．21．（12.00分）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E．M．N．G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点，求证：（1）MN∥B1D1．（2）AC1∥平面EB1D1．（3）平面EB1D1∥平面BDG．【解答】证明：（1）连结B1D1，∵M、N分别是CD、CB的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴MN∥BD，∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，有BB1∥D1D，BB1=D1D，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，（2）连结A1C1，设与连结B1D1交于点O，∵四边形A1B1C1D1为平行四边形，∴点O是A1C1的中点，又∵E是AA 1的中点，∴EO是△AA1C1的中位线，∴EO∥AC1又∵AC1⊄面EB1D1，EO⊂面EB1D1，∴AC1∥平面EB1D1．（3）连结AC，BD，交于点P，则P是AC中点，连结PG，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，有B1D1∥BD，∵B1D1⊂平面EB1D1，B1D1⊄平面BDG，∴B1D1∥平面BDG，由（2）得OE∥AC1，∵P、G分别是AC、CC1的中点，∴PG∥AC1，∴OE∥PG，∵OE⊂平面EB1D1，OE⊄平面BDG，∴OE∥平面BDG，∵OE∩B1D1=O，OE⊂平面EB1D1，B1D1⊂平面EB1D1，∴平面EB1D1∥平面BDG．22．（12.00分）.已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a的值；（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）为R上的奇函数所以f（0）=0即=0，（2）f（x）==﹣1+，在（﹣∞，+∞）上单调递减…（6分）（3）f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0⇔f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（﹣2t2+k），又f（x）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，即3t2﹣2t﹣k＞0恒成立，∴△=4+12k＜0，∴k＜﹣．…（12分）（利用分离参数也可）．。
甘肃省兰州市第四中学2017_2018学年高一数学上学期期末考试试题201807020110
2017----2018学年度第一学期高一数学期末试卷姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(每小题5分，共60分)1、若平面,直线平面,点平面,则在平面内过点的所有直线中( )A.不一定存在与平行的直线B.一定不存在与平行的直线C.存在无数条与平行的直线D.存在唯一一条与平行的直线2、已知全集, , ,则( )A.{-2,0}B.{2,0}C.{-1,1,2}D.{-2,0,2}3、圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离4、已知函数, 在下列区间中,包含零点的区间是( )A. B. C. D.5、若三点共线,则的值为( )A. B. C. D.6、直线和互相垂直,则( )A. B. C. 或 D. 或7、设是上的偶函数,且在上单调递增,则, , 的大小顺序是( )A. B.C. D.8、某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为2的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )A. B.正视图侧视图C . D.俯视图9、在正方体中, , 分别是棱, 的中点,则异面直线与所成的角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°10、已知正方体、等边圆柱(轴截面是正方形)、球的体积相等,它们的表面积分别为、、,则( )A. B.C. D.11、设为定义在上的奇函数.当时, ( 为常数),则( )A.-3B.-1C.1D.312、若是定义在上的偶函数,在上是减函数,且,则使得的的取值范围是( )A. B. C. D.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题（每题5分，共20分）13、.___________.14、已知点, 它们在面内的投影分别是则._________.15、斜率为,在轴上的截距为的直线方程为_____,若此直线经过点,则m=________.16、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为,这个球的表面积为,则这个正四棱柱的体积为_________ .三、解答题（共70分）17、直线与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线的方程:（10分）(1).过定点; （5分）(2).与直线垂直.（5分）18.已知二次函数满足条件及.（12分）（1）.求的解析式（6分）（2）.当时,求的值域.（6分）19、如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形, 为等边三角形, 为的中点, .（12分）（1）.求证:平面平面; （6分）（2）.求与平面所成角的余弦值;（6分）20已知圆: 的圆心在点,点,求:（12分）（1）.过点的圆的切线方程;（6分）（2）. 点是坐标原点,连接, ,求的面积.（6分）x(y)21．(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f＝f(x)－f(y)．(1)求f(1)的值；1(3 )＜2.(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f22、如图,在四棱锥中,底面是矩形, 平面, , 分别是,的中点, .（12分）P(1).求证: 平面;（5分）N(2).求证:平面平面.（7分）D CA BM2017---2018学年度高一年级第一学期期末数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C B C A B A A D C A D二、填空题13. 14. 5. ; . 16. 816解析：设正四棱柱的底面边长为,则球的直径,所以表面积,解得,所以正四棱柱的体积.三、解答题17. （1）由条件可知直线斜率一定存在∵直线过点,∴可设直线方程为,在坐标轴上截距分别为,∴∵或,∴或∴直线的方程为或. （2）∵与直线垂直,∴,∵可设的方程为,∴在坐标轴上的截距分别为,∴,∴,∴直线的方程为或. 18.（1）由题意设,∵,∴,则,∵,∴, ,∴, , 故（2）. ,∴在上的最大值为,最小值为,故在上的值域为.。
甘肃省兰州市第一中学2017-2018学年高三上学期期中考试理科数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试理科数学试卷一、单选题（共12小题）1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，若是实数，则实数的值为（）A．0B．C．-6D．63．以下判断正确的是（）A．函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件B．命题“”的否定是“”C．“”是“函数是偶函数”的充要条件D．命题“在中，若，则”的逆命题为假命题4．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A．120cm3B．100cm3C．80cm3D．60cm35．由曲线，直线及坐标轴所围成图形的面积为（）A．B．C．D．36．设等差数列的前项和为，若，，，则（）A．3B．4C．5D．67．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果（）A．4B．5C．2D．38．设，则（）A．B．C．D．9．已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．10．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则的值为（）A．B．C．D．11．椭圆: 的左、右焦点分别为，焦距为．若直线与椭圆的一个交点M满足，则该椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．-6B．-7C．-8D．-9二、填空题（共4小题）13.已知向量，，则．14.已知，则．15.已知满足约束条件若的最小值为1，则．16.在中，内角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为．三、解答题（共7小题）17.已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．18.如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值．19.随着苹果7手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计，统计结果如下表所示．已知分3期付款的频率为0．15，并且销售一部苹果7手机，顾客分1期付款，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概率．（Ⅰ）求，的值，并求事件：“购买苹果7手机的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率；（Ⅱ）用表示销售一部苹果7手机的利润，求的分布列及数学期望．20.已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点（Ⅰ）证明：抛物线在点的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数，使以为直径的圆经过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21.已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若函数在其定义域内有两个不同的极值点．（i）求的取值范围；（ii）设两个极值点分别为，证明:．22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．23.已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：因为，，所以，所以选A答案：A2.考点：复数综合运算试题解析：因为是实数，所以，所以答案：D3.考点：全称量词与存在性量词充分条件与必要条件试题解析：A：如，令得不是函数的极值点，所以A不对；B：命题“”的否定应该是C：根据诱导公式，前后能互推，所以C正确；D：在中，若，则是真命题，所以D不对．所以选C答案：C4.考点：空间几何体的三视图与直观图试题解析：直观图如图所示：答案：B5.考点：积分试题解析：根据题意作图如下：由得，所以所以答案：C6.考点：等差数列试题解析：因为，所以，所以，所以，因为当时，，代入上式得．答案：C7.考点：算法和程序框图试题解析：初始：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：输出答案：A8.考点：对数与对数函数试题解析：因为，所以，又因为，所以答案：C9.考点：函数图象试题解析：令得排除D；令得排除C;又因为排除B，所以选A．答案：A10.考点：三角函数图像变换试题解析：因为向右平移个单位后为，由题意得：，所以．答案：B11.考点：椭圆试题解析：由题意作图如下：由直线斜率为得所以，所以因为所以所以所以答案：D12.考点：函数综合试题解析：由已知得：，函数的周期为2，图象如下：由图象知：在区间上两函数有3个交点，其中一个由图象可得为（-3，1），另外两个交点关于对称，所以另外两个交点横坐标之和为所以所有实根之和为．答案：B13.考点：平面向量坐标运算试题解析：由题意得，所以，解得．答案：-314.考点：半角公式倍角公式试题解析：答案：15.考点：线性规划试题解析：如图：当目标函数经过点时，最小值为1，所以所以．答案：16.考点：解斜三角形试题解析：由已知及正弦定理得：又所以所以所以因为所以因为，所以所以由已知及余弦定理得：又因为所以所以答案：17.考点：三角函数综合试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期为，令，则，∴的对称中心为（Ⅱ）∵∴∴∴∴当时，的最小值为-1；当时，的最大值为2．答案：见解析18.考点：立体几何综合试题解析：（Ⅰ）连接交于，连接．∵平面，面，面面∴又∵为的中点，∴为中点，∴为中点∴，∴（Ⅱ）∵在直三棱柱中，∴以为坐标原点，以，所在直线建立空间直角坐标系如图所示由（Ⅰ）知为中点∴点坐标分别为，，，设平面的法向量∵且∴取∴同理：平面的法向量设二面角平面角为则，∴答案：见解析19.考点：随机变量的期望与方差试题解析：（Ⅰ）由，得因为所以（Ⅱ）设分期付款的分期数为，则的所有可能取值为1000，1500，2000．所以的分布列为答案：见解析20.考点：圆锥曲线综合试题解析：（Ⅰ）解法一：设，，把代入得，得．∵，点的坐标为．∵∴，即抛物线在点处的切线的斜率为．∵直线:的的斜率为，∴．解法二：设，，把代入得，得．∵，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，，即．（Ⅱ）假设存在实数，存在实数使为直径的圆经过点．是的中点，．由（Ⅰ）知轴，．∵，∴，故存在实数，使为直径的圆经过点．答案：见解析21.考点：导数的综合运用试题解析：（Ⅰ）当时，；函数的定义域为，当时，；当时，．所以，在上单调递减；在上单调递增．（Ⅱ）（i）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根．即，方程在有两个不同根．（解法一）转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须．令切点，所以，又，所以，解得，，于是，所以．（解法二）令，从而转化为函数有两个不同零点，而若，可见在上恒成立，所以在单调增，此时不可能有两个不同零点．若，在时，，在时，，所以在上单调增，在上单调减，从而又因为在时，，在时，，于是只须：，即，所以．综上所述，．（ii）由（i）可知分别是方程的两个根，即，，不妨设，作差得，，即．原不等式等价于令，则，设，，∴函数在上单调递增，∴，即不等式成立，故所证不等式成立．答案：见解析22.考点：极坐标方程曲线参数方程试题解析：（1）由消去参数得，曲线的普通方程得由得，曲线的直角坐标方程为（2）设，则点到曲线的距离为当时，有最小值0，所以的最小值为0．答案：见解析23.考点：不等式证明试题解析：（Ⅰ）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为．又的解集为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，∴≥=9．（或展开运用基本不等式）∴答案：见解析。
高一数学期中考试题及答案
高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B为（）A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}答案：B3. 若a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（）A. a+b>0B. ab>0C. a-b>0D. a/b>0答案：B4. 函数y=x^3-3x^2+2在区间（1，2）上是（）A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案：D5. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则a5的值为（）B. 32C. 64D. 128答案：C6. 已知向量a=(3,-2)，b=(2,1)，则a·b的值为（）A. 4B. -2C. 2D. -4答案：B7. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为e=√5，则b/a的值为（）A. √5/2B. 2/√5D. 2答案：B8. 已知直线l：y=2x+3与直线m：y=-x+1平行，则l与m的斜率之比为（）A. 1B. -1C. 2D. -2答案：A9. 已知圆C：(x-2)^2+(y-3)^2=9，圆心为C(2,3)，半径r=3，则圆C与x轴的交点个数为（）A. 0B. 1C. 2答案：C10. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，则a的值为（）A. 1B. 3C. 1或3D. 无解答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求导数f'(x)=________。
答案：3x^2-6x12. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5的值为________。
答案：1713. 已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则|a+b|的值为________。
2017-2018学年甘肃省兰州一中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年甘肃省兰州一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线a，b，平面α满足a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（）A. 平行B. 相交或异面C. 异面D. 平行或异面2.下列四条直线，倾斜角最大的是（）A. B. C. D.3.若直线2mx+y+6=0与直线（m-3）x-y+7=0平行，则m的值为（）A. B. 1 C. 1或 D. 34.如图，三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A. ⊥平面B. 与是异面直线C.D. ⊥5.已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m，n，则下列说法正确的是（）A. 若⊥，⊥，⊂，则⊥B. 若，⊥，⊥，则C. 若⊥，⊂，⊂，则⊥D. 若，⊂，，则6.已知直线ax+by+c=0的图形如图所示，则（）A. 若，则，B. 若，则，C. 若，则，D. 若，则，7.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的表面积为（）A. B. C. D.8.斜率为4的直线经过点A（3，5），B（a，7），C（-1，b）三点，则a，b的值为（）A. B. ，C. ，D. ，9.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A. 6B. 8C.D.10.如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC=60°．那么这个二面角大小是（）A.B.C.D.11.若点，和，都在直线l：x+y=1上，又点P，和点，，则（）A. 点P和Q都不在直线l上B. 点P和Q都在直线l上C. 点P在直线l上且Q不在直线l上D. 点P不在直线l上且Q在直线l上12.已知点A（2，-3），B（-3，-2），直线l：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A. 或B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为______．14.经过点P（3，-1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是______．15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3cm，AD＝2cm，AA1＝1cm，则三棱锥B1-ABD1的体积为________cm3．16.如图，在四面体A-BCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的平面角的余弦值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l平行于直线3x+4y-7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18.已知四棱锥P－ABCD的体积为，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的侧面积．19.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求证EF∥平面ABC1D1；（2）四棱柱ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成角的大小．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点．（1）求证：PE⊥AD；（2）若CA=CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．21.已知△ABC的顶点B（-1，-3），边AB上的高CE所在直线的方程为4x+3y-7=0，BC边上中线AD所在的直线方程为x-3y-3=0．（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．22.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．答案和解析1.【答案】D【解析】解：直线a，b，平面α满足a∥α，b⊂α，直线a与直线b的位置关系可能异面，可能平行，不能相交，故选：D．直线a与直线b的位置关系可能异面，可能平行，不能相交．本题考查两直线关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．2.【答案】A【解析】解：直线方程y=-x+1的斜率为-1，倾斜角为135°，直线方程y=x+1的斜率为1，倾斜角为45°，直线方程y=2x+1的斜率为2，倾斜角为α（60°＜α＜90°），直线方程x=1的斜率不存在，倾斜角为90°．所以A中直线的倾斜角最大．故选：A．由直线方程求出直线的斜率，再由直线的斜率得出直线的倾斜角．本题考查了直线的倾斜角，也考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题目．3.【答案】B【解析】解：因为两条直线平行，所以：解得m=1故选B．直接利用两条直线平行的充要条件，解答即可．本题考查两条直线平行的判定，容易疏忽截距问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：因为三棱柱A1B1C1-ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以对于A，AC与平面ABB1A1斜交，夹角为60°；故A错误；对于B，CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B错误；对于C，A1C1，B1E是异面直线；故C错误；对于D，因为几何体是三棱柱，并且侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC 是正三角形，E是BC中点，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AE，AE⊥BC，得到AE⊥平面BCC1B1，所以AE⊥BB1；故选：D．利用三棱柱的性质对选项分别分析选择．本题考查了三棱锥的性质；关键是利用正三棱柱的性质得到线线关系、线面关系，利用相关的定理解答．5.【答案】B【解析】解：A．若n⊥α，m⊥n，则m∥α或m⊂α，又m⊂β，∴α⊥β不成立，∴A错误．B．若α∥β，n⊥α，则n⊥β，又m⊥β，∴m∥n成立，∴B正确．C．当α∩β时，也满足若m⊥n，n⊂α，m⊂β，∴C错误．D．若α∥β，n⊂α，m∥β，则m∥n或m，n为异面直线，∴D错误．故选：B．A．利用面面垂直的判定定理进行判断．B．利用面面平行和线面平行的性质进行判断．C．利用面面垂直的定义和性质进行判断．D．利用面面平行和线面平行的性质进行判断．本题主要考查空间直线和平面，平面和平面之间位置关系的判断，要求熟练掌握平行或垂直的判定定理．6.【答案】D【解析】解：由直线ax+by+c=0可得y=-x-．根据图象可得-＜0，-＞0．∴若c＜0，则a＞0，b＞0．故选：D．把直线的方程化为斜截式，判断斜率的符号和直线在y轴上的截距上的符号，即可得出结论．本题考查一次函数的图象的位置，由直线的斜率以及在y轴上的截距共同确定．7.【答案】D【解析】解：由三视图知几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，则圆锥的母线长为=2，∴该几何体的表面积S==（12+4）π，故选：D．由三视图知该几何体为圆柱挖去一个圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的表面积公式求出该几何体的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了由两点坐标求斜率的应用问题，是基础题．利用AB 和AC 的斜率相等，把点的坐标代入两点表示的斜率公式计算即可．【解答】解：斜率为4的直线经过三点A（3，5），B（a，7），C（-1，b），则==4，解得a=，b=-11．故选C．9.【答案】B【解析】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2，所以OC=3，则四边形OABC的长度为8．故选：B．根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则问题可求．本题考查了平面图形的直观图，考查了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．10.【答案】C【解析】解：设等腰直角△ABC中AB=AC=a，则BC=，∴，∵等腰直角△ABC斜边BC上的高是AD，∴B′D⊥AD，CD⊥AD，∴∠B′DC是二面角B′-AD-C的平面角．连结B′，C，∵∠B′AC=60°，∴B′C=a，∴B′D2+CD2=B′C2，∴∠B′DC=90°．∴二面角B′-AD-C的大小是90°．故选：C．设等腰直角△ABC中AB=AC=a，则BC=，，由已知条件推导出∠B′DC是二面角B′-AD-C的平面角．由此能求出二面角B′-AD-C的大小．本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11.【答案】B【解析】解：∵点和都在直线l：x+y=1上，∴，b+=1，∴=1，化为c+=1，∴点P和点都在直线l上．故选：B．点和都在直线l：x+y=1上，可得，b+=1，可得c+=1，即可判断出点P，Q与l的位置关系．本题考查了点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：根据题意，直线l：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则点A、B在直线的两侧或在直线上，则有（2m-3-m-1）（-3m-2-m-1）≤0，变形可得（m-4）（-4m-3）≤0，解可得m≤-或m≥4，而直线l：mx+y-m-1=0的斜率k=-m，则其斜率k的取值范围是k≥或k≤-4；故选：A．根据题意，直线l：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则点A、B在直线的两侧或在直线上，由二元一次不等式与平面区域的关系分析可得（m-4）（-4m-3）≤0，解可得m的取值范围，又由直线的斜率k=-m，分析可得答案．本题考查二元一次不等式与平面区域的关系，注意直线与线段AB相交，即点A、B在直线的两侧或在直线上．13.【答案】2【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得l=1，r=1．∴圆锥的高h===．故答案为：．根据圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，计算出圆锥的高．本题考查了圆锥的结构特征，弧长公式，属于基础题．14.【答案】x+2y-1=0或x+3y=0【解析】解：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，此时直线l过点P（3，-1），O（0，0），∴直线l的方程为：，整理，得x+3y=0；当a≠0时，a=2b，此时直线l的斜率k=-=-，∴直线l的方程为：y+1=-（x-3），整理，得x+2y-1=0故答案为：x+2y-1=0或x+3y=0．设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，当a≠0时，a=2b，由此利用题设条件能求出直线l的方程．本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不要丢解．15.【答案】1【解析】解：由长方体的性质可得：点D1到平面ABB1A1的距离为AD．====1，故答案为：1．利用=即可得出．本题考查了三棱锥的体积计算公式、“等体积变形”、线面垂直的判定及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连结OD，∵在四面体A-BCD中，棱AC的长为，其余各棱长都为1，∴AD⊥CD，∴OD⊥CD，∴OB⊥BC，∴∠ADO是二面角A-CD-B的平面角，∴△BCD是等边三角形，∴∠BOD=120°，设PO=x，OB=OD=y，由余弦定理得：BD2=OB2+OD2-2OB•OD•cos120°，即1=y2+y2-2y2cos120°，解得y=，x==，∴cos∠ADO==．∴二面角A-CD-B的平面角的余弦值为．故答案为：．过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连结OD，推导出AD⊥CD，OD⊥CD，OB⊥BC，从而∠ADO是二面角A-CD-B的平面角，由△BCD是等边三角形，得∠BOD=120°，由余弦定理得求出BD=，由此能求出二面角A-CD-B的平面角的余弦值．本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．17.【答案】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，令x=0，得y=-；令y=0，得x=-．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为|-|×|-|=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．【解析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，求出截距，代入面积公式解出m即可得出直线l的方程．本题考查了直线的位置关系，直线方程的求解，属于中档题．18.【答案】（12分）解：（1）如图所示四棱锥P-ABCD的高为PA，底面积为S=•CD=×1=∴四棱锥P-ABCD的体积V四棱锥P-ABCD=S•PA=וPA=．解得PA=∴正视图的面积为S=×2×=．…（4分）（2）如图所示，过A作AE∥CD交BC于E，连结PE．根据三视图可知，E是BC的中点，且BE=CE=1，AE=CD=1，且BC⊥AE，AB=又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD=∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD．∴PA⊥AE，∴PE2=PA2+AE2=3．∴PE=．∴四棱锥P-ABCD的侧面积为S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=••+••1+•1•+•2•=．…（12分）【解析】（1）四棱锥P-ABCD的高为PA，底面积为S=•CD=，由四棱锥=．求出PA=，由此能求出正视图的面积．P-ABCD的体积V四棱锥P-ABCD（2）过A作AE∥CD交BC于E，连结PE．四棱锥P-ABCD的侧面积为S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC．本题考查几何体的正视图面积的求法，考查四棱锥的侧面积的求法，考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为线段DD1、BD的中点，∴EF为中位线，∴EF∥D1B，∵D1B⊂面ABC1D1，EF⊄面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1；（2）由（1）知EF∥D1B，故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，∴四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球的半径R=2，设AA1=a，则，解得a=，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵BC⊥平面CDD1C1，CD1⊄平面CD-D1C1，∴BC⊥CD1，在RT△CC1D1中，BC=2，CD1=，D1C⊥BC，∴tan∠D1BC=，则∠D1BC=60°，∴异面直线EF与BC所成的角为60°．【解析】（1）连接BD1，由中位线定理证明EF∥D1B，由线面平行的判定定理证明EF∥平面ABC1D1；（2）由（1）和异面直线所成角的定义，得异面直线EF与BC所成的角是∠D1BC，由题意和球的表面积公式求出外接球的半径，由勾股定理求出侧棱AA1的长，由直四棱柱的结构特征和线面垂直的定义，判断出BC⊥CD1，在RT△CC1D1中求出tan∠D1BC，求出∠D1BC可得答案．本题考查了异面直线所成角的定义以及求法，线面平行的判定定理，球的表面积公式，以及直四棱柱的结构特征，属于中档题．20.【答案】（12分）证明：（1）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，所以PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以PE⊥AD．…（6分）（2）因为CA=CB，点E是AB的中点，所以CE⊥AB．由（1）可得PE⊥AB，又因为CE∩PE=E，所以AB⊥平面PEC，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PEC．…（12分）【解析】（1）证明PE⊥AB，推出PE⊥平面ABCD，然后证明PE⊥AD．（2）证明CE⊥AB．PE⊥AB，然后证明AB⊥平面PEC，即可证明平面PAB⊥平面PEC．本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．21.【答案】（12分）解：（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为，即3x-4y-9=0．…（6分）（2）设D（a，b），则C（2a+1，2b+3），∴ ，解得，∴D（0，-1），C（1，1）．…（12分）【解析】（1）由CE⊥AB，且直线CE的斜率为，得直线AB的斜率为，由此能求出直线AB的方程．（2）设D（a，b），则C（2a+1，2b+3），列出方程组，能求出点C的坐标．本题考查直线方程、点的坐标的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．22.【答案】证明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC与CC1在平面ACC1A1内相交于C点，所以BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．由已知，侧面ACC1A1是矩形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，BC与A1C在平面A1BC内；所以AC1⊥平面A1BC．因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．（Ⅱ）因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角．设AC=BC=CC1=a，则C1D=a，BC1=a．在Rt△BDC1中，sin∠C1BD=，所以∠C1BD=30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．【解析】（Ⅰ）由BC⊥AC，BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点，又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）根据AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角，设AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成角的度量，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．。
甘肃省兰州一中2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷
兰州一中2017-2018-2学期高一年级期中考试试题
数学
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.）
1．已知x 、y 之间的一组数据如下：
x 0 1 2 3
y 8 2 6 4
则线性回归方程bx a y ?所表示的直线必经过点（）
A ．（1.5，4）
B ．（1.5,5）
C ．（4,1.5）
D ．（2,2）
2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是（
）A. 至少有1个白球,都是白球. B.至少有1个白球,至少有1个红球.
C. 恰有1个白球,恰有2个白球.
D.至少有1个白球,都是红球.
3．把21化为二进制数，则此数为（）
A ．10011(2)
B ．10110(2)
C ．11001(2)
D ．10101(2)
4. 下列各对角中，终边相同的角是（）
A ．987
320和B ．3
22
3和C ．23
23和D ．7
25
99和-。
数学---甘肃省兰州市第四中学2017-2018学年高二上学期期中考试试题
甘肃省兰州市第四中学2017-2018学年高二上学期期中考试试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1．设,>>a b c d 则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．d b c a +>+B ．bd ac >C ．d b c a ->-D ．c b d a +>+2．数列{}n a 满足13(1)+-=-≥n n a a n ，，则的值是（ ）A ． -3B ． 4C ． 1D ．63．若1>a 则111-+-a a 的最小值等于（ ） A ．a B ．21-a a C ．2 D ．3 4. 在等差数列{}n a 中，已知521,a =则456a a a ++等于（ ）A ．15B ．33C ．51 D.635. 在∆ABC 中，已知8=a ，060=B ，045=A ，则b 等于（ ）A ．64B ．54C ．34D ．322 6．已知不等式 的整数解构成等差数列的前三项，则数列的第四项（ ）A.3B.－1C.2D.3或－17．不等式的解集是，则二次函数的表达式是（ ）A ． B.C.22212y x x =+- D ． 17a =3a 2230x x --<{}n a {}n a 220x mx n >＋＋{|32}x x x ＞或＜－22y x mx n ＝＋＋22212y x x ＝＋＋22212y x x ＝－＋22212y x x ＝－－8．在∆ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,,3,13，π===a b c A a b ，则c 等于（ ） A. 1 B. 2 C.31- D. 3 9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ ） A ．1 B ．56 C ．16 D ．13010．设0<1b a <<,则下列不等式成立的是（ ）A ．2a 1b b <<B ．1122log log 0b a <<C. 222b a<< D ．2a 1ab << 11．不等式的解集是（ ） A. B. C. D.12．设ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的相应位置.13．已知数列2,5,22,11,, 则52是这个数列的第 项.14．不等式01312≤+-x x 的解集是 ． 15 数列{}n a 的前n 项和21=+n S n ，则它的通项公式是 .16. 在ABC ∆中, 角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，已知():():()4:5:6b c c a a b +++=, 则下列结论正确的是 .(1) ABC ∆一定是钝角三角形； (2)ABC ∆被唯一确定；(3)sinA:sinB:sinC=7:5:3 ； (4)若b+c=8，则ABC ∆的面积为1532. 三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（12分）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S . 已知 102030,50==a a .（I ）求通项n a ； （Ⅱ）若n S =242，求n .18.（12分）（I ）解不等式2450-++<x x ；（Ⅱ）解关于x 的不等式()21+m 0x m x -+<.19.（12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若 21sin sin cos cos =-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积.20.（12分）若实数y x ,满足条件010221≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩x y y x ，求224=-+z y x 的最小值和最大值．21.（12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，依等差数列逐年递增.（1）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为f(n)，试写出f(n)的表达式；（2）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.22．(14分)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()12+=n n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明：*122311...().232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈参考答案一、 选择题：每小题5分，共60分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A C C D A D DB BC A C 二、填空题：每小题4分，共16分.13. 七 14. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-2131|x x 15. 2,(1)21,(2)n n a n n =⎧=⎨-⎩≥ 16. （1），（3） 三、解答题：共6小题，共74分.17.(12分)解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1(1),=+-n a a n d ………………2分 由102030,50==a a ，得方程组 119301950+=⎧⎨+=⎩a d a d ………………………………4分 解得112,2==a d ，所以 210=+n a n ……………………………………………6分(Ⅱ)因为1(1),2-=+n n n S na d ……………………………………………………8分 由242=n S 得方程(1)1222422-+⨯=n n n …………………………………10分 解得11=n 或22=-n （舍去）所以11=n ……………………………………………………………………12分18. (12分)解：(Ⅰ)不等式可化为2450-->x x因16200,∆=+>方程2450--=x x 有两个实数根,即125,1==-x x ………4分所以原不等式的解集是{15}x x x <->或……………………………………6分 (Ⅱ) ()()()21010,x m x m x x m -++=--=由题可得，方程，即 1.x x m ==解得：或 …………………………………8分{}11m x x m ><<当时，不等式的解集为()2=11m x -<∅当时，不等式为0,解集为{}11m x m x <<<当时，不等式的解集为 ………………11分 综上所述，()()11;111.m m m m m >=∅<当时，解集为，当时，解集为；当时，解集为，……………12分 19. (12分)解：（Ⅰ）21sin sin cos cos =-C B C B 21)cos(=+∴C B …………………3分 又π<+<C B 0 ，3π=+∴C Bπ=++C B A ， 32π=∴A ………………………………6分 （Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=得 32cos 22)()32(22π⋅--+=bc bc c b 即：)21(221612-⋅--=bc bc ，4=∴bc ………………………9分 323421s i n 21=⋅⋅=⋅=∴∆A bc S ABC ………………………………12分 20．(12分) 解： 作出满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x 的可行域， 如右图所示 ……………………6分作直线,22:1t x y l =-.840222)2,0(max =+⨯-⨯=z A l 时，经过当.441212)1,1(min =+⨯-⨯=z B l 时，经过当……………12分21. (12分)解：（Ⅰ）依题意f (n )=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n )+0.9n ……………………4分n n n 9.02)1(2.04.14+++= 4.141.02++=n n ……………………6分（Ⅱ）设该车的年平均费用为S 万元，则有)4.141.0(1)(12++==n n nn f n S …………………8分 14.4121.441102 1.21 3.4n n =++≥+=⨯+=………………………9分………………………………10分当且仅当nn 4.1410=，即n=12时，等号成立. …………12分 答：汽车使用12年报废为宜.22. (14分)（Ⅰ）证明：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列. ………………………2分 12.n n a ∴+=即*21().n n a n N =-∈ ……………………………………………………………4分(Ⅱ) ()1122-+==n n n n a b n ． 1221022)1(232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n Sn n n n n S 22)1(23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-两式相减，得1222222121210+-⨯=----⨯-⨯=-n n n n n n n S ……………………8分（Ⅲ）证明： 1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)n n a a a n a a a +∴+++< ………………………………………………………10分 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->- *122311...().232n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈……………………………………14分。
2017-2018学年甘肃省兰州一中高一(上)12月月考数学试卷
2017-2018学年甘肃省兰州一中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列函数中，随着x的增大，增大速度最快的是（）A．y=50B．y=1000x C．y=lgx D．2．（3分）已知幂函数f（x）图象过点，则f（9）=（）A．3B．9C．﹣3D．13．（3分）已知，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数4．（3分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）5．（3分）已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．26．（3分）若||=，且|log b a|=﹣log b a，则a，b满足的关系式是（）A．1＜a，1＜b B．1＜a且0＜b＜1C．1＜b且0＜a＜1D．0＜a＜1且0＜b＜17．（3分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π8．（3分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．9．（3分）已知方程|2x﹣1|=a有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（1，2）C．（0，+∞）D．（0，1）10．（3分）已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．11．（3分）若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，）B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）12．（3分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）A．6B．5C．D．二、填空题：共4题13．（3分）若2a=5b=10，则=．14．（3分）已知圆锥的母线长是2，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为．15．（3分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，则不等式f（1）＜f（lnx）的解集是．16．（3分）已知函数f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四个零点，则a的取值范围是．三、解答题：共5题,共52分.17．（10分）计算：（1）；（2）．18．（10分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．19．（10分）某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入2l世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2006年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f（x）（万件）之间的关系如下表所示：若f（x）近似符合以下三种函数模型之一：．（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式（所求a或b值保留1位小数）；（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2012年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2012年的年产量．20．（10分）已知函数y=的定义域为[﹣3，2]．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的值域．21．（12分）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0．（Ⅰ）若此方程有两个正实根，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若此方程有两个实根均在（0，2），求实数m的取值范围．2017-2018学年甘肃省兰州一中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列函数中，随着x的增大，增大速度最快的是（）A．y=50B．y=1000x C．y=lgx D．【解答】解：根据题意，依次计算4个选项中函数的导数：对于A，y=50，其导数为y′=0，对于B，y=1000x，其导数y′=1000，对于C，y=lgx，其导数为y′=，对于D，，其导数为y′=，分析可得，当x增大时，增大速度最快的是；故选：D．2．（3分）已知幂函数f（x）图象过点，则f（9）=（）A．3B．9C．﹣3D．1【解答】解：设幂函数f（x）=xα，把点（3，）代入得，3α=，解得α=，即f（x）==，所以f（9）==3，故选：A．3．（3分）已知，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数【解答】解：定义域为R∵f（﹣x）==﹣f（x）∴f（x）是奇函数∵e x是R上的增函数，﹣e﹣x也是R上的增函数∴是R上的增函数，故选：A．4．（3分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）【解答】解：∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，即f（e﹣1）•f（2）＜0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．5．（3分）已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形，∴三棱锥的底面积为=，∵三棱锥的高为3，∴三棱锥的体积为：=，故选：A．6．（3分）若||=，且|log b a|=﹣log b a，则a，b满足的关系式是（）A．1＜a，1＜b B．1＜a且0＜b＜1C．1＜b且0＜a＜1D．0＜a＜1且0＜b＜1【解答】解：∵||=，∴≥0=log a1，根据对数函数的单调性可知0＜a＜1∵|log b a|=﹣log b a∴log b a＜0=log b1，根据对数函数的单调性可知b＞1故选：C．7．（3分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．8．（3分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：分别画出函数f（x）=2x（红色曲线）和g（x）=x2（蓝色曲线）的图象，如图所示，由图可知，f（x）与g（x）有3个交点，所以y=2x﹣x2=0，有3个解，即函数y=2x﹣x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，当x=﹣3时，y=2﹣3﹣（﹣3）2＜0，故排除D故选：A．9．（3分）已知方程|2x﹣1|=a有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（1，2）C．（0，+∞）D．（0，1）【解答】解：若关于x的方程|2x﹣1|=a有两个不等实数根，则y=|2x﹣1|的图象与y=a有两个交点，函数y=|2x﹣1|的图象如下图所示：由图可得，当a∈（0，1）时，函数y=|2x﹣1|的图象与y=a有两个交点，故实数a的取值范围是（0，1），故选：D．10．（3分）已知函数是定义域上的单调增函数，则a的取值范围是（）A．[3﹣，2）B．C．D．【解答】解：函数是定义域上的单调增函数，可得，解得：a∈[3﹣，2）．故选：A．11．（3分）若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，）B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）【解答】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．12．（3分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）A．6B．5C．D．【解答】解：由题意，四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上；过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示：其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点，设PH=h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF，∴=，即=，解得h=．故选：D．二、填空题：共4题13．（3分）若2a=5b=10，则=1．【解答】解：因为2a=5b=10，故a=log210，b=log510=1故答案为1．14．（3分）已知圆锥的母线长是2，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为2π．【解答】解：设圆锥底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1，∴圆锥的侧面积S=πrl=2π．故答案为2π．15．（3分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，则不等式f（1）＜f（lnx）的解集是（0，）∪（e．+∞）．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式等价为f（1）＜f（|lnx|），即|lnx|＞1，即lnx＞1或lnx＜﹣1，解得x＞e或，即不等式f（1）＜f（lnx）的解集是；故答案为：16．（3分）已知函数f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四个零点，则a的取值范围是．【解答】解：由f（x）=x2﹣|x|+a﹣1=0，得a﹣1=﹣x2+|x|，作出y=﹣x2+|x|与y=a﹣1的图象，要使函数f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四个零点，则y=﹣x2+|x|与y=a﹣1的图象有四个不同的交点，所以0＜a﹣1＜，解得：a∈故答案为：三、解答题：共5题,共52分.17．（10分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式===﹣6；（2）原式===．18．（10分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．【解答】（12分）解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，S表面=S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π×52+π×（2+5）×5+π×2×2=（4+60）π．V=V圆台﹣V圆锥=π（+r1r2+）h﹣πr2h′=π（25+10+4）×4﹣π×4×2=π19．（10分）某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入2l世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2006年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f（x）（万件）之间的关系如下表所示：若f（x）近似符合以下三种函数模型之一：．（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式（所求a或b值保留1位小数）；（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2012年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2012年的年产量．【解答】解：（1）满足条件的是f（x）=ax+b．①若模型为f（x）=2x+a，由f（1）=2+a=4，解得a=2，即f（x）=2x+2，此时f（2）=6，f（3）=10，f（4）=18，与已知条件相差太大，不符合，不能选取．②若模型为f（x）=，则f（x）是减函数，不符合，不能选取．③由①②可知：前两个模型都不能选取，只能选取模型f（x）=ax+b．把（1，4），（3，7）代入得，解得．∴，（x=1，2，…，6，7）经验证x=2，4，符合的比较好．（2）∵，∴13×（1﹣30%）=9.1，即确定2012年的年产量约为9.1万件．20．（10分）已知函数y=的定义域为[﹣3，2]．（1）求函数的单调区间；（2）求函数的值域．【解答】解：（1）令，则y=t2﹣t+1=，当x∈[1，2]，时是减函数，此时=t2﹣t+1=是减函数，当x∈[﹣3，1]时，是减函数，此时=t2﹣t+1=是增函数，∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1]．（2）∵x∈[﹣3，2]，∴，y=t2﹣t+1=∈．∴值域为．21．（12分）已知方程x2+（m﹣3）x+m=0．（Ⅰ）若此方程有两个正实根，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若此方程有两个实根均在（0，2），求实数m的取值范围．【解答】解：方程x2+（m﹣3）x+m=0．设f（x）=x2+（m﹣3）x+m（Ⅰ）由题题：，即，解得：0＜m≤1．故m的取值范围为（0，1]（Ⅱ）由题题：，解得故m的取值范围为（，1]．。
2017-2018学年甘肃省临夏中学高一数学上期中考试试题
甘肃省临夏中学2017 — 2018学年第一学期期中考试卷高一数学、选择题(本大题共10题，每题4分，共40分•在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.) 1.全集 U = {1,2,3,4,5,6} , A = {x|3 炸6 x € Z }，则?u A 等于(A . {1,2}B . {3,4,5,6}C . {1,2,3}D . {4,5,6}2•下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是3.函数y = log - (4x-3)的定义域是徑 + B (— g 1] cP 1 切，十丿 B . ( ，l] C.5，1C/ . 2 D . log 32= 0.3 ,c =log 20.3，贝y a , b , c 的大小关系是(A . a ：： b ：： cB . c = b aC . c ：： a ：： bD . b c a— 1 , X Wl&若函数f(x)=，则f[f( — 3)]等于( )log 2X , x > 1A . 1B . 2C . 0D . 32 9.已知函数f(x)是定义在 R 上的偶函数，当x >0时，f(x)= x(1 — x)，则当x v 0时，f(x)=()3 2 3,2 亠 3,2 32A . — x — xB . x + xC . — x + xD . x — x 210 .已知函数f(x)的定义域为(一g 0) U (0，+ g) f(x)是奇函数，且当 x>0时，f(x)= x — x 座位号 命题: 审题: A . y = xC . y = ig|x| 1 3y = x )• A. 4. 函数f(x) =x +凶的图象是()x 5. 函数f(x)=e x +x-2的零点所在的区间为(A . (-2 , -1)B . (-1 , 0)6已知函数y = g(x)的图象与函数 C . (0, D . (1 , 2) 1) y = 3x 的图象关于直线y = x 对称，则 g(2)的值为 B. .3 0 .3 7.设 a =2 ,b。
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2017-2018学年甘肃省兰州四中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5.00分）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（）A．15 B．16 C．3 D．42．（5.00分）若f（lgx）=x，则f（3）=（）A．lg3 B．3 C．103D．3103．（5.00分）设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（）A．∅∉A B．∉A C．∈A D．⊆A4．（5.00分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．y=1，y=x0B．y=x﹣1，y=C．y=x，y= D．y=|x|，y=（）25．（5.00分）函数y=f（x﹣3）的定义域为[4，7]，则y=f（x2）的定义域为（）A．（1，4） B．[1，2]C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．[﹣2，﹣1]∪[1，2] 6．（5.00分）若log a2＜log b2＜0，则（）A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞17．（5.00分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥58．（5.00分）定义域为R的函数y=f（x）的值域为[a，b]，则函数y=f（x+a）的值域为（）A．[2a，a+b]B．[a，b]C．[0，b﹣a]D．[﹣a，a+b]9．（5.00分）下列函数中为偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=3﹣x B．y=|x|C．y=（）x D．y=﹣x2+410．（5.00分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）A．log 2x B．C．D．2x﹣211．（5.00分）方程|x2﹣6x|=a有不同的四个解，则a的范围是（）A．a≤9 B．0≤a≤9 C．0＜a＜9 D．0＜a≤912．（5.00分）已知集合A={a，b，c}，B={1，2，3，4，5，6}．f：A→B是从A 到B的映射，则满足f（a）＞f（b）=f（c）的映射个数为（）A．10 B．15 C．20 D．21二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）函数y=log（x2﹣4x﹣5）的递减区间为．14．（4.00分）已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f （2a﹣1），则a的取值范围是．15．（4.00分）设f（x）=，若f（x）=3，则x=．16．（4.00分）如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料．如果矩形的一边长为xcm，面积为ycm2．把y表示为x的函数，这个函数的解析式为（须注明函数的定义域）．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8.00分）（1）计算：．（2）计算：+log2．18．（12.00分）已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．19．（12.00分）已知一次函数f（x）=（m2﹣1）x+m2﹣3m+2，若f（x）是减函数，且f（1）=0．（1）求m的值；（2）若f（x+1）≥x2，求x的取值范围．20．（12.00分）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．21．（16.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）写出函数f（x），x∈R的增区间；（2）写出函数f（x），x∈R的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值．22．（14.00分）已知函数是奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．2017-2018学年甘肃省兰州四中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．（5.00分）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（）A．15 B．16 C．3 D．4【解答】解：根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n元素的真子集有2n ﹣1个，集合A有4个元素，则其真子集个数为24﹣1=15，故选：A．2．（5.00分）若f（lgx）=x，则f（3）=（）A．lg3 B．3 C．103D．310【解答】解：令t=lgx则x=10t所以f（t）=10t所以f（3）=103故选：C．3．（5.00分）设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（）A．∅∉A B．∉A C．∈A D．⊆A【解答】解：∵集合A={x∈Q|x＞﹣1}，∴集合A中的元素是大于﹣1的有理数，对于A，“∈”只用于元素与集合间的关系，故A错；对于B，不是有理数，故B正确，C错，D错；故选：B．4．（5.00分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．y=1，y=x0B．y=x﹣1，y=C．y=x，y= D．y=|x|，y=（）2【解答】解：A．y=1，x∈R；y=x0，x∈R，且x≠0，定义域不同，不表示同一函数；B．y=x﹣1，x∈R；y=，x≠﹣1，定义域不同，不表示同一函数；C．y=x，=x，定义域与对应法则都相同，表示同一函数；D．y=|x|，x∈R；，x≥0，定义域不同，不表示同一函数．综上可知：只有C正确．故选：C．5．（5.00分）函数y=f（x﹣3）的定义域为[4，7]，则y=f（x2）的定义域为（）A．（1，4） B．[1，2]C．（﹣2，﹣1）∪（1，2） D．[﹣2，﹣1]∪[1，2]【解答】解：∵y=f（x﹣3）的定义域为[4，7]，∴4≤x≤7，1≤x﹣3≤4．∴在y=f（x2）中，1≤x2≤4．即，解得﹣2≤x≤﹣1，或1≤x≤2．故选：D．6．（5.00分）若log a2＜log b2＜0，则（）A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1【解答】解：∵log a2＜log b2＜0，由对数换底公式得：∴＜＜0∴0＞log2a＞log2b∴根据对数的性质得：∴0＜b＜a＜1．故选：B．7．（5.00分）函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是单调递减的，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5【解答】解：函数y=x2+2（a﹣1）x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1﹣a为对称轴的抛物线，若y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减，则1﹣a≥4，解得：a≤﹣3，故选：A．8．（5.00分）定义域为R的函数y=f（x）的值域为[a，b]，则函数y=f（x+a）的值域为（）A．[2a，a+b]B．[a，b]C．[0，b﹣a]D．[﹣a，a+b]【解答】解：∵定义域为R的函数y=f（x）的值域为[a，b]，而函数y=f（x+a）的定义域也是R，对应法则相同，故值域也一样，故选：B．9．（5.00分）下列函数中为偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=3﹣x B．y=|x|C．y=（）x D．y=﹣x2+4【解答】解：A，y=3﹣x不为偶函数，不符题意；B，y=|x|，为偶函数，且在区间（0，+∞）上为函数y=x增函数，符合题意；C，y=（）x为指数函数，不为偶函数，不符题意；D，y=4﹣x2为偶函数，在区间（0，+∞）上为减函数，不符题意．故选：B．10．（5.00分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）A．log 2x B．C．D．2x﹣2【解答】解：函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）=log a x，又f（2）=1，即log a2=1，所以，a=2，故f（x）=log2x，故选：A．11．（5.00分）方程|x2﹣6x|=a有不同的四个解，则a的范围是（）A．a≤9 B．0≤a≤9 C．0＜a＜9 D．0＜a≤9【解答】解：方程|x2﹣6x|=a．作函数y=|x2﹣6x|的图象，如图．由图象知直线y=a与y=|x2﹣6x|的图象应有四个交点，当0＜a＜9时，有4个交点．故选：C．12．（5.00分）已知集合A={a，b，c}，B={1，2，3，4，5，6}．f：A→B是从A 到B的映射，则满足f（a）＞f（b）=f（c）的映射个数为（）A．10 B．15 C．20 D．21【解答】解：当f（a）中的a=1时，没有f（a）＞f（b）=f（c）当a=2时，有f（2）＞f（1）=f（1），1个当a=3时，有f（3）＞f（1）=f（1），f（3）＞f（2）=f（2），2个当a=4时，有f（4）＞f（1）=f（1），f（4）＞f（2）=f（2），f（4）＞f（3）=f（3），3个；当a=5时，有4个．当a=6时，有5个．满足f（a）＞f（b）=f（c）的映射个数为：1+2+3+4+5=15个故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4.00分）函数y=log（x2﹣4x﹣5）的递减区间为（5，+∞）．【解答】解：由x2﹣4x﹣5＞0，可得x＜﹣1或x＞5令t=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则函数在（5，+∞）上单调递增∵在定义域内为单调递减∴函数的递减区间为（5，+∞）故答案为：（5，+∞）14．（4.00分）已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．【解答】解：∵f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1）∴，∴故答案为：15．（4.00分）设f（x）=，若f（x）=3，则x=．【解答】解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去）当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）故当f（x）=3，则x=故答案为：16．（4.00分）如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料．如果矩形的一边长为xcm，面积为ycm2．把y表示为x的函数，这个函数的解析式为（0＜x＜50）（须注明函数的定义域）．【解答】解：∵矩形的一边长为xcm，∴矩形的另一边长为cm，∴因为直径为50cm，所以0＜x＜50故答案为（0＜x＜50）三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8.00分）（1）计算：．（2）计算：+log2．【解答】解：（1）=；（2）+log2=5=﹣2．18．（12.00分）已知M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}．（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}，M⊆N，∴，解得a∈∅．∴实数a的取值范围是∅．（Ⅱ）∵M={x|﹣2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a﹣1}，M⊇N，∴当N=∅时，a+1＞2a﹣1，解得a＜2，成立；当N≠∅时，则，解得2≤a≤3，．综合①②，得a的取值范围为（﹣∞，3]．19．（12.00分）已知一次函数f（x）=（m2﹣1）x+m2﹣3m+2，若f（x）是减函数，且f（1）=0．（1）求m的值；（2）若f（x+1）≥x2，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵一次函数f（x）=（m2﹣1）x+m2﹣3m+2，且f（x）是减函数，f（1）=0，∴，解得m=；（2）当m=时，f（x）=﹣x+，∴f（x+1）≥x2可化为﹣（x+1）+≥x2，解得﹣≤x≤0；∴x的取值范围是[﹣，0]．20．（12.00分）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【解答】解：（1）由题意得所以（2）由（1）得因为函数在[0，+∞）上是减函数所以当x=0时f（x）由最大值所以f（x）max=2所以f（x）∈（0，2]所以函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，2]．21．（16.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）写出函数f（x），x∈R的增区间；（2）写出函数f（x），x∈R的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值．【解答】解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，（2分），则f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；（5分）（2）令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x∴解析式为f（x）=（10分）（3）g（x）=x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴为x=a+1，当a+1≤1时，g（1）=1﹣2a为最小；当1＜a+1≤2时，g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；当a+1＞2时，g（2）=2﹣4a为最小；∴g（x）=．（16分）22．（14.00分）已知函数是奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴对定义域内的任意的x，都有f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，整理得q+3x=﹣q+3x，∴q=0，又∵，∴f（2）==﹣，解得p=2，∴所求解析式为f（x）=；（2）f（x）在（0，1）上递增．由（1）可得f（x）==﹣（x+），设0＜x1＜x2＜1，f（x1）﹣f（x2）=[（x2+）﹣（x1+）]=（x1﹣x2）（），因此，当0＜x1＜x2＜1，可得设x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，即1﹣x1x2＞0，从而得到f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，1）上的递增．。