辽宁省法库县八年级数学下册第四章因式分解4.3公式法4.3.1公式法学案(无答案)(新版)北师大版
4.3 公式法 (解析版)-八年级数学下
4.3公式法考点：因式分解公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a 2＋2ab＋b 2＝（a＋b）2a 2－2ab＋b 2＝（a－b）2题型一：判断是否能用公式法因式分解1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．229x y -+B ．229x y +C ．2221x y -+D ．229x y --【答案】A【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．【详解】解：A.229x y -+是x 与3y 的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；B.229x y +两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；C.2221x y -+是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；D.229x y --两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）下列多项式，能用公式法分解因式的有（）个．①2233+x y ②22x y -+③22x y --④22x xy y ++⑤222x xy y +-⑥2244x xy y -+-A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式()()22a b a b a b +-=-进行判断即可．【详解】解：①2233+x y 不能用公式法分解因式，不符合题意；②()()22x y y x y x -+=+-，可以用平方差公式分解因式，符合题意；③()2222x y x y --=-+不能用公式法分解因式，不符合题意；④22x xy y ++不能用公式法分解因式，不符合题意；⑤222x xy y +-不能用公式法分解因式，不符合题意；⑥()()2222244442x xy y x xy y x y-+-=--+=--，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）下列多项式：①2216x y -+，②()222812()a ab b a b -+-+，③222139m mn n -+，④22x y --能用公式法因式分解的有个（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据公式法因式分解的方法，逐一进行判断即可．【详解】解：()()221644x y x y x y -+=-++①，符合题意；()222812()a ab b a b -+-+②2281()()a b a b =--+()()()()99a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()45445a b a b =--，符合题意；22221393n m mn n m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭③，符合题意；22x y --④，不能用公式法进行因式分解，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查公式法因式分解．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．题型二：运用平方差公式因式分解4．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（）A ．()()2211x x -+B ．()()2211x x +-C ．()()()2111x x x +-+D ．()()311x x -+【答案】C【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：()()()()()4222111111x x x x x x =-+--+=+，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后结果．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（）A ．22x y -+B ．224()a a b -+C ．228a b -D ．221x y -【答案】C【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可，能用平方差因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．【详解】在有理数范围内不能用平方差公式分解的是228a b -，A 、2222()()()x y x y x y x y -+=--=-+-，B 、[][]224()2()2()(3)()a a b a a b a a b a b a b -+=++-+=+-，D 、22221()1(1)(1)x y xy xy xy -=-=+-，故选：C ．【点睛】本题考查了公式法分解因式，不仅要掌握平方差公式的特点，还要对有理数的范围把握好．6．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A ．22x y -B ．22x y -+C ．22x y --D ．2281x y -【答案】C【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，根据平方差公式分解因式的特点进行分析即可．【详解】A.22x y -能用平方差公式因式分解，故不符合题意；B.22x y -+能用平方差公式因式分解，故不符合题意；C.22x y --不能用平方差公式因式分解，故符合题意；D.2281x y -能用平方差公式因式分解，故不符合题意；故选择：C【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式分解因式的特点．题型三：运用完全平方公式因式分解7．（2023春·全国·八年级期中）下列各式：①269x x -+；②225101a a +-；③244x x --；④2144x x -+，其中不能用完全平方公式因式分解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】能利用完全平方公式因式分解的整式需满足：整式是“两数平方和与这两个数积的2倍”．利用完全平方公式的结构特点逐个分析得结论．【详解】解：()22693x x x -+=-，故①能用完全平方公式因式分解；整式225101a a +-与244x x --不满足两数平方和，故②③不能用完全平方公式因式分解；整式2144x x -+的中间项x 不是2x 与12积的2倍，故④不能用完全平方公式因式分解．故选：C ．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式的结构特点是解决本题的关键．8．（2023春·浙江·八年级阶段练习）已知23,23x y =-=+，则代数式2224x xy y x y +++--的值为（）A ．32B ．34C ．31-D ．512-【答案】C【分析】根据已知，得到232322,232323x y x y +=-++=-=---=-，整体思想带入求值即可．【详解】解：∵23,23x y =-=+，∴232322,232323x y x y +=-++=-=---=-，∴()()222244x xy y x y x y x y +++--=++--()222234=--8234=--423=-()23231=-+()231=-31=-．故选C ．【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．9．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（）A ．214x x -+B ．22441a b ab -+C ．21025y y +-D ．22111934a ab b++【答案】C【分析】对每个选项进行因式分解即可做出判断．【详解】解：A ．221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故选项不符合题意；B ．()22244121a b ab ab -+=-，故选项不符合题意；C ．21025y y +-不能用完全平方公式分解，故选项符合题意；D ．2221911321134a b a ab b ⎛⎫=+ ⎝+⎪⎭+，故选项不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．题型四：综合运行公式法因式分解10．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（）A ．26(2)(3)x x x -=-+B ．2221(1)--=-x x xC ．222()x y x y -=-D ．2244(2)x x x ++=+【答案】D【分析】根据公式法分别判断即可．【详解】A ．26(6)(6)x x x -=-+，故原选项错误；B ．22)221(1)(12)(12x x x x x -=--=--+--，故原选项错误；C ．22()()x y x y x y -=+-，故原选项错误；D ．2244(2)x x x ++=+，故原选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．11．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）因式分解(1)()222224x y x y +-(2)22369xy x y y --【答案】(1)()()22x y x y +-(2)()23y x y --【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()222224x y x y +-()()222222x y xy xy xy=+++-()()22x y x y =+-（2）解：22369xy x y y --()2296y x xy y =--+()23y x y =--【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．12．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）分解因式：(1)()69x x -+；(2)()()2xx y y x -+-；(3)()22214x x +-．【答案】(1)()23x -(2)()()()11x y x x -+-(3)()()2211x x -+【分析】（1）先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式x y -，再利用平方差公式分解因式即可；（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：()69x x -+269x x =-+()23x =-；（2）()()2xx y y x -+-()()2x x y x y =---()()21x y x =--()()()11x y x x =-+-；（3）()22214x x +-()()221212x x x x =+++-()()2211x x =+-．【点睛】本题考查的是因式分解，掌握“利用提取公因式与利用公式法分解因式”是解本题的关键．题型五：因式分解在有理数简算的应用13．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）．A ．512B ．12C ．712D ．1130【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯，712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．14．（2022秋·八年级单元测试）利用因式分解简便计算(1)22124252576⨯-⨯(2)2382438144+⨯+【答案】(1)240000(2)2500【分析】（1）先提取公因数25，然后利用平方差公式进行计算即可；（2）根据完全平方公式进行求解即可．【详解】（1）解：22124252576⨯-⨯()222512476=⨯-()()251247612476=⨯+⨯-2520048=⨯⨯500048=⨯240000=；（2）解：2382438144+⨯+22382123812=+⨯⨯+()23812=+250=2500=．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．15．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）（1）先化简，再求值：()()()22a b a b a b +-++，其中1a =，2b =-；（2）已知()249x y -=，6xy =-，求32232x y x y xy ++的值．【答案】254a ab +，3-；150-【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行同类项的合并，最后代入1a =，2b =-计算即可；（2）先提取公因式，再根据完全平方公式将原式进行因式分解，将原式转换为()24xy x y xy ⎡⎤-+⎣⎦，再将()249x y -=，6xy =-代入计算即可．【详解】解：（1）()()()22a b a b a b +-++=222244a b a ab b -+++=254a ab +，当12a b ==-，时，原式=()542+⨯-=58-=3-；（2）32232x y x y xy ++=()222xy x xy y ++ =()2224xy x xy y xy -++ =()24xy x y xy ⎡⎤-+⎣⎦=()(6)4924-⨯-=150-．一、单选题16．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（）A ．22a b -+B ．221625m n -C ．2292016p pq q -+D ．()214a b a b ++++【答案】C【分析】根据平方差公式和完全平方公式因式分解，逐项分析即可．【详解】因为2222()()a b b a b a b a -+=-=+-，能因式分解，所以A 不符合题意；因为221625(45)(45)m n m n m n -=+-，能因式分解，所以B 不符合题意；因为2292016p pq q -+不能因式分解，所以C 不符合题意；因为222111()()()()442a b a b a b a b a b ++++=++++=++，能因式分解，所以D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解题的关键．17．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）下列因式分解：①()322412412m m m m -+=--；②()()()421111x x x x -=++-；③()()224a b ab a b -+=+；④()23222a a b ab a a b -+=-，其中结果正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】根据因式分解逐项分析判断即可求解．【详解】解：①()32241243m m m m -+=--，故①不正确；②()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-，故②正确；③()()222242a b ab a ab b a b -+=++=+，故③正确；④()()23222222a a b ab a a ab b a a b -+=-+=-，故④正确,∴正确的有3个，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．18．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）下列因式分解正确的是（）A ．2222444(4)4(2)(2)x y x y x y x -+=--=-+-B ．323123(4)a a a a -=-C ．4222241274(3)7x y x y x y x y -+=-+D ．2425(25)(25)a a a -=+-【答案】D【分析】利用提公因式法，公式法进行分解，逐一判断即可解答．【详解】解：A 、2222444()4()()x y x y x y x y -+=--=-+-，故本选项不符合题意；B 、323123(4)3(2)(2)a a a a a a -=-=+-，故本选项不符合题意；C 、4222241274(3)7x y x y x y x y -+=-+，不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、2425(25)(25)a a a -=+-，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法与公因式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．19．（2023秋·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）已知a b c 、、是ABC 的三边，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形的形状一定是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形或等腰三角形D ．以上都不对【答案】B【分析】将原式整理为完全平方式，然后根据平方式的非负性即可得出答案．【详解】解：∵()222220a b c b a c ++-+=，∴2222220a b b ab bc c -+++-=，即22()()0a b b c -+-=，∴0a b -=，0b c -=，∴a b c ==，∴此三角形的形状一定是等边三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．20．（2023春·全国·八年级专题练习）分解因式(1)211025t t ++；(2)21449m m -+；(3)214y y ++；(4)()()2244m n m m n m +-++；(5)2258064a a -+；(6)()()222a a b c b c ++++．【答案】(1)()215t +(2)()27m -(3)212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(4)()2n m -(5)()258a -(6)()2a b c ++【分析】利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：()221102515t t t ++=+；（2）解：()2214497m m m -+=-；（3）解：221142y y y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭；（4）解：()()()()2222442m n m m n m m n m n m +-++=+-=-；（5）解：()2225806458a a a -+=-；（6）解：()()()2222a a b c b c a b c ++++=++．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．21．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期末）发现与探索．(1)根据小明的解答将21220a a -+因式分解；(2)根据小丽的思考，求代数式21220a a -+的最小值．【答案】(1)()()102a a --(2)16-【分析】（1）将21220a a -+改写为212363620a a -+-+，再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）根据题意，将21220a a -+化为()2616a --，即可进行解答．【详解】（1）解：21220a a -+212363620a a =-+-+()2264a =--()()102a a =--；（2）解：21220a a -+212363620a a =-+-+()2616a =--，无论a 取何值()26a -都大于等于0，再加上16-，则代数式()2616a --大于等于16-，则21220a a -+的最小值为16-．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握()2222a b a ab b ±=±+，()()22a b a b a b -=+-．一、单选题22．（2023春·山东济南·八年级统考期末）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．244x x -+B ．21x x ++C ．2441x x +-D ．221x x +-【答案】A【分析】利用完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±，进而判断得出答案．【详解】解：A 、()22442x x x -+=-，能用完全平方公式进行因式分解；B 、21x x ++，不能用完全平方公式进行因式分解；C 、2441x x +-，不能用完全平方公式进行因式分解；D 、221x x +-，不能用完全平方公式进行因式分解；故选：A ．【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式．23．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）已知a 、b 、c 是ABC 三条边的长，且满足条件()222220a b c b a c ++-+=，则ABC 的形状是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到a b c ==，从而得到答案．【详解】解：∵()222220a b c b a c ++-+=，∴2222220a b c ab bc ++--=，∴()()2222220a ab b b bc c -++-+=，∴()()220a b b c -+-=，∵()()2200a b b c -≥-≥，，∴()()2200a b b c -=-=，，∴00a b b c -=-=，，∴a b c ==，∴ABC 是等边三角形，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，解题的关键在于灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．24．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：1x -，a b -，3，21x +，a ，1x +分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将()()223131a x b x ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱数学B ．爱河南C ．河南数学D ．我爱河南【答案】D【分析】先把代数式分解因式，再对照密码手册求解．【详解】解：()()()()()223131311a x b x x x a b ---=+--，所以，结果呈现的密码信息可能是：我爱河南故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，分解因式是解题的关键．25．（2023秋·重庆永川·八年级统考期末）下列分解因式正确的是（）A ．()231x x x x -=-B ．()()22x y x y x y +=+-C ．()()22x y x y x y -=--+－D ．2244121)x x x -+=-（【答案】D【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式，从而可判断求解．【详解】解：A 、应为()()()32111x x x x x x x -=-=+-，故选项错误，不符合题意；B 、22xy +不能分解，故选项错误，不符合题意；C 、22x y --不能分解，故选项错误，不符合题意；D 、()2244121x x x -+=-，故选项正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．26．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）已知120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，那么，代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（）A ．2022-B ．2022C ．3-D ．3【答案】D【分析】先求解1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦，再代入求值即可．【详解】解：∵120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，∴1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，∴222a b c ab bc ac++---()=++---22212222222a b c ab bc ac ()()()22212a b b c a c =-+-+-⎡⎤⎣⎦()11142=++3=；故选D ．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．27．（2023秋·河北廊坊·八年级统考期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a b -，3x -，3x +，a b +，29x -，22a b -分别对应下列六个字：河，爱，我，香，游，美，现将()()222299x a x b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱美B ．香河游C ．我爱香河D ．美我香河【答案】C【分析】将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．【详解】解：∵()()222299x a x b---()()2229x a b =--()()()()33x x a b a b =+-+-又∵a b -，3x -，3x +，a b +，分别对应下列四个个字：河，爱，我，香，∴结果呈现的密码信息是：我爱香河．故选：C ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将多项式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．28．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）若+=3,+=1a b x y ，则代数式22+2++2 015a ab b x y －－的值是（）A ．2019B ．2017C ．2024D ．2023【答案】D【分析】把所给代数式变形后把+=3,+=1a b x y 代入计算即可．【详解】解：∵+=3,+=1a b x y ，∴22+2++2 015a ab b x y －－()()2+2 015a b x y =+-+231+2 015=-2023=．故选D ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．29．（2022秋·八年级单元测试）已知1x y +=，则2212x y 1xy+2+的值是（）A ．12B ．1C ．2-D ．2【答案】A【分析】首先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，然后将1x y +=代入计算即可．【详解】解：∵1x y +=，∴2212x y 1xy+2+()2212x xy y =+2+()212x y =+2112=⨯12=，故选A ．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，代数式的求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．二、填空题30．（2023春·全国·八年级期中）在实数范围内分解因式：28a b b -=______【答案】()()2222b a a +-【分析】首先提取公因式b ，再利用平方差公式分解即可求得答案．【详解】解：原式()28b a =-()()2222b a a =+-．故答案为：()()2222b a a +-．【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握因式分解的步骤是关键．31．（2023春·全国·八年级期中）Rt ABC △的面积为5，斜边长为6，两直角边长分别为a ，b ，则代数式33a b ab +的值为___________．【答案】360【分析】根据两直角边乘积的一半表示出Rt ABC △的面积，把已知面积代入求出ab 的值，利用勾股定理得到2226a b +=，将代数式33a b ab +变形，把22a b +与ab 的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵Rt ABC △的面积为5，∴152ab =，解得10ab =，根据勾股定理得：222636a b +==，则代数式332210363()60a b ab ab a b +=+=⨯=．故答案为：360．【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．32．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）已知()222x =+，642y =-．（1）x 的值为______；22x y -的值为______；（2）若22160x nxy y ++=，则n 的值为______．【答案】642+##426+9626【分析】（1）利用完全平方公式求x 的值；利用平方差公式法因式分解求解即可；（2）利用完全平方公式和提公因式法因式分解，将等式分组因式分解成含有x y +、xy 的等式，将x y +、xy 的值代入等式即可求出n 的值．【详解】（1）解：()222x =+()222222+2=+⨯⨯=2+42+4=6+42；()()22=-+-x y x y x y ()()642642642642=++-+-+1282962=⨯=；故答案为：642+；962；（2）22160x nxy y ++= ，2222160x xy y xy nxy ∴++-+=，()()22160x y n xy ++-=，64264212x y +=++-= ，()()642642xy ∴=+-()22642=-3632=-4=；()()22160x y n xy ∴++-=，()21224160n +-⋅=，()2416014416n -⋅=-=，21644n ∴-=÷=，解得6n =，故答案为：6．【点睛】本题考查二次根式的运算、完全平方公式与平方差公式，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可以考虑整体代入是解题的关键．33．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）若3x y +=，5xy =，则22x y xy +的值为______．【答案】15【分析】先提取公因式分解因式，在把3x y +=，5xy =，代入原式计算即可．【详解】解：22x y xy + ()xy x y =+，把3x y +=，5xy =，代入，原式5315=⨯=，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握取公因式分解因式的方法是解题关键．34．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知7,2ab a b =+=，则多项式222008a b ab ++的值为_______．【答案】2022【分析】将多项式中含有字母的式子因式分解，然后整体代入可得结果．【详解】解：()2220082008a ab a b b ab =++++，∵7,2ab a b =+=，∴原式7220081420082022=⨯+=+=．故答案为：2022．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是利用整体代入思想解决问题．35．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）若2463,5,7555m x n x k x =+=+=-，则代数式222222m n k mn mk nk +++--的值为___________．【答案】225【分析】根据完全平方公式因式分解进而即可求解．【详解】解：∵2463,5,7555m x n x k x =+=+=-∴24635715555m n k x x x +-=+++-+=∴222222m n k mn mk nk +++--()2m n k =+-215225==，故答案为：225．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++是解题的关键．三、解答题36．（2023春·广东深圳·八年级期中）分解因式：(1)321025a a a ++；(2)()()224a b a b --+．【答案】(1)()25a a +(2)()()33a b a b --【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可；（2）利用平方差法进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式()21025a a a =++()25a a =+；（2）解：原式()()()()22a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()2222a b a b a b a b =-++---()()33a b a b =--．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和公式法分解因式是解题的关键．37．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）因式分解：(1)()()2222221x x x x -+-+(2)()()22x m n y n m -+-；【答案】(1)4(1)x -(2)()()()m n x y x y -+-【分析】（1）把22x x -看作整体，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式即可；（2）先提取公因式()m n -，再利用平方差公式分解即可．【详解】（1）()()2222221x x x x -+-+()2221x x =-+22(1)x ⎡⎤=-⎣⎦()41x =-（2）()()22x m n y n m -+-()()22m n x y =--()()()m n x y x y =-+-【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．38．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）把一个多项式写成两数和（或差）的平方的形式叫做配方法．阅读下列有配方法分解因式的过程：222210925559a a a a ++=+⨯+-+()2254a =+-()()5454a a =+++-()()91a a =++仿照上面方法，将下式因式分解2627x x --；（2）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()2111x x x x x +++++()()111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()()211x x =++()31x =+①上述分解因式的方法是，共应用了次．②若分解()()()220041111x x x x x x x ++++++⋯++，则需应用上述方法次，结果是．③分解因式：()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++(n 为正整数)．【答案】（1）()()39x x +-；（2）①提取公因式，3；②2005，()20051x +；③()11n x ++【分析】（1）仿照材料中的方法，利用配方法、平方差公式进行因式分解；（2）观察可知，材料中采用了提取公因式法分解因式，()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++经过()1n +次提取公因式，可得()11n x ++．【详解】解：（1）2222627233327x x x x --=-⨯+--()2236x =--()()3636x x =-+--()()39x x =+-；（2）①上述分解因式的方法是提取公因式，共应用了3次；故答案为：提取公因式，3；②若分解()()()220041111x x x x x x x ++++++⋯++，则需应用上述方法2005次，结果是()20051x +，故答案为：2005，()20051x +；③由题意知：()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++()()()11111n x x x x x x -⎡⎤=+++++⋯++⎣⎦()()()221111n x x x x x x -⎡⎤=+++++⋯++⎣⎦()()11n x x =++()11n x +=+．【点睛】本题主要考查分解因式，解题的关键是看懂材料，能够仿照材料中的方法求解．39．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）已知对于任意实数x 代数式2x 的最小值是0，代数式2(3)x -，当3x =时的最小值是0．(1)求代数式21236x x ++的值是最小值时x 的值．(2)判断代数式2123x x -+-的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式2123x x -+-的最大值或者最小值【答案】(1)6x =-(2)有最大值，最大值为7136-【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，得出()26x +，即可求解；（2）根据完全平方公式因式分解，进而得出2171636x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，根据2106x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】（1）解：∵21236x x ++()26x =+∴6x =-时，最小值为0；（2）解：∵2123x x -+-2112636x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭2171636x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∵2106x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭∴2123x x -+-7136≤-，有最大值，最大值为7136-【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意凑出平方项是解题的关键．40．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法，求代数式223x x +-的最小值．22222232113(1)4x x x x x +-=++--=+-，∵2(1)0x +≥，∴当=1x -时，223x x +-有最小值4-．请根据上述方法，解答下列问题：(1)22222610233310()x x x x x a b ++=+⨯+-+=++，则=a ________，b =___________；(2)求证：无论x 取何值，代数式2235x x ++的值都是正数；(3)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值．【答案】(1)3，1(2)见解析(3)2k =或2-．【分析】（1）将2610x x ++配方，然后与22610()x x x a b ++=++比较，可得a 与b 的值，则问题得解；（2）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；（3）二次项系数为1的二次三项式配方时，常数项为一次项系数一半的平方，故先将代数式配方，然后根据代数式227x kx -+的最小值为3，可得关于k 的方程，求解即可．【详解】（1）2610x x ++222233310x x =+⨯+-+=2(3)1x ++∴22(3)1=()x a bx ++++∴3,1a b ==故答案为：3，1（2）证明：2235x x ++22223(3)(3)5x x =+⨯+-+2(3)2x =++，∵2(3)0x +≥∴22350x x ++>∴无论x 取何值，代数式2235x x ++的值都是正数；（3）2222222727()7x kx x kx k k x k k -+=-+-+=--+，∵2()0x k -≥，∴227x kx -+的最小值为27k -+，又∵代数式227x kx -+的最小值为3，∴273k -+=，解得2k =或2-．。
八年级数学下册 第4章 因式分解 4.3 公式法 第2课时 完全平方公式课件
3.a²+4ab+4b²=( )a²+2·( ) a·( 2)+b( )²2=b( a +)²2b
第九页，共二十八页。
下列各式是不是完全(wánquán)平方式？
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²;
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是(bù （4）a2+ab+b2;
shi)
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式(yīnshì)的结果是( B)
A．4xy(x－y)－x3
B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是_______1_．
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为
（3）中间项和第一项，第三项有什么(shén me)关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍
第六页，共二十八页。
完全(wánquán)平方式: a22ab b2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间(zhōngjiān)有两底数之积的±2倍.
内容(nèiróng)总结
4.3 公式法。±2×首×尾。（2）-x2+4xy-4y2.。(2)-x2+ 4xy-4y2。=-(x2-4xy+4y2)。=-(x-2y)2.。 分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解(fēnjiě)因式。有公因式要先提公因式。
No (1)1002－2×100×99+99²。3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．。
八下4.3公式法(1)
学习目标 问题引入 例题讲解 巩固训练 课堂小结
例1.把下列各式因式分解.
1 25 16x2
解： 52 4x2
5 4x5 4x
29a2 1 b2
4
3a
2
1 2
b
2
3a
1 2
b
3a
1 2
b
例题讲解
25 16x2 52 4x2 5 4x5 4x a2 b2 a ba b
问题引入
对下列各式进行因式分解
x2 25 __ _x__5___x__5____________; 9x2 y2 __3_x__y___3_x___y_________; 9m2 4n2 _3_m___2_n__3_m___2_n_______.
问题引入
平方差公式： aa2 bb2=aabb=a2bb 2
变式练习
变式练习2.把下列各式因式分解.
13ax2 3ay4
解：
2 16x4 81y4
注意事项
使用平方差公式因式分解时要注意：
02
例题讲解
例3
解：由题意得，剩余部分的面积为：
a2 4b2
a2 2b2
a 3.6,b 0.8, 代入得 原式=10.4cm2
a 2ba 2b 答：剩余部分的面积是10.4cm2.
使用公式分解因式 去括号整理
4m 2n2m 4n
42mnm2n
分解彻底
例题讲解
例2.把下列各式因式分解.
22x3 8x
2xx2 4
2xx 2x 2
当多项式的各项含 有公因式时，先提 出公因式
变式练习
变式练习2.把下列各式因式分解.
13ax2 3ay4
解：
八年级数学下册4因式分解4.3公式法(第1课时)课件(新版)北师大版
要想运用平方差公式分解因式,必须掌握平方差公式的特点: 平方 二 次项,ห้องสมุดไป่ตู้项都能写成______ (1)平方差公式的左边是两个_____
相反 的形式,并且符号_______.
和 与______________ 这两个数的差 的积. (2)右边是两个数的_____
的平方差是141.”据此信息,你能算出当年狄摩根的年龄吗?
解:设当年狄摩根的年龄为 x 岁,弟弟的年龄为 y 岁. 则 x -y =141, 即(x+y)(x-y)=3×47. ∵x,y 都是正整数, ������ + ������ = ������������, ������ = ������������, ∴ 解得 ������ = ������������. ������-������ = ������. ∴当年狄摩根 25 岁.
第四章 因式分解
4.3 公式法
第1课时
1.知道平方差公式的结构特征,会用平方差公式进行因 式分解. 2.知道因式分解首先要考虑用提公因式法 ,再考虑用平 方差公式.
仔细观察下面图1与图2中阴影部分的面积,你知道它能 验证哪个公式吗?
1.英国数学家狄摩根在青年时代曾有人问他:“你今年多大
年龄?”狄摩根想了想说:“今年,我的年龄和我弟弟的年龄
2 2
2.已知a,b,c分别是△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试
判断△ABC的形状. 解:∵a2c2-b2c2=a4-b4, ∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2). 移项,得c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0. 提取公因式,得(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0. ∴a2-b2=0或a2+b2=c2. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
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公式法
课题内容 4.3.1公式法
学习目标 （1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
学习重点 正确运用公式进行因式分解。
学习难点 正确运用公式进行因式分解。
学法指导 自主学习 合作探究
(1) 什么是因式分解？
(2) 填空：（观察式子的左右两边，你发现了什么？）
①;____________________)3)(3(xx
②______;__________)4)(4(yxyx
③_________;__________)21)(21(xx
④______;__________)23)(23(nmnm
1、观察多项式x2-25，9x2-y2,它们有什么共同特征？
将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流。
2、默写乘法公式中的平方差公式，并写出其逆过来的公式
例1 把下列各式分解因式：
⑴ 21625x ； ⑵ 24192ba
例2 把下列各式分解因式：
(1) 9(m+n)2-(m-n)2; (2) 2x3-8x;
想一想：怎样通过整式乘法的平方差公式逆向用法来分解因式，分解时应注意什么？
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) ( )
一、预习案
二、探究案
三、训练案
列出我的疑惑
我的知识网络图
（2）x2–y2=（x+y）(x–y) ( )
（3）–x2+y2=–（x+y）(x–y) ( )
（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y) ( )
2、把下列各式分解因式：
（1）a2－81=
（2）36－x2=
（3）1－16b2=
（4）m 2－9n2=
（5）0.25q2－121p2=
（6）169x2－4y2=
（7）9a2p2－b2q2=
（8）449a2－x2y2=
3、把下列各式分解因式：
⑴ 22)(nnm ； ⑵ 22)(16)(49baba；
⑶ 22)2()2(yxyx； ⑷ 22222)(yxyx；
⑸ 2233ayax ； ⑹ 14p.
拓展训练：
4、如图，在一个半径为R的圆形钢板上，机械加工时冲去半径为r的四个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
5、已知甲、乙两位同学家的菜地都是正方形，甲同学家的菜地的周长比乙同学家的菜地的周长长
96 m，他们两家菜地的面积相差960 m2，求甲、乙两名同学家菜地的边长．