2018年高考数学二轮复习解答题解题策略与技巧+高考押题命题猜测加解析
2018届高考数学二轮填空题解法技巧专题卷(全国通用)(4)
填空题1．已知变量x ， y 满足约束条件20{4010x y x y y --≥+-≤+≥，则目标函数23z x y =-的最小值为__________． 【答案】3【解析】作出如图可行域当目标函数过点E 时取到最小值故23z x y =-的最小值为32．用数学归纳法证明:(n+1)+ (n+2)+…+(n+n)=(n ∈N *)的第二步中,当n=k+1时等式左边与n=k 时的等式左边的差等于 . 【答案】3k+2【解析】n=k+1比n=k 时左边变化的项为(2k+1)+(2k+2)-(k+1)=3k+2.3．已知2010tan =x ，则=---)29sin()229sin(1x x ππ. 【答案】2010 【解析】略4．如图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ．【答案】35【解析】试题分析：执行算法流程，有0,1S k ==，不满足条件5,1,3k S k >==，不满足条件5,10,5k S k >==，不满足条件5,35,7k S k >==，满足条件5k >，输出S 的值35．考点：程序框图．5．已知集合A ＝｛（x ，y ）｜221,,x y x y Z +≤∈｝，B ＝｛（x ，y ）｜2,3,,x y xy Z≤≤∈｝，设集合M ＝｛（x 1＋x 2，y 1＋y 2）｜()()1122,,,x y A x y B ∈∈｝，则集合M 中元素的个数为 ． 【答案】59【解析】试题分析：由题意知， ()()()()(){}1000100101A =--，，，，，，，，，，B 中有5735⨯=个元素，当()()1100x y =，，时，B 中的元素都在M 中；当()()()111010x y =-，，，，时，M 中元素各增加7个；当()()()110101x y =-，，，，时，M 中元素各增加5个，所以M 中元素共有35775559++++=个．考点：集合中的元素个数问题．【思路点睛】先分析出集合A 和B 中的元素，从A 中的元素逐个分析，当()()1100x y =，，时，B 中的元素都在M 中，当()()()111010x y =-，，，，时，M 中元素在原来基础上多横坐标为3和-3的7个，当()()()110101x y =-，，，，时，M 中元素在原来基础上多纵坐标为4和-4的5个，再算总数．6．如果在一次试验中，测得(),x y 的四组数值分别是根据上表可得回归方程5y x a =-+$$，据此模型预报当x 为20时，y 的值为 ． 【答案】26.5 【解析】试题分析：由题意可知，35,392x y ==，所以3525339522a a =-⨯+⇒=$$，x 为20时， 25352026.52y =-⨯+=$． 考点：回归方程．7．已知复数iiz +=12，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点位于第 象限.【答案】一 【解析】 试题分析：()()()()i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=11111212，则复数z 在复平面内所对应的点为()1,1，位于第一象限．考点：复数的运算．8．已知||1,||2,a b a b==与的夹角为60°，则2a b + 在b 方向上的投影为 ； 【答案】3 【解析】 试题分析：2a b+ 在b方向上的投影为22121222cos60(2)232a b b a b b b b⨯⨯⨯+︒++⋅===. 考点：向量的运算.150 22|40x y x -=【答案】2π 【解析】10． 设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下列命题：⑴)(x f 有最小值； ⑵当0=a 时，)(x f 的值域为R ；⑶当0>a 时，)(x f 在区间[)∞+，2上有单调性； ⑷若)(x f 在区间[)∞+，2上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a . 则其中正确的命题是 .【答案】②③ 【解析】略11________． 【答案】6π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a 、b 、c ，则ab ac bc ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得1a b c ⎧⎪⎨⎪⎩＝，长方体外接球半径为R外接球的表面积为S ＝4π22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝6π12．已知点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则x y u -=的最小值是 ．【答案】1- 【解析】试题分析：根据线性规划的知识画出不等式001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩的可行域如图所示,则目标函数u y x =-在交点()1,0处取得最小值为1-,故填1-.考点：线性规划 13．计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-33233233421428a b b ab a ba a =______________. (0,0>>b a ) 【答案】23a 【解析】m na 原式可化为41113333211213333382124a a b a b a a b b a ⎛⎫⎛-- ⎪-=÷ ⎪ ⎪⎝++⎝⎭ 11111211213333333333211211211211333333333333(8)(2)(24)242242a a b a a a b a a b b a a a b b a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭ 23a =考点：根式与分数指数互化,指数运算,立方差公式. 14．已知正项等比数列{a n }满足log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2 009＝2 009，则log 2(a 1＋a 2 009)的最小值为_________． 【答案】2【解析】本题可先由对数的运算性质得到200912320092a a a a = ，又由等比数列的性质得21200922008320071005a a a a a a a ==== ，故由上式可得()200920091005100512009224a a a a =⇒=⇒=，由基本不等式得()2120092log log 2a a +≥=，即()21209l o g a a +最小值为2． 点睛：本题主要考查了等比数列的性质及基本不等式的应用求最值，解答中可先由对数的运算性质得到200912320092a a a a = ，又由等比数列的性质得212009220081006a a a a a === ，进而得到120094a a =，而后再由基本不等式可确定所求式子的最小值．15．若对任意x A ∈， (),y B A R B R ∈⊆⊆有唯一确定的(),f x y 与之对应，则称(),f x y 为关于x ， y 的二元函数，现定义满足下列性质的(),f x y 为关于实数x ， y 的广义“距离”．（1）非负性： (),0f x y ≥，当且仅当x y =时取等号； （2）对称性： ()(),,f x y f y x =；（3）三角形不等式： ()()(),,,f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立．给出三个二元函数：①(),f x y x y =-；②()()2,f x y x y =-；③(),f x y = 则所有能够成为关于x ， y 的广义“距离”的序号为__________． 【答案】①【解析】对于①，由于(),0f x y x y =-≥，故满足非负性；又()(),,f x y x y y x f y x =-=-=，故满足对称性；另外()()()()(),,,fx y x y x zz yx z z yf x z=-=-+-≤-+-=+，故满足三角形不等式。
2018届高三数学二轮复习冲刺提分作业第四篇考前冲刺套用18个解题模板文版含答案
套用18个解题模板模板一函数值的求解例 1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数.当x∈[0,1)时, f(x)=2x-1,则f(lo6)的值是( )A.-B.-5C.-D.-6答案 C解析因为-3<lo6<-2,所以-1<lo6+2<0,即-1<lo<0.(转化)又f(x)是周期为2的奇函数,所以f(lo6)=f=-f=-f=-(-1)=-.(求值)故选C.(得结论)▲模板构建已知函数解析式求函数值的解题步骤:跟踪集训1.已知函数f(x)为奇函数,且当x≥０时, f(x)=-a,则f=( )A. B.C. D.模板二函数图象辨析例2 函数f(x)=lo sin的图象大致是( )答案 C解析因为f(x)=lo sin=lo cos x,所以f(-x)=lo cos(-x)=lo cos x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,(定性)由图象的对称性可排除A、B.又f=lo cos=lo>0,故排除 D.(判别)故选C.(得结论)▲模板构建由函数解析式判断函数图象问题的关键是:根据函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.其解题步骤为:跟踪集训2.函数f(x)=(x-1)ln|x|的图象为( )模板三求函数零点问题例3 已知函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)( )A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点答案 D解析当0<x<1时,ln x<0,因此函数y=f(x)在区间内无零点.而f(1)=>0, f(e)=-1=<0,(求值、定号)根据函数零点存在性定理可知函数y=f(x)在区间(1,e)内有零点.故选D.(下结论)▲模板构建求解函数零点的一般步骤:跟踪集训3.已知f(x)=则函数的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4模板四已知函数零点个数求参数例4 设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x+2)=f(x-2),且当x∈［-2,0]时,f(x)=-1,若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-log a(x+2)=0(a>1)有3个不同的实数根,则a 的取值范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞）C.(1,)D.(,2)答案 D解析依题意,知f(x+4)=f[(x+2)+ 2]=f[(x+2)-2]=f(x),所以函数f(x)的一个周期为 4.再结合题意作出函数f(x)在区间(-2,6]上的图象,如图,作出函数y=log a(x+2)(a>1)的图象,由题意,可知其与函数f(x)在(-2,6]上的图象有三个交点.(转化)根据两个函数图象,可知必有即(列式)解得<a<2,故选D.(下结论)▲模板构建对于已知函数零点的个数求参数的取值范围问题,通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决.对于此类问题的求解,一般是先分解为两个简单函数,在同一坐标系内作出这两个函数的图象,依交点个数寻找关于参数的不等式,即可得结论.解题步骤如下:跟踪集训4.已知周期函数f(x)的定义域为R,周期为2,且当-1<x≤１时, f(x)=1-x2.若直线y=-x+a与曲线y=f(x)恰有2个交点,则实数a的所有可能取值构成的集合为( )A.B.C.D.{a|a=2k+1,k∈Z}模板五三角函数求值例5 已知函数f(x)=sin cos-sin2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解析(1)f(x)=sin cos-sin2=×sin x-×=sin x+cos x-=sin-,(化简)所以f(x)的最小正周期T==2π.(2)设t=x+,则t∈,(换元)所以sin t∈,所以sin t-∈,当x+=-,即x=-时, f(x)取得最小值-1-.(求最值)▲模板构建在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;( 3)将ωx+φ视为一个整体.解题步骤如下:跟踪集训5.已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f的值;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.。
2018版高考数学文 全国甲卷大二轮总复习与增分策略配套课件 第四篇 回归教材8 精品
例2 如图所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果 为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )
A.k≥6?
√C.k≥8?
B.k≥7? D.k≥9?
易错分析 本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进
行综合解决.容易出错的就是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不
满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，
解析 顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数
据，有
S：0＋12＝12，12＋212＝34，34＋213＝78＝0.875.
n： 2，
3，
4.
“0.875<0.8”判断为“否”，输出n＝4.
易错分析
解析答案
返回
查缺补漏
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5＋3i 1.已知复数 z＝ 1－i ，则下列说法正确的是( )
解析答案
返回
易错警示
易错点1 复数概念不清
例1 设复数z1＝1－i，z2＝a＋2i，若zz21的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为( )
√A.6
B.－6
C.2
D.－2
易错分析 本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚
部；二是计算zz21时，错用运算法则导致失误.
易错分析
解析
易错点2 循环结束条件判断不准
答案
3.复数的概念 对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时， 复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋bi叫做虚数；当a＝0 且b≠0时，复数a＋bi叫做纯虚数. [问题3] 若复数z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m 的值为___－__2___.
2018高考数学浙江专版二轮复习与策略课件 名师寄语 第2点 回避“套路”解题强化思维训练 精品
a≠1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，
则 a 的取值范围是( )
A.0，23
B.23，34
C.13，23∪34
D.13，23∪34
[解题指导]
C [由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a<1.又由f(x)在R上单调递 减，则
02＋4a－3·0＋3a≥f0＝1， 3－24a≥0
⇒13≤a≤34.
如图所示，在同一坐标系中作出函数y＝|f(x)|和y＝2－x的图象．
由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x有且仅有一个解，故在(－∞，0)
上，|f(x)|＝2－x同样有且仅有一个解．当3a>Байду номын сангаас，即a>
2 3
时，由x2＋(4a－3)x＋3a
第2点 回避“套路”解题，强化思维训练
“思维”是数学的体操，从近几年来看，高考试题稳中有变，变中求新．其 特点是：稳以基础为主体，变以选拔为导向，增大试题的思维量，倡导理性思 维．因此，在复习备考时，应回避用“套路”解题，强化通过多观察、多分析、 多思考来完成解题．
(经典高考题)已知函数 f(x)＝xlo2＋gax4＋a－13＋x1＋，3xa≥，0x＜0， (a＞0，且
从以上典例我们可以看出，考能力不是考解题套路，而是考动手操作、深 入思考、灵活运用的能力(即分析问题和解决问题的能力)，考生需要通过眼、 手、脑高度的配合才能完成解题．因此，在二轮专题复习中，把握考查方向， 强化思维训练非常重要．
＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a
2018年高考数学理二轮复习教师用书：第3部分 考前增分策略 专题1 1-集合与常用逻辑用语 含答案 精品
专题一考前教材重温(对应学生用书第58页)1.集合与常用逻辑用语■要点重温…………………………………………………………………………·1．考查集合问题，一定要弄清楚集合所研究的对象，把握集合的实质．如： {x|y＝x2＋1，x∈R}——函数的定义域；{y|y＝x2＋1，x∈R}——函数的值域；{(x，y)|y＝x2＋1}——函数图象上的点集．特别注意括号中的附加条件，如x∈Z、x∈N等．[应用1] 已知A＝{x|y＝3＋2x－x2，x∈R }，B＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，C＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝________；A∩C＝________.[答案][0,3] ∅2．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．[应用2] 已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________.[答案]03．在解决集合间的关系时，不能忽略空集的情况．[应用3] 设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得A∩B＝B的a的所有取值构成的集合是( )【导学号：07804156】A．{0,1} B．{0 ，－1}C．{1，－1} D．{－1,0,1}[解析]因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以B＝∅，{－1}，{1}，因此a＝0，－1,1，选D.[答案] D4．进行集合运算时，注重数形结合在集合示例中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．[应用4] 设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x－1≥0}，则图1中阴影部分所表示的集合为( )图1A．{x|x≤－1或x≥3} B．{x|x<1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤－1}[解析]由图象可知阴影部分对应的集合为∁U(A∪B)，由x2－2x－3<0得－1<x<3，即A＝(－1,3)，∵B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，则∁U(A∪B)＝(－∞，－1]，故选D.[答案] D5．命题“若p，则q”的否命题是“若﹁p，则﹁q”，而此命题的否定(非命题)是“若p，则﹁q”.[应用5] 下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”B．命题“∃x0∈R，使得2x20－1>0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2－1<0”C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题[解析]A中的否命题是“若xy≠0，则x≠0”；B中的否定是“∀x∈R，均有2x2－1≤0”；C正确；D中当x＝0，y＝2π时，其逆否命题是假命题．[答案] C6．理解充分必要条件：如“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且A⇒/B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B，且B⇒/A.[应用6] 已知a，b∈R，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是( )【导学号：07804157】A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b[解析]由a>b可得a>b－1，但由a>b－1不能得出a>b，∴a>b－1是a>b成立的必要而不充分条件；由a>b＋1可得a>b，但由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要条件；a>b是2a>2b成立的充分必要条件．[答案] A7．否定含有一个量词的命题时注意量词的改变(如命题“p或q”的否定是“﹁p且﹁q”，“p 且q”的否定是“﹁p或﹁q” )；全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．[应用7] 已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )>0 [解析] ∵f ′(x )＝3cos x －π，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，∴p 是真命题．又﹁p 是∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0.故选C. [答案] C8．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．[应用8] 若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 不等式即(x 2＋x )a －2x －2>0，设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2.研究“任意a ∈[1,3]，恒有f (a )≤0”．则⎩⎪⎨⎪⎧f f解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23.则实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.[答案] (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞■查缺补漏………………………………………………………………………..· 1．已知集合A ＝{x ∈N |x <3}，B ＝{x |x ＝a －b ，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1,2}B ．{－2，－1,1,2}C ．{1}D ．{0,1,2}D [因为A ＝{x ∈N |x <3}＝{0,1,2}，B ＝{x |x ＝a －b ，a ∈A ，b ∈A }＝{－2，－1,0,1,2}，所以A ∩B ＝{0,1,2}．]2．设集合A ＝{x |2x ＋3>0}，B ＝{x |x 2＋4x －5<0}，则A ∪B ＝( )【导学号：07804158】A.()－5，＋∞B ．⎝⎛⎭⎪⎫－5，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ A [A ＝{x |2x ＋3>0}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞，B ＝{x |x 2＋4x －5<0}＝(－5,1)，所以A ∪B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞∪(－5,1)＝(－5，＋∞)，选A.]3．已知集合A ＝{x |3x<16，x ∈N }，B ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，A ∩(∁R B )的真子集个数为( )A ．1B ．3C ．4D ．7B [因为A ＝{x |3x<16，x ∈N }＝{0,1,2}，B ＝{x |x 2－5x ＋4<0}＝{x |1<x <4}，故∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，故A ∩(∁R B )＝{0,1}，故A ∩(∁R B )的真子集个数为3，故选B.] 4．已知函数f (x )的定义域为R ，M 为常数．若p ：对∀x ∈R ，都有f (x )≥M ；q ：M 是函数f (x )的最小值，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [M 是函数f (x )的最小值⇒对∀x ∈R ，都有f (x )≥M ；反之，不成立．故选B.] 5．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，1)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1}D [A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}，从而A 、C 错，∁R A ＝{x |x ≤0}，故选D.]6．已知命题p ：若a >b ，则a 2>b 2；q ：“x ≤1”是“x 2＋2x －3≤0”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(﹁p )∧q C ．(﹁p )∧(﹁q )D ．p ∧(﹁q )B [命题p 为假命题，比如1>－2，但12<(－2)2，命题q 为真命题，不等式x 2＋2x －3≤0的解为－3≤x ≤1，所以x ≤1⇒/ －3≤x ≤1，而－3≤x ≤1⇒x ≤1，所以“x ≤1”是“x2＋2x －3≤0”的必要不充分条件，由命题p ，q 的真假情况，得出(﹁p )∧q 为真命题，选B.]7．已知p ：x 2－2x <0，q ：x ＋3x －1≤0，若p 真q 假，则x 的取值范围是( ) A ．[1,2) B ．(1,2) C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]A [p 真，可得x 2－2x ＜0，解得x ∈(0,2)；q 真，可得－3≤x ＜1，故q 假，得x ＜－3或x ≥1.所以，若p 真q 假，则x 的取值范围是 [1,2)．故选A.]8．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且￢q 的一个充分不必要条件是￢p ，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]A [由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，故￢p ：－3≤x ≤1，￢q ：x ≤a .由￢q 的一个充分不必要条件是￢p ，可知￢p 是￢q 的充分不必要条件，故a ≥1，故选A.] 9．命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是________.【导学号：07804159】()－3，3 [由题意，命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x ＜2”为真命题，又a sin x ＋cosx ＝a 2＋1sin(x 0＋θ)<2，∴－3<a <3，则实数a 的取值范围是()－3，3.] 10．下列命题正确的有________．(1)命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的必要不充分条件；(2)命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“对∀x ∈R, 均有x 2＋x ＋1>0”； (3)经过两个不同的点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示；(4)在数列{a n }中，a 1＝1，S n 是其前n 项和，且满足S n ＋1＝12S n ＋2，则{a n }是等比数列；(5)若函数f (x )＝x 3＋ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＝4，b ＝11. (3)(5) [(1)错误，命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的充分不必要条件； (2)错误，命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“对∀x ∈R, 均有x 2＋x ＋1≥0”；(3)正确；(4)错误，由S n ＋1＝12S n ＋2得S n ＝12S n －1＋2，两式相减得a n ＋1＝12a n (n ≥2)，又S 2＝a 1＋a 2＝12a 1＋2⇒a 2＝32，不满足a 2＝12a 1，故{a n }不是等比数列；(5)正确，若函数f (x )＝x 3＋ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f ′(1)＝0，f (1)＝10， 所以3＋2a －b ＝0,1＋a －b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝11.]。
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略训练：
专题十四 高考中的立体几何题型一| 空间位置关系的证明(2016·江苏高考)如图14-1，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.图14-1求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F . [解题指导] (1)DE 是△ABC 的中位线――→中位线的性质DE ∥AC ――→平行的传递性DE ∥A 1C 1线面平行的判定DE ∥平面A 1C 1F(2)A 1C 1⊥A 1B 1――→直棱柱的性质A 1C 1⊥平面ABB 1A 1―→A 1C 1⊥B 1D――→B 1D ⊥A 1FB 1D ⊥平面A 1C 1F ―→平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F[证明] (1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC . 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1.2分又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .4分 (2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.6分又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.8分 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D .10分又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F .12分 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .14分【名师点评】 1.正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直.2.证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用.1．(2016·苏锡常镇调研一)如图14-2，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，M 是棱AD 的中点，N 是棱PC 的中点．图14-2(1)求证：MN ∥平面P AB ；(2)若平面PMC ⊥平面P AD ，求证：CM ⊥AD .[证明] (1)取PB 中点E ，连结EA ，EN ，NM ，在△PBC 中，EN ∥BC 且EN ＝12BC ，又AM ＝12AD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，得EN ∥AM ，EN ＝AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形， 4分得MN ∥AE ，MN ⊄平面P AB ，AE ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .6分 (2)过点A 作PM 的垂线，垂足为H .∵平面PMC ⊥平面P AD ，平面PMC ∩平面P AD ＝PM ，AH ⊥PM ，AH⊂平面P AD，∴AH⊥平面PMC，∵CM⊂平面PMC，∴AH⊥CM. 12分∵P A⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴P A⊥CM.∵P A∩AH＝A，P A，AH⊂平面P AD，∴CM⊥平面P AD.∵AD⊂平面P AD，∴CM⊥AD. 14分2．如图14-3，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，P A⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：图14-3(1)PB∥平面EAC；(2)平面P AD⊥平面ABCD.[证明](1)连结BD与AC相交于点O，连结OE.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点. 3分因为E为棱PD中点，所以PB∥OE.因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以直线PB∥平面EAC. 6分(2)因为P A⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以P A⊥CD.因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD. 10分因为P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD.因为CD⊂平面ABCD，所以平面P AD⊥平面ABCD. 14分3．如图14-4，正三棱柱ABC-A1B1C1，点D，E分别是A1C，AB的中点．图14-4(1)求证：DE∥平面BB1C1C；(2)若AB＝2BB1，求证：A1B⊥平面B1CE.[证明](1)连结AC1，BC1，因为AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，所以D是AC1的中点. 3分在△ABC1中，因为D，E分别是AC1，AB的中点，所以DE∥BC1.因为DE⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，所以DE∥平面BB1C1C. 6分(2)因为△ABC是正三角形，E是AB的中点．所以CE⊥AB.又因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交线为AB，所以CE⊥平面ABB1A1，从而CE⊥A1B.在矩形ABB1A1中，因为A1B1B1B＝2＝B1BBE，所以Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，12分从而∠B1A1B＝∠BB1E，因此∠B1A1B＋∠A1B1E＝∠BB1E＋∠A1B1E＝90°，所以A1B⊥B1E.又因为CE，B1E⊂平面B1CE，CE∩B1E＝E，所以A1B⊥平面B1CE. 14分题型二| 空间几何体的体积计算如图14-5，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．图14-5(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高．【导学号：91632044】[解](1)证明：由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC. 2分又G为AD的中点，所以CG⊥AD. 3分同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC. 5分又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG. 7分(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O.由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC. 9分又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半. 11分在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以V D-BCG＝V G-BCD＝13S△DBC·h＝13×12BD·BC·sin 120°·32＝12. 14分【名师点评】 1.求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.3.在求空间几何体的高时，常根据已知线段的比例关系来确定高的比例关系，例如本例中点A、点G到平面BCD的距离的关系.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．图14-6(1)求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；(2)若AD＝3，AB＝BC＝2，P为AC中点，求三棱锥P-A1BC的体积．[解](1)证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC.∵AD⊥平面A1BC，∴AD⊥BC. 3分∵AA1，AD为平面ABB1A1内两相交直线，∴BC⊥平面ABB1A1.又∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ABB1A1. 6分(2)法一：由等积变换得V P-A1BC＝V A1-PBC，在Rt△A1AB中，由射影定理知AA1＝2 3.∵AA1⊥平面PBC，∴三棱锥的高为AA1＝2 3. 12分又∵底面积S△PBC＝1，∴V P-A1BC＝V A1-PBC＝13S△PBC×AA1＝233. 14分法二：连结CD，取CD中点Q，连结PQ.∵P为AC的中点，∴PQ∥AD，PQ＝12AD.∵AD＝3，∴PQ＝32，12分由(1)知AD⊥平面A1BC，∴PQ⊥平面A1BC，∴PQ为三棱锥P-A1BC的高，又由(1)知BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥BA1，∴S△A1BC＝4.∴V P-A1BC＝233. 14分。
2018年高考数学浙江专版二轮复习与策略 名师寄语 第2点 回避“套路”解题强化思维训练 含答案
第2点 回避“套路”解题，强化思维训练“思维”是数学的体操，从近几年来看，高考试题稳中有变，变中求新．其特点是：稳以基础为主体，变以选拔为导向，增大试题的思维量，倡导理性思维．因此，在复习备考时，应回避用“套路”解题，强化通过多观察、多分析、多思考来完成解题．(经典高考题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a(x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 [解题指导]C [由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1.又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ 02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)＝1，3－4a 2≥0⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.] 【名师点评】 借助函数图象分析函数的性质，是求解此类问题的通法，解题时，往往需要从函数的图象变化趋势中寻求解题的切入点，其中分段函数的单调性是本题的易错点.从以上典例我们可以看出，考能力不是考解题套路，而是考动手操作、深入思考、灵活运用的能力(即分析问题和解决问题的能力)，考生需要通过眼、手、脑高度的配合才能完成解题．因此，在二轮专题复习中，把握考查方向，强化思维训练非常重要．。
2018年高考数学理科江苏专版二轮专题复习与策略专题限
专题限时集训(十八) 圆锥曲线的定义、方程与性质(建议用时：4 5分钟)1．设抛物线C 1的方程为y ＝120x 2，它的焦点F 关于原点的对称点为E .若曲线C 2上的点到E ，F 的距离之差的绝对值等于6，则曲线C 2的标准方程为________．【解析】 方程y ＝120x 2可化为x 2＝20y ，它的焦点为F (0,5)，所以点E 的坐标为(0，－5)，根据题意，知曲线C 2是焦点在y 轴上的双曲线，设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＝6，a ＝3，又c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，所以曲线C 2的标准方程为y 29－x 216＝1. 【答案】 y 29－x 216＝12．(2016·常州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点P (1，－2)，则该双曲线的离心率为________．【导学号：19592052】5 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x . 由点P (1，－2)在其直线上，得ba ＝2. ∴离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋4＝ 5.] 3．(2016·苏北四市摸底)已知双曲线x 2－y 2m 2＝1(m >0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝________.33 [双曲线x 2－y 2m 2＝1(m >0)的渐近线方程为y ＝±mx (m >0)．由题意可知m＝33.]4．(2016·南京盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．92[由题意，可设曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)． 由于点P (1,3)满足y 2＝2px ，即9＝2p ，∴p ＝92. 故焦点到准线的距离为92.]5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．x 23＋y 22＝1 [由e ＝33得c a ＝33①.又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.]6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.12 [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎨⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于AB ＝x A ＋x B ＋p ，∴AB ＝212＋32＝12.]7．(2016·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2＝1与抛物线y 2＝－12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．y ＝±24x [抛物线y 2＝－12x 的焦点为(－3,0)， 故双曲线x 2a 2－y 2＝1满足a 2＋1＝9，∴a 2＝8. ∴a ＝±2 2.∴双曲线的渐近线方程y ＝±x a ＝±24x .]8．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若AB →·AF 2→＝0，且|AB →|＝|AF 2→|，则椭圆的圆心率为________．6－3 [在Rt △ABF 2中，设AF 2＝m ， 则BF 2＝2m ， 所以4a ＝(2＋2)m ，又在Rt △AF 1F 2中，AF 1＝2a －m ＝22m ， F 1F 2＝2c ，所以(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2＋m 2＝32m 2，即2c ＝62m ，所以e ＝c a ＝2c2a ＝62m ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22m＝6－ 3.] 9．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是________．【导学号：19592053】图17－222 [把x ＝－c 代入椭圆方程，得y ＝±b 2a ，∴PF ＝b 2a . ∵OP ∥AB ，PF ∥OB ，∴△PFO ∽△BOA ， ∴PF OF ＝OB OA ，即b 2a c ＝b a ，得b ＝c ，e ＝22.]10．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程是________．y 2＝3x [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，作AM ，BN 垂直准线于点M ，N (图略)，则BN ＝BF ，又BC ＝2BF ，得BC ＝2BN ，所以∠NCB ＝30°，有AC ＝2AM ＝6，设BF ＝x ，则2x ＋x ＋3＝6⇒x ＝1，又x 1＋p 2＝3，x 2＋p 2＝1，且x 1x 2＝p 24， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p 2＝p 24，解得p ＝32，从而抛物线方程为y 2＝3x .]11．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是________．(2，＋∞) [∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知MF ＝y 0＋2.以F 为圆心、FM 为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、FM 为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.]12．如图17－3，已知直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 的准线上的射影分别是M ，N ，若AM ＝2BN ，则k ＝________.图17－3223 [设直线l 与曲线C 的准线的交点为E ，因为AM ＝2BN ，所以BE ＝BA ，即B 为AE 的中点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得2x 2＝x 1－1，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以x 2·x 1＝1，即x 1－12·x 1＝1，得x 1＝2，y 1＝22，x 2＝12，y 2＝2，k ＝223.]13．(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．44 [由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5. ∴PQ ＝4b ＝16>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的一支上， 且PQ 所在直线过双曲线的右焦点， 由双曲线定义知⎩⎨⎧PF －P A ＝2a ＝6，QF －QA ＝2a ＝6，∴PF ＋QF ＝28.∴△PQF 的周长是PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.]14．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．3－1 [已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°. ∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴MF 1＝c ，MF 2＝3c . 由椭圆定义知MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a ， ∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.]15．(2016·宿迁模拟)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值为________．3 [由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∵|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2， ∴|PM →|min ＝ 3.]16．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [当点P 位于椭圆的两个短轴端点时，△F 1F 2P 为等腰三角形，此时有2个．若点不在短轴的端点时，要使△F 1F 2P 为等腰三角形，则有PF 1＝F 1F 2＝2c 或PF 2＝F 1F 2＝2c .此时PF 2＝2a －2c .所以有PF 1＋F 1F 2>PF 2，即2c ＋2c >2a －2c ，所以3c >a ，即c a >13，又当点P 不在短轴上，所以PF 1≠BF 1，即2c ≠a ，所以c a ≠12.13<e<1且e≠12，即⎝⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，1.]所以椭圆的离心率满足。
2018版高考数学二轮复习 第3部分 考前增分策略 专题1 考前教材重温 7 概率与统计教学案 理
7.概率与统计■要点重温…………………………………………………………………………· 1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[应用1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．[解析] 设本次抽取的总户数为x ，由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.[答案] 242．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．[应用2] 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图23所示：图23若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．[解析] 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名． [答案] 4 3．样本数据的数字特征在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标． 标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)简化计算公式①s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[应用3] (1)某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图24是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )图24A ．20B ．25C ．22.5D ．22.75(2)已知样本数据3,4,5，x ，y 的平均数是5，标准差是2，则xy ＝( ) A ．42 B ．40 C ．36D ．30(3)某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如图25)，则该地区满意度评分的平均值为________.【导学号：07804193】图25[解析] (1)产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4，……，设中位数是x ，则由0.1＋0.2＋0.08·(x －20)＝0.5，得x ＝22.5，故选C. (2)由3＋4＋5＋x ＋y 5＝5得x ＋y ＝13，①由15－2＋－2＋－2＋x －2＋y －2]＝ 2得x 2＋y 2－10x －10y ＋45＝0， ② ①×10＋②得，x 2＋y 2＝85③①2－③得，2xy ＝84，即xy ＝42，故选A.(3)由直方图估计评分的平均值为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5.[答案] (1)C (2)A (3)77.5 4．变量间的相关关系变量间的相关关系以散点图为基础，设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)…，(x n ，y n )是两个具有线性相关关系的变量的一组数据，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则 ⎩⎪⎨⎪⎧b^＝∑n i ＝1x i－x y i－y ∑ni ＝1x i－x2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －nx2a ^＝y －b ^x .[应用4] 假设某商品的销售量x (件)与利润y (万元)有如下统计数据：且已知∑i ＝15x 2i ＝90，∑i＝15y 2i ＝140.8，∑i ＝15x i y i ＝112.3，79≈8.9，2≈1.4.(1)对x ，y 进行线性相关性检验；(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求出回归直线方程，并估计销售量为10件时，利润约是多少？附相关公式：r ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1n y i －y2，b ^＝∑i ＝ 1nx i －xy i －y∑i ＝ 1nx i －x2＝∑i ＝ 1nx i y i －n x·y∑i ＝ 1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^·x .[解] (1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，相关系数r 的分子为∑i ＝15()x i－x ()y i－y ＝∑i ＝15x i y i －5x ·y ＝122.3－5×4×5＝12.3，∑i ＝15()x i－x 2＝ ∑i ＝15x 2i－5()x 2＝ 90－5×16 ＝ 10，∑i ＝15(y i －y )2＝∑i ＝15y 2i －5(y )2＝140.8－125＝15.8， 所以r ＝12.310×15.8＝12.3158＝12.379×2≈0.987.因为0.987>0.75，所以x 与y 之间具有很强的线性相关关系． (2)因为b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x ·y∑5i ＝1x 2i －nx2＝12.310＝1.23， a ^＝y －b ^·x ＝0.08，所以所求的回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08.当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计销售量为10 件时，利润约为12.38 万元． 5．独立性检验两个分类变量X 和Y 相关的可信度，常通过随机变量K 2的观测值k ＝n ad －bc 2a ＋ba ＋cb ＋dc ＋d来衡量， k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大．[应用5] 甲乙两个学校高三年级分别为1100人，1000人，为了统计两个学校在地区第二次模拟考试中数学科目的成绩，采用分层抽样的方法抽取了105名学生的成绩，并作出了部分频率分布表如下(规定考试成绩在[120,150]内为优秀)： 甲校：(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为这两个学校的数学成绩有差异.K 2＝n ad a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.附：[解] (1)x ＝6，y ＝7. 估计甲校的优秀率为1055≈18.2%；乙校的优秀率为2050＝40%.(2)填表如下：K 2＝－30×75×55×50≈6.109.∵6.109＞5.024，∴有97.5%的把握认为这两个学校的数学成绩有差异． 6．解排列组合问题的常用策略相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果． [应用6] (1)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(2)从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．(用数字作答)[解析] (1)把4个球分成3组，每组至少1个，即分的小球个数分别为2,1,1的3组，有C 24C 12C 11A 22种．最后将三组球放入4个盒中的3个，有分配方法数A 34种，因此，放法共有C 24C 12C 11A 22×A 34＝144(种)．(2)将问题分成三类：①含数字5，不含数字0，则选元素的过程有C 13·C 24种方法，将5排在末位，则组数的过程有A 33种方法，依据分步计数原理得这一类共有C 13C 24A 33＝108个；②含数字0，不含数字5，则选元素的过程有C 23C 14种方法，将0排在末位，则组数过程有A 33种方法，这一类共有C 23C 14A 33＝72个；③含数字0，也含数字5，则选元素的过程有C 13C 14，若0在末位，则组数过程有A 33种方法，若0不在末位，则组数过程有C 12A 22种方法，这一类共有C 13C 14(A 33＋C 12A 22)＝120个．根据分类计数原理，其中能被5整除的四位数共有108＋72＋120＝300个 [答案] (1)144 (2)300 7．二项式系数的性质(1)对称性：C k n ＝C n －kn (k ＝0,1,2，…，n )．(2)系数和：C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.(3)最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项，二项式系数为C n2n ；n 为奇数时，(n ＋1)为偶数，中间两项的二项式系数最大为第n ＋12项及第n ＋12＋1项，其二项式系数为.[应用7] (1)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ，b n ，则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝( )A ．2n －1＋3 B ．2(2n －1＋1)C ．2n ＋1D ．1(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x 4展开式中的常数项为________． [解析] (1)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和为2n，各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝12n ，则a n ＝2n，b n ＝12n ，a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n＝n－1－12n＝2n ＋1，故选C.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x 4＝x －8x 4，由二项式定理知(x －1)8通项为T r ＋1＝C r 8x8－r(－1)r，令r＝4得T 5＝C 48x 4(－1)4＝70x 4，故⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x 4展开式中的常数项为70.[答案] (1)C (2)70 8．概率的计算公式(1)互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，若事件A 与B 对立P (B )＝1－P (A )．(2)古典概型的概率计算公式：P (A )＝m n ＝card Acard I；[应用8] 某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________． [解析] 由题意可分两种情况只有甲乙中一人参加，有C 12C 35A 44＝480. 甲乙两人参加有C 25A 44＝240则满足条件总的发言总数为480＋240＝720. 甲乙两人参加，且发言时不相邻的包括情况有C 25A 22A 23＝120. 则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为120720＝16.[答案] 16(3)几何概型的概率计算公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积和体积试验的全部结果所构成的区域长度面积和体积.[应用9] 在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )【导学号：07804194】A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6[解析] 记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. [答案] B(4)条件概率的概率计算公式：P (B |A )＝P A ∩B P A ＝n A ∩Bn A.[应用10] 盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.35 B ．59 C.110D ．25[解析] 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ， 则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P ABP A ＝1335＝59.[答案] B(5)相互独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A ·B )＝P (A )·P (B )； (6)独立事件重复试验的概率计算公式是：P n (k )＝C k n P k (1－P )n －k；(7)若X ～N (μ，σ2)，则满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.[应用11] 某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．图26[解析] 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502)，得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为P ＝12，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P 1＝1－(1－P )2＝34.那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P 2＝P 1×P ＝38.[答案] 389．离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量的均值、方差：均值：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ；方差：D (X )＝[x 1－E (X )]2p 1＋[x 2－E (X )]2p 2＋…＋[x n －E (X )]2p n . (2)两点分布与二项分布的均值、方差．①若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．[应用12] 由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图27所示．图27节排器等级如表格所示(1)如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；(2)如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数X 的分布列及数学期望． [解] (1)由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号的节排器中一级品的概率为35，二级品的概率为25，则用分层抽样的方法抽取10件，其中有6件一级品，4件二级品，所以从这10件节排器中随机抽取3件，至少有2件一级品的概率 P ＝1－C 34＋C 24C 16C 310＝23. (2)由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为710，二级品的概率为14，三级品的概率为120.如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，则二级品数X 可能的值为0,1,2,3 .又P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫141×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.所以X 的分布列为E (X )＝0×64＋1×64＋2×64＋3×64＝4.■查缺补漏…………………………………………………………………………·1．高三学生体检，某班级随机抽取5名女学生的身高x (厘米)和体重y (公斤)的数据如下表：根据上表可得回归直线方程为y ＝0.92x ＋a ，则a ＝( )【导学号：07804195】A ．－96.8B ．96.8C ．－104.4D ．104.4A [回归直线方程过点(x ，y )，而x ＝165，y ＝55，所以a ＝55－0.92×165＝－96.8，选A.]2．(x 2－x －2)6的展开式中x 2的系数等于( )A ．－48B ．48C ．234D ．432B [(x 2－x －2)6＝(2－x )6(1＋x )6＝(C 0626－C 1625x ＋C 2624x 2－…)(C 06＋C 16x ＋C 26x 2＋…)所以展开式中x 2的系数为C 0626C 26－C 1625C 16＋C 2624C 06＝48.选B.]3．如图28是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列， 则年龄在[35,40)的频率是( )图28A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3C [[30,35)，[35,40)，[40,45]的概率和为1－(0.01＋0.07)×5＝0.6，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的概率依次成等差数列，所以[35,40)的频率为0.63＝0.2.选C.]4．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有( ) A ．192种 B ．216种 C ．240种D ．288种B [完成这件事件，可分两类：第一类，最前排甲，其余位置有A 55＝120种不同的排法；第二类，最前排乙，最后有4种排法，其余位置有A 44＝24种不同的排法；所以共有A 55＋4A 44＝216种不同的排法．]5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B ．π－22C.π6D ．4－π4D [如图所示，正方形OABC 及其内部为区域D ，且区域D的面积为4，而区域D 中阴影部分内的点到坐标原点的距离大于2，易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.]6．若(1＋2x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7的值为( )A ．－2B ．－3C ．253D ．126C [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－3，a 8＝2×(－2)7＝－256， ∴a 0＋…＋a 7＝－a 8－3＝253.选C.]7．已知某路段最高限速60 km/h ，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如图29(单位：km/h)．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为( )图29A.415 B ．25 C.815D ．35C [由茎叶图可知，这6辆汽车中有2辆汽车超速，所以从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为P ＝C 12C 14C 26＝815，故选C.]8．如图30，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有( )【导学号：07804196】图30A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种B [由图可知，区域2,3,5,4不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有A 46×2＝720种，故选B.] 9．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是________．189256 [该人投篮4次，命中3次的概率为P 1＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝2764；该人投篮4次，命中4次的概率为P 2＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256，故至少命中3次的概率是P ＝2764＋81256＝189256.]10．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．图31(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图31所示，则该样本的方差为________．(1)2,10,18,26,34 (2)62 [(1)分段间隔为405＝8，则所有被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)x ＝15(59＋62＋70＋73＋81)＝69.s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.]11．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，6)如下表所示：已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且∑i ＝16x i ＝39，∑i ＝16y i ＝480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲：y ^＝4x ＋54；乙：y ^＝－4x ＋106；丙：y ^＝－4.2x ＋105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．(1)试判断谁的计算结果正确？并求出a ，b 的值；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”．现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检测数据均为“理想数据”的概率．[解] (1)∵变量x ，y 具有线性负相关关系，∴甲是错误的．又∵∑6i ＝1x i ＝39，∑6i ＝1y i ＝480，∴x ＝6.5，y ＝80，满足方程y ^＝－4x ＋106，故乙是正确的．由∑6i ＝1x i ＝39，∑6i ＝1y i ＝480，得a ＝8，b ＝90.(2)由计算可得“理想数据”有3个，即(4,90)，(6,83)，(8,75)．从检测数据中随机抽取2个，共有15种不同的情形，其中这两个检测数据均为“理想数据”有3种情形．故所求概率为P ＝315＝15.12．某技术公司新开发了A ，B 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：(1)(2)生产一件产品A ，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B ，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在(1)的前提下，记X 为生产1件产品A 和1件产品B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解] (1)产品A 为正品的概率为40＋32＋8100＝45. 产品B 为正品的概率约为40＋29＋6100＝34. (2)随机变量X 的所有取值为180,90,60，－30，P (X ＝180)＝45×34＝35； P (X ＝90)＝15×34＝320； P (X ＝60)＝45×14＝15； P (X ＝－30)＝15×14＝120.所以，随机变量X 的分布列为：E (X )＝180×35＋90×320＋60×5＋(－30)×20＝132.。
(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习 第二部分 专题二 巧做高考题型讲义
专题二 巧做高考题型第一讲六招秒杀选择题——快得分选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活等特点．注重多个知识点的小型综合，侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生的选择、判断能力．常用方法分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，时间可能不允许，因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”．在考场上，提高了解题速度，也是一种制胜的法宝．准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[例1] (2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.[答案] C直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．1．两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，则抛物线y 2＝－b ax 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－516，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，0 解析：选B 由两个正数a ，b 的等差中项是92，得a ＋b ＝9；a ，b 的一个等比中项是25，得ab ＝20，且a >b ，故a ＝5，b ＝4.又由b a ＝45＝2p ，得p 2＝15，故抛物线y 2＝－b a x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，0.从题干(或选项)数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．[例2] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D. (0,2][解析] 根据三角函数的性质利用特殊值法代入逐项判断： ∵ω＝2时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4，不合题意，∴排除D.∵ω＝1时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，合题意，∴排除B 、C ，故选A.[答案] A特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．2．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)恒过(－1,0)，选项只有D 符合，故选D.分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．[例3] 设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ][解析] 选项A ，取x ＝1.5，则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1，显然[－x ]≠－[x ]；选项B ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，显然[2x ]≠2[x ]；选项C ，取x ＝y ＝1.6，则[x ＋y ]＝[3.2]＝3，[x ]＋[y ]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x ＋y ]>[x ]＋[y ]．排除A ，B ，C ，故选D.[答案] D排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．3．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：选D 由题意知，函数是奇函数，图象关于坐标原点对称，当0<x <π2时，显然y >0，而当x ＝π时，y ＝－π<0，据此排除选项A ，B ，C.习惯上也叫数形结合法．有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．图形化策略就是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．[例4] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，fx ＋，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [解析] 直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1,0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以14≤k <13.[答案] B涉及函数零点问题，一般有两种题型，且都可以利用数形结合法求解．(1)求解方程根的个数．画出相关的两个函数的图象，则两函数图象的交点个数即是函数零点的个数；(2)讨论图象交点问题的参数范围，如本例就是利用图象中直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )图象恰有三个不同的交点，得到实数k 的取值范围．4．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．[例5] 对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β＝{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3][解析] 函数f (x )＝ex －1＋x －2的零点为x ＝1，设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2.由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3＝x 2＋3－a (x ＋1)必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3.[答案] D函数的创新命题是高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．5．若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f (x )＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ伴随函数”；④“12伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题意得，①正确，如f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f (x )＝x 是一个“λ伴随函数”，则x ＋λ＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；③不正确，若f (x )＝x 2是一个“λ伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；④正确，若f (x )是“12伴随函数”，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12f (0)＝0，若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12任意一个为0，则函数f (x )有零点；若f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12均不为0，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12异号，由零点存在性定理知，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12区间内存在零点，所以有两个结论正确.只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．估算法往往可以减少运算量，快速找到答案．[例6] 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6D.152[解析] 连接BE ，CE ，四棱锥E ABCD 的体积为V E ABCD ＝13×3×3×2＝6，又多面体ABCDEF 的体积大于四棱锥EABCD的体积，即所求几何体的体积V>V EABCD＝6，而四个选项里面大于6的只有15，故选D.2[答案] D本题既用了估算法又用了排除法，解题的关键是利用θ的范围求sin θ的范围一定要准确，否则将达不到解题的目的或解答错误．6.(2017·宁波效实中学模拟)图中阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是( )解析：选B 由图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.第二讲分类智取填空题——稳得分填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．(1)根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：①定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系；②定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质．(2)根据填空题出题设问的多少，又可以将填空题分成两类形式：①单空题：与全国卷出题方式相同，一题一空，根据一般填空题的特点，四招速解；②多空题：是浙江高考填空题的一大特色，一题多空，出题的目的是提高知识覆盖面的考查，降低难度，让学生能分步得分；本质上来说和单空题区别无非就是多填一空，其解题方法和单空题相同，但多空题有它自身的特色，搞清多空之间设问的关系能使我们的解题事半功倍．解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．在解填空题时要做到：一、单空题——四招速解于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．[例1] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________.[解析] 因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113. [答案]2113直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．1．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1.答案：1时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．[例2] 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ―→·AC ―→＝________.[解析] 法一：AP ―→·AC ―→＝AP ―→·(AB ―→＋BC ―→)＝AP ―→·AB ―→＋AP ―→·BC ―→＝AP ―→·AB ―→＋AP ―→·(BD ―→＋DC ―→) ＝AP ―→·BD ―→＋2AP ―→·AB ―→， ∵AP ⊥BD ，∴AP ―→·BD ―→＝0.又∵AP ―→·AB ―→＝|AP ―→||AB ―→|cos ∠BAP ＝|AP ―→|2， ∴AP ―→·AC ―→＝2|AP ―→|2＝2×9＝18. 法二：把平行四边形ABCD 看成正方形， 则P 点为对角线的交点，AC ＝6， 则AP ―→·AC ―→＝18. [答案] 18求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的法二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量．2．若函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，则f (2 018)＝________.解析：取x ＝1，y ＝0时，有f (0)＝f (1)＋f (1)＝12，取x ＝1，y ＝1时，有14＝f (2)＋f (0)，f (2)＝－14.取x ＝n ，y ＝1，有f (n )＝f (n ＋1)＋f (n －1)，同理f (n ＋1)＝f (n ＋2)＋f (n )，联立得f (n ＋2)＝－f (n －1)，可得f (n ＋6)＝f (n )，所以f (x )是以6为周期的函数，故f (2 018)＝f (2)＝－14. 答案：－14过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．[例3] 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________．[解析] 如图，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，∵(a －c )·(b －c )＝0，∴点C 在以AB 为直径，AB 的中点为圆心的圆上，故|OC |的最大值为圆的直径，即|AB |的长为 2.[答案]2图象分析法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．3．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－π2·sin x <0，x ∈[－π，2π]的解集为________． 解析：在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，2π)． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，2π)程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．[例4] 如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[解析] 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.[答案]6π构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝2a n ＋3， 则有a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)， 即a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，公比为2的等比数列， 即a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.答案：2n ＋1－3二、多空题——辨式解答空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目．[例1] (2016·浙江高考)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.[解析] ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1. [答案]2 1[点评] 例1中根据题设条件把2cos 2x ＋sin 2x 化成1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4后，对比原条件恒等式两边可直接得出两空的结果，A ＝2，b ＝1.1．(2015·浙江高考)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是________________．解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23，渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±22x . 答案：2 3 y ＝±22x什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．[例2] (1)(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.(2)(2015·浙江高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．[解析] (1)由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为 2 cm,4 cm,2 cm ，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,2 cm ，4 cm.几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm 2)， 体积为2×2×4×2＝32(cm 3)．(2)∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0. 当x ≥1时，x ＋2x－3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时等号成立， 此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0， 此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3. [答案] (1)72 32 (2)0 22－3[点评] 例2(1)中根据题设条件三视图得出其几何体的直观图后，由面积的相关公式求出几何体的面积，由体积的相关公式求出其体积；例2(2)中，两空都是在已知一分段函数的解析式，考查两方面的知识，分别求出函数的值和函数的最值．2．(2015·浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是____________．解析：∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π. 令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解之可得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)． 答案：π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)进行作答，第一空是解题的关键也是难点，只要第一空会做做对，第二空便可顺势解答．[例3] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.[解析] ∵a n ＋1＝2S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1， ∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. [答案] 1 121[点评] 例3中根据题设条件求出a 1＝1后，再根据等比数列的求和公式求出S 5.第二空的解答是建立在第一空解答的基础上的，只有求出第一空才能求得第二空.3．(2017·台州模拟)以坐标原点O 为圆心，且与直线x ＋y ＋2＝0相切的圆方程是________，圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的位置关系是________．解析：由题意所求圆的半径等于原点O 到直线x ＋y ＋2＝0的距离，即r ＝21＋1＝2，则所求圆的方程为x 2＋y 2＝2；因为圆O 与圆x 2＋y 2－2y －3＝0的圆心和半径分别为O (0,0)，r 1＝2，C 2＝(0,1)，r 2＝2，且r 2－r 1<|OC 2|＝1<r 1＋r 2＝2＋2，所以两圆相交．答案：x2＋y 2＝2 相交选择填空提速专练(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A ＝{x |y 2＝x }，B ＝{y |y 2＝x }，则( ) A ．A ∪B ＝A B ．A ∩B ＝A C ．A ＝BD ．(∁R A )∩B ＝∅解析：选B 因为A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ∈R}，所以A ∩B ＝A ，故选B.2．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题错误的是( )A ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊄α，则b ∥αB ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥βC ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α或a ⊂αD ．若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β解析：选D 易知A ，B ，C 均正确；D 中a 和β的位置关系有三种可能，a ∥β，a ⊂β或a 与β相交，故D 错误，故选D.3．已知函数f (2x)＝x ·log 32，则f (39)的值为( ) A.16B.19C ．6D ．9解析：选D 令t ＝2x(t >0)，则x ＝log 2t ，于是f (t )＝log 2t ·log 32＝log 3t (t >0)，故函数f (x )＝log 3x (x >0)，所以f (39)＝log 339＝9，故选D.4．在复平面内，已知复数z ＝|1－i|＋2i1－i ，则z 在复平面上对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为z ＝|1－i|＋2i 1－i ＝2＋2i1－i ＝2＋＋－＋＝2－22＋2＋22i ，所以复数z 在复平面上对应的点为2－22，2＋22，显然此点在第二象限，故选B. 5．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：选 B 设y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g (x )，则g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，因为g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝k π＋7π6(k ∈Z)，故当k ＝－1时，|φ|min ＝π6，故选B.6．已知实数a ，b ，则“|a ＋b |＋|a －b |≤1”是“a 2＋b 2≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由绝对值三角不等式|a ±b |≤|a |＋|b |可得⎩⎪⎨⎪⎧|2a |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，|2b |≤|a ＋b |＋|a －b |≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，此不等式组表示边长为1的正方形区域(含边界)，而a 2＋b 2≤1表示单位圆域(含边界)，故由⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ≤12，－12≤b ≤12，可以推出a 2＋b 2≤1，但是反之不成立，故选A.7．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1和双曲线N ：y 2a 2－x 2b 2＝1，其中b >a >0，双曲线M 和双曲线N 交于A ，B ，C ，D 四个点，且四边形ABCD 的面积为4c 2，则双曲线M 的离心率为( )A.5＋32 B.5＋3 C.5＋12D.5＋1解析：选C 设A 为双曲线M ，N 在第一象限的交点，由对称性易知四边形ABCD 是正方形，因为正方形ABCD 的面积为4c 2，所以边长为2c ，即A (c ，c )，代入双曲线M 中，得c 2a 2－c 2b2＝1，即c 2a 2－c 2c 2－a 2＝1，变形为e 2－e 2e 2－1＝1，整理得e 4－3e 2＋1＝0，所以e 2＝3＋52e 2＝3－52<1，舍去，故e ＝3＋52＝6＋254＝52＋25＋14＝5＋12，故选C.8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1,3x ＋4y ≤0，则x －3x －y －2的取值范围是( )A ．[1,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，113D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，113 解析：选B 因为x －3x －y －2＝1x －y －2x －3＝11－y －1x －3，故需要先求出y －1x －3的取值范围，而y －1x －3表示动点(x ，y )与定点A (3,1)连线所成直线的斜率，约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤1，3x ＋4y ≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，是直线3x ＋4y ＝0与圆x 2＋y 2＝1围成的下半圆区域(含边界)．易得B －45，35，由图可知直线AB 的斜率最小，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3min＝1－353＋45＝219.又过A (3,1)且在x轴下方与圆x 2＋y 2＝1相切的直线斜率最大，可设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0，由圆心到切线的距离等于半径可得d ＝|1－3k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x －3max ＝34，故y －1x －3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤219，34.于是x －3x －y －2＝11－y －1x －3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1917，4，故选B.9．设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( ) A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项， 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ， 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]， 所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9或k ＝0(舍去)，故选C.10.在直角梯形 ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P(如图所示)．若AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值是( )A.22 B.324 C. 2 D.34解析：选B 以A 为原点，建立如图所示直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)，E (1,0)，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，所以ED ―→＝(－1,1)，AF―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12， 则AP ―→＝λED ―→＋μAF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－λ＋32μ，λ＋12μ.又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋32μ＝22，λ＋12μ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝24，μ＝22，从而λ＋μ＝324.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝2exe x ＋1，在F (x )＝f (x )＋1和G (x )＝f (x )－1中，________为奇函数；若f (b )＝32，则f (－b )＝________.解析：由G (x )＝f (x )－1＝e x－1e x ＋1，G (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1e x －11ex ＋1＝1－ex1＋ex ＝－G (x )，故G (x )＝f (x )－1为奇函数．由f (b )＝32得，G (b )＝f (b )－1＝12，所以G (－b )＝f (－b )－1＝－12，f (－b )＝12.答案：G (x ) 1212．已知等比数列{a n }的前n 项和满足S n ＝1－A ·3n ，数列{b n }是递增数列，且b n ＝An 2＋Bn ，则A ＝________，B 的取值范围为________．解析：因为任意一个公比不为1的等比数列前n 项和为S n ＝a 1－q n1－q＝a 11－q －a 11－qq n，而等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－A ·3n，所以A ＝1，b n ＝n 2＋Bn .又因为数列{b n }是递增数列，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)2＋B (n ＋1)－n 2－Bn ＝2n ＋1＋B >0恒成立，所以B >－(2n ＋1)恒成立，所以B >－3.答案：1 (－3，＋∞)13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：由三视图可知该几何体是由半个圆柱和一个倒立的直四棱锥组合而成的，如图，故该几何体的体积V ＝13×4×4×4＋4π×42＝643＋8π，表面积为S ＝π×22＋2π×2×42＋4×4×22＋4×42×22＝16＋162＋12π.答案：643＋8π 16＋162＋12π14．已知在一次考试中甲、乙、丙三人及格的概率均为23，那么三人中至少有2人及格的概率为________，记考试及格的人数为X ，则随机变量X 的期望为________．解析：因为甲、乙、丙三人及格的概率均为23，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫133－C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1－127－627＝2027，E (X )＝3×23＝2.答案：2027215．已知实数x >0，y >0，且满足x ＋y ＝1，则2x ＋xy的最小值为________．解析：因为x ＋y ＝1，所以2x ＋x y ＝2x ＋2y x ＋x y ＝2＋2y x ＋x y≥2＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＝x y ，x ＋y ＝1，即x ＝2－2，y ＝2－1时等号成立．答案：2＋2 216．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，对任意的x 1，x 2，x 3，且0≤x 1<x 2<x 3≤π，都有|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|≤m 成立，则实数m 的最小值为________．解析：原不等式恒成立，只需要m 大于或等于|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|的最大值即可，则只需|f (x 1)－f (x 2)|，|f (x 2)－f (x 3)|都取得最大值，结合f (x )＝sin2x ＋π3，x ∈[0，π]的图象易知，当x 1＝π12，x 2＝7π12，x 3＝π时，|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|1－(－1)|＝2，|f (x 2)－f (x 3)|max＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－32＝1＋32，所以|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|的最大值为3＋32，即m 的最小值为3＋32.答案：3＋3217.已知扇环如图所示，∠AOB ＝120°，OA ＝2，OA ′＝12，P 是扇环边界上一动点，且满足OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：以O 为坐标原点，以OA 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，易知A (2,0)，B (－1，3)，设P (2cos α，2sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，(1)当点P 在AA ′上运动时，向量OP ―→与OA ―→共线，显然y ＝0，此时OP ―→＝x OA ―→＝(2x,0)，12≤2x ≤2，所以12≤2x ＋y ≤2；(2)当点P 在BB ′上运动时，向量OP ―→与OB ―→共线，显然x ＝0，此时OP ―→＝y OB ―→＝(－y ，3y )，－2cos 60°≤－y ≤－12cos 60°，即14≤y ≤1，所以14≤2x ＋y ≤1；(3)当点P 在AB 上运动时，由OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，得(2cos α，2sin α)＝x (2,0)＋y (－1，3)，即2cos α＝2x －y ， 2sin α＝3y ，所以2x ＋y ＝43sin α＋2cos α，变形可得2x ＋y ＝2213sin(α＋φ)，其中tan φ＝32，因为P 是扇环边界上一动点，且满足OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，所以x ，y 均为非负实数，又33<32<1，所以可取π6<φ<π4，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＋φ＝π2时，2x ＋y 取得最大值，最大值为2213，当α＝2π3时，2x ＋y 取得最小值，最小值为1；(4)当点P 在AB ′′上运动时， 因为|OA ′||OA |＝|OB ′||OB |＝14，故2x ＋y 的最大值为14×2213＝216，最小值为14×1＝14.综上所述，2x ＋y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2213.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2213选择填空提速专练(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，则|3＋2i|＝( ) A. 5 B.7 C.13D ．3解析：选C 由题意得|3＋2i|＝32＋22＝13，故选C. 2．已知A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |2x>1}，则A ∩(∁R B )为( ) A ．(－2,1) B ．(－∞，1) C ．(0,1)D ．(－2,0]解析：选D 由题意得集合B ＝{x |x >0}，所以∁R B ＝{x |x ≤0}，则A ∩(∁R B )＝{x |－2<x ≤0}，故选D.3．若(x －1)8＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 5＝( ) A ．56 B ．－56 C ．35D ．－35解析：选B 二项式(x －1)8的展开式中x 5的系数为a 5＝C 38(－1)3＝－56，故选B. 4．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)，则f (x )的奇偶性( ) A ．与ω有关，且与φ有关 B ．与ω有关，但与φ无关 C ．与ω无关，且与φ无关 D ．与ω无关，但与φ有关解析：选D 因为ω决定函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期，φ决定函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象沿x 轴平移的距离，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的奇偶性与ω无关，与φ有关，故选D.5．已知x ∈R ，则“|x －3|－|x －1|<2”是“x ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为|x －3|－|x －1|≤|(x －3)－(x －1)|＝2，当且仅当x ≤1时，等号成立，所以|x －3|－|x －1|<2等价于x >1，所以“|x －3|－|x －1|<2”是“x ≠1”的充分不必要条件，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝30°，△ABC 的面积为32.且sin A ＋sin C ＝2sin B ，则b 的值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3 C.3－1D.3＋1解析：选D 在△ABC 中，由sin A ＋sin C ＝2sin B 结合正弦定理得a ＋c ＝2b ，△ABC 的面积为12ac sin B ＝12ac ×12＝32，解得ac ＝6，在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a＋c )2－2ac －3ac ＝(2b )2－(2＋3)×6.解得b ＝3＋1，故选D.7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )A ．50B ．80C ．120D ．140解析：选B 当甲组有两人时，有C 25A 23种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C 35A 22种不同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C 25A 23＋C 35A 22＝80种不同的分配方案，故选B.8．已知a ，b 为实常数，{c i }(i ∈N *)是公比不为1的等比数列，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)均相交，所成弦的中点为M i (x i ，y i )，则下列说法错误的是( )A ．数列{x i }可能是等比数列B ．数列{y i }是常数列C ．数列{x i }可能是等差数列D ．数列{x i ＋y i }可能是等比数列解析：选C 设等比数列{c i }的公比为q .当a ＝0，b ≠0时，直线by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 最多有一个交点，不符合题意；当a ≠0，b ＝0时，直线ax ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的交点为－c ia，± －2pc i a ，则x i ＝－c i a ，y i ＝0，x i ＋y i ＝－c i a，此时数列{x i }是公比为q 的等比数列，数列{y i }为常数列，数列{x i ＋y i }是以q 为公比的等比数列；当a ≠0，b ≠0时，直线ax ＋by ＋c i ＝0与抛物线y 2＝2px 的方程联立，结合根与系数的关系易得x i ＝pb 2a 2－c i a ，y i ＝－pba，此时数列{y i }为常数列．综上所述，A ，B ，D 正确，故选C.9．若定义在(0,1)上的函数f (x )满足：f (x )>0且对任意的x ∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )，则( )A ．对任意的正数M ，存在x ∈(0,1)，使f (x )≥MB ．存在正数M ，对任意的x ∈(0,1)，使f (x )≤MC ．对任意的x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)D.对任意的x 1，x 2∈(0,1)且x 1<x 2，有f (x 1)>f (x 2)解析：选A 令x 1∈(0,1)，x 2＝2x 11＋x 21，则易得x 2∈(0,1)，f (x 2)＝2f (x 1)，令x 3＝2x 21＋x 22，则易得x 3∈(0,1)，f (x 3)＝2f (x 2)＝22f (x 1)，…，依次类推得f (x n )＝2n －1f (x 1)，所以数列{f (x n )}构成以f (x 1)为首项，2为公比的等比数列，又因为f (x 1)>0，所以对任意的正数M ，存在n ∈N *，使得2nf (x 1)≥M ，即存在x ＝x n ∈(0,1)，使得f (x )≥M ，故选A.10.在正方体ABCD A1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段CD ，AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分解析：选B 延长D 1P 交平面ABCD 于点Q ，则直线D 1Q 与直线MN 所成的角即为直线D 1P 与直线MN 所成的角，则由最小角定理易得当点M 与点D 重合，且直线MN 过点Q 时，直线D 1Q 与直线MN 所成的角取得最小值，此时∠D 1QD 即为直线D 1Q 与直线MN 所成的角，所以∠D 1QD ＝π3，则∠DD 1Q ＝π6，所以点P 在以DD 1为轴，顶角为π3的圆锥面上运动，又因为点P 在平面A 1C 1D 上，所以点P 的轨迹是椭圆的一部分，故选B.二、填空题11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．解析：由三视图得该几何体是一个底面为以4为底边，3为高的三角形，高为8的三棱柱截去两个以三棱柱的底为底，高为2的三棱锥后所得的组合体，则其体积为12×3×4×8－2×13×12×3×4×2＝40，表面积为4×8＋2×4＋82×13＋2×12×13×4＝32＋1613.答案：40 32＋161312．比较lg 2，(lg 2)2，lg(lg 2)的大小，其中最大的是________，最小的是________． 解析：因为1<2<10，所以0<lg 2<1，所以0<(lg 2)2<lg 2，lg(lg 2)<0，所以三个数中最大的是lg 2，最小的是lg(lg 2)．答案：lg 2 lg(lg 2) 13．设随机变量X 的分布列为。
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2018年高考数学二轮复习解答题解题策略与技巧 +高考押题命题猜测加解析 函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键． 在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。 因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。 分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论． 预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其导数与函数)，将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题． 化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法． 一、函数与方程思想 一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题． 1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决． 2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要． 可用函数与方程思想解决的相关问题． 1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： (1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； (2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的． 2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： (1)解方程或解不等式； (2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用； (3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等； (4)构造方程或不等式求解问题． 二、数形结合的数学思想 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： 数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题； (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 常见适用数形结合的两个着力点是： 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。 1．数形结合的途径 （1）通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理） 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。4)1()2(22yx如等式。
常见方法有： ①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。 ②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。 ③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。 （2）通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将
a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2)12060(cos或ba与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。 常见的转换途径为： ①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。
②利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质。 （3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a
与正方形的面积互化，将abc与体积互化，将22ac与勾股定理沟通等等。 （4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离
221212()()xxyy
，点到直线的距离0022||AxByCdAB，直线的斜率，直线的截
距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。 2．数形结合的原则 （1）等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。 （2）双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。 （3）简单性原则 就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。 三、分类讨论的思想 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． 2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． 3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等． 4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等． 5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法． 6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 四、化归与转化的思想 1、化归与转化的思想方法 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称