第一章 集合、不等式、简易逻辑
第一章 集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑在数学的广阔天地中，集合与简易逻辑就像是两座基石，支撑着我们探索更复杂、更深入的数学领域。
它们看似简单，却蕴含着深刻的思想和广泛的应用。
让我们先来聊聊集合。
集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些确定的、不同的对象放在一起组成的一个整体。
比如说，一个班级里的所有同学就可以组成一个集合，一个水果篮里的各种水果也能组成一个集合。
集合有一些特别的表示方法。
我们可以用列举法，把集合中的元素一个一个地列出来。
比如，由数字 1、2、3 组成的集合，就可以写成{1, 2, 3}。
还有一种方法叫描述法，通过描述元素的共同特征来表示集合。
比如，小于 5 的正整数组成的集合，可以写成{x ｜ x 是小于 5 的正整数}。
集合之间有着各种各样的关系。
如果一个集合中的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合就是另一个集合的子集。
比如说，集合{1, 2, 3}是集合{1, 2, 3, 4, 5}的子集。
如果两个集合的元素完全一样，那它们就是相等的集合。
在集合的运算中，交集、并集和补集是非常重要的概念。
交集就是两个集合中共同的元素组成的集合。
比如集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的交集就是{2, 3}。
并集则是把两个集合中的所有元素合在一起组成的新集合，上述两个集合的并集就是{1, 2, 3, 4}。
补集呢，是在一个给定的全集里，某个集合之外的元素组成的集合。
说完了集合，咱们再来说说简易逻辑。
逻辑在我们的日常生活和数学思考中都起着至关重要的作用。
简易逻辑中，命题是一个核心的概念。
命题就是能够判断真假的陈述句。
比如“今天是晴天”，这可以是一个命题，因为它能判断出真假。
而“你吃饭了吗？”这就不是命题，因为它不是陈述句，没法判断真假。
命题有真有假。
如果一个命题为真，那么它的否定就是假；如果一个命题为假，那么它的否定就是真。
比如命题“2 大于1”是真命题，它的否定“2 不大于1”就是假命题。
在逻辑关系中，“且”和“或”是两个重要的连接词。
第一章 集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑在数学的广袤世界里，集合与简易逻辑就像是构建知识大厦的基石，看似简单，却蕴含着深刻的思想和广泛的应用。
让我们一同踏上探索这一领域的旅程，揭开它们神秘的面纱。
首先，我们来聊聊集合。
集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的整体。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，操场上所有的篮球也能构成一个集合。
集合通常用大写字母来表示，比如A、B、C 等等。
集合中的元素，也就是组成集合的那些对象，用小写字母表示。
如果一个元素 x 属于某个集合 A，我们就记作 x ∈ A；要是不属于，那就是 x ∉ A。
集合的表示方法有好几种。
列举法大家应该很好理解，就是把集合中的元素一个一个地列出来，像｛1，2，3，4，5｝这样。
描述法呢，就是通过描述元素所具有的特征来表示集合，比如｛x ｜ x 是小于 10的正整数｝。
集合之间还有各种各样的关系。
两个集合相等，意味着它们包含的元素完全相同。
子集呢，就是一个集合中的所有元素都在另一个集合里。
比如说集合 A ＝｛1，2，3｝，集合 B ＝｛1，2，3，4，5｝，那 A 就是 B 的子集。
真子集就是除了自身以外的子集。
集合的运算也很重要。
并集，就是把两个集合中的所有元素合在一起组成的新集合。
比如 A ＝｛1，2，3｝，B ＝｛3，4，5｝，A 并 B就是｛1，2，3，4，5｝。
交集呢，是两个集合中共同拥有的元素组成的集合，A 交 B 就是｛3｝。
补集则是在一个给定的全集 U 中，某个集合 A 的补集就是 U 中不属于 A 的元素组成的集合。
说完了集合，咱们再来说说简易逻辑。
逻辑在我们的日常生活和数学推理中都扮演着重要的角色。
命题是简易逻辑的核心概念之一。
命题就是能够判断真假的陈述句。
比如“今天是晴天”，这能判断真假，就是个命题；但像“这个苹果真好吃”，这就不是命题，因为好不好吃因人而异，没法明确判断真假。
命题又分为真命题和假命题。
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 3等式性质与不等式性质课件
2
0时，
= 0,D错误.故选
【点拨】已知 < < ， < < ，求 , （如 + ，3
2
− 4，， ，
等） 的取值范围时，通常利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求解.
变式3（1） 若1 < < 3，−4 < < 2，则 − 的取值范围是(
通分、分母（分子）有理化等.③判断符号（判断商和“1”的大小关系）. ④给出结论.
变式2（1） 已知 = + 1 + + 4, = + 2 + + 3，则与的大小关系是
(
)
A. >
解：2 = 2 + 5 + 2
B. >
√
C. =
+ 1 + 4 ， 2 = 2 + 5 + 2
性质1：如果 = ，那么 = ；
性质2：如果 = , = ，那么 = ；
性质3：如果 = ,那么 ± = ± ；
性质4：如果 = ,那么 = ;
性质5：如果 = , ≠
0,那么
=
.
3.不等式的基本性质
序号
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
性质
，
2
所以3 < 2 − 3 < 8，即2 − 3 ∈ 3,8 .
+
=
,
= + ,
2
（方法二）令ቊ
则൞
−
= − ,
=
,
2
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合及其运算1. D2. B3. D4. C5. C 【解析】 由⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，所以A ∩B ＝{(2，－1)}．由M ⊆(A ∩B )，知M ＝∅或M ＝{(2，－1)}．6. A 【解析】 由x －2>0，得x >2，即B ＝(2，＋∞)，所以∁R B ＝(－∞，2]，所以A ∩(∁R B )＝(1,2]．7. ACD 8. CD 调9. AD 【解析】 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故A 正确．当a ＝1，b＝2时，12∉Z ，不满足条件，故B 不正确．当M 比Q 多一个元素i(i 是虚数单位)时，则会出现1＋i ∉M ，所以它不是一个数域，故C 不正确．根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故D 正确．10. －1 【解析】 由A ∪(∁U A )＝U ，可知A ＝{1,3}．又因为a 2＋2≥2，所以a ＋2＝1且a 2＋2＝3，解得a ＝－1.11. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤23或a ≥4 3 【解析】 因为A ∩B ＝∅，所以有两种情况：B ＝∅，B ≠∅.当B ＝∅时，a ≥3a ，得a ≤0；当B ≠∅时，则⎩⎨⎧ a >0，a ≥4或3a ≤2，所以a ≥4或0<a ≤23.综上，a ≤23或a ≥4.若A ∩B ＝{x |3<x <4}，则由交集的性质知a ＝3.12. 1 【解析】M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1a ，1a ，由1a ＝12，得a ＝4.由1a ＝1，得a ＝1.当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意；当a ＝1时，M ＝{－1,1}，满足题意．13. {1,6,10,12} 【解析】 要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．14. 【解答】 因为A 是非空集合，所以8－a >a ，解得a <4.若选①，B ＝{x |－2<x <3}，因为A ∩B ＝∅，所以a ≥3或8－a ≤－2，解得a ≥3或a ≥10.又a <4，所以实数a 的取值集合是{a |3≤a <4}．若选②，因为∁R B ＝{x |－3<x <5}，所以B ＝{x |x ≤－3或x ≥5}．因为A ∩B ＝∅，所以⎩⎨⎧ a ≥－3，8－a ≤5，a <4，解得3≤a <4.故实数a 的取值集合是{a |3≤a <4}．若选③，因为A ∩B ＝∅，B ＝{x |x ≥a 2＋6}且A ∪B ＝{x |x >a }，所以a 2＋6＝8－a ，解得a ＝－2或1.故实数a 的取值集合是{－2,1}．15. 【解答】 (1) 因为A ＝{x |2≤x ≤8}，所以∁U A ＝{x |x <2或x >8}． 因为(∁U A )∩B ＝∅，当B ＝∅时，6－m <2，m ＞4；当B ≠∅时，6－m ≥2,6－m ≤8，解得－2≤m ≤4.所以m 的取值范围是[－2，＋∞)．(2) 由题可知，B ≠∅，C ≠∅，则⎩⎨⎧6－m ≥2，1＋2m ≥m －1，解得－2≤m ≤4. 当－2≤m ≤4且B ∩C ＝∅时，则有2m ＋1<2或m －1>6－m ，解得m <12或m >72，所以当B ∩C ≠∅时，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |12≤m ≤72. 16. 【解答】 (1) 若m ＝1，由⎩⎨⎧ x ≥0，2－x >0，解得0≤x <2，所以A ＝[0,2)． 令t ＝12x ，x ∈[－1,1]，则t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以原函数转化为y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，所以y min ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋14＝－2，y max ＝14，y ＝12x －14x 在x ∈[－1，1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14，所以A ∪B ＝[－2,2)． (2) 由⎩⎨⎧ x －m ＋1≥0，m ＋1－x >0，可得m －1≤x <m ＋1，所以集合A ＝[m －1，m ＋1)．由(1)知B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.因为q 是p 的必要不充分条件，所以集合A 是集合B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－2，m ＋1≤14，解得－1≤m ≤－34，所以实数m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ －1≤m ≤－34. 第2讲 充分条件、必要条件、充要条件1. A 【解析】 由题可知，若x ∈P ，则一定有x ∈Q ，故充分性满足；但是若x∈Q，则不一定有x∈P，故必要性不满足．故“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件．2. A【解析】由|x－3|<1，得－1<x－3<1，即2<x<4，所以“|x－3|<1”是“x>2”的充分不必要条件．3. B【解析】由log a3＜log b3，得0＜b＜a＜1或0＜a＜1＜b或a＞b＞1，由3a＞3b＞3，得a＞b＞1，所以“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的必要不充分条件．4. A【解析】因为对数函数y＝ln x是增函数，定义域为(0，＋∞)，因为x>y>0，所以x＋1>y＋1>1，即ln(x＋1)>ln(y＋1)，所以充分性成立；因为ln(x＋1)>ln(y＋1)，所以x＋1>y＋1>0，即x>y>－1，所以必要性不成立，所以“x>y>0”是“ln(x＋1)>ln(y＋1)”的充分不必要条件．5. A【解析】由不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，可得Δ＝(－1)2－4×1×m＜0，解得m＞14，故“m＞14”是“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的充要条件．6. C【解析】对于A，因为cos x≤1恒成立，故A是真命题，不符合题意；对于B，当x＝3时，满足32>23，故B是真命题，不符合题意；对于C，若a>2，b>2，则ab>4，故充分性成立；当a＝－3，b＝－3时，满足ab>4，但a<2，b<2，故必要性不成立，故C是假命题，符合题意；对于D，由|x|>0得x≠0，因为{x|x>1}{x|x≠0}，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件，故D是真命题，不符合题意.7. AB【解析】A错误，当a＝0，b＝0，c<0时，满足b2－4ac≤0，但此时ax2＋bx＋c≥0不成立；B错误，若a，b，c∈R，a>c且b＝0时，推不出“ab2>cb2”，故B错误；C正确，若方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a>0，且x1x2＝a<0，则a<0，又“a<1”是“a<0”的必要不充分条件，故C正确；D正确，a>1⇒1a<1，但是1a<1⇒a>1或a＜0，由“a＞1”是“a＞1或a＜0”的充分不必要条件，故D正确．8. BD【解析】由题意知关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R，所以函数f(x)＝x2－2ax＋a的图象始终在x轴上方，即Δ＝(－2a)2－4a＜0，解得0＜a＜1.又{a|0＜a＜1}{a|0≤a≤1}，{a|0＜a＜1}{a|a≥0}，所以“0≤a≤1”和“a≥0”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”的必要不充分条件．故选BD.9. [5,7]【解析】p：－1＜x－a＜1，即a－1＜x＜a＋1，q：由(x－4)(8－x )＞0，解得4＜x ＜8.若p 是q 的充分不必要条件，则有⎩⎨⎧ a －1≥4，a ＋1≤8(等号不能同时取得)，解得5≤a ≤7.10. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32 【解析】 不等式可转化为(x ＋1)(2x －3)≤0，解得－1≤x ≤32.由于“x ∈{－1，m }”是“－1≤x ≤32”的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，可得m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32. 11. (－8,0] 【解析】 因为不等式mx 2－mx －2＜0对任意x ∈R 恒成立，所以m ＝0或⎩⎨⎧ m ＜0，(－m )2＋8m <0，解得－8＜m ≤0. 12. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 【解析】 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38. 13. 【解答】 (1) 由集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R |x －6x ＋3>0＝(－∞－3)∪(6，＋∞)，知∁R A ＝[－3,6]．集合B ＝{x ∈R |2x 2－(a ＋10)x ＋5a ≤0}＝{x ∈R |(2x －a )(x －5)≤0}，若B ⊆∁R A ，且5∈[－3,6]，只需－3≤a 2≤6，所以－6≤a ≤12.(2) 由(1)可知B ⊆∁R A 的充要条件是a ∈[－6,12]．选择①，[－7,12)⃘[－6,12]且[－6,12]⃘[－7,12)，则结论是既不充分也不必要条件；选择②，[－6,12](－7,12]，则结论是必要不充分条件； 选择③，(6,12][－6,12]，则结论是充分不必要条件．14. 【解答】 (1) 由命题“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，所以m >(x 2－x )max ，即m >2，所以实数m 的取值集合为B ＝(2，＋∞)．(2) 不等式(x －3a )(x －a －2)<0.①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }．若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以2＋a ≥2，此时a >1；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，满足题设条件；③当3a <a ＋2，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以3a ≥2，此时23≤a <1.综合①②③可得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 15. 【解答】 (1) 由－x 2＋4ax －3a 2>0，得x 2－4ax ＋3a 2<0，即(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，得a <x <3a ，a >0，则p ：a <x <3a ，a >0.若a ＝1，则p ：1<x <3.由x －3x －2<0，得2<x <3，即q ：2<x <3. 若p ，q 都为真命题，则⎩⎨⎧ 1<x <3，2<x <3，解得2<x <3， 所以实数x 的取值范围为(2,3)．(2) 若q 是p 的充分不必要条件，即(2,3)是(a,3a )的真子集，则⎩⎨⎧3a ≥3，a ≤2，且等号不能同时成立，解得1≤a ≤2，故实数a 的取值范围为[1,2]．第3讲 全称量词和存在量词1. D2. A3. B4. D 【解析】 命题“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是∀x ∈[1,2]，a ≥x 2恒成立，即a ≥4.故命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是D 选项．5. C 【解析】 命题p 的否定为綈p ：∀x ∈[1,9]，x 2－ax ＋36＞0，即x 2＋36＞ax ，即a <x ＋36x .设f (x )＝x ＋36x ，则f (x )＝x ＋36x ≥2x ·36x ＝12，当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时取等号，所以a ＜12.因为p 是真命题，所以綈p 是假命题，故a 的取值范围是[12，＋∞)．6. D 【解析】 因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.7. ABC 【解析】 对于A ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立，所以A 正确；对于B ，当x ＝12>0时，ln x <0，1ln x <0，所以∃x 0>0，ln x 0＋1ln x 0≤2成立，所以B 正确； C 正确；对于D ，命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”，所以D 错误．8. BC 【解析】 对于A ，因为sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4， 所以sin x 0＋cos x 0的最大值为2，可得不存在x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2成立，故命题A 是假命题；对于B ，因为当x 0＝k π或±π3＋2k π(k ∈Z )时，sin2x 0＝sin x 0，故命题B 是真命题；对于C ，因为1＋cos2x 2＝cos 2x ，所以1＋cos2x 2＝|cos x |， 结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2得cos x ≥0， 由此可得1＋cos2x 2＝cos x ，故命题C 是真命题； 对于选项D ，因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，不满足sin x >cos x ，所以命题D 是假命题．9. AC10. ∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋111. [－2,2] 【解析】 若∃x ∈R ，使得sin x －3cos x ＝a ，则sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝a 有解．因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3∈[－2,2]，所以a ∈[－2,2]． 12. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 【解析】 由题知当x ∈[－1,2]时，函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．当x ∈[－1,2]时，函数f (x )的值域是[－1,3]，函数g (x )的值域是[2－a,2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a ＞0，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 13. 4 【解析】 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，所以不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≤0可化为m ≥2ln x ＋x ＋3x .设f (x )＝2ln x ＋x ＋3x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，则f ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3(不合题意，舍去)，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以当x ＝1时，f (x )取得最小值为f (x )min ＝f (1)＝0＋1＋3＝4，所以m ≥4，即m 的最小值为4.14. 【解答】 (1) 因为命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋2≥0为真命题，所以Δ＝a 2－4×1×2≤0，解得－22≤a ≤22，所以实数a 的取值范围为[－22，22]．(2) 因为命题q ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－12，x 2－ax ＋1＝0为真命题， 所以a ＝x 2＋1x ＝x ＋1x ，又y ＝x ＋1x 在[－3，－1]上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上单调递减，所以当x ＝－1时，a 取最大值－2；当x ＝－3时，a ＝－103；当x ＝－12时，a ＝－52，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－103，－2. 15. 【解答】 因为实数a ＞0，所以由①得0＜a ＜1.由②得，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1， 所以由sin 2x ＋a sin x －1≥0，得a ≥1sin x －sin x .令t ＝sin x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1， 因为函数f (t )＝1t －t 在区间(0，＋∞)上为减函数，所以当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1时，f (t )＝1t －t ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22， 则要使a ≥1sin x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上恒成立，需a ≥22. 综上，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a |22≤a ＜1. 16. 【解答】 (1) 因为对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，所以(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2，因此，若p 为真命题时，实数m 的取值范围是[1,2]．(2) 因为a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，所以m ≤x ，当命题q 为真时，m ≤1.因为p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，当p 真q 假时，⎩⎨⎧1≤m ≤2，m >1，解得1<m ≤2；当p 假q 真时，⎩⎨⎧ m <1或m >2，m ≤1，解得m <1. 综上，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．第4讲 不等式的性质、一元二次不等式1. A2. B 【解析】 由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a成立，则1a －b －1a ＝a －(a －b )a (a －b )＝b a (a －b )>0，由a <b <0得a －b <0，矛盾，故假设不成立，故选B.3. D 【解析】 由不等式(x －2)·x ＋1≥0可得⎩⎨⎧ x －2≥0，x ＋1≥0或x ＋1＝0，解得x ≥2或x ＝－1.所以不等式(x －2)·x ＋1≥0的解集是{x |x ≥2或x ＝－1}．4. D 【解析】 已知c 3a <c 3b <0，当c <0时，1a >1b >0，即b >a >0，所以|b |>|a |，ac >bc ，a －b c >0成立，即A ，B ，C 成立；此时0<a b <1，所以ln a b <0，D 错误．同理，当c >0时，A ，B ，C 也正确，D 错误．5. A 【解析】 原不等式2x 2－8x －4＋a ≤0化为a ≤－2x 2＋8x ＋4，设函数y ＝－2x 2＋8x ＋4，其中1≤x ≤3，对称轴方程为x ＝2，则当x ＝2时函数y ＝－2x 2＋8x ＋4取得最大值为12，所以a ≤12.6. C 【解析】 因为不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为m ＜x ＜n ，所以a ＜0，且⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝－b a ，mn ＝c a ，所以b ＝－a (m ＋n )，c ＝amn ，所以不等式cx 2－bx ＋a ＞0可化为amnx 2＋a (m ＋n )x ＋a ＞0.又a ＜0，所以mnx 2＋(m ＋n )x ＋1＜0，即(mx ＋1)(nx＋1)＜0.又m ＜0＜n ，所以不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1n >0，且－1m >－1n ，所以解得x >－1m 或x <－1n ，故选C.7. AD 【解析】 若a 2－b 2＝1，则a 2－1＝b 2，即(a ＋1)(a －1)＝b 2.因为a＋1＞a －1，所以a －1＜b ＜a ＋1，即a －b ＜1，A 正确．若1b －1a ＝1，可取a ＝7，b ＝78，则a －b ＞1，所以B 错误．若|a －b |＝1，则可取a ＝9，b ＝4，而|a －b |＝5＞1，所以C 错误．由|a 3－b 3|＝1，若a ＞b ＞0，则a 3－b 3＝1，即(a －1)·(a 2＋a ＋1)＝b 3.因为a 2＋1＋a ＞b 2，所以a －1＜b ，即a －b ＜1；若0＜a ＜b ，则b 3－a 3＝1，即(b －1)(b 2＋1＋b )＝a 3.因为b 2＋1＋b ＞a 2，所以b －1＜a ，即b －a ＜1，所以|a －b |＜1，所以D 正确．故选AD.8. BCD 【解析】 因为不等式－4<x －1<4的解集为(－3,5)，所以A 错误；由x －23－x≥0，得(x －2)(x －3)≤0(x ≠3)，解得x ∈[2，3)，所以B 正确；因为(－1)2－4<0，所以x 2－x ＋1>0，所以C 正确；由4－2x <0，得2x >4，解得x >22，所以D 正确．9. AD 【解析】 当a ＜－1时，1－a ＞0，且a ＜1a ，则不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，故A 正确；当a ＝－1时，不等式可化为2(x ＋1)2＜0，不等式的解集为∅，故B 错误；当0＜a ＜1时，1－a ＞0，且a ＜1a ，则不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，故C 错误；当a ＞1时，1－a ＜0，且a ＞1a ，则不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(a ，＋∞)，故D 正确．10. {x |0＜x ＜9} 11. (－3,3)12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 【解析】 由题意，可知不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，又由(x －a )(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.13. －10 【解析】 设y ＝ax 2＋8(a ＋1)x ＋7a ＋16，其图象为抛物线．对于任意一个给定的a 值，其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y ≥0而整数解只有有限个，所以a ＜0.因为0为其中的一个解，可以求得a ≥－167，又a ∈Z ，所以a ＝－2，－1，则不等式为－2x 2－8x ＋2≥0或－x 2＋9≥0，可分别求得－5－2≤x ≤5－2或－3≤x ≤3.因为x 为整数，所以x ＝－4，－3，－2，－1,0或x＝－3，－2，－1,0,1,2,3，所以全部不等式的整数解的和为－10.14. 【解答】 (1) 因为bc ≥ad ，bd >0，所以c d ≥a b ，所以c d ＋1≥a b ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋d d .(2) 因为c >a >b >0，所以c －a >0，c －b >0.因为a >b >0，所以1a <1b .因为c >0，所以c a <c b ，所以c －a a <c －b b ，又c －a >0，c －b >0，所以a c －a >b c －b. 15. 【解答】 (1) 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 方法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67. 方法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67. (2) 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立，即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1,3]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max ＝6，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)． (3) 由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．16. 【解答】(1) 因为f (x )≤0的解集为[－1,2]，所以x 2＋bx ＋c ＝0的根为－1,2，所以－b ＝1，c ＝－2，即b ＝－1，c ＝－2，所以f (x )＝x 2－x －2.(2) mf (x )>2(x －m －1)，化简得m (x 2－x －2)>2(x －m －1)，整理得(mx －2)(x －1)>0，所以当m ＝0时，不等式的解集为(－∞，1)；当0<m <2时，不等式的解集为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，＋∞；当m ＝2时，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)； 当m >2时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2m ∪(1，＋∞)． (3) 当x ∈[－2,1]时，f (x )＋3x －1＝x 2＋2x －3∈[－4,0]， 因为g (x )＝2f (x )＋3x －1＝2x 2＋2x －3，所以g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，1，因为对于任意的x 1，x 2∈[－2,1]都有|g (x 1)－g (x 2)|≤M ，即|g (x 1)－g (x 2)|max ≤M ，转化为|g (x )max －g (x )min |≤M ，又g (x )max ＝g (1)＝1，g (x )min ＝g (－1)＝116， 所以M ≥1516，所以M 的最小值为1516.第5讲 基本不等式1. B 【解析】 12x ＋21－x ＝12x ＋21－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋21－x (x ＋1－x )＝52＋12(1－x )x ＋2x 1－x，0＜x ＜1，所以x ＞0且1－x ＞0，12(1－x )x ＋2x1－x≥212(1－x )x ·2x1－x＝2，当且仅当12(1－x )x ＝2x 1－x ，即x ＝13时，12(1－x )x ＋2x 1－x 取得最小值2，故12x ＋21－x的最小值为92.2. D 【解析】 当a ，b 为负数时，a ＋b2≥ab 不成立，故排除A ；当a ，b 为正数时，a ＋b 2≤－ab 不成立，故排除B ；当x 为负数时，x ＋1x ≥2不成立，故排除C ；x 2＋1x 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2≥0恒成立，即x 2＋1x 2≥2恒成立，故选D.3. B 【解析】 因为实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <23，所以x ＝4y ＋6∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23，y >0，则4x ＋1y ＝y ＋6＋1y ≥2＋6＝8，当且仅当y ＝1，x ＝47时取等号，所以4x ＋1y 的最小值为8.4. D 【解析】 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2.又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b 2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b 2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.5. B 【解析】 由a >0，b >0,2a ＋b ＝2，得a b ＋1a ＝a b ＋2a ＋b 2a ＝1＋a b ＋b 2a ≥1＋2(当且仅当b ＝2a ，即a ＝2－2，b ＝22－2时取等号)，故a b ＋1a 的最小值为2＋1.6. A 【解析】 因为a x ＝b y ＝2，所以x ＝log a 2，y ＝log b 2， 所以x ＋y xy ＝1x ＋1y ＝log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )．因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)， 所以1x ＋1y ≤log 24＝2，即1x ＋1y 的最大值为2. 7. BCD8. ABC 【解析】 因为a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，由基本不等式可得1＝a ＋2b ≥22ab ，可得ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12，即a ＝12，b ＝14时取等号，故A 正确；因为(a ＋2b )2＝a ＋2b ＋22ab ＝1＋22ab ≤2，所以a ＋2b ≤2，即最大值为2，故B 正确；因为⎩⎨⎧a ＝1－2b >0，b >0，所以0<b <12，结合二次函数的性质可知，a 2＋b 2＝(1－2b )2＋b 2＝5b 2－4b ＋1≥15，故C 正确；因为0<b <12，结合二次函数的性质可得，a 2－b 2＝(1－2b )2－b 2＝3b 2－4b ＋1＞－14，取不到等号，故D 错误．故选ABC.9. ABD 【解析】 对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.10. 1∶2 【解析】 由题意可得V ＝πR 2h ，则表面积S ＝2πR 2＋2πRh ＝2πR 2＋2πR ×V πR 2＝2πR 2＋2V R ＝2πR 2＋V R ＋V R ≥332πV 2，当且仅当2πR 2＝V R ＝πRh ，即h ＝2R 时取等号，故所求比值为1∶2时满足题意．11. 8 9 【解析】 因为x ＞0，y ＞0，且1x ＋1y ＝1，所以xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，可得xy ≥4，则2xy 的最小值为8.因为xy ＋3x ＝x ＋y ＋3x ＝4x ＋y ＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋y x ＋4x y ≥5＋4＝9，当且仅当y x ＝4x y 且1x ＋1y ＝1，即x ＝32，y ＝3时取等号．12. 2 14 【解析】 若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则xy ＝2，2x ＋1y ≥22x ·1y ＝2，当且仅当2x ＝1y ，即x ＝2，y ＝1时取等号，故2x ＋1y 的最小值是2.又x >y >0，x －y >0，x －y x 2＋y 2＝x －y (x －y )2＋2xy ＝x －y(x －y )2＋4＝1x －y ＋4x －y≤12(x －y )·4(x －y )＝14，当且仅当x －y ＝4x －y，即x ＝3＋1，y ＝3－1时取等号，故x －y x 2＋y2的最大值为14.13. 45 【解析】 依题意得a <0，且3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝7，c a ＝12，则⎩⎨⎧b ＝－7a ，c ＝12a ， 所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝144a 2＋5－6a ＝(－24a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－6a ≥2(－24a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫5－6a ＝45，当且仅当144a 2＝5，即a ＝－512时取等号，所以所求最小值为4 5. 14. 【解答】 (1) 由不等式f (x )>0的解集为(－1,3)可得方程ax 2＋(b －2)x ＋3＝0的两根为－1,3，且a <0.由根与系数的关系可得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4.(2) 若f (1)＝2，a >0，b >－1，则a ＋b ＝1，所以12[a ＋(b ＋1)]＝1，4a ＋b ＋1ab ＋a ＝1a ＋4b ＋1＝12[a ＋(b ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋b ＋1a ＋4a b ＋1≥92， 当且仅当a ＝23，b ＝13时取等号，所以4a ＋b ＋1ab ＋a的最小值为92.15. 【解答】 (1) 设∠BOC ＝α，则0<α<π2，所以OB ＝cos α，BC ＝sin α. 因为S ＝2OB ·BC ，所以S ＝2sin αcos α＝sin2α，所以当α＝π4，即OB ＝22时，矩形面积最大，且为1 m 2. (2) 如图，建立平面直角坐标系． 依题意可得椭圆方程为x 24＋y 2＝1(y ≥0)． 设点C 的坐标为(m ，n )，即OB ＝m ，BC ＝n ， 所以S ＝2OB ·BC ＝2mn .因为点C 为椭圆上的点，所以m 24＋n 2＝1. 又m 24＋n 2≥2m 24·n 2＝mn ， 所以mn ≤1，当且仅当m 2＝n ＝22时取等号， 所以S ≤2.故当OB ＝2时，矩形的面积最大，为2 m 2.(第15题)16. 【解答】 (1) 因为a ＋b ＝3，令a ＋2＝m ，b ＋1＝n ，所以m ＋n ＝a ＋b ＋3＝6，所以a ＝m －2，b ＝n －1，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝(m －2)2m ＋(n －1)2n ＝m ＋4m ＋n ＋1n －6.因为m ＋n ＝a ＋b ＋3＝6，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4m ＋1n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4n m ＋m n ＋5≥16×(4＋5)＝32，当且仅当4n m ＝m n ，即m ＝2n 时，a 2a ＋2＋b 2b ＋1取得最小值，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1的最小值为32.(2) x 2＋3x ＋y 2y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1＋1y ＋1， 结合x ＋y ＝1可知原式＝3x ＋1y ＋1，且3x ＋1y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y ＋1×x ＋(y ＋1)2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋3(y ＋1)x ＋x y ＋1≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋23(y ＋1)x ×x y ＋1＝2＋3， 当且仅当x ＝3－3，y ＝－2＋3时等号成立． 即x 2＋3x ＋y 2y ＋1的最小值为2＋ 3.。
第一章集合与简易逻辑(教案)
高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想； 4．数形结合思想．【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。
1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； (2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。
第一章 集 合与简易逻辑小结
第一章集合与简易逻辑小结在数学的广阔领域中，集合与简易逻辑如同两座基石，为后续更深入的学习打下了坚实的基础。
让我们一同来梳理和回顾这部分重要的知识。
首先，来谈谈集合。
集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的一个整体。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，所有正整数也能组成一个集合。
集合有几个关键的概念得弄清楚。
像元素，这是构成集合的基本单位。
如果一个元素属于某个集合，我们就说这个元素在这个集合里面。
集合的表示方法有列举法，就是把集合里的元素一个一个列出来；还有描述法，通过描述元素的特征来确定集合。
集合之间的关系也很重要。
包含关系，比如集合 A 的所有元素都在集合 B 里面，那 A 就是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集，但 B 中还有A 没有的元素，那 A 就是B 的真子集。
还有相等关系，两个集合的元素完全一样，那它们就相等。
集合的运算也不能马虎。
交集，就是两个集合共有的元素组成的集合；并集，则是把两个集合的所有元素放在一起组成的新集合；补集，是在一个给定的全集里，去掉某个集合的元素后剩下的元素组成的集合。
再来看看简易逻辑。
逻辑连接词像是“且”“或”“非”，在判断命题的真假时特别有用。
比如说，命题“p 且q”只有当 p 和 q 都为真时才是真命题；“p 或q”只要 p 和 q 中有一个为真就是真命题；“非p”则是和 p 的真假相反。
充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重点。
如果有“若 p 则q”，p 能推出 q，那 p 就是 q 的充分条件；反过来，q 能推出 p，p 就是 q 的必要条件；要是 p 能推出 q，q 也能推出 p，那 p 就是 q 的充要条件。
在实际应用中，集合和简易逻辑的知识经常会结合在一起。
比如在解决一些不等式的问题时，我们可以先求出不等式的解集，也就是一个集合，然后通过逻辑推理来判断不同解集之间的关系，找到满足条件的解。
举个例子，假设集合 A ＝｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 3}，集合 B ＝｛x ｜ 2 ＜ x ＜ 4}，那么 A 和 B 的交集就是｛x ｜ 2 ＜ x ＜ 3}，并集就是｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 4}。
课题第一章集合与简易逻辑小结
课题：第一专场会与简名保矮J俅教学目的：1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法.2.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义.教学重点：1有关集合的基本概念；3.逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件.教学难点：1.有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系；2.对一些代数命题真假的判断.授课类型：复习授课3时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容.集合部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系.简易逻辑知识部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识.教学过程：一、知识结构：本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法.【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆.【数学思想】1、等价转化的数学思想；2、求补集的思想；3、分类思想；4、数形结合思想.【解题规律】1、如何解决与集合的运算有关的问题：1)对所给的集合进行尽可能的化简；2)有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3)有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素.2.如何解决与简易逻辑有关的问题：1)力求寻找构成此更合命题的简单命题；2)利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题.二、基本知识点：集合：1、集合中的元素属性：(1)(2)(3)2、常用数集符号：NZQR3、子集：数学表达式4、补集：数学表达式5、交集：数学表达式6、并集：数学表达式7、空集：它的性质(1)(2)8、如果一个集合A有n个元素(CradA=n),那么它有个个子集，个非空真子集.注意：(1)元素与集合间的关系用符号表示；（1）集合与集合间的关系用符号表示.解不等式：1、绝对值不等式的解法：(1)公式法：If(X)I>g(x)Of(x)I<g(x)O(2)几何法(3)定义法(利用定义打开绝对值)（4）两边平方2、一元二次不等式tzP+"+C>0（。
01-第一章 集合与简易逻辑
1.1 集 合〖考纲要求〗理解集合、子集的概念，了解空集、属于、包含、相等的意义. 〖复习要求〗掌握子集的概念，正确使用符号：∈，∉，⊆，⊂，≠，Γ ，H 等〖复习建议〗集合是高考必考内容，一般考查两方面：集合自身的知识与集合语言与集合思想的应用。
复习时要抓住元素这个关键，遇到集合问题，首先要弄清集合里的元素是什么。
注意区别：a 与{a }；{a ，b }与{(a ，b )}，φ与{φ}〖双基回顾〗集合元素具有的三大特征是： 、 、 ；集合的表示方法： 、 、 ；集合的分类：有限集与无限集。
元素与集合只有两种关系： 、 ；子集的定义与集合的相等： n 元集合子集的个数= ；全集的意义；交集、并集、补集的定义与运算 提示：“和”、“或”、“且”体现在集合的运算中应该是 .一、知识点训练：1、用适当符号填空：0 {0，1}；{a ，b } {b ，a }；0 φ；{3＋17} {x |x ＞6＋3}2、用列举法表示{y |y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= .{(x ,y )|y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= . 3、M ={x |x 2＋2x －a =0，x ∈R}≠φ，则实数a 的取值范围是……………………………………（ ） (A )a ≤－1 (B ) a ≤1 (C ) a ≥－1 (D ) a ≥1. 4、已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}，B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q = . 5、已知集合A ={x |－1≤x ≤2}，B ={x |x ＜a }，如果A ∩B =A ，那么a 的取值范围是 . 6、已知集合A ={x |x ≤2}，B ={x |x ＞a }，如果A ∪B =R ，那么a 的取值范围是 .二、典型例题分析：1、如果a ∈A 则a-11∈A（1）当2∈A 时，求A （2）如果A 是单元素集，求A .2、A ={x |x =y 2－2y －8}，B ={y |y =－x 2＋2x ＋3}，求A ∩B .3、已知A ={x |x 2－a x ＋a 2－19=0}，B ={x |log 2(x 2－5x ＋8)=1},C ={x |12822=-+x x }，且A ∩B H Φ，A∩C =Φ，求实数a 及集合A .4、已知集合A ={x |x ≥|x 2－2x |}，B ={x ||1|1xx x x -≥-}，C ={x |a x 2＋x ＋b ＜0}，如果（A ∪B ）∩C =φ，A ∪B ∪C =R ，求实数a 、b 的值.*5、S =[－1，a ]，A ={y |y =x ＋1，x ∈S }，B ={z|z=x 2，x ∈S }，如果A =B ，求a 的值.*6、设f （x ）=x 2＋p x ＋q ，A ={x |f （x ）=x ，x ∈R}，B ={x |f (x －1)=x ＋1，x ∈R},C ={x |f (f (x ))=x }. （1）如果A ={2}，求B .（2）如果证明A 是C 的子集三、课堂练习：1、如果{x |x 2－3x ＋2=0}⊇{x |a x －2=0}，那么所有a 值构成的集合是 .2、A ={x |x =a 2＋1，a ∈Z}，B ={y |y =b 2－4b ＋5，b ∈Z}，则A 、B 的关系是 .3、满足{0，1}ΓM ⊆{0，1，3，5，6}的集合M 的个数为 .4、设集合A ={x |10＋3x －x 2≥0}，B ={x |x 2＋a ＜0}，如果B ⊆A ，那么实数a 的取值范围是 .四、课堂小结：1、学习集合，关键在搞清集合中元素的构成.2、掌握元素互异性在集合中的应用.3、能利用集合中元素满足的条件进行解题.五、能力测试： 姓名 得分 .1、全集I={x |x ≤4，x ∈N *}，A ={1，2，3}，A ∩B ={2，3}，那么B =…………………………（ ） (A ){2，3} (B ) {2，3}或者{2，3，4} (C ){1，4} (D ) {1，4}或者{1}2、集合A ={3－2x ，1，3}，B ={1，x 2}，并且A ∪B =A ，那么满足条件的实数x 个数有………（ ） (A )1 (B ) 2 (C )3 (D ) 43、三个集合A 、B 、C 满足A ∩B =C ，B ∩C =A ，那么有…………………………………………（ ） (A )A =B =C (B ) A ⊆B (C )A =C ，A ≠B (D ) A =C ⊆B4、已知非空集合M ，N ，定义M －N ={x |x ∈M ，x ∉N }，那么M －（M －N ）=……………………（ ） (A )M ∪N (B ) M ∩N (C )M (D ) N5、设M ={x |x ∈Z}，N ={x |x =2n ，n ∈Z }，P ={x |x =n ＋21}，则下列关系正确的是………………（ ） (A )N ⊂M (B ) N ⊂P (C )N =M ∪P (D ) N =M ∩P6、全集I={2，3，a 2＋2a －3}，A ={|a +1|，2}，A ={5}，则a =……………………………………（ ） (A )2 (B ) –3或者1 (C )－4 (D )－4或者27、集合A ={x |x ≤1}，B ={x |x ＞a }，如果A ∩B =Φ，那么a 的取值范围是……………………（ ） (A )a ＞1 (B ) a ≥1 (C ) a ＜1 (D ) a ≤18、集合A ={y |y =x 2+1}，B ={y |y =x +1}，则 A ∩B =………………………………………………（ ） (A ){(1,2),(0,1)} (B ){0,1} (C ){1,2} (D )),1[+∞9、A ={x |x ≠1，x ∈R}∪{y |y ≠2，x ∈R }，B ={z|z ≠1且z ≠2，z ∈R}，那么……………………（ ） (A )A =B (B )A ⊂B (C )A ⊃B (D )A ∩B =φ10、A ={x |f (x )=0},B ={x |g(x )=0},那么方程f 2(x )＋g 2(x )=0的解集是……………………………（ ） (A )A ∩B (B )A ∪B (C )A ∩B (D ) A ∪B11、非空集合S ⊆{1，2，3，4，5}，并且满足a ∈S 则6－a ∈S ，那么这样的集合S 一共有 个. 12、设集合M ={x |x ＜5}，N ={x |x ＞3}，那么“x ∈M 或者x ∈N ”是“x ∈M ∩N ”的 条件. 13、用列举法化简集合M ={x |Z x Z x∈∈-,36}= . 14、如果集合A ={x |a x 2+2x +1=0}只有一个元素，则实数a 的值为 . 15、集合A ={x |x 2－3x ＋2=0}， B ={x |x 2－a x ＋a －1=0} ，C ={x |x 2－m x ＋2=0}，若A ∪B =A ，A ∩C =C ，求实数a 、m 之值.*16、求集合{x |x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋1=0，b ∈R}的各元素之和.1.2 不等式的解法——绝对值不等式〖考纲要求〗在掌握一元一次与一元二次不等式解法的基础上掌握绝对值不等式解法.〖复习建议〗掌握绝对值的概念，会把绝对值问题转化为简单的问题；掌握去绝对值的基本方法：找零点分区间讨论法与换元法.一、知识点训练：1、不等式|2x －7|<3的解为………………………………………………………………………（ ） (A )x >2 (B )2<x <5 (C )x <5 (D ) x >02、不等式(x －1)02≥+x 的解为……………………………………………………………（ ） (A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠13、方程12|12|-+=-+x x x x 的解是…………………………………………………………………（ ） (A )x =－2 (B ) x ≠1 (C ) x ≤－2或者x ＞1 (D ) －2≤x ＜1 4、不等式525≤-x 的解集为 ； 5、不等式129->-x x 的解集为 ；二、典型例题分析：1、解不等式：(1)392+≤-x x(2)x x 2212>-1332)3(2-<+-x x x2、⑴已知适合不等式5|3|||≤-++x p x 的x 的最大值为4，求实数p 之值（p =0）.⑵已知适合不等式a x x >--+|3||1|的解集为R ，求实数a 的取值范围.3、关于x 的不等式2)1(|2)1(|22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 、B ，如果A 是B 的子集，求实数a 的取值范围.三、课堂练习：1、不等式x x ≤-52 的解集为 ；2、不等式x x x ≥+-11的解集为 ； 3、如果不等式kx x >+|1|的解集为R ，则实数k 的取值范围是 .四、课堂小结：解绝对值不等式时，常需要分类讨论，有时也可以用绝对值的几何意义求解，以简化计算.五、能力测试：1、关于x 的不等式a x x <++-|2||1|解集为空集，则实数a 的取值范围是………………（ ） （A ）(3,＋∞) （B ）[3,＋∞) （C ）(－∞,3] （D ）(－∞,3)2、不等式|log |2|log 2|22x x x x +<-的解集为…………………………………………………（ ） （A ）(1，2) （B ）(0，1) （C ）(1，＋∞) （D ）(2，＋∞)3、若321><x x和同时成立，则x 满足是 ； 4、不等式02||2<--x x 的解集为 . 5、解不等式||1212x x ≤- 6、解下列不等式：5252)1(≤--x 432)2(+>+x x (3)311≥-+x x7、关于x 的不等式23+>ax x 与不等式|x －2－c |＜c －2同解，求a 与c 的值.8、函数)(x f =2x －1，)(x g =1－x 2，定义函数⎩⎨⎧<-≥=))(|)((| )())(|)((| |)(|)(x g x f x g x g x f x f x F ，试化简此函数解析式，并研究其最值.1.3 不等式的解法——一次与二次〖考纲要求〗熟练掌握一元一次与一元二次不等式的解法.〖复习建议〗掌握不等式的性质，知道解不等式的基本思想：化归与转化，掌握一元一次不等式：.一、知识点训练：1、x =3在不等式 ax ＞b 的解集中，那么…………………………………………………………（ ） (A)a ＞0，3a ＞b (B)a ＜0，3a ＜b(C) a ＞0，b =0 (D) a ≠0，3a ＞b 或者a =0，b ＜0 2、不等式ax 2+bx +c ＞0（a ≠0）的解集为Φ，那么………………………………………………（ ）(A)a ＜0，△＞0 (B)a ＜0，△≤0 (C) a ＞0，△≤0 (D) a ＞0，△≥0 3、不等式(x －1)02≥+x 的解为………………………………………………………………（ ）(A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠1 4、不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为3121<<-x ，则a ；b . 5、不等式组⎩⎨⎧<-+>-+0820222x x x x 的解集为 .二、典型例题分析：1、 如果不等式(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0的解集为}31|{-<x x ，求不等式(a －3b )x ＋b －2a >0的解集.2、不等式2)1()12(2≤->-m x m x 对满足的一切实数m 的值都成立，求实数x 的取值范围.3、解关于x 的不等式0)(22>-+-m m x x4、如果不等式b x ax +<的解集为（4，16），求a 、b 的值.5、已知a ≠b ，解关于x 的不等式222)]1([)1(x b ax x b x a -+≥-+.三、课堂练习：1、在实数集内，关于x 的一元二次不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是空集，则………… ( ) (A )04,02>-<ac b a 且 (B )04,02≤-<ac b a 且(C ) 04,02≤->ac b a 且 (D ) 0402>->ac b a 且2、0)(≥x f 解集是F ，0)(<x g 解集是G ，定义域都为R ，则不等式组⎩⎨⎧≥<0)(0)(x g x f 解集是 ……（ ）(A )G F (B ) G F (C ) G F (D ) G F 3、不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为212->-<x x 或，那么不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为 . 4、关于x 的不等式：ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 恒成立，那么实数a ∈ .四、课堂小结：一元一次不等式的解法：关键是学会讨论，知道其解集情况与系数之间的关系。
高中数学(必修一)第一章集合与简易逻辑知识体系的建构
高中数学(必修一)第一章集合与简易逻辑知识体系地建构（一）集合地知识体系一．集合地概念1．定义：某些指定地对象集中在一起(描述性).2．集合元素地三性：确定性、互异性、无序性.二．集合地表示法列举法，描述法，图示法(韦恩图).三．常用集合地表示自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C.A是BA是B1．A、B A∩B={x|x∈A且2．A、B B={x|x∈A或3．U中七．绝对值不等式解法(关键是去绝对值)1．性质法：--a2．平方法：3．几何法：根据绝对值地几何意义解答.4．定义法：包括分类讨论与零点分段.5．图象法：即数形结合.（二）简易逻辑地知识体系123pÚq﹁p：p4．全称命题与特称命题地否定含有“任意”“一切”“所有”等全称量词地命题叫全称命题.含有“存在”“有些”“某个”等存在量词地命题叫特称命题.全称命题："x∈M，p(x)地否定是特称命题：$x0∈M，Øp(x0)；特称命题：$x0∈M，p(x0)地否定是全称命题："x∈M，Øp(x)5．四种命题及相互关系原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若﹁p则﹁q逆否命题：若﹁q则﹁p互为逆否地两个命题是等价地，即真假相同.二．反证法1．步骤：①反设②归谬③结论2．思路：①正难则反；②结论含有“否定”语句或“至多”“至少”“唯一”等词语时，可考虑反证法.三．充要条件地判断方法1．定义法：条件⇒结论，但结论⇏条件，则是充分(不必要)条件.条件⇏结论，但结论⇒条件，则是必要(不充分)条件.条件⇒结论，且结论⇒条件，则是充要条件.条件⇏结论，且结论⇏条件，则是既不充分也不必要条件.2．命题法：原命题不好判定，用它地等价命题来判定.3若A⊇B若A=B12。
高一上册数学课本内容
高一数学课本内容第一章集合与简易逻辑本章概述1.教学要求[1]理解集合、子集、交集、并集、补集的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.[2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法;熟练掌握一元二次不等式的解法.[3]理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件.2.重点难点重点：有关集合的基本概念;一元二次不等式的解法及简单应用;逻辑联结词"或"、"且"、"非"与充要条件.难点：有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系;"四个二次"之间的关系;对一些代数命题真假的判断.3.教学设想利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念;突出一种数学方法--元素分析法;渗透两种数学思想--数形结合思想与分类讨论思想;掌握三种数学语言--文字语言、符号语言、图形语言的转译.1.1集合(2课时)目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法;初步了解集合的分类及性质。
教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法--列举法与描述法，正确表示一些简单的集合教学过程：第一课时一、引言：(实例)用到过的"正数的集合"、"负数的集合"、"不等式2x-1>3的解集"如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
集合与元素：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
指出："集合"如点、直线、平面一样是不定义概念。
二、集合的表示：用大括号表示集合{...}如：{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}用拉丁字母表示集合如：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}常用数集及其记法：1.非负整数集(即自然数集)记作：N2.正整数集N*或N+3.整数集Z4.有理数集Q5.实数集R集合的三要素：1。