根式及其运算
第5课 二次根式及其运算
【例】 (1)已知x＝2－
探究提高
1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，
计算时要认真仔细. 2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．
6 知能迁移3 (1) － 18－( 1 )0 2 2 解：原式＝3 2 －3 2 －1 ＝－1
(2)(－3)2－ 4 ＋( 1 )－1； 2 解：原式＝9－2＋2＝9 (3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值． 解：∵3< 10 <4，
第2课 二次根式
及实数运算
要点梳理
1．二次根式的概念：
式子 a (a≥0) 叫做二次根式． 2．二次根式的性质：
(1)( a )2＝ a(a≥0) ； a(a≥0) (2) a2＝|a|＝ 0(a＝0) －a(a< 0)
(3) ab ＝ (4)
a · b(a≥0，b≥0) ．
a (a≥0，b>0) ． b
∴原式＝
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
题型
二次根式运算中的技巧
，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； 3 (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.
∴ 10 的整数部分a＝3，小数部分b＝ 10 －3. ∴a2－b2＝32－( 10－3)2 ＝9－(10－6 10＋9) ＝－10＋6 10 .
高中数学知识点：根式的概念和运算法则
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：根式的概念和运算法则
1．n 次方根的定义：
若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；
n 为偶数时，正数y
的偶次方根有两个，记为；负数没有偶
0=.
2．两个等式
（1）当1n >且*n N ∈
时，n
a =； （2）⎩⎨
⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n
要点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．。
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算1、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．2、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．一、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
二、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：1a =b a -与b a -等分别互为有理化因式。
2、两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a与a3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例、已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+ 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与； ③与； ④与．三、二次根式的乘除1、积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
a≥0，b≥0）2、二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a≥0，b≥0）注意：1、公式中的非负数的条件；2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解；3、c＝abc（ a ≥0，b≥0，c ≥03、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
a≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．例1．=，且x为偶数，求（1+x的值．解：由题意得9060xx-≥⎧⎨->⎩，即96xx≤⎧⎨>⎩∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式=（1+x=（1+x=（1+x∴当x=8时，原式的值．例2=成立的的x的取值范围是（）A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解例3、·（m>0，n>0）解： 原式＝=-22n n m m =-例4、（a>0）解：原式规律公式：1、观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，32=-同理可得：计算代数式（+）的值．解：原式=（……）=（） =2002-1=20012、观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想（2）针对上述各式反映的规律，写出用a(a>1的整数)表示的等式，并给出验证过程.（aa>1））。
根式及其运算.
根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x ＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为练习1．化简：2．计算：3．计算：。
二次根式的概念与运算
根号内的有理化分母
定义：将根号内的分母化为有理数的过程 目的：简化二次根式，使其更易于计算和化简 方法：利用平方差公式或分母有理化 注意事项：在进行有理化时，要保证根号内的值非负
04
二次根式的运算
二次根式的乘除法
定义：二次根式 的乘除法是指将 两个二次根式相 乘或相除，得到 一个新的二次根 式。
05
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
勾股定理：利用 二次根式计算直 角三角形的斜边 长度
面积计算：利用 二次根式计算矩 形、三角形等图 形的面积
相似三角形：利 用二次根式证明 两个三角形相似 ，并计算相似比
圆：利用二次根 式求圆的半径、 直径等几何量
二次根式在代数方程中的应用
二次根式在解一 元二次方程中的 应用
运算法则：在进 行二次根式的乘 除法时，需要遵 循运算法则，即 "同底数幂相乘， 底数不变，指数 相加；同底数幂 相除，底数不变， 指数相减"。
运算步骤：首先 确定被开方数和 根指数，然后根 据运算法则进行 乘除运算，最后 化简得到最简二 次根式。
注意事项：在进 行二次根式的乘 除法时，需要注 意运算的顺序和 符号，以及化简 后二次根式的形 式。
二次根式在解一 元高次方程中的 应用
二次根式在解分 式方程中的应用
二次根式在解无 理方程中的应用
二次根式在日常生活中的应用
建筑学：计算建筑物的重心、支撑点等 物理学：计算物体的质量和重心 统计学：计算平均数、中位数等 金融学：计算投资回报率、风险评估等
二次根式在物理问题中的应用
计算物体运动中 的位移和速度
其中a称为被开方数，必须满 足被开方数是非负数
根指数为2，表示开方运算进 行两次
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。
例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。
例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。
例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。
例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
根式及其运算
根式及其运算【2 】二次根式的概念.性质以及运算轨则是根式运算的基本,在进行根式运算时,往往用到绝对值.整式.分式.因式分化,以及配办法.换元法.待定系数法等有关常识与解题办法,也就是说,根式的运算,可以造就同窗们分解应用各类常识和办法的才能．下面先温习有关基本常识,然落后行例题剖析．二次根式的性质：二次根式的运算轨则：设a,b,c,d,m是有理数,且m不是完整平方数,则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时,假如它们的积不含有二次根式,则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去失落根号,所以因为x-2＜0,1-x＜0,所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．解释若根式中的字母给出了取值规模,则应在这个规模内进行化简;若没有给出取值规模,则应在字母许可取值的规模内进行化简．例2 化简：剖析两个题分母均含有根式,若按照平日的做法是先分母有理化,如许盘算化简较繁．我们可以先将分母因式分化后,再化简．解法1 配办法．配办法是要设法找到两个正数x,y(x＞y),使x+y=a,xy=b,则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多反复合二次根式,可从里往外慢慢化简．剖析被开方数中含有三个不同的根式,且系数都是2,可以算作解设双方平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x,y,z均非负,所以xyz≥0,所以xyz=35．⑤⑤÷②,有z=7．同理有x=5,y=1．所求x,y,z显然知足①,所以解设原式=x,则解法1 应用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分化有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0,所以x-4＝0,x＝4．所以原式＝4．解法2解释解法2看似简略,但对于三次根号下的拼集是很难的,是以本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁,不雅察x,y的特点有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy ＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求剖析本题的症结在于将根号里的乘积化简,不可一味蛮算．解设根号内的式子为A,留意到1＝(2-1),及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2,所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256,的值．剖析与解先盘算几层,看一看有无纪律可循．解用结构方程的办法来解．设原式为x,应用根号的层数是无穷的特色,有双方平方得双方再平方得x4-4x2＋4＝2＋x,所以x4-4x2-x＋2＝0．不雅察发明,当x＝-1,2时,方程成立．是以,方程左端必有因式(x＋1)(x-2),将方程左端因式分化,有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为演习1．化简：2．盘算：3．盘算：。
高中数学中的根式与有理数运算规则
高中数学中的根式与有理数运算规则数学作为一门基础学科，是我们日常生活中必不可少的一部分。
在高中数学中，根式与有理数运算规则是我们学习的重点内容之一。
根式与有理数的运算规则不仅仅是为了解决实际问题，更是培养我们的逻辑思维和数学思维能力的重要途径。
首先，我们来了解一下根式的概念。
根式是指数学中的一种运算符号，表示开方运算。
在高中数学中，我们经常会遇到平方根、立方根等各种根式。
根式的运算规则主要包括加减乘除四则运算和化简等。
在进行根式运算时，我们需要注意一些基本的原则。
首先，根式的和差运算。
当我们需要对两个根式进行加减运算时，我们需要保持根号内的数相同，即保持根式的根次和底数相同。
例如，√2 + √3 不能直接进行加减运算，但可以化简为√6。
这样，我们就可以得到一个简化的根式。
其次，根式的乘法运算。
当我们需要对两个根式进行乘法运算时，我们可以直接将根号内的数相乘，并将根次相加。
例如，√2 × √3 = √6。
同样地，我们可以将根式化简为一个更简单的根式。
另外，根式的除法运算也是我们需要掌握的一项技能。
当我们需要对两个根式进行除法运算时，我们可以直接将根号内的数相除，并将根次相减。
例如，√6 ÷√2 = √3。
通过这样的运算规则，我们可以得到一个更简单的根式。
除了根式的运算规则外，有理数的运算规则也是我们需要掌握的重要内容之一。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
有理数的运算规则主要包括加减乘除四则运算和化简等。
在有理数的加法运算中，我们需要注意两个有理数的符号。
当两个有理数的符号相同时，我们可以直接将它们的绝对值相加，并保持原来的符号。
例如，(-2) + (-3) = -5。
当两个有理数的符号不同时，我们可以将它们的绝对值相减，并将结果的符号与绝对值较大的有理数的符号保持一致。
例如，7 + (-3) = 4。
在有理数的乘法运算中，我们需要注意两个有理数的符号。
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算
二次根式的加减运算是指两个二次根式进行加法或减法运算。
要
进行二次根式的加减运算，需满足被开方数相同，且根号内的数也相同。
即若两个二次根式为√a和√b，则可进行加减运算的前提是a＝b。
具体操作时，对于加法运算，将两个二次根式的系数相加，并保
持根号内的数不变。
例如：√a + √a = 2√a。
对于减法运算，将两个二次根式的系数相减，并保持根号内的数
不变。
例如：√a - √a = 0。
需要注意的是，除非被开方数相同，否则两个二次根式不能进行
加减运算。
二次根式运算定律
二次根式运算定律在数学中，二次根式是指由含有平方根的算式或表达式所构成的式子。
而二次根式运算定律则是指关于二次根式的一些基本运算规则和性质。
本文将介绍二次根式运算定律及其应用。
1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则可以简化两个二次根式之间的乘法运算。
假设a和b是任意实数且a≥0，b≥0，那么根式√a和√b的乘积可以表示为√(a×b)。
例如，√3 × √5 = √(3 × 5) = √15。
这个乘法法则可以帮助我们在简化二次根式时避免出现较大的数。
2. 二次根式的除法法则二次根式的除法法则可以用来简化二次根式之间的除法运算。
同样假设a和b是任意实数且a≥0，b≥0，那么根式√a除以根式√b可以表示为√(a ÷ b)。
例如，√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
这个除法法则可以使我们更容易进行二次根式的简化计算。
3. 二次根式的加法法则二次根式的加法法则可以帮助我们在进行二次根式之间的加法运算时进行合并和简化。
假设a和b是任意实数且a≥0，b≥0，那么根式√a 加上根式√b可以表示为√(a + b)。
例如，√2 + √8 = √(2 + 8) = √10。
这个加法法则使我们可以将不同的二次根式相加为一个简化的形式。
4. 二次根式的减法法则二次根式的减法法则可以帮助我们在进行二次根式之间的减法运算时进行合并和简化。
同样假设a和b是任意实数且a≥0，b≥0，那么根式√a减去根式√b可以表示为√(a - b)。
例如，√9 - √5 = √(9 - 5) = √4 = 2。
这个减法法则允许我们将不同的二次根式相减为一个简化的形式。
5. 二次根式的乘方法则二次根式的乘方法则可以用来简化带有二次根式的指数运算。
假设a是任意实数且a≥0，那么根式√a的n次方可以表示为√(a^n)。
例如，(√3)^2 = √(3^2) = √9 = 3。
这个乘方法则可以帮助我们将带有二次根式的指数运算化简为一个更简单的形式。
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根式及其运算
二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，
往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有
关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和
方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．
二次根式的性质：
二次根式的运算法则：
设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两
个代数式互为有理化因式．
例1 化简：
法是配方去掉根号，所以
因为x-2＜0，1-x＜0，所以
原式=2-x+x-1=1．
＝a-b-a+b-a+b=b-a．
说明 若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给
出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．
例2 化简：
分析 两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化
简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．
解法1 配方法．
配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则
解法2 待定系数法．
例4 化简：
(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．
分析 被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成
解 设
两边平方得
②×③×④得
(xyz)2=5×7×35=352．
因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以
xyz=35．⑤
⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以
解 设原式=x，则
解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．
将方程左端因式分解有
(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．
因为
x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，
所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．
解法2
说明 解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是
一般常用的解法．
例8 化简：
解(1)
本小题也可用换元法来化简．
解 用换元法．
解 直接代入较繁，观察x，y的特征有
所以
3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y
2
-11xy
＝3(x＋y)
2
-11xy
＝3×10
2
-11×1＝289．
例11 求
分析 本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．
解 设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所
以
A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1
＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1
＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1
＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1
＝22×256-1＋1＝22×256，
的值．
分析与解 先计算几层，看一看有无规律可循．
解 用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有
两边平方得
两边再平方得
x4-4x2＋4＝2＋x，所以x
4-4x2
-x＋2＝0．
观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x-2)，将
方程左端因式分解，有
(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．
解 因为
练习
1．化简：
2．计算：
3．计算：